静电卡盘是等离子体刻蚀腔室中的核心部件之一，它利用静电电极产生的静电力来吸附晶圆。由于晶圆周围的腔室环境是近乎于真空的[1]，因此晶圆很难向周围环境散热，静电卡盘还起到调节晶圆温度的作用，以免在刻蚀工艺中晶圆因等离子体轰击而温度过高[2]。在集成电路装备制造过程中，控制晶圆温度的稳定和均匀是一项重要的技术[3]，因为晶圆温度的径向均匀性直接影响刻蚀速率的均匀性，进而影响芯片的质量[4]。为了更有效地控制晶圆的温度，静电卡盘和晶圆之间的狭缝通常会充入一种导热性较好的气体，比如氦气。
Springer[5]对以往静态稀薄气体传热的解析分析以及实验研究进行了综合调研。Song等[6]实验测量了低气压10~760 Torr(本文中统一采用集成电路制造工艺中常用的Torr作为气压单位，1 Torr≈133.33 Pa)范围内的稀薄气体传热，然而10 Torr以下的气压并未在其研究范围之内。Klick等[7]利用碰撞概率函数推导了一个用于描述不同气压下气体的微观表达式，并用有效适应系数来描述两表面间气体的传热特性。Samir[8]仿真了静电卡盘与晶圆之间的热传递，但是并没有具体提及稀薄气体传热系数的计算方法。刘静[9]研究了静电卡盘内部的热流情况，但是没有包含其与晶圆之间的热传递。Moon等[10]指出随着卡盘粗糙度的增加，氦气的冷却会更加有效，因为氦气与静电卡盘之间的接触面积变得更大，会传递更多的热量，同时也研究了晶圆与静电卡盘之间的狭缝对于热导率的影响。
为了能够更准确地计算卡盘和晶圆之间的传热情况，本文建立了一个充有稀薄气体的平行平板狭缝间气体1维传热模型，该模型能够适用于全部的传热范畴，并且计算简便、准确性高。将该模型的解析结果与公认的直接模拟Monte Carlo(direct simulation Monte Carlo，DSMC)方法所得数据进行了对比验证，并获得了很好的匹配度。
1 传热模型 1.1 传热分析本文提到的静电卡盘表面具有很多用来支撑晶圆的细小凸台，凸台的作用就是便于背吹气体进入后能够快速地通过凸台支撑起的空间到达晶圆背面的各处。由于静电卡盘与晶圆之间的狭缝比起水平方向的尺寸来说非常小，而且凸台所占卡盘面积比例也非常小，因此忽略了凸台的影响之后，静电卡盘与晶圆之间的传热可以看作是充有稀薄气体的平行平板间的传热问题。气体的热传递方式通常包含热传导、热对流和热辐射。但是值得注意的是，如若晶圆作为上平板，是温度较高的一个，则自然对流不会发生在平板之间，而且由于静电力的吸附作用，氦气的边缘泄漏率很低，因此在刻蚀过程中氦气几乎处于静止状态。另外，在该应用中，温度大约在100 ℃的量级，因此相较于热传导来说，热辐射所导致的热量散失($ \ll $1 W)可以忽略不计。综上可知，晶圆和静电卡盘之间的热传递就是气体的热传导。
1.2 传热范畴Knudsen数是用来表征气体稀薄程度的，可以用公式表述成Kn=λ/d。其中： λ是气体的平均自由程，d是特征尺度(文中指两平行平板之间的距离)。根据Kn的大小，狭缝中的气体传热可以分为连续范畴(Kn＜0.01)、 温度跳跃范畴(0.01＜ Kn＜0.1)、 过渡范畴(0.1＜Kn＜10))以及自由分子范畴(Kn＞10)。通过计算可以发现，在半导体制造工艺中，静电卡盘与晶圆之间的气体传热通常或处于自由分子范畴或处于过渡范畴。
1.3 模型建立本文建立了一个能够覆盖全部气体范畴的传热模型，目的是在计算此类传热问题时不必判断和区分在某个给定气压下气体处于哪一个范畴之内。本文主要研究影响狭缝间稀薄气体传热系数的因素，因此模型的推导演算过程在此不详述。连续范畴传热遵循Navier-Stokes方程以及Fourier导热定律，而过渡范畴的传热机理较为复杂，其传热系数至今并没有较为简单易行的表达式，因此本文模型的建立主要通过自由分子范畴和过渡范畴的传热系数表达式来推导。
根据kc=εμCv和ε=(9γ-5)/4(μ是气体的粘度，γ是比热比)，自由分子范畴的公式[11]中摩尔定容比热Cv可以用连续范畴热导率kc来替换，因此自由分子范畴的传热系数可以进一步写成
| $h = \frac{{{k_c}}}{{\left( {\frac{1}{{{\alpha _1}}} + \frac{1}{{{\alpha _2}}} - 1} \right)\frac{{9\gamma - 5}}{{\gamma + 1}}\lambda }}.$ | (1) |
自由分子范畴内的狭缝气体传热模型包含了气体分子与壁面之间的相互作用，但是这种相互作用的机理并没有完全揭示。通常的做法是引入一个叫做热适应系数的经验参数，用来参与气体和壁面的传热计算。热适应系数α是表征气体分子与壁面之间的能量交换程度的物理参数，即气体分子将有α的概率会与壁面发生充分热交换然后以从壁面反射回去，另外有1－α的概率没有与壁面发生热交换而反射回去。因此，α是一个从0到1范围内的数字。热适应系数被定义成
