引用本文
门延武, 张辉, 姜文雪, 周凯, 叶佩青. CMP多区压力定量解耦协同控制[J]. 清华大学学报（自然科学版）, 2015, 55(7): 750-755
MEN Yanwu, ZHANG Hui, JIANG Wenxue, ZHOU Kai, YE Peiqing. Quantitative decoupling cooperative control of CMP multi-zone pressure systems[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Technology), 2015, 55(7): 750-755.
CMP多区压力定量解耦协同控制
门延武, 张辉, 姜文雪, 周凯 , 叶佩青    
清华大学 制造工程研究所, 北京 100084
收稿日期: 2014-04-03
基金项目: 国家科技重大专项(2008ZX02104);国家自然科学基金项目(51305231);博士后科学基金资助项目(2012M52025).
作者简介: 门延武(1981-),男(汉),山东,博士后。
通讯作者: 周凯,教授,E-mail:zhoukai@mail.tsinghua.edu.cn
摘要：化学机械抛光(CMP)过程中由于柔性弹性隔膜的存在使得各区之间压力相互耦合, 导致多区压力控制变得复杂化。该文提出了一种基于工作点线性化方法的离线辨识+定量耦合度分析+定量解耦控制的方案。利用工作点线性化方法, 离线获得多区压力系统的3输入3输出模型; 通过相对增益矩阵方法定量分析出各区之间的耦合程度; 采用前馈补偿解耦控制器实现各区压力之间的定量解耦控制。仿真以及实验结果表明:该方案在工程实践中能够实现各区压力的定量解耦控制, 使得系统在相同控制算法下获得更快的响应速度以及更小的超调量。
关键词： 化学机械抛光(CMP)    多输入多输出(MIMO)    定量解耦    相对增益矩阵    
Quantitative decoupling cooperative control of CMP multi-zone pressure systems
MEN Yanwu, ZHANG Hui, JIANG Wenxue, ZHOU Kai , YE Peiqing    
Institute of Manufacturing Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Chemical mechanical polishing (CMP) has a flexible elastic diaphragm that couples the mechanical deformations of the parts and complicates the pressure control. The coupling problem is solved here using offline identification based on working point linearization + quantitative coupling analysis + quantitative decoupled cooperative control. The working point linearization gives a multi-zones model. The relative gain array (RGA) method gives the degree of coupling. The feed-forward compensation decoupling controller provides the quantitative decoupling. Simulations and experiments show that this method decouples the pressure system in the multiple zones in engineering practice, so the system has less overshoot and faster response with the same control method.
chemical mechanical polishing (CMP)    multiple-input multiple-output (MIMO)    quantitative decoupling    relative gain array (RGA)    

在实际化学机械抛光(chemical mechanical polishing,CMP)工艺中,其中一个腔室压力输入将影响到多个腔室的压力输出,而一个腔室的压力输出也将受到多个临腔室的压力输入影响。如果将一对输入输出的传递关系称为一个控制通道,则各通道之间存在相互作用,这种相互影响的因果关系称为耦合[1]。解耦控制就是设计合适的控制器解除各通道或被控变量之间的耦合,完全解耦可以使得控制器与被控变量之间成为一对一的独立控制系统[2]。

解耦控制技术主要包括以下几种方法：传统解耦方法、基于现代控制理论的解耦方法、自适应解耦方法和智能解耦方法。传统解耦方法主要适用于线性定常多输入多输出系统[3, 4]。文[5, 6]介绍多输入多输出(multiple-input multiple-output,MIMO)线性时不变系统状态反馈解耦的充分必要条件,该方法通过把系统的闭环极点配置为期望值以实现解耦目的。文[7, 8]介绍了一阶受控自回归滑动平均模型构造近似的前馈解耦补偿器,可进行动态解耦,计算量少,满足实时控制要求。基于鲁棒控制理论的内模控制(internal model control,IMC)解耦方法[9, 10]在被控对象前串联其伴随矩阵能够实现系统的完全解耦。文[11, 12]采用神经元在线实时动态解耦技术消除了多区压力之间的耦合。为精确建立多区压力控制系统的数学模型、定量研究多区压力系统之间的耦合度,文[13]进行了详细的求解。 本文在已有辨识工作基础上进一步研究多区压力系统定量解耦控制算法。

