大规模多入多出(MIMO)系统是一种基站配备大规模天线阵列的多用户MIMO系统^[1]。该系统在同一时频资源上可以支持更多的用户，从而大大提高系统吞吐率 ^[2]；另外，该系统还可以大大改善无线传输的能量效率^[3]。 近年来大规模MIMO技术受到广泛关注，并已被确定为下一代移动通信的关键技术^[4]。

在关于多小区导频重用对大规模MIMO系统性能影响的研究中，文^[1,2,3,5]基于非相关信道模型即用户天线到基站每根天线的信道衰落都服从Rayleigh分布且相互独立，指出用户的信道估计将会因为导频重用而受到干扰，系统可达速率会因为导频污染而受限。文[1，2]中基站使用最小二乘(least square,LS)信道估计，而文^{[3, 5]} 中基站使用最小均方误差(minimum mean square error,MMSE)信道估计。 还有一些研究是基于其他的信道假设。文^[6]假设每用户的信道波达角(angle-of-arrival,AOA)数目有限，指出在MMSE信道估计下当基站天线数和信道AOA数目无穷大时，系统上行可达速率性能受限于导频污染。文^[7]基于一般化的信道模型，导出了MMSE信道估计下遍历可达速率的近似解，并利用它对特定信道条件下导频重用的影响作了分析。

上述研究工作关于导频重用对系统极限性能的影响分析存在以下不足：1) 所有用户信道有着同样的协方差矩阵(不考虑与矩阵相乘的标量系数的差异)，而在实际环境中由于各用户信道的AOA差别较大，导致不同用户的信道协方差矩阵有较大差异； 2) 相关信道下的性能分析都假设基站使用MMSE信道估计，而在实际广泛使用的LS信道估计下，导频重用的影响还没有得到研究； 3) 实际系统中往往会使用功率控制，而这些研究工作中所有用户上行发送功率都相等。

针对上述不足，本文选取一般化的信道模型，导出了系统在使用功率控制的情况下，分别将LS和MMSE这2种信道估计结果用于上行匹配滤波(matched filter,MF)接收时上行可达速率的下界。利用该下界对基站天线数无穷多时导频重用的影响进行分析，可以发现在非相关信道和相关信道下有着不同的结论。

1 系统模型

考虑有L个小区共享频谱资源，每个小区中心部署有阵元数为N的大规模天线阵列，在同一时频资源块上服务K个单天线用户。考虑上行传输，且假设所有信道为平衰落信道，第l (l=1,2,…,L)个小区的基站接收到的信号可建模为

${y_l} = \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {\sqrt {{p_{jk}}} {g_{ljk}}{x_{jk}} + {n_l}.} } $

(1)

其中： g_ljk∈C^N表示第j个小区的第k个用户到第l个小区基站的信道矢量； x_jk是第j个小区的第k个用户的发送符号，其均值为0、方差为1； p_jk表示第j个小区的第k个用户的归一化发送功率(对基站接收机噪声功率进行归一化)； n_l(0,I_N)是接收机噪声。

假设各用户信道相互独立，g_ljk(l,j=1,2,…,L，k=1,2,…,K)可建模为

${g_{ljk}} = \sqrt {{\beta _{ljk}}} {_{ljk}}.$

其中：β_ljk是大尺度衰落系数；h_ljk~CN(0,R_ljk)是快衰落信道矢量，其各分量的方差为1。对于均匀线性阵列，R_ljk有如下形式^[8]：

${_{ljk}} = \int {_{\theta _{ljk}^{\min }}^{\theta _{ljk}^{\max }}} a(\theta )a{(\theta )^H}{p_{ljk}}\left( \theta \right){\rm{d}}\theta .$

(2)

其中： p_ljk(θ)是信道AOA的概率密度函数，[θ_ljk^min,θ_ljk^max]是信道AOA的分布区间，a(θ)是方向矢量。

$a(\theta ) = {\left[ {1,{e^{ - j2\pi \Delta \cos \theta }},{{\rm{e}}^{ - j2\pi \Delta 2\cos \theta }}, \cdots ,{{\rm{e}}^{ - j2\pi \Delta (N - 1)\cos \theta }}} \right]^T}.$

