2. 清华大学 信息技术研究院, 北京 100084;
3. 清华大学 宇航技术研究中心, 北京 100084
2. Research Institute of Information Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
3. Tsinghua Space Center, Tsinghua University, Beijing 100084, China
为克服干扰的影响，空间通信系统中常采用跳扩技术。用于战机之间通信的联合战术分发系统(joint tactical information distribution system,JTIDS)是传统直接跳扩频的典型应用[1]； 美国军事星(MILSTAR)系统也采用扩频与跳频结合的技术[2]。
作为影响跳频系统通信性能的重要外部因素，部分频带干扰及其对抗技术被大量研究。文[3, 4, 5, 6, 7]研究了部分频带干扰的检测和信号接收技术，文[8]对部分频带干扰下的跳频系统在不同调制和编码组合下的信道容量进行分析。但文[3, 4, 5, 6, 7, 8]并没有考虑跳扩频的情况。对于跳扩频混合通信系统，现有方法主要依靠信道编码提升抗干扰能力，文[9, 10, 11]通过仿真从误码率的角度研究了DS/FH在部分频带干扰下的性能，但并未对其容量进行分析； 文[12]中的DS/FFH将一个扩频后的序列分段在不同跳传输，可以仅依靠跳扩频来提高抗部分频带干扰能力，但此方案需要提高跳速，对频率合成器的要求相应提高。
本文以跳扩频系统为基础，提出在扩频后进行多跳间交织的方案，在不增加对硬件要求的情况下提升抗部分频带干扰能力； 通过分析得出其部分频带干扰下的理论性能容量，并对应提出最优接收方案，最后通过仿真对容量和影响因素进行比较分析。
1 系统描述对于传统的直扩跳频技术，首先进行直接序列扩频，扩频后序列按照每跳传输的码片数分段，每段作为一个跳频脉冲发送出去，发送的载波频率由随机跳频序列控制，其时刻t的发送符号s(t)表示为
| $s\left( t \right) = \sqrt {2P} \bmod \left( {c\left( {{b_n},t} \right)} \right). $ | (1) |
其中： P为信号功率，mod()表示调制函数，bn为发送的比特序列，c(bn,t)为由发送信号确定的扩频序列。
| $c\left( {{b_n},t} \right) = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{b_n}{c_m}{g_c}\left( {t - m{T_c}} \right).} $ |
其中： cm表示扩频序列，gc(t)表示信号成型波形。将式(1)的信号按照跳频序列调制到不同频点上，即可得到跳扩频后的信号：
| ${x_{{\rm{DS/FH}}}}\left( t \right) = s\left( t \right)\cos \left( {2\pi f\left( t \right) + \theta \left( t \right)} \right). $ | (2) |
其中： f(t)为时刻t信号的跳频频点，θ(t)表示其在时刻t的相位。
一般跳扩技术均可用式(2)表示，若考虑跳时技术，其发送信号表示为
| $x\left( t \right) = s\left( {t - {t_h}} \right)\cos \left( {2\pi f\left( {t - {t_h}} \right) + \theta \left( {t - {t_h}} \right)} \right). $ | (3) |
其中: h为当前跳的序号，th表示对当前跳的时间抖动。
在式(3)中，跳频序列改变信号在频率间的分集，每一跳均以一定概率受到干扰，跳频序列的随机性可防止所有信息均落入被干扰频带内； 扩频展宽了信号带宽，对单频点内窄带干扰具有一定的抑制作用，但对部分频带干扰获得的增益有限； 跳时则在时间上对信号进行调整，增加信号随机性，但无法提高抗部分频带干扰的能力。
典型的DS/FH的系统框图如图1a所示。跳频频点数为N，待发送二进制信息扩频倍数为M。每个信息比特扩频后的序列为一个符号，符号能量为Es。然后根据每跳传输的符号数量T分段，每跳长度为MT个码片，按照随机跳频序列发送到不同的频点上去。为简化分析假设T为整数。
|
| 图 1 两种跳扩频技术系统框图 |
跳频系统的可用频点数一般为数十至上百个。在一个特定时刻t，部分频带干扰随机对其中 p(0≤p≤N)个频点进行阻塞式干扰,被干扰频率写为集合形式G(t)={fi,i=1,2,…,p },其中fi为第i个被干扰的频点。则接收信号为