| $\alpha = \frac{{{E_{{\rm{in}}}} - {E_{{\rm{re}}}}}}{{{E_{{\rm{in}}}} - {E_{\rm{w}}}}}.$ | (2) |
对于温度跳跃范畴，本文通过合并连续范畴和自由分子范畴的原理建立了一个“三明治模型”。该模型包含两个无分子间碰撞的边界层(其尺寸和分子平均自由程相当)和一个有分子间碰撞的中间层。中间层适用于连续范畴的方法，边界层遵循自由分子范畴的法则。温度跳跃范畴的传热系数通过合并3层传热系数可表示为
| $h = \frac{{{k_c}}}{{\left( {\frac{1}{{{\alpha _1}}} + \frac{1}{{{\alpha _2}}} - 1} \right)\frac{{9\gamma - 5}}{{\gamma + 1}}\lambda + g - 2\lambda }}.$ | (3) |
| $h \approx \frac{{{k_c}}}{{\left( {\frac{1}{{{\alpha _1}}} + \frac{1}{{{\alpha _2}}} - 1} \right)\frac{{9\gamma - 5}}{{\gamma + 1}}\lambda + g}}.$ | (4) |
分子平均自由程可以写成[12]
| $\lambda = \frac{\mu }{p}\sqrt {\frac{{{\rm{\pi }}RT}}{2}} .$ | (5) |
为了在半导体制造行业中便捷的使用，式(4)中λ可用式(5)中两个主要的工艺参数——气体压强p和气体温度T来代替，因为二者是可调和可测的直观参数，其中气体温度T可用两个壁面的温度的平均值来近似得到。因此，传热系数写成
| $h \approx \frac{{{k_c}}}{{\left( {\frac{1}{{{\alpha _1}}} + \frac{1}{{{\alpha _2}}} - 1} \right)\frac{{9\gamma - 5}}{{\gamma + 1}}\frac{\mu }{p}\sqrt {\frac{{{\rm{\pi }}RT}}{2}} + g}}.$ | (6) |
DSMC方法是利用概率统计理论来求解Boltzmann方程的方法，具有良好的准确性，其在稀薄气体计算上是一个可靠而且已经得到广泛应用的方法，其缺点就是计算时间较长，且只能得到数值解。本文中提出的传热解析模型却能够很好地弥补这些不足，兼具准确性和便捷性。本文用Bird提供的1维DSMC程序[13]计算出的相关数据来验证本文传热模型结果的准确性。其中，需要设置的参数包含但不限于： 热适应系数、狭缝距离、平板和气体温度、单位体积分子数量等。通过对比发现，在整个气压范围内，本文传热模型的结果能够和DSMC结果很好地吻合。因此，该模型是一个能够用来计算所有气压范围内的传热系数便捷且实用的工具，而不会像DSMC方法那样耗费很多的时间和对计算能力有很大的需求。
图1是分别用连续范畴、自由分子范畴以及本文全范畴模型传热系数表达式计算的传热系数随压强增加的变化曲线图。可以看出，用自由分子范畴的传热系数表达式所计算出的传热系数与气体压强呈线性关系，因为随着压强的增加，分子的碰撞速率也以同样的方式增加。用连续范畴的表达式得到传热系数则基本是一个常数，并不随气压的变化而改变。这二者所得到的结果其实都只适用于各自的范畴，在其他范畴并不适用，如在温度跳跃和过渡范畴，气体的平均自由程与狭缝尺寸大小量级大约相当，传热系数既不与气压无关也不与气压呈线性的关系。用本文的传热系数表达式所计算出的传热系数在图1中是一条与上述二者相切的曲线，在自由分子范畴内遵循传热系数与气压呈线性关系的规律，在连续范畴内也遵循传热系数与气压无关的规律。因此，初步猜测该模型能够适用于包括自由分子范畴以及连续范畴在内的各个传热范畴，过渡范畴以及温度跳跃范畴有待DSMC数据的验证。
|
| 图 1 不同模型表达式下传热系数随气压的变化曲线 |
在α=1，g=10 μm，两组壁面对比温差为 100 K 的条件下，传热系数随气压的变化情况如图2所示，T1，T2分别为两个壁面的温度。可以看出，在整个气压范围内，传热模型的结果都与DSMC数据有较好的吻合度，因此也证明该传热模型能够应用在包含自由分子、过渡、温度跳跃和连续范畴在内的整个气压范围。虽然从图2中可以看到模型结果与DSMC的数据吻合度很高，但是从具体的数据上来看，二者仍然有一定的偏差，最大偏差在10%以内，绝大部分气压范围内偏差都在5%以内。因为图2中所示的气压范围跨度非常大，所以偏差表现得不是很明显。
|
| 图 2 气体压强对于传热系数的影响(α=1，g=10 μm) |