其中Δ表示对载波波长归一化后的阵元间距。此外，R_ljk也可以是单位阵I_N，此时基站各阵元对应的信道增益相互独立。

假设系统使用功率控制，使得不同用户到各自小区基站的信号平均功率相等，设该功率(对基站接收机噪声功率进行归一化的信号功率)为p_u，那么有p_u=β_jjkp_jk,∀j,k，从而式(1)可改写为

${y_t} = \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {\sqrt {{p_u}{\beta _{ljk}}/{\beta _{ljk}}} } {{}_{ljk}}} {x_{{\rm{jk}}}} + {n_l}.$

令h_ljk=β_ljk/β_jjkh_ljk，设其协方差矩阵为R_ljk，则有

${R_{ljk}} = ({\beta _{ljk}}/{\beta _{jjk}}){_{ljk}}.$

(3)

式(1)进一步变为

${y_l} = \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {\sqrt {{p_u}} } {h_{ljk}}{x_{jk}}} + {n_l}.$

2 信道估计

对于每个小区，为了在基站侧获取K个用户的 信道状态信息，这些用户通过上行发送正交导频序列。记第l个小区的第k个用户发送的导频序列为Φ_lk∈C^τ，其中τ表示导频序列的长度，||_lk||=1，Φ^H_lkΦ_li=0,i≠k。假设所有小区的用户同步发送导频，第l个小区的基站收到的信号为

$Y_l^{tr} = \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{k = 1}^K {\sqrt {{p_u}\tau } } {h_{ljk}}\phi _{jk}^T} + N_l^{tr}.$

其中N_l^trl∈C^N×τ是信道训练阶段接收机的噪声，其每列相互独立，且都服从CN(0,I_N)分布。

假设与第l个小区重用导频的小区编号集合为I_l⊆{1,2,…,L}，且Φ_lk=Φ_jk,∀j∈I_l,k=1,2,…,K，其他编号不属于I_l的小区使用的导频与第l个小区的相互正交。为了估计目标信道h_llk，基站将Y_l^trl与对应的导频序列作内积，即可得到h_llk的充分统计量^[9] ：

$y_{lk}^{tr} = Y_l^{tr}\phi _{lk}^* = \sum\limits_{j \in {I_l}}^{} {\sqrt {{p_u}\tau } } {h_{ljk}} + n_{lk}^{tr}.$

其中n_lk^tr是噪声矢量，服从CN(0,I_N)分布。从而h_llk的LS估计为

$\hat h_{llk}^{LS} = \frac{1}{{\sqrt {{p_u}\tau } }}y_{lk}^{tr} = {h_{llk}} + \sum\limits_{j \in {I_l},j \ne l}^{} {{h_{ljk}} + } \frac{1}{{\sqrt {{p_u}\tau } }}n_{lk}^{tr},$

(4)

其MMSE估计为

$\hat h_{llk}^{MMSE} = \frac{1}{{\sqrt {{p_u}\tau } }}{R_{llk}}{\left( {\sum\limits_{j \in {I_l}} {{R_{ljk}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} \right)^{ - 1}}y_{lk}^{tr}.$

(5)

3 上行可达速率分析

记a_lk∈C^N为第l个小区的基站检测第k个用户的发送符号所使用的检测器，检测后的信号为

${r_{lk}} = \sqrt {{p_u}} a_{lk}^H{h_{llk}}{x_{lk}} + \sum\limits_{(j.i) \ne (l,k)} {\sqrt {{p_u}} a_{lk}^H{h_{lji}}{x_{ji}} + a_{lk}^H} {n_l}.$

(6)

借鉴文^[5]和^[10]中分析可达速率下界的方法将 a_lk^Hh_llk写为

$a_{lk}^H{h_{llk}} = E(a_{lk}^H{h_{llk}}) + \left[ {a_{lk}^H{h_{{\rm{llk}}}} - E(a_{{\rm{lk}}}^H{h_{llk}})} \right].$

