2. 复旦大学 管理学院, 上海 200433
2. School of Management, Fudan University, Shanghai 200433, China
双边市场是指连接了多个类型不同但相互影响的参与者群体的市场结构[1]。随着科技的快速发展和经济一体化的进程不断深入，许多行业都体现出双边市场的特征[2]。例如，苹果手机连接了手机用户和手机软件开发人员，并同时从手机销售和软件提成等2个方面获得利润。近年来，随着软件市场的快速发展，软件平台之间的竞争也日趋激烈。相比于传统的寡头竞争，具有双边市场特征的软件平台既要考虑消费者一侧用户选择行为的影响，同时也要密切关注第三方软件提供商一侧的市场。以苹果的iOS和谷歌的安卓系统之间的竞争为例，一方面，苹果作为智能手机市场的先行者，其iOS的成熟程度和盈利能力等方面被普遍认为优于安卓系统[3]； 另一方面，二者在争夺用户的同时，也同时面向所有的第三方软件提供商开放。许多第三方软件提供商都同时在2个系统环境中提供相同的软件[4]。已有的文献大多关注传统的单边企业之间的竞争[5]。而类似iOS和安卓之间的这种双边市场之间的竞争在已有的研究中则为数不多。
有鉴于此，本文通过建模求解2个存在纵向质量差异的双边平台之间的博弈均衡。分析将侧重突出双边平台中第三方软件提供商的角色，重点关注第三方软件提供商带给博弈均衡的影响。
1 问题建模假设市场当中存在2个软件平台H和L。平台之间存在质量差异。不失一般性，假设平台的质量分别为qH和qL且满足qH>qL，平台的利润分别用πH和πL表示。此外，市场中还存在一组第三方软件提供商，这些第三方软件提供商同时向2个软件平台提供软件产品，并且按照固定的比例δ向软件平台提交销售提成[6]。由于不同的平台可以安装相同的第三方软件，因此可以假设不同平台所提供的第三方软件没有显著的质量差异。为了简化分析，假设第三方软件的产品内容相互独立(例如消费者对于天气类和财经类软件的使用并不存在相互影响)。基于此，只须考虑一组同质的第三方软件提供商[7]，并用s表示其软件销售价格。
市场当中存在一组不同质的消费者，消费者的总人数通过归一化处理为1个单位。每个消费者的类型θ是从[0,1]区间上的均匀分布中随机抽取得到。消费者在购买平台的同时，也会同时购买软件产品。以下函数表示当类型为θ的消费者购买了软件平台i时的净效用：
| $u(\theta ,{q_i},{q_i}) = {q_i}\theta + e - ({p_i} - s)$ | (1) |
函数u(θ，qi，pi)当中，qiθ表示消费者从使用平台中获得的效用[8]； e是消费者从使用软件当中获得的效用[9]； (pi+s)是购买平台的成本pi和购买软件的成本s之和。此外，为了保证消费者效用主要受平台影响，可进一步假设eqL。
当市场达到均衡状态时，市场当中的消费者应当分为3类，即购买了平台H和软件的消费者、购买了平台L和软件的消费者以及并未购买任何平台或软件的消费者。同时，存在2个关于θ的边际点θi和θL，并满足以下引理1。
引理1 在市场均衡时，存在边际点θi和θL，有
| $\left\{ \begin{array}{l} {\theta _H} = \frac{{{p_H} - {p_L}}}{{{q_H} - {q_L}}}\\ {\theta _L} = \frac{{{p_L} + s - e}}{{{q_L}}} \end{array} \right.$ | (2) |
上述边际点满足以下条件： 1)所有类型分布在[θi，1]的消费者均选择购买软件平台H； 2)所有类型分布在[θL，θi)的消费者均购买软件平台L； 3)所有类型分布在足［0，θL)的消费者不会购买任何一个软件平台。
根据上述引理1，平台H和L的利润分别可以表示为πH=(1－θi)pH和πL=(θi－θL)pL，其中pH和pL分别为H 和L的平台价格。而第三方软件提供商的利润可以表示为(1－θL)s(1－δ)，这是因为所有类型分布在［θL，1]上的消费者均购买了软件。同时，有δ×s的利润提成最终归属于平台。各个市场参与者的决策依据以下3个阶段：
Step 1 平台序贯博弈阶段： 平台H和L依次以 πH和πL的最大化为目标决策价格pH和pL；
Step 2 第三方软件提供商定价阶段： 观察到软件平台的定价策略之后，第三方软件提供商以利润最大化为目标决策软件价格s；
Step 3 消费者购买阶段： 消费者依据引理1选择至多购买1个平台及对应的第三方软件。
2 模型求解 2.1 消费者选择根据逆序求解的规则分析第3阶段的消费者选择行为。
性质1 消费者对于高端软件平台的选择行为仅与不同平台的价格和质量差异有关，与软件产品带来的效用无关； 消费者对于低端软件平台的选择行为不但与2个平台本身的价格和质量差异有关，也与软件产品所带来的效用有关 性质1可从引理1所划分的消费者区间分界点θi和θL证明。 可以看到，相比于传统的双寡头竞争市场，第三方软件提供商的存在帮助了低端软件平台有效地扩充了市场。在给定的价格和质量差异下，即使类型较高的消费者从第三方软件的使用当中获得的效用更高，但第三方软件产品的存在依然不能直接改变高端产品的市场份额。而是需要通过低端平台的定价来间接影响高端市场的份额。