| $y\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) + N\left( t \right) + J\left( t \right),\;\;\;f\left( t \right) \in G\left( t \right);\\ x\left( t \right) + N\left( t \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f\left( t \right) \notin G\left( t \right). \end{array} \right. $ |
其中： f(t)表示在时刻t信号占用的频点; N(t)表示Gauss白噪声，功率谱密度为N0; J(t)表示部分频带干扰，功率谱密度为J0。
对干扰到的p个频点，部分频带干扰相当于加强的宽带噪声干扰，但未被干扰的频点则不受任何影响。传统DS/FH中，符号全部码片处于一个频点； DS/FFH中，符号的扩频后序列分段处于一个频点，所处频点被干扰后，信息难以恢复。
为了提高抗部分频带干扰的能力，本文在直接跳扩的基础上，提出一种交织跳扩技术IDS/FH，使用扩频和多跳间交织级联的结构替代DS/FH中的扩频操作，实现扩频后码片的时频离散化。加入交织器后的信号表示为
| ${x_{{\rm{IDS/FH}}}}\left( t \right) = \pi \left( {s\left( t \right)} \right)\cos \left( {2\pi f\left( t \right) + \theta \left( t \right)} \right). $ |
其中π()表示一个分块交织器，其交织长度为每跳可传输码片个数的整数倍。
IDS/FH的系统框图如图1b所示。其中，交织器对L跳内的码片进行随机交织，即交织器长度为MLT，其他模块均与DS/FH相同。本文将交织器长度简化表示为L跳。
在部分频带干扰下，由于跨多跳交织器的存在，一个符号扩频后的M个码片随机分散到L跳中,符号所有码片受到干扰的概率将会低于DS/FH。图2为DS/FH、 DS/FFH和IDS/FFH的简单发送波形，其中Ts为符号持续的时间，横轴为时间，纵轴为跳频频点，阴影部位为跳频信号，扩频倍数为2，跳频频点数为4，编号相同的码片表示其来自于同一个符号，DS/FH和IDS/FFH具有相同的跳频图案。在DS/FH中，扩频后码片相连，当所在频带被干扰时，2个码片均受到相同程度的干扰； 在DS/FFH中，一个符号的码片分别在不同频点传输，可以获得一定的增益，但其跳频速率将是传统DS/FH的4倍； 而在IDS/FH中，码片被交织器离散化到不同的频点和时间，在不改变跳速的情况下，带来时频分集增益，提高抗部分频带干扰的性能。
|
| 图 2 三种跳扩频技术波形示意图 |
本节对跳扩技术在部分频带干扰和Gauss信道下的容量进行分析比较，并提出IDS/FH的最佳接收方案。
在部分频带干扰的情况下，发送信息以一定概率在受干扰和未受干扰的2种子信道中传输，信道容量可通过子信道容量的加权求和[13]计算得到：
| $C = \sum {{P_i}{C_i}.} $ | (4) |
其中： Ci为不同信道的容量，Pi为对应的信道的使用概率，C的单位为比特每符号。在Gauss信道下，系统信道容量用Shannon公式表示为
| $C\left( {{\rm{SN}}{{\rm{R}}_{\rm{s}}}} \right) = 1{\rm{b}}\left( {1 + {\rm{SN}}{{\rm{R}}_{\rm{s}}}} \right), $ |
其中SNRs为符号信噪比,SNRs=Es/N0。本文定义符号为扩频后的整个序列。
而在实际的调制信号中，由于输入通常不是Gauss分布，信道容量一般用互信息计算或者仿真得到，代入式(4)即可计算得到实际容量。
符号扩频后发送M个码片等效于一个码片的M次重复发送，接收端对M个码片进行合并接收。在Gauss信道下，此过程相当于一个码片在M个相互独立的信道下重复发送，每个码片的能量为Es/M。此时，扩频可以看作是一个单输入多输出(SIMO)系统，接收端需要将接收到的多路信息合并。在传统DS/FH中，各码片受到同样干扰，相当于Gauss信道下的SIMO系统； DS/FFH的扩频后序列分段发送，根据各段所处不同频点是否被干扰而受到不同的噪声影响，可以等效于衰落信道下的SIMO系统； 而IDS/FH中，扩频后以码片为单位交织，交织后码片随机处于不同的频点，也等效于衰落信道下的SIMO系统。