记

$\begin{array}{l} {z_{lk}} = \sqrt {{p_u}} \left[ {a_{lk}^H{h_{llk}} - E(a_{lk}^H{h_{llk}})} \right]{x_{lk}} + \\ \sum\limits_{(j,i) \ne (l,k)} {\sqrt {{p_u}} } a_{lk}^H{h_{lji}}{x_{ji}} + a_{lk}^H{n_l}, \end{array}$

则式(6)可写为

${r_{lk}} = \sqrt {{p_u}} E(a_{lk}^H{h_{llk}}){x_{lk}} + {z_{lk}}.$

由于$E({x_{lk}}\left[ {a_{lk}^H{h_{llk}} - E(a_{lk}^H{h_{llk}})} \right]{x_{lk}}) = 0$

且对任意(j,i)≠(l,k)，x_ji与x_lk相互独立，因此x_lk与z_lk不相关。由文^[11]的定理1可知，用户k上行可达速率的下界(当z_lk服从Gauss分布时取得)为

${C_{lk}} = lb\left\{ {1 + \frac{{{p_u}|E(a_{lk}^H{h_{llk}}){|^2}}}{{E(|{z_{lk}}{|^2})}}} \right\}.$

(7)

其中

$\begin{array}{l} E(|{z_{lk}}{|^2}) = \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {{p_u}E(|a_{lk}^H} {h_{lji}}{|^2})} - \\ {p_u}|E(a_{lk}^H{h_{llk}}){|^2} + E(|a_{lk}^H{n_l}{|^2}). \end{array}$

下面分别给出基站使用LS和MMSE信道估计，并用于上行MF检测时系统上行可达速率的下界，进一步分析当基站天线数无穷多时系统的极限性能。

3.1 LS信道估计下的分析

定理1 基站使用LS信道估计并用于上行MF检测，那么式(6)所示上行传输的可达速率下界可表示为

$C_{lk}^{LS} = lb(1 + \gamma _{lk}^{LS}),$

γ_lk^LS由式(8)给出，其中${\Phi _{lk}} = \sum\limits_{m \in {I_i}}^{} {{R_{lmk}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}$

$\gamma _{lk}^{LS} = \frac{{{{\left[ {\frac{1}{N}tr({R_{llk}})} \right]}^2}}}{{\frac{1}{{{N^2}}}\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr({\Phi _{lk}}{R_{lji}})} } + \sum\limits_{j \in {I_i},j \ne l} {{{\left[ {\frac{1}{N}tr({R_{{\rm{ljk}}}}} \right]}^2} + \frac{1}{{{N^2}{p_u}}}tr({\Phi _{lk}})} }}.$

(8)

证明 对于LS信道估计，a_lk由式(4)给出，由于各用户信道相互独立，因此有

$\begin{array}{l} E(a_{lk}^H{h_{llk}}) = \\ tr(E({h_{llk}}a_{lk}^H)) = tr(E({h_{llk}}h_{llk}^H)) = tr({R_{llk}}). \end{array}$

(9)

由于a_lk与n_l相互独立，则有

$\begin{array}{l} E(|a_{lk}^H{n_l}{|^2}) = \\ E(a_{lk}^H{n_l}n_l^H{a_{lk}}) = tr(E({a_{lk}}a_{lk}^H{n_l}n_l^H)) = \\ tr(E({a_{lk}}a_{lk}^H)) = tr\left( {\sum\limits_{j \in {I_i}} {{R_{ljk}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} \right). \end{array}$

(10)

在计算E(|a_lk^Hh_lji|²)时分2种情况：

1) 当j∈I_l，i=k时，有

$E(|a_{lk}^H{h_{ljk}}{|^2}) = tr(E({a_{lk}}a_{lk}^H{h_{ljk}}h_{ljk}^H)).$

(11)

令

${\bar h_{ljk}} = \sum\limits_{m \in {I_l},m \ne j}^{} {{h_{lmk}}} + \frac{1}{{\sqrt {{p_u}\tau } }}n_{lk}^{tr},$