另外，从图2中还可以看到，无论是低压区还是高压区，在相差100 K的两组温度下传热系数并没有很大差别，说明刻蚀工艺中刻蚀温度对于静电卡盘与晶圆之间的传热并没有十分明显的影响。在100 Torr以内的低压范围内，热传系数与气体压强线性增加关系明显，当气压在大于1 000 Torr以上的高压范围内(连续范畴)，传热系数不再随着气压的增加而增加，而是趋近于饱和状态。
在实际的刻蚀工艺中，晶圆和静电卡盘之间的氦气压强一般在10 Torr左右，因此有必要对气压为10 Torr时的传热情况作进一步的分析。图3反映的则是气压固定在10 Torr时，在α=0.5，g=10 μm 的条件下气体温度对于传热系数的影响。图3中对于10 Torr的低压区来说，随着温度的增加，传热系数呈现出逐渐降低的趋势，降低的趋势较为缓慢。图3所示的模型结果与DSMC数据有一定的偏差，最大偏差在10%以内。当气体温度在473 K时，模型和DSMC的结果几乎一致，而这个温度左右的范围也正是刻蚀工艺中常见的温度区域。
|
| 图 3 气体温度对于传热系数的影响(p=10 Torr，α=0.5，g=10 μm) |
图4是α=1，T1=273 K，T2=373 K情况下，狭缝尺寸g=10 μm与 g=2 μm 的传热系数对比图。在10 Torr以内的低压范围内，二者的传热系数总体相近，狭缝尺寸没有表现出对传热系数有明显影响，是因为分子平均自由程远大于狭缝距离。从式(4)中可知，即使狭缝距离变大对热传导效果的影响也是微乎其微的。但当气压大于10 Torr时，狭缝的尺寸开始显现作用，这是因为此时分子平均自由程减小到和狭缝距离相近的程度，同样从式(4)中可知，狭缝距离的作用会突显出来。随着气压的增加，狭缝距离小的传热系数越来越大于狭缝距离大的传热系数，以连续范畴内传热为例来解释就很容易理解，因为狭缝距离小时会有更小的热阻，所以有更大的传热系数。
|
| 图 4 不同气压下狭缝距离对传热系数的影响(α=1，T1=273 K，T2=373 K) |
在实际的刻蚀工艺应用中，如p=10 Torr，α=0.5，T1=273 K，T2=373 K的条件下，图5描述了狭缝距离对于传热系数的影响。可以看出，传热系数随着狭缝距离的增加而缓慢减小。由于狭缝尺寸反映的是凸台高度，静电卡盘的凸台高度通常小于10 μm，因此可以得出结论： 静电卡盘表面凸台的高度较低时，传热效果最好，同时凸台高度低，会减小晶圆与静电电极表面静电电荷的距离，增加电场强度，获得更大的静电力效果。但从图5中可见，狭缝距离在1 μm到10 μm的范围内，传热系数从800 W/(m2·K)降到 770 W/(m2·K)，凸台高度的减小对于传热结果的提升比较有限，也可以说静电卡盘表面的形貌对传热影响不大。
|
| 图 5 狭缝距离对传热系数的影响(p=10 Torr，α=0.5，T1=273 K，T2=373 K) |
从式(4)中可知，另外一个对传热系数影响较大的就是热适应系数。图6是当T1=273 K，T2=373 K，g=2 μm时，α=1与α=0.5的对比图。可以看出，热适应系数α对于传热系数的影响是全范畴的，α=1时的传热系数大于α=0.5时的传热系数，因为这个系数反映的是气体和壁面的换热程度，直至10 000 Torr时趋于一致，因为此时二者的传热系数均已经趋于饱和状态，到达了几乎无法再提升的范围，如此大的气压弥补了热适应系数较小时气体与壁面热交换程度的不足。
|
| 图 6 热适应系数对于传热系数的影响(T1=273 K，T2=373 K，g=2 μm) |
热适应系数反映的是气体和壁面之间的换热程度，其大小受到气体种类、壁面材料、微观形貌、温度等壁面属性以及其他很多因素的共同影响，是一个十分复杂的经验参数。从图7可以看出，p=10 Torr，T1=273 K，T2=373 K，g=10 μm时，热适应系数对传热系数的影响非常大，在热适应系数从0.1到1的范围内，传热系数陡增10倍左右。通常情况下，气体种类、静电卡盘及晶圆的材料和表面属性已定，因此虽然热适应系数对于传热系数影响很大，但在具体的刻蚀工艺中并不是一个可以灵活调节和控制的参数。
|
| 图 7 热适应系数对于传热系数的影响(p=10 Torr，T1=273 K，T2=373 K，g=10 μm) |
本文建立了适用于整个传热范畴的稀薄气体的传热解析模型，并用DSMC方法验证了其准确性。在实际的刻蚀工艺中，应用此模型时可以不必判断在给定的氦气背压下传热处于某个范畴。利用该解析模型，本文对气体压强、狭缝距离、气体温度和热适应系数等影响传热系数的因素进行了研究，研究发现： 在等离子体刻蚀工艺中，增加气体压强是一个有效提升传热系数的方法； 而其他因素，如静电卡盘的表面形貌(如凸台高度)和刻蚀温度并不会对晶圆和静电卡盘的传热效果产生很大的影响。因此，在实际的刻蚀工艺中，可以通过调节气体压强来改变静电卡盘与晶圆之间的传热效果。此外，该传热模型搭建了静电卡盘与晶圆之间传热计算的桥梁，为建立一个包含静电卡盘、晶圆以及等离子热源在内的完整的晶圆传热模型完成了关键的一部分。