不失一般性，假设其中j个码片受到部分频带干扰，接收端将码片合并后计算得到此时的信噪比为
| $\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{SNR}}\left( {j,M,{N_0},{J_0},{E_{\rm{s}}}} \right) = \frac{{{{\left( {\sum {{x_i}} } \right)}^2}}}{{\sum {n_i^2} }} = }\\ {\frac{{{E_{\rm{s}}}M}}{{j\left( {{N_0} + {J_0}} \right) + \left( {M - j} \right){N_0}}}.} \end{array} $ | (5) |
SIMO接收机通过调整各路信号的权重来调整合并后的信噪比。在部分频带干扰下，各路信号只有受到干扰和未受干扰这2种信道情况。设未被干扰部分加权系数为1， 被干扰部分加权系数为λ，式(5)可以重新计算为
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{SNR}}\left( {j,M,{N_0},{J_0},{E_{\rm{s}}}} \right) = \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^j {\lambda {x_i}} + \sum\limits_{i = j + 1}^M {{x_i}} } \right)}^2}}}{{\sum\limits_{i = 1}^j {{{\left( {\lambda {n_i}} \right)}^2}} + \sum\limits_{i = j + 1}^M {n_i^2} }} = }\\ {\frac{{{E_{\rm{s}}}{{\left( {j\lambda + M - j} \right)}^2}/M}}{{j\left( {{N_0} + {J_0}} \right){\lambda ^2} + \left( {M - j} \right){N_0}}}.} \end{array} $ |
根据SIMO接收机的最大比合并的准则，当λ取值为N0/(N0+J0)时，合并后可以得到最大的信噪比，根据此准则设计的接收机为最优接收方案。若干扰足够大，λ的最优取值将接近于0，称为删除接收方式，是一种次优接收方案。
2.1 DS/FH及容量分析在部分频带干扰下，DS/FH发送符号仅有2种情况： 整个符号受到干扰，此时干扰与噪声叠加等效为宽带噪声，信噪比相应降低； 单个符号的所有码片均未受到干扰，此时信噪比与未受干扰时相同。
| ${\rm{SN}}{{\rm{R}}_{\rm{s}}} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{{N_0} + {J_0}}},\;\;\;\;符号受干扰;\\ \frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{{N_0}}},\;\;\;\;\;\;\;\;符号无干扰. \end{array} \right. $ |
符号受干扰的概率与对应频点受干扰概率相同，得到DS/FH下信道容量与跳频系统相同[8]：
| ${C_{{\rm{DS/FH}}}} = \frac{p}{N}C\left( {\frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{{N_0} + {J_0}}}} \right) + \frac{{1 - p}}{N}C\left( {\frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{{N_0}}}} \right). $ |
DS/FH信道简单，不需要加权合并，其最佳接收机为匹配滤波。当部分频带干扰的功率很强时，J0>>N0，容量表示为
| ${C_{{J_0} \gg {N_0},{\rm{DS/FH}}}} \approx \left( {1 - \frac{p}{N}} \right)C\left( {\frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{{N_0}}}} \right). $ | (6) |
DS/FFH将扩频后序列分段传输，假设其将扩频M倍后的序列分为D段，则其共有(D+1)种可能的信道状态，被干扰的码片个数j为dM/D，其中d为0到D的整数。
每个分段被干扰的概率为p/N，则对应d段被干扰的概率分布为