则

${a_{lk}}a_{lk}^H = {\bar h_{ljk}}\bar h_{ljk}^H + {\bar h_{ljk}}h_{ljk}^H + {h_{ljk}}\bar h_{ljk}^H + {h_{ljk}}h_{ljk}^H.$

(12)

将式(12)代入式(11)，由于 h_ljk与 h_ljk相互独立，则

$\begin{array}{l} E(|a_{lk}^H{h_{ljk}}{|^2}) = tr(E({{\bar h}_{ljk}}\bar h_{ljk}^H)E({h_{ljk}}h_{ljk}^H) + \\ E({h_{ljk}}h_{ljk}^H{h_{ljk}}h_{ljk}^H) = \\ tr\left( {\left( {\sum\limits_{m \in {I_l},m \ne j} {{R_{lmk}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} } \right){R_{ljk}}} \right)\\ + tr(R_{ljk}^2) + {[tr({R_{ljk}})]^2} = \\ tr\left( {\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} } \right){R_{ljk}}} \right) + {[tr({R_{ljk}})]^2}. \end{array}$

(13)

对于式(13)中第2个等号的导出，其根据是：h_ljkh_ljk^H服从自由度为1、 协方差矩阵为 R_ljk的Wishart分布^[12]，求E(h_ljkh_ljk^Hh_ljkh_ljk^H)可转化为求Wishart分布矩阵的矩，已有结论见文^[12]的式(16)。

2) 当j∈I_l，i≠k或者j∉_l，i任意时，由于a_lk与 h_lji相互独立，因此有

$\begin{array}{l} E(|a_{lk}^H{h_{ljk}}{|^2}) = tr(E({a_{lk}}a_{lk}^H{h_{lji}}h_{lji}^H) = \\ E({h_{ljk}}h_{ljk}^H{h_{ljk}}h_{ljk}^H) = \\ tr\left( {\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} } \right){R_{lji}}} \right). \end{array}$

记${\Phi _{lk}} = \sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N},$

结合上述2种情况有

$\begin{array}{l} \sum\limits_{}^{Lj = 1} {\sum\limits_{i = 1}^K {E(|a_{lk}^H{h_{lji}}{|^2})} } = \\ \sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr({\Phi _{lk}}{R_{lji}})} } + \sum\limits_{j = 1}^L {{{[tr({R_{ljk}})]}^2}} . \end{array}$

(14)

将式(9)、(10)和(14)代入式(7)即可得证。

由节1系统模型中的定义可知，对任意j和k，R_ljk的各对角元为1，又根据式(3)可得

$tr({R_{ljk}})/N = {\beta _{ljk}}/{\beta _{jjk}},$

从而有

$\begin{array}{l} \frac{1}{N}tr({\Phi _{lk}}) = \sum\limits_{m \in {I_l}} {\frac{{{\beta _{lmk}}}}{{{\beta _{mmk}}}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }},\\ \frac{1}{N}tr({\Phi _{lk}}{R_{lji}}) = \frac{1}{N}tr(\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}{R_{lji}})} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}\frac{{{\beta _{lji}}}}{{{\beta _{jji}}}}. \end{array}$

当N→∞时，显然有

$\begin{array}{l} \qquad \qquad \qquad \quad \gamma _{lk}^{LS} \to \\ \frac{1}{{\frac{1}{{{N^2}}}\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr(\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}{R_{lji}}} )} + \sum\limits_{j \in {I_l},j \ne l} {{{({\beta _{ljk}}/{\beta _{jjk}})}^2}} } }} \end{array}$

(15)

可以看到: 当N→∞时，信道估计中和数据接收时的噪声影响都消失了。

推论1 假设有 R_ljk=I_N，∀j,k,基站使用LS信道估计并用于上行MF检测，当N→∞时有

$\gamma _{lk}^{LS} \to \frac{1}{{\sum\limits_{j \in {I_l},j \ne l} {{{({\beta _{ljk}}/{\beta _{jjk}})}^2}} }}.$

