合成孔径雷达(synthetic aperture radar,SAR)是一种高分辨率的微波成像遥感设备，相对于光学成像遥感设备，具有全天时、全天候、远距离高分辨成像的能力，在侦察监视、地形测绘和灾害评估等领域应用广泛。近年来，由于海上安全、水上交通管制和渔业监测等需要，SAR舰船检测受到越来越多的关注。

对于单极化SAR舰船检测，目前主要采用恒虚警率(constant false alarm rate,CFAR)检测器。不同的CFAR检测器采用不同的参数化杂波模型如Gamma分布、 Weibull分布、 K分布、 G⁰分布和主混合Gauss分布^{[1, 2, 3, 4, 5]}等，也可采用Parzen窗法等非参数化的方法对海杂波进行建模^[6]。CFAR检测器的主要缺点有2个：1) CFAR检测效果与采用的杂波模型密切相关，如果样本与杂波模型存在差异，则检测性能就会下降，然而目前尚无标准的杂波模型可供选择； 2) CFAR检测器需要采用滑动窗计算统计量，但当有多个目标且目标间距小、目标尺寸差异大时，滑动窗的结构和大小难以与目标尺寸相适应，则目标样本极易混入杂波样本，使得计算的统计量数值偏大，造成目标检测不完整和弱目标的丢失。

针对上述问题，本文借鉴鲁棒主成分分析(robust principle component analysis,RPCA)^[7]的概念，将其应用于舰船检测。本文方法不依赖任何杂波模型和检测量，而是利用SAR图像的内在属性即海面的低秩属性和舰船目标的稀疏属性，借助本文推导的噪声中低秩稀疏矩阵恢复的增量Lagrange乘子(augmented Lagrange multiplier，ALM)算法，将SAR图像分解为低秩图像、噪声图像(两者之和对应海面)和稀疏图像(对应舰船)的和，从而一次性实现目标检测和杂波抑制。通过仿真实验和实测数据处理，验证了本文方法的有效性。

文[7]指出，在相当宽松的条件下，RPCA能以很高的概率从观测数据矩阵M中准确恢复低秩矩阵L和稀疏矩阵S。在实际应用中，M还常常受到噪声的影响，使得L和S分别是近似低秩和近似稀疏的。于是，文[8]提出了噪声下的RPCA问题，即求解以下凸优化问题：

其中： M,L,S,N∈R^m×n,N为服从独立同分布的噪声，‖L‖_*表示L的核范数，‖S‖₁表示S的1范数，‖N‖_F表示N的Frobenius范数。一般设

用于舰船检测的单极化SAR图像的典型特征是海面回波较弱，舰船回波较强，且舰船稀疏分布于海面。从整体上看，海面具有较好的一致性即低秩属性突出，而舰船目标具有明显的稀疏属性。然而实际上海面回波呈随机变化，表现为海杂波，使得海面仅具有近似低秩属性，而舰船目标具有近似的稀疏属性。SAR图像的这种内在属性使得可以采用RPCA进行舰船目标检测。

文[8]指出可以采用加速近似梯度(accelerated proximal gradient，APG)法求解式(1)，但未给出具体的计算过程。本文提出使用ALM算法求解式(1)。需注意的是，这与文[9]中采用ALM算法求解不考虑噪声的RPCA问题是不同的。

首先，将式(1)表示的含有不等式约束的优化问题转化为无约束优化问题：

其中μ是与噪声标准差σ相关的量^[10]，一般设

而后将式(3)转化为增量Lagrange函数形式^[11]：

$\mathop {\min }\limits_{X,Z} f\left( X \right) + g\left( Z \right) + \left\langle {Y,X - Z} \right\rangle + \frac{\rho }{2}\left\| {X - Z} \right\|_F^2$

其中：f(X)=μ(‖L_X‖_*+λ‖S_X‖₁)，X=L_X,S_X; g(Z)= $\frac{1}{2}$ ‖M－L_Z－S_Z‖_F²，Z=L_Z,S_Z，Y=Y_L,Y_S为Lagrange乘子，ρ为松弛参数。

下面交替求解X和Z的最优解。在第(k+1)次迭代中，首先固定Z和Y，求解X的最优解，即

${X_{k + 1}} = \mathop {\min }\limits_X f\left( X \right) + \left\langle {{Y_k},X} \right\rangle + \frac{\rho }{2}\left\| {X - {Z_k}} \right\|_F^2$

其等价形式为

式(5)的求解可采用软阈值算法^[12]，即

其中D_μ/ρ(L_Zk－Y_Lk/ρ)=US_μ/ρ(Σ)V^T，U、 Σ和V和分别为(L_Zk－Y_Lk/ρ)的左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。S_τ(t)=sgn(t)max(t－τ,0)，τ为门限。

而后固定X_k+1和Y_k，计算Z_k+1，即

${Z_{k + 1}} = \mathop {\min }\limits_Z g\left( Z \right) - \left\langle {{Y_k},Z} \right\rangle + \frac{\rho }{2}\left\| {{X_{k + 1}} - Z} \right\|_F^2$

易得

最后，更新Y:

迭代终止条件为

其中ε为很小的值，本文取10^－7。

总结式(1)求解的ALM算法步骤为：

1) 输入数据矩阵M，参数λ、 μ和ρ，并初始化L_X0、 L_Z0、 Y_L0和Y_S0为0；

2) 若不满足式(9)则继续，否则转步骤6；

3) 按照式(6)计算L_Xk+1和S_Xk+1；

4) 按照式(7)计算和L_Zk+1和S_Zk+1；

5) 按照式(8)计算Y_k+1；

6) 输出结果：L=L_Xk， S=S_Xk。

为验证本文提出的ALM算法用于噪声中低秩、稀疏矩阵恢复的有效性，采用仿真数据进行验证。

仿真数据的产生采用文[8]给出的方法：设噪声服从独立同分布N(0,σ²)； 秩为r的矩阵L=UV^T，U∈R^m×r、 V∈R^n×r，且U和V的元素均服从独立同分布N(0,σ_L²)，本文设 $\sigma _L^2 = 10\sigma /\sqrt {\max \left( {m,n} \right)} $ 。S的元素服从二项分布，以概率P_S取0，以概率(1-P_S)取非零值，且数值在[－a,a]上均匀分布，a取5。P_S为S的稀疏程度，即S中非零元数占元素总数的比例。

L和S的恢复误差度量分别为

$\begin{array}{l} {\rm{erro}}{{\rm{r}}_L} = {\left\| {\hat L - L} \right\|_F}/{\left\| L \right\|_F},\\ {\rm{erro}}{{\rm{r}}_S} = {\left\| {\hat S - S} \right\|_F}/{\left\| S \right\|_F} \end{array}$

其中 ${\hat L}$ 和 ${\hat S}$ 分别为恢复的低秩矩阵和稀疏矩阵。

本文仿真中令m=n。设m=200， r=100，P_S=0.2，结果见图1，可见ALM算法的恢复误差随噪声增强而逐渐增大。设m=200，r=10，σ=0.1，结果见图2，可见ALM算法的恢复误差随P_S增大而逐渐增大。设m=200，P_S=0.2，σ=0.1，结果见图3，可见ALM算法的恢复误差随的秩增大而逐渐增大。设r=10，P_S=0.2，σ=0.1，结果见图4，可见ALM算法的恢复精度随矩阵尺寸增大而逐渐减小。由图1—4可见，S的恢复误差大于L的，并且当噪声强度较大且稀疏程度或秩较大时，恢复误差较大，难以得到理想的恢复结果。

图 1 恢复误差随σ的变化

图选项

图 2 恢复误差随PS的变化

图选项

图 3 恢复误差随r的变化

图选项

图 4 恢复误差随m的变化

图选项

基于RPCA的舰船检测流程为：

1) 输入SAR幅度/强度图像；

2) 按照式(2)设置参数λ； 选取部分海面区域估计噪声标准差σ，并按照式(4)设置参数μ； 设置收敛条件中的ε=10^-7； 松弛参数ρ可调节，本文试验中取1.5可得到较理想的效果；

3) 采用ALM算法对图像进行RPCA处理；

4) RPCA得到的稀疏图像为舰船检测结果。

采用X波段TerraSAR于2010年5月6日获取的英吉利湾的HH极化数据来验证算法的有效性。图5为幅度图像，图像尺寸为400(距离向)×600(方位向)像素，距离向像素间隔和方位向像素间隔均约为5 m。图5中左侧存在一条由岸边强散射物引起的干扰亮带。

图 5 HH极化幅度图像

图选项

采用ALM算法对图5对应的强度图像进行处理，噪声标准差估计值σ=0.11，λ=0.048，μ=3.81。得到的低秩图像、稀疏图像(对应舰船)和噪声图像分别如图6、 7和8所示。

图 6 低秩图像

图选项

图 7 稀疏图像(舰船)

图选项

图 8 噪声图像

图选项

由图6可见，SAR图像中海面整体具有一定的低秩属性，并且干扰亮带被视为低秩成分。图7为从强度图像中直接分离出来的稀疏成分，其中98%的像素点为0，舰船目标形状完整。虽然仍有数量很少的虚警点和干扰亮带残留的少许能量，但虚警目标能量很弱，通过常规后续处理很容易消除。由图8可见，海杂波被视为噪声成功地分离出来，虽然残留部分舰船目标能量，但能量较弱，不影响舰船目标的检测。

为进一步验证ALM算法的有效性，采用经典的平均单元CFAR(cell averaging CFAR,CA-CFAR)检测器^[13]和均方误差恒虚警(mean square error CFAR，MSE-CFAR)检测器^[6]对图5对应的强度图像进行处理。这2种检测器采用的检测窗大小均为11×11像素，目标区大小为1×1像素，过渡带大小为9×9像素，虚警率设为0.002。MSE-CFAR检测器采用5成分对数正态分布拟合MSE统计量的分布。CA-CFAR检测器和MSE-CFAR检测器的检测结果分别如图9和10所示。

图 9 CA-CFAR检测结果

图选项

图 10 MSE-CFAR检测结果

图选项

由图9—10可见，CA-CFAR检测器检测效果不太理想，存在大量的虚警点，并且舰船外形不完整。MSE-CFAR检测器检测效果远好于CA-CFAR检测器的检测效果，但会将大部分的干扰亮带检测为目标，同时也存在其他虚警点。相比ALM算法结果，CA-CFAR检测的部分舰船目标的外形不够完整。

通过上述方法的比较，可以看到，ALM算法很好地利用了用于舰船检测的SAR图像内在的低秩属性与稀疏属性，避免了杂波模型的选择与滑动窗的使用。正是在舰船检测应用场景下，对符合SAR图像本质先验信息的利用，使得ALM算法取得了更为优异的检测效果。

本文提出的基于RPCA的舰船检测方法性能稳定，计算处理简单，不依赖任何杂波模型与统计量，可应用于单极化SAR幅度图像、强度图像，以及经过任何不改变图像低秩稀疏结构的处理后的图像。实测数据处理实验中与CA-CFAR检测器和MSE-CFAR检测器的检测性能对比，表明本文方法具有更优的检测性能。本文提出的ALM算法性能可靠，完全可以应用于噪声中低秩、稀疏图像的恢复。下一步，该算法将被扩展到极化SAR图像中的舰船目标检测应用。