| ${P_{{\rm{DS/FFH,d}}}} = C_D^d{\left( {\frac{p}{N}} \right)^d}{\left( {1 - \frac{p}{N}} \right)^{D - d}}, $ | (7) |
从而DS/FFH的容量为
| ${C_{{\rm{DS/FFH}}}} = \sum\limits_{j = 1}^M {{P_{{\rm{DS/FFH,j}}}}C\left( {{\rm{SNR}}\left( {dM/D,M,{N_0},{J_0},{E_{\rm{s}}}} \right)} \right).} $ |
由于被干扰码序列段的概率分布受限于分段数D，增大分段数量会提升分段后的随机性。根据Bernoulli大数定律，D趋向正无穷时有
| ${P_{{\rm{DS/FFH,j}}}} \to \left\{ \begin{array}{l} 1,\;\;\;\frac{d}{D} = \frac{p}{N};\\ 0,\;\;\;其他. \end{array} \right. $ |
此时每个符号被干扰分段数相等，即交织器实现了将部分频带干扰转化为所有符号相同的部分码片干扰。极限情况下DS/FFH理论容量为
| ${C_{{\rm{T,DS/FFH}}}} = C\left( {\frac{{{E_{\rm{s}}}{{\left( {\rho \lambda + 1 - \rho } \right)}^2}}}{{\rho \left( {{N_0} + {J_0}} \right){\lambda ^2} + \left( {1 - \rho } \right){N_0}}}} \right). $ |
其中ρ=p/N,$\lambda = \frac{{{N_0}}}{{{N_0} + {J_0}}}$.
在强部分频带干扰下容量为
| ${C_{{J_0} \gg {N_0},{\rm{DS/FFH}}}} \approx C\left( {\left( {1 - \frac{p}{N}} \right)\frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{{N_0}}}} \right). $ |
IDS/FH在直接序列扩频后进行了多跳间的交织操作，M个码片中有j(0≤j≤M)个被干扰，共有(M+1)种子信道。
IDS/FH中各码片分散到不同的跳频频点上，每个符号中j个码片受到干扰的概率与跳频序列和交织器有关。下面针对长度为L跳的随机交织器计算码片数被干扰的概率分布。
首先，考虑交织后L跳的频率分布。假设交织后的的L跳分布在g个频点上，g的取值范围为 1≤g≤min(N,L)。L跳信息分为g组的不同的组合数目使用第二类Stirling数计算得到，则L跳分布在g个频点上的概率值为
| ${P_{{\rm{Distribution}}}} = \frac{{C_N^gg!S2\left( {L,g} \right)}}{{{N^L}}}. $ |
其中S2(L,g)表示第二类Stirling数，可用其递推公式计算，g!为阶乘运算。
然后计算被干扰到的频点的概率分布。在g个频点中有i个被干扰，i的取值范围为max(0,p+g-N)≤i≤min(p,g)，其概率为
| ${P_{{\rm{Jam}}}} = \frac{{C_g^iC_{N - g}^{p - i}}}{{C_N^p}}. $ |
最后，计算不同码片数被干扰的概率。每个符号的M个码片分布在g个频点上，其中有i个频点被干扰，每个码片被干扰的概率为i/g，其中有j个码片被干扰的概率使用二项式分布计算
| ${P_{{\rm{Chip}}}} = C_M^j{\left( {\frac{i}{g}} \right)^j}{\left( {1 - \frac{i}{g}} \right)^{M - j}}. $ |
综合上述分析，利用全概率公式即得到M个码片中有j个码片被干扰的概率为
| ${P_{p/N,j}} = \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{g = 1}^{\min \left( {N,L} \right)} {\sum\limits_{i = \max \left( {1,p + g - N} \right)}^{\min \left( {g,p} \right)} {C_N^g\frac{{g!S2\left( {L,g} \right)}}{{{N^L}}}\frac{{C_g^iC_{N - g}^{p - i}}}{{C_N^p}}C_M^j{{\left( {\frac{i}{g}} \right)}^j}{{\left( {1 - \frac{i}{g}} \right)}^{M - j}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j{\rm{ > }}0;} } \\ 1 - \sum\limits_{j = 1}^M {\sum\limits_{g = 1}^{\min \left( {N,L} \right)} {\sum\limits_{i = \max \left( {1,p + g - N} \right)}^{\min \left( {g,p} \right)} {C_N^g\frac{{g!S2\left( {L,g} \right)}}{{{N^L}}}\frac{{C_g^iC_{N - g}^{p - i}}}{{C_N^p}}C_M^j{{\left( {\frac{i}{g}} \right)}^j}{{\left( {1 - \frac{i}{g}} \right)}^{M - j}},\;\;\;\;\;j{\rm{ = }}0.} } } \end{array} \right. $ | (8) |
将得到的码片受到干扰分布的概率式(8)及对应的等效信噪比的值代入式(4)，得到IDS/FH的信道容量为
| ${C_{{\rm{IDS/FH}}}} = \sum\limits_{j = 1}^M {{P_{p/N,j}}C\left( {{\rm{SNR}}\left( {j,M,{N_0},{J_0},{E_{\rm{s}}}} \right)} \right).} $ |
考虑交织器长度为足够长以保证充分交织，即L>>1，随机分布下L跳占满N个频点的概率将提高，L趋向于正无穷时有
| ${P_{{\rm{Distribution}}}} \to \left\{ \begin{array}{l} 1,\;\;\;g = N;\\ 0,\;\;\;g \ne N. \end{array} \right. $ |
可得j个码片被干扰的概率为
| ${P_{{\rm{IDS/FH,}}j}} = C_M^j{\left( {\frac{{\rm{p}}}{{\rm{N}}}} \right)^j}{\left( {1 - \frac{{\rm{p}}}{{\rm{N}}}} \right)^{M - j}}. $ |
此时概率分布与式(7)相同，但DS/FFH要求分段数量为M才能达到与IDS/FH相同的分集增益，此时其跳频速率为IDS/FH的MT倍。
增大扩频倍数以保证其理想交织，利用大数定律，码片被干扰概率的分布为
| ${P_{{\rm{IDS/FH,}}j}} \to \left\{ \begin{array}{l} 1,\;\;\;\frac{j}{M} = \frac{p}{N};\\ 0,\;\;\;其他. \end{array} \right. $ |
在理想交织下，干扰被平均分散到每个符号的部分码片上。此干扰概率与交织长度和扩频倍数无关，得到理论容量上界为
| ${C_{{\rm{T,IDS/FH}}}} = C\left( {\frac{{{E_{\rm{s}}}{{\left( {\rho \lambda + 1 - \rho } \right)}^2}}}{{\rho \left( {{N_0} + {J_0}} \right){\lambda ^2} + \left( {1 - \rho } \right){N_0}}}} \right). $ |
其中ρ=p/N,$\lambda = \frac{{{N_0}}}{{{N_0} + {J_0}}}$.
在强部分频带干扰下容量为
| ${C_{{J_0} \gg {N_0},{\rm{IDS/FH}}}} \approx C\left( {\left( {1 - \frac{p}{N}} \right)\frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{{N_0}}}} \right). $ | (9) |
在强噪声干扰下，容量仅与频带干扰比例p/N和信噪比Es/N0有关，DS/FFH与IDS/FH具有相同的信道容量。各系统均受到了部分频带的干扰而导致容量降低，在DS/FH中，(1-p/N)是函数输出的系数，但在IDS/FH和DS/FFH中，则是函数输入的系数。由于信道容量是信噪比的凹函数，在相同的干扰带宽下，IDS/FH和DS/FFH具有更高的理论容量。但是，DS/FFH要达到和IDS/FH相同的容量，需要的跳频速率为IDS/FH的MT倍，且每跳只能传输一个码片，发射和接收都是难以实现的。下面分析中，仅考虑IDS/FH和传统的直接DS/FH系统。