| [1] | Brezmes A O, Breitkopf C. Simulation of inductively coupled plasma with applied bias voltage using COMSOL [J]. Vacuum, 2014, 109: 52-60. |
| [2] | Woo J C, Kim S H, Kim C I. Etch characteristics of TiN/Al2O3 thin film by using a Cl2/Ar adaptive coupled plasma [J]. Vacuum, 2011, 86(4): 403-408. |
| [3] | Kanno S, Edamura M, Yoshioka K, et al. High-temperature electrostatic chuck for nonvolatile materials dry etch [J]. J Vac Sci Technol B, 2005, 23(1): 113-118. |
| [4] | Nojiri K. Dry Etching Technology for Semiconductors [M]. Cham, Switzerland: Springer International Publishing, 2015. |
| [5] | Springer G. Heat transfer in rarefied gases [J]. Advances in Heat Transfer, 1971, 7: 163-218. |
| [6] | Song S, Yovanovich M, Nho K. Thermal gap conductance: Effects of gas pressure and mechanical load [J]. J Thermophysics and Heat Transfer, 1992, 6(1): 62-68. |
| [7] | Klick M, Bernt M. Microscopic approach to an equation for the heat flow between wafer and E-chuck [J]. J Vac Sci Technol B, 2006, 24(6): 2509-2517. |
| [8] | Samir T. Improving Wafer Temperature Uniformity for Etch Application [D]. Lubbock: Texas Technology University, 2003. |
| [9] | 刘静. 刻蚀工艺静电卡盘温度仿真及真空测温技术研究[D]. 北京: 北京工业大学, 2012. LIU Jing. Temperature Simulation on ESC in Etching Process and Study on Measurement Method with Vacuum System [D]. Beijing: Beijing University of Technology, 2012.(in Chinese) |
| [10] | Moon M D, Gambino J P, Adderly S A, et al. The effect of backside roughness on Al interconnect dimensions for RF CMOS SOI devices [C]//Proc Advanced Semiconductor Manufacturing Conference (ASMC) 25th Annual SEMI. New York, 2014: 384-388. |
| [11] | Kennard E. Kinetic Theory of Gases [M]. New York: McGraw-Hill, 1938. |
| [12] | Dushman S, Lafferty J M, Brown S C. Scientific foundations of vacuum technique [J]. American Journal of Physics, 1962, 30(8): 612. |
| [13] | Bird G A. DS1V Program [R/OL]. [2014-12-30]. http://www.gab.com.au/. |