1 CMP多区压力系统耦合

抛光头是CMP装备最关键部件之一,主要由抛光头腔室、 弹性膜片、 保持环等构成。图1所示为抛光头结构示意图。

图 1 抛光头内部结构示意图
图选项

由于各区之间以及与晶圆接触部分为弹性膜片,当腔室充气的压力上升时,腔室容积将会相应地增大,同时腔室之间将会相互挤压,各区之间必然存在耦合现象。由文[11, 12]可知：腔室之间的压差较大时,耦合度增加； 多区压力控制系统为一时变、 非线性系统。

2 CMP多区压力系统离线辨识

对一个非线性系统进行解耦研究,首先需要进行线性化处理。本文采用工作点线性化方法,即让广义被控对象工作于实际抛光工艺中,当系统达到稳态平衡时，在该工作点附近进行线性化处理,视系统为线性时不变系统[14]。超低压CMP多区压力系统可以看作为一个多输入多输出系统,对该系统文[14]采用子子模型技术辨识3输入3输出系统的数学模型，获得的3区传递函数矩阵为

$\begin{array}{l} \;\;\;G\left( s \right) = \left[ \begin{array}{l} {G_{11}}\left( s \right)\;\;\;\;{G_{12}}\left( s \right)\;\;\;\;{G_{13}}\left( s \right)\\ {G_{21}}\left( s \right)\;\;\;\;{G_{22}}\left( s \right)\;\;\;\;{G_{23}}\left( s \right)\\ {G_{31}}\left( s \right)\;\;\;\;{G_{32}}\left( s \right)\;\;\;\;{G_{33}}\left( s \right) \end{array} \right] = \\ \left[ \begin{array}{l} \frac{{0.289}}{{\left( {1 + 0.12s} \right)\left( {1 + 0.247s} \right)\left( {1 + 0.142s} \right)}}\;\;\;\;\frac{{0.37}}{{1 + 2.325s}}\;\;\;\;\;\;\frac{{0.06}}{{1 + 0.895s}}\\ \;\frac{{0.055}}{{1 + 0.645s}}\;\;\;\;\frac{{2.179}}{{\left( {1 + 4.493s} \right)\left( {1 + 0.080s} \right)\left( {1 + 0.069s} \right)}}\;\;\;\;\frac{{ - 0.230}}{{1 + 5.880s}}\\ \;\frac{{0.122}}{{1 + 0.727s}}\;\;\;\;\frac{{ - 0.240}}{{1 + 5.419s}}\;\;\;\frac{{0.760}}{{\left( {1 + 4.681s} \right)\left( {1 + 0.044s} \right)\left( {1 + 0.179s} \right)}} \end{array} \right]. \end{array} $ (1)

3 多区压力定量耦合度分析

对于多输入多输出系统,常用相对增益矩阵描述通道间的耦合程度,利用相对增益矩阵可以判别系统的耦合程度、 输入输出关系选择得是否正确。相对增益矩阵方法由Bristol[15]于1966年提出,用于分析控制系统各控制回路之间的相互影响程度。虽然该方法在一定程度上存在局限性,但在分析回路关联程度最弱的被控变量和操纵变量的搭配关系上具有一定优势[16]。

相对增益的求解主要有3种方法：实验法、解析法以及间接法。间接法是通过相对增益与第一放大系数的关系,利用第一放大系数求得相对增益的方法[1]。本文采用间接法求解相对增益,根据已辨识得到的数学模型式(1)对系统进行定量耦合度分析。

对于n×n矩阵,相对增益矩阵可以通过式(2)直接求得[17, 18]，

$\Lambda = G\left( 0 \right) \otimes {G^{ - {\rm{T}}}}\left( 0 \right). $ (2)