2.2 第三方软件提供商决策为了利润最大化，第三方软件提供商需要在观察到平台H和L的价格后对软件的价格进行决策。
由于在2个软件平台上总计共有(1－θL)的消费者购买了软件产品，而每个消费者为软件支付s，同时第三方软件提供商向平台缴纳了比例为δ的销售提成。因此第三方软件提供商的利润最大化问题可表示为
| $\mathop {\max }\limits_s {(1 - {\delta _L})_s}(1 - \delta )$ | (3) |
代入式(2)，求解第三方软件提供商的利润最大化问题可得下述引理2。
引理2 给定低端软件平台的价格 pL，第三方软件提供商的最优定价策略为
| $s* = \frac{{e + {q_L} - {p_L}}}{2}$ | (4) |
由引理2可得下列性质2。
性质2 第三方软件提供商的最优定价策略仅与低端产品的价格和质量有关，与高端产品的价格与质量无关。
性质2揭示了软件平台的竞争带给第三方软件提供商的2点影响：
1)高端平台的价格和质量变动，不会影响到第三方软件提供商的定价机制，这主要是由于高端平台的消费者群体总是第三方软件的消费者群体的子集，因此高端市场的价格变动并不会直接减少或者增加购买软件产品的消费者的数量。
2)第三方软件提供商的最优定价与低端平台的价格和质量有关，因为低端产品的质量和价格决定了市场当中最终持有软件平台的消费者的人数。随着低端产品的价格下降或者质量上升，越来越多的消费者购买平台，在最优的定价机制下，第三方软件提供商会随着低端平台的使用人数来调整自身软件产品的价格。
2.3 平台序贯博弈根据上述引理1和引理2，可将最优的第三方软件定价策略代入第1阶段的利润函数来求解平台序贯博弈均衡[10]。首先由高端平台制定价格，随后低端平台选择其对应的策略。以下根据逆序进行求解。首先，低端平台的利润最大化问题为
| $\begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{{p_L}} \qquad {\pi _L} = ({\theta _H} - {\theta _L})({P_L} + \delta s*)\\ s,t. \qquad {\theta _H} \ge {\theta _L},{P_L} \ge 0 \end{array}$ | (5) |
引理3 低端平台的最优定价策略如下：
| $p_L^* = \left\{ \begin{array}{l} \emptyset , \qquad {p_H} < P_H^A\\ 0, \qquad {p_H} \in [P_H^A,P_H^B)\\ M, \qquad {p_H} \ge P_H^B \end{array} \right.$ | (6) |
其中：
| $P_H^A = \frac{{({q_H} - {q_L})({q_L} - e)}}{{2{q_L}}}\\P_H^B = \frac{{{q_H}[{q_L} - (1 - \delta )e] + {q_L}[e - (1 - \delta ){q_L}]}}{{(2 - \delta ){q_L}}}\\\begin{array}{l} \qquad \qquad \qquad M = \\ \frac{{{q_H}[(1 - \delta )e - {q_L}] + {q_L}[(1 - \delta )({P_H} + {q_L}) + e - {P_H}]}}{{(2 - \delta )({q_H} + {q_L})}} \end{array}$ |
上述引理3揭示了存在第三方软件提供商时低端软件平台的决策结构和各个参数对于决策的影响。可以看到，若高端平台价格很低，低端平台会被挤出了市场。对于低端平台而言，存在一个对应最优价格为0的区间，当高端平台的定价落在此区间内，低端平台可以通过免费发放平台的经营方式来从软件提成当中获得利润。
最后分析的是高端平台的定价问题。求解的基本方法是基于引理3的不同区间依次考察序贯博弈均衡的存在性。高端平台的利润最大化问题为
| $\mathop {\max }\limits_{{p_H}} \qquad {\pi _H} = (1 - {\theta _H})({p_H} + {s^*}\delta )$ | (7) |
代入式(2)、式(4)和式(6)，求解可得定理1。
定理1 序贯博弈均衡存在，并分别对应于以下3类情形(详细证明因篇幅所限略去)：
a) 当δ∈[0，δ1)时，pH*>pL*>0。且均衡时2个软件平台的利润分别为