证明 由于有 R_ljk=I_N，∀j,k,根据式(3)可得 R_ljk=(β_ljk/β_jjk)I_N，从而有

$\frac{1}{{{N^2}}}tr\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}{R_{lji}}} } \right) = \frac{1}{N}\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {\frac{{{\beta _{lmk}}}}{{{\beta _{mmk}}}}\frac{{{\beta _{lji}}}}{{{\beta _{jji}}}}} } \right).$

当N→∞时，由于L和K有限，因此

$\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr(\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}{R_{lji}})/{N^2}} } } \to 0,$

式(15)的分母只剩下$\sum\limits_{j \in {I_l},j \ne l}^{} {{{({\beta _{ljk}}/{\beta _{jjk}})}^2}} $

, 从而得证。

在推论1中，所有信道矢量的各分量相互独立，此时用户上行极限可达速率仅受限于导频污染，且只由一些大尺度衰落系数决定，这与文[^[1,2,3,5]]的结论类似，不同的是，这里的大尺度衰落系数除了包括相邻小区导频干扰用户到本小区基站的大尺度衰落系数外，还包括他们到各自小区基站的大尺度衰落系数，但不包括被干扰用户到本小区基站的大尺度衰落系数，这是由于本文所讨论的系统采用了功率控制的缘故。

下面以基站部署大规模均匀线性阵列为例，分析信道矢量各分量相关时的情况。在分析中假设信道AOA范围[θ_ljk^min,θ_ljk^max]⊆[0,π]，∀j,k。

考察式(15)中的tr(R_lmkR_lji)/N²，由式(2)和(3)可知，其可进一步写为

$\frac{{{\beta _{lmk}}{\beta _{lji}}}}{{{\beta _{mmk}}{\beta _{jji}}}}\int {_{\theta _{lmk}^{\min }}^{\theta _{lmk}^{\max }}} \int {_{\theta _{lji}^{\min }}^{\theta _{lji}^{\max }}} {\left| {\frac{1}{N}{{[a(\phi )]}^H}a(\theta )} \right|^2}{p_{lmk}}(\theta ){p_{lji}}(\phi ){\rm{d}}\theta {\rm{d}}\varphi $

令Ω=cosΦ－cosθ，则

$\begin{array}{l} \left| {\frac{1}{N}{{[a(\phi )]}^H}a(\theta )} \right| = \frac{1}{N}\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{e^{j2\pi \Delta \Omega n}}} } \right|\\ = \frac{1}{N}\left| {\frac{{\sin (\pi \Delta \Omega N)}}{{\sin (\pi \Delta \Omega )}}} \right|. \end{array}$

若保持天线间距Δ不变，当N→∞时，

$|{[a(\phi )]^H}a(\theta )/N| \to \delta (\phi - \theta ),$

其中δ(·)是Dirac函数，从而有

$\frac{1}{{{N^2}}}tr({R_{lmk}}{R_{lji}}) \to \frac{{{\beta _{lmk}}{\beta _{lji}}}}{{{\beta _{mmk}}{\beta _{jji}}}}{\smallint _\Theta }{p_{lmk}}(\theta ){p_{lji}}(\theta )d\theta $

(16)

其中$\Theta = [\theta _{lmk}^{\min },\theta _{lmk}^{\max }] \cap [\theta _{lji}^{\min },\theta _{lji}^{\max }]$

显然有

$\frac{1}{{{N^2}}}tr({R_{lji}}{R_{lji}}) \to \frac{{\beta _{lji}^2}}{{\beta _{jji}^2}}\smallint _{\theta _{lji}^{\min }}^{\theta _{lji}^{\max }}{[{p_{lji}}(\theta )]^2}d\theta > 0,\forall j,i.$

(17)

将式(15)中的$\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}{R_{lji}}} } \right)} } /{N^2}$写为$\frac{1}{{{N^2}}}\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr({R_{llk}}{R_{lji}})} } + \frac{1}{{{N^2}}}\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr\left( {\sum\limits_{m \in {I_l},m \ne l} {{R_{lmk}}{R_{lji}}} } \right)} } $ 其中第一项包含了相邻小区带来的数据干扰$\sum\limits_{j \ne l}^{} {\sum\limits_{i = 1}^K {tr({R_{llk}}{R_{lji}})} } /{N^2},$ 由式(16)可知，当N→∞时数据干扰不一定趋近于0； 第二项表示导频重用带来的干扰，由式(16)和(17)可知，当N→∞时该项始终大于0。