其中：G(0)为系统的静态增益矩阵；运算符 ⊗ 表示Hadamard乘积,即矩阵元素的点对点相乘；G-T(0)为G(0)逆矩阵的转置。

由式(1)可得系统静态放大系数矩阵为

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\left[\begin{array}{l} {k_{11}}\;\;\;\;{k_{12}}\;\;\;\;{k_{13}}\\ {k_{21}}\;\;\;\;{k_{22}}\;\;\;\;{k_{23}}\\ {k_{31}}\;\;\;\;{k_{32}}\;\;\;\;{k_{33}} \end{array} \right] = \\ \left[\begin{array}{l} 0.289\;\;\;\;\;\;0.37\;\;\;\;\;\;\;\;0.06\\ 0.055\;\;\;\;\;2.179\;\;\;\;\; - 0.230\\ 0.122\;\;\; - 0.240\;\;\;\;\;\;0.760 \end{array} \right]. \end{array} $ (3)

系统第一放大系数矩阵为

$P = \left[\begin{array}{l} {P_{11}}\;\;\;\;{P_{12}}\;\;\;\;{P_{13}}\\ {P_{21}}\;\;\;\;{P_{22}}\;\;\;\;{P_{23}}\\ {P_{31}}\;\;\;\;{P_{32}}\;\;\;\;{P_{33}} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{l} {k_{11}}\;\;\;\;{k_{12}}\;\;\;\;{k_{13}}\\ {k_{21}}\;\;\;\;{k_{22}}\;\;\;\;{k_{23}}\\ {k_{31}}\;\;\;\;{k_{32}}\;\;\;\;{k_{33}} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{l} 0.289\;\;\;\;\;\;0.37\;\;\;\;\;\;\;\;0.06\\ 0.055\;\;\;\;\;2.179\;\;\;\;\; - 0.230\\ 0.122\;\;\; - 0.240\;\;\;\;\;\;0.760 \end{array} \right]. $ (4)

由式(2)可求得相对增益矩阵,

$\Lambda = \left[\begin{array}{l} {\lambda _{11}}\;\;\;\;{\lambda _{12}}\;\;\;\;{\lambda _{13}}\\ {\lambda _{21}}\;\;\;\;{\lambda _{22}}\;\;\;\;{\lambda _{23}}\\ {\lambda _{31}}\;\;\;\;{\lambda _{32}}\;\;\;\;{\lambda _{33}} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{l} 1.1014\;\;\;\;\;\; - 0.0615\;\;\;\;\; - 0.0399\\ - 0.0387\;\;\;\;\;1.1014\;\;\;\;\;\; - 0.0627\\ - 0.0627\;\;\;\; - 0.0399\;\;\;\;\;\;\;1.1026 \end{array} \right]. $ (5)

由式(5)各区之间的相对增益矩阵可知,输入对输出的控制能力接近于1,邻区通道的影响总和近10%,这说明各通道之间存在一定的耦合。

4 多区压力定量解耦控制

解耦控制就是设计合适的控制器解除控制回路或被控变量之间的耦合,完全解耦可以使得控制器与被控变量之间成为一对一的独立控制系统[2]。解耦控制方案主要有：前馈补偿解耦、反馈补偿解耦、对角矩阵解耦、单位矩阵解耦。本文采用前馈补偿解耦控制器实现系统的定量解耦。

双输入双输出系统的前馈补偿解耦控制器为[1, 2]：

${G_{{\rm{P12}}}}\left( s \right) = - \frac{{{G_{{\rm{12}}}}\left( S \right)}}{{{G_{{\rm{11}}}}\left( S \right)}}, $ (6)

${G_{{\rm{P21}}}}\left( s \right) = - \frac{{{G_{{\rm{21}}}}\left( S \right)}}{{{G_{{\rm{22}}}}\left( S \right)}}. $ (7)

在实际应用中,系统实现完全解耦时,解耦控制器的模型比较复杂。如只考虑静态解耦,已使得耦合系统稳定运行,并在一定程度减少被控变量的耦合影响,此时可以精简解耦控制器模型[2],精简后的模型有利于控制器实现。由式(6)和(7)求解式(1)中的前馈补偿解耦控制器,求解的简化结果如下：