| $\left\{ \begin{array}{l} \pi _H^* = \frac{{({q_H} - {q_L}){{(e + 2{q_H} + {q_L})}^2}}}{{8{q_H}[2{q_H} + (2 - \delta ){q_L}]}}\\ \pi _L^* = \frac{{(q_H^2 - q_L^2){{[(2 - \delta ){q_L}(e + {q_L}) - 2{q_H}(2e + \delta {q_L})]}^2}}}{{16(2 - \delta )q_H^2{q_L}{{[2({q_H} + {q_L}) - \delta {q_L}]}^2}}} \end{array} \right.$ | (8) |
其中： δ1为下列关于δ的3次方程在[0,1]区间上的唯一解：
| $\begin{array}{*{20}{l}} {{q_H}{q_L}(e + {q_L})2{\delta ^3} - }\\ \begin{array}{l} 2{q_H}(e + {q_L})[{q_H}(e - {q_L}) + {q_L}(e + 3{q_L})]{\delta ^2} - \\ 4{q_H}({q_H} - {q_L})[{q_H}(2e + {q_L}) + {q_L}(2e + 3{q_L})]\delta + \end{array}\\ {2({q_H} - {q_L})2[4e{q_H} + {{(e + {q_L})}^2}] = 0} \end{array}$ |
b) 当δ∈[δ1，δ2)时，pH*>pL*=0。且均衡时2个软件平台的利润分别为
| $\left\{ \begin{array}{l} \pi _H^* = \frac{{{{[e\delta + 2{q_H} - (2 - \delta ){q_L}]}^2}}}{{16({q_H} - {q_L})}};\\ \pi _L^* = \frac{{\delta (e - {q_L})[{q_L}[(2 + \delta ) + \delta {q_L}] - 2e{q_H}]}}{{8{q_L}({q_H} - {q_L})}} \end{array} \right.$ | (9) |
其中${\delta _2} = \frac{{2e({q_H} - {q_L})}}{{{q_L}(e + {q_L})}}$ 。
c) 当δ∈[δ2，1]时，低端平台选择不参与市场。此时高端平台利润为
| $\pi _H^* = \frac{{(e + {q_L})[(e(1 + \delta ) + {q_H}){q_L} - e{q_H} - (1 - \delta )q_L^2}}{{4q_L^2}}$ | (10) |
由于定理1所给出的博弈均衡数学形式较为复杂，可通过图形来更加直观地表示其管理意义。以下图 1表示了定理1当中的3种情形所对应的关于δ和质量差异(qH－qL)的不同区间。图 1的绘图参数为e=0.2和qL=1。图 1的横轴代表平台间的质量差异(qH－qL)，纵轴代表的是平台从软件提供商处获得的提成比例δ。区域R1、R2和R3依次分别对应于定理1中的a、b、c等3种情形。
|
| 图 1 定理1中博弈均衡的3个区间 |
图 1表现出了以下规律：
1) 随着平台间的质量差异增加，低端平台被迫退出市场的风险降低(即R3区域减小)；
2) 在此情况下，低端平台应当更加侧重于使用免费发放的策略(R2区域增大)；
3) 随着δ增加，R3对应的区域逐渐增大，这意味着当提成比例较高时，低端平台被迫退出市场的风险也在增加。出现这一现象是因为当提成比例较高时，高端平台也会更加侧重于从软件一侧获得利润，而降低自身的平台售价。因此，平台间的价格差异进一步被压缩，导致低端平台丧失自身的价格优势。
在图 2中，横轴代表软件产品对于消费者产生的作用，绘图参数为δ=0.3、qL=1和qH=2。随着第三方软件带给消费者的价值增加，2个平台的利润都会上升。而当软件的效用低于一定阈值时，低端平台不得不退出市场竞争。
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| 图 2 软件市场对于平台利润的影响 |
图 3表示的是低端平台质量带给博弈均衡的影响，绘图参数为e=0.7、δ=0.7和qH=2.5。图 3当中，随着低端平台的质量上升，作为竞争对手的高端平台的利润反而有可能上升，但低端平台的利润始终下降。这是因为低端平台的质量上升增加了平台间的相似度，并加剧了二者之间的价格竞争。
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| 图 3 低端平台质量对于平台博弈的影响 |
本文在考虑第三方软件市场的条件下针对传统的双寡头价格博弈进行了拓展。研究结果表明，第三方市场的存在使得软件平台间的竞争出现了一系列新特点。低端平台的质量改进有可能通过第三方软件提供商间接惠及高端平台； 当平台间质量差异较大时，低端的软件平台的最优策略是采用免费发放软件平台来最大化市场规模，同时从软件销售中获益。这些现象在传统的博弈均衡下并不存在。本文的结论对于传统的价格博弈是个补充。
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