因此，在相关信道模型下基站使用LS信道估计时，系统上行的极限可达速率不仅仅受限于导频污染，还可能受限于相邻小区带来的数据干扰，并且导频污染也不仅仅包括 $\sum\limits_{j \in {I_l},j \ne l} {{{({\beta _{ljk}}/{\beta _{jjk}})}^2}} ,$这与推论1中非相关信道模型下的结论是不同的。

3.2 MMSE信道估计下的分析

定理2 基站使用MMSE信道估计并用于上行MF检测，那么式(6)所示上行传输的可达速率下界可表示为

$C_{lk}^{MMSE} = {\rm{lb}}(1 + \gamma _{lk}^{MMSE}),$

$\gamma _{lk}^{MMSE}$由式(18)给出，其中

$\begin{array}{l} {\prod _{llk}} = {R_{llk}}{\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} } \right)^{ - 1}},{\Psi _{llk}} = {\Pi _{llk}}{R_{llk}}.\\ \gamma _{lk}^{MMSE} = \frac{{{{\left[ {\frac{1}{N}tr({\Psi _{llk}})} \right]}^2}}}{{\frac{1}{{{N^2}}}\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr({\Psi _{llk}}{R_{lji}})} + \sum\limits_{j \in {I_l},j \ne l} {\left[ {\frac{1}{N}tr({\Pi _{llk}}{R_{ljk}})} \right]\left[ {\frac{1}{N}tr({R_{ljk}}\Pi _{llk}^H)} \right] + \frac{1}{{{N^2}{p_u}}}tr({\Psi _{llk}})} } }}. \end{array}$

(18)

证明 对于MMSE信道估计，a_lk由式(5)给出。定义信道估计误差 ${\tilde h_{llk}} = {h_{llk}} - \hat h_{llk}^{MMSE},$，根据MMSE估计的特性，有$E[{\tilde h_{llk}}{(\hat h_{llk}^{MMSE})^H}] = 0,$因此有

$E(a_{lk}^H{h_{llk}}) = tr(E[(\hat h_{llk}^{MMSE} + {{\tilde h}_{llk}}){(\hat h_{llk}^{MMSE})^H}]) = tr({\Psi _{llk}}).$

余下的证明过程与定理1的证明相似，这里不再给出。

推论2 假设有R_ljk=I_N，∀j,k，基站使用MMSE信道估计并用于上行MF检测，当N→∞时有

$\gamma _{lk}^{MMSE} \to \frac{1}{{\sum\limits_{j \in {I_l},j \ne l} {{{({\beta _{ljk}}/{\beta _{jjk}})}^2}} }}.$

证明 由于R_ljk=(β_ljk/β_jjk)I_N,∀j,k，从而有

${\Psi _{llk}} = {\Pi _{llk}} = {\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {\frac{{{\beta _{lmk}}}}{{{\beta _{mmk}}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}} } \right)^{ - 1}}{I_N}.$

将R_ljk、 Ψ_llk和Π_llk的表达式代入式(18)不难得证。

比较推论1 和2，可以发现在非相关信道模型下，基站无论使用LS还是MMSE信道估计，都会获得相同的极限可达速率。

推论3 对任意j∈I_l＼{l}，若R_ljk与R_llk的子空间相互正交，则基站使用MMSE信道估计并用于上行MF检测时，式(18)变为

$\gamma _{lk}^{MMSE} = \frac{{{{\left[ {\frac{1}{N}tr({\Psi _{llk}})} \right]}^2}}}{{\frac{1}{{{N^2}}}\sum\limits_{j = 1}^L {\sum\limits_{i = 1}^K {tr({\Psi _{llk}}{R_{lji}})} + \frac{1}{{{N^2}{p_u}}}tr({\Psi _{llk}})} }}.$

(19)