$\begin{array}{l} {G_{{\rm{P12}}}}\left( s \right) = \frac{{4.64s + 1}}{{0.644\;6s + 1}},\\ \;{G_{{\rm{P21}}}}\left( s \right) = \frac{{0.51s + 1}}{{2.325s + 1}},\\ \;{G_{{\rm{P31}}}}\left( s \right) = \frac{{0.51s + 1}}{{0.895s + 1}},\\ \;{G_{{\rm{P13}}}}\left( s \right) = \frac{{4.9s + 1}}{{0.727s + 1}},\\ \;{G_{{\rm{P23}}}}\left( s \right) = \frac{{4.9s + 1}}{{5.419s + 1}},\\ {G_{{\rm{P32}}}}\left( s \right) = \frac{{4.64s + 1}}{{5.880\;4s + 1}}. \end{array} $ (8)

针对式(1)辨识的传递函数矩阵以及求解的前馈补偿解耦控制器式(8),采用Simulink仿真3输入3输出系统,控制器采用常规比例积分控制算法,其仿真图如图2所示,响应曲线如图3所示。

图 2 解耦后多区控制系统Simulink仿真图
图选项
图 3 解耦前后多区压力控制系统响应仿真曲线
图选项

图3中各区同时加压阶跃响应的调整时间Ts以及超调量Mp对比仿真实验数据如表1所示。其中,调整时间是响应曲线达到并一直保持在±2% 允许误差范围内的最小时间。1 psi=6 895 Pa。

由图3以及表1可知,添加前馈补偿解耦控制器后，系统的超调量以及响应时间都明显改善,实现了多区压力耦合系统的定量解耦控制。

表 1 仿真得到的解耦前后各区同时加压阶跃响应性能指标对比
一区、二区、三区同时施压 /psi 实验条件 Ts /s Mp /%
一区 二区 三区 一区 二区 三区
1 解耦前 3.58 3.38 4.31 15.42 3.60 14.23
解耦后 1.92 0.92 4.82 4.48 2.07 9.97
表选项
5 实 验

通过Simulink仿真实验可知,采用前馈补偿解耦控制器能够实现多区压力系统的定量解耦控制。将式(8)转化为时域系统表达式,求解其结果以补偿量形式叠加至图2中的控制支路。实验设备为本文作者自主研发的抛光装备,如图4所示。采样周期为50 ms。定量解耦前后的实验结果对比如图5所示,阶跃响应性能指标对比如表2所示。

图 4 实验使用的CMP装备
图选项
图 5 解耦前后多区压力控制系统响应实验结果曲线
图选项
表 2 实验得到的解耦前后各区同时加压阶跃响应性能指标对比
一区、二区、三区同时施压 /psi 实验条件 Ts/s Mp/%
一区 二区 三区 一区 二区 三区
1 解耦前 3.66 5.26 4.02 16.95 3.87 10.89
解耦后 1.35 3.51 6.11 7.82 2.08 6.33
表选项

由图5以及表2的实验结果表明：实验结果与Simulink仿真结果一致,添加前馈补偿解耦控制器后，系统能够获得较少超调量以及较快响应时间,从而实现了多区压力耦合系统的定量解耦控制。

6 结束语

针对CMP多区加压时存在耦合、 非线性等特点,本文首先采用工作点线性化方法对非线性系统进行线性化处理,通过辨识获得3输入3输出系统的传递函数矩阵。针对求解的传递函数矩阵采用相对增益矩阵方法进行定量耦合度分析,分析结果表明各区之间存在一定的耦合。采用前馈补偿解耦控制器实现多区压力系统的定量解耦控制。Simulink仿真与实验结果表明：本文提出的基于工作点线性化方法的离线辨识+定量耦合度分析+定量解耦控制的方案在工程实践中能够减少各区之间的耦合,使得各区压力在相同控制算法下获得更快的响应时间以及较少的超调量,为后续的先进控制算法研究提供参考。此外,本文所提供的辨识、 定量耦合度分析以及定量解耦控制方法,具有一定的工程应用价值和参考意义。

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