根据得到的强干扰下容量上限式(6)和(9)，计算得到Gauss信道信噪比为10 dB时，不同干扰带宽下2个系统的容量如图3所示。随着干扰频带的增加，DS/FH的容量以线性下降，而IDS/FH则呈现出一条曲线。p/N为0时表示未受到干扰，p/N为1时表示所有频点受到全频带强干扰，在这2种情况下IDS/FH对码片的时频分集无法取得增益，因此容量与DS/FH的相同。而在其他的频带干扰比例下，IDS/FH均取得高于DS/FH的容量。在50%的干扰下，IDS/FH的容量比DS/FH的提升49%。
|
| 图 3 强部分频带干扰下理论容量 |
设跳频频点数为16，直扩倍数为8，Es/N0为10 dB，J0/N0为20 dB。设无干扰信道权重为1，按理论分析求得λ的最优值，令λ=1×10-2。
图4中，IDS/FH的交织器长度为L跳，分别设置L为1、 4和16。当L=1时，IDS/FH容量与DS/FH相同，因为码片未被离散到多个频点，没有产生分集增益； 随着L的增大，可达的信道容量增加，但容量的提升逐渐减小。
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| 图 4 不同交织器长度下部分频带干扰下容量 |
在IDS/FH等效的SIMO系统中，符号的码片通过不同的信道而产生了分集增益。而DS/FH码片的信道均相同，仅相当于功率增加的SISO系统，其信道容量低于SIMO系统的。
3 仿真结果使用BPSK作为调制方式，对实际调制情况下的信道容量进行分析。通过Monte Carlo仿真的方式统计输入的符号和接收合并以后的符号之间的转移概率，计算互信息得到不同干扰码片数的子信道容量，根据统计得到子信道的使用概率计算出实际容量，并与理论分析结果进行对比。
仿真参数与节2相同，在IDS/FH中，接收机设置不同的λ，结果如图5所示。图5中仿真结果和理论计算结果基本重合。在无干扰时，信道容量均为1。加入部分频带干扰后，DS/FH的容量随着被干扰频带的增大线性下降。IDS/FH在接收机使用不同的λ的情况下，可达容量有很大的区别。λ为1×10-2时，接收方案符合最大比合并准则，为系统最优接收机，在仿真中具有最高的容量； 由于干扰功率远大于噪声导致最优接收权重接近于0，因此λ为0表示的删除接收是强干扰下一种简单的次优接收方式，在干扰概率不高于80%时使用删除方式，性能接近最优接收机，但若干扰概率继续提高，因信息的完全删除会导致容量迅速下降为0； λ为1时，接收机未做任何加权处理，被干扰的码片将强噪声引入符号解调使整符号难以恢复，此时信道容量甚至低于直接跳扩系统的。
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| 图 5 BPSK调制， 在不同λ下的信道容量 |
为研究不同部分频带干扰对接收机误码率性能的影响，对无编码BPSK进行仿真，交织器长度为128跳，采用删除接收的方式，在不同的信噪比下DS/FH和IDS/FH的误码率如图6所示。
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| 图 6 BPSK调制无编码在部分带干扰下的误码性能 |
在25%、 50%和75%的部分频带干扰下，DS/FH和IDS/FH的误码率有明显的差异。DS/FH的误码平底均在0.1以上，在25%频带的干扰下，误码率最低为12.5%。而使用了交织器实现时频分集的IDS/FH则具有更好的误码性能，在50%的部分频带干扰下，其误码平底相比于DS/FH降低了2个数量级。
将2种系统与码率为1/3的Turbo码结合，在不同的干扰下对误码性能进行仿真，结果如图7所示。在所测试的3种场景下，IDS/FH均可以通过提升信噪比实现正确接收； 而DS/FH在50%的部分频带干扰下其性能在10-4量级出现误码平底，在75%的部分频带干扰下译码完全失败，无法恢复信息。
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| 图 7 BPSK调制Turbo码在部分带干扰下的误码性能 |
本文提出一种基于交织的IDS/FH系统，通过引入多跳间交织器实现码片的时频分集，使干扰作用于所有符号的部分码片，通过理论分析得到DS/FH和IDS/FH在部分频带干扰下的容量表达式及最优接收方案。仿真验证表明： 在部分频带干扰及Gauss信道下，IDS/FH的信道容量优于DS/FH系统的，尤其在50%频带的强噪声干扰下，使用次优的删除接收，误码平底低于DS/FH系统2个数量级。
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