其中${\Psi _{llk}} = {R_{llk}}{\left( {{R_{llk}} + \frac{1}{{{N^2}{p_u}\tau }}{I_N}} \right)^{ - 1}}{R_{llk}}$ 证明 由于对任意j∈I_l＼{l}，R_ljk与 R_llk的子空间相互正交，则有 R_ljkR_llk=R_llkR_ljk=0， 从而

$\begin{array}{c} tr({\Pi _{llk}}{R_{ljk}}) = \\ tr\left( {{R_{ljk}}{R_{llk}}{{\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} \right)}^{ - 1}}} \right) = 0,\\ tr\left( {{R_{ljk}}\Pi _{llk}^H} \right) = \\ tr\left( {{{\left( {\sum\limits_{m \in {I_l}} {{R_{lmk}}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} \right)}^{ - 1}}{R_{llk}}{R_{ljk}}} \right) = 0. \end{array}$

${\Psi _{llk}} = {\left( {{R_{llk}} + \frac{1}{{{p_u}\tau }}{I_N}} \right)^{ - 1}}{R_{llk}}$的证明参见文^[13]的附录B。证毕。

从式(19)可看出，导频重用的影响完全消失，该推论与文^[8]的结论是一致的。考虑基站部署均匀线性阵列，文^[8]指出当N→∞时，若信道AOA范围不重叠则对应的信道协方差矩阵的子空间趋近于相互正交。因此，只要重用导频用户对应的干扰信道与目标信道的AOA范围不重叠，导频污染即消失。

设R_llk的特征值分解形式为

${R_{llk}} = \sum\limits_{n = 1}^N {{\lambda _n}{u_n}u_n^H,} $

其中λ_n≥0是R_llk的第n个特征值，u_nn是该特征值对应的单位特征向量，不难得到式(19)中的${\Psi _{llk}} = \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{\lambda _n^2}}{{{\lambda _n} + 1/\left( {{p_u}\tau } \right)}}{u_n}u_n^H} $ 由于

$tr\left( {{\Psi _{llk}}} \right) = \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{\lambda _n^2}}{{{\lambda _n} + 1/\left( {{p_u}\tau } \right)}} \le \sum\limits_{n = 1}^N {{\lambda _n}} = tr({R_{llk}})} ,$

且tr(R_ljk)/N=β_ljk/β_jjk， 当N→∞时显然有

$\frac{1}{{{N^2}{p_u}}}tr\left( {{\Psi _{llk}}} \right) \to 0$

这说明数据接收时的噪声影响消失。当p_uτ→∞时有Ψ_llk→R_llk，此时式(19)中有

$\frac{1}{{{N^2}}}tr\left( {{\Psi _{llk}}{R_{lji}}} \right) \to \frac{1}{{{N^2}}}tr\left( {{R_{{\rm{llk}}}}{R_{lji}}} \right).$

由式(16)可知，当N→∞时tr(R_llkR_lji)/N²不一定趋近于0，因此相邻小区带来的数据干扰$\sum\limits_{j \ne l} {\sum\limits_{i = 1}^K {tr\left( {{\Psi _{llk}}{R_{lji}}} \right)/{N^2}} } $ 不一定趋近于0。

以上基于式(19)的分析指出：当导频污染消失时，随着N→∞，相邻小区带来的数据干扰是制约上行极限可达速率的一个因素。那么在相关信道模型下推论3的假设条件不存在时，若基站使用MMSE信道估计，系统上行的极限可达速率将可能受到导频污染和相邻小区带来的数据干扰的双重制约。

4 结 论

本文针对多小区一般化的信道模型下导频重用的问题，导出了LS和MMSE这2种信道估计方法下系统使用功率控制时上行可达速率的下界。当基站天线数趋于无穷时，利用该下界得出如下重要结论： 在非相关信道下，用户上行极限可达速率仅受限于导频污染，并由相邻小区导频干扰用户到各自小区基站的大尺度衰落系数和到本小区基站的大尺度衰落系数决定；在相关信道下，导频污染不是制约系统上行极限可达速率的唯一因素，在使用LS信道估计时导频污染会始终存在，而在使用MMSE信道估计时导频污染可能会消失。