引用本文
付强, 朱纪洪, 王春平. 蛇形机动目标航迹旋转对射弹脱靶量的影响[J]. 清华大学学报（自然科学版）, 2015, 55(8): 884-888
FU Qiang, ZHU Jihong, WANG Chunping. Impact of space rotation on shell miss distances for serpentine flight path maneuvering[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Technology), 2015, 55(8): 884-888.
蛇形机动目标航迹旋转对射弹脱靶量的影响
付强1, 2, 朱纪洪1 , 王春平2    
1. 清华大学 计算机科学与技术系, 北京 100084;
2. 军械工程学院, 石家庄 050003
收稿日期: 2013-10-23
基金项目: “十二五”国防预研项目(40405070102).
作者简介: 付强(1981-),男(汉),河北,博士研究生。
通讯作者: 朱纪洪,教授,E-mail:jhzh@tsinghua.edu.cn
摘要：结合蛇形机动目标对抗舰炮或高炮的作战过程, 定义了航迹直角坐标系和航迹旋转角, 在最小二乘法下建立了一次假定和二次假定的平滑滤波模型, 推导出目标运动参数、理想弹着点和射弹脱靶量的函数关系式, 证明了航迹旋转并不影响目标运动参数的求取, 但是能够引起射弹脱靶量的变化, 其原因在于理想弹着点位置的旋转影响了射弹飞行时间。若此因素可忽略, 则旋转角度与脱靶量无关。对主运动方向指向炮位原点的目标进行了仿真, 验证了上述结论。
关键词： 蛇形机动    突防概率    脱靶量    射弹飞行时间    
Impact of space rotation on shell miss distances for serpentine flight path maneuvering
FU Qiang1, 2, ZHU Jihong1 , WANG Chunping2    
1. Department of Computer Science and Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2. Mechanical Engineering College, Shijiazhuang 050003, China
Abstract: Targets maneuver along serpentine paths to avoid naval or antiaircraft gun fire. A method was developed to track a target's path and identify the target's rectangular coordinates and rotation angles. Least square filter models are then defined assuming first-order and second-order motion to predict the target motion, bomb impact points and shell miss distances in functional forms. Rotations of the flight path do not affect the filtered parameters for the target motion, but do affect the miss distance. Rotations of the bomb impact point change the shell's flight time. If the change in the flight time is ignored, the miss distance and the rotations do not affect the calculations. Finally, targeting of gun emplacements was simulated to verify the conclusions.
Key words: serpentine maneuvers    penetration probability    miss distance    shell flight time    

蛇形机动是一种平面的正弦摆动式机动，能够有效提升空地导弹和反舰导弹等空袭兵器的突防概率[1]。从攻击角度主要研究其突防效能和导引控制方法；从防御角度则重在研究目标航迹的建模、识别及拦截制导技术。

在突防效能评估方面，顾文锦等[2]根据导弹突防—导弹拦截问题的简化模型，分析了稳态脱靶量解析解，将平面机动与非平面摆式机动进行了比较；范作娥等[3]建立了反舰导弹与舰空导弹的仿真对抗模型，利用Monte Carlo方法比较了纵向蛇行机动和航向蛇行机动的突防概率；Ohlmeyer[4]分析了拦截弹制导律阶数与其拦截概率的关系；Ryoo等[5]从加速度约束角度研究了反舰导弹对近程防御系统的三维航迹规划技术。

关于蛇形机动参数对突防概率的影响，武志东等[6]指出最优蛇形机动应采用最大法向过载，进行最少次数的机动；冯元伟等[7]通过仿真说明突防概率与机动幅度和角速度之间正相关；王海斌[8]和Zarchan[9]分别指出脱靶量会随遭遇时机和射弹发射时机(机动相位)的不同而呈现周期性震荡。

对于目标航迹旋转对蛇形机动突防概率的作用规律，Lee等[10]研究了水平和垂直两方向同步蛇形机动的设计方法，却没有进行单独对比；文[3]通过仿真指出垂直平面机动的突防概率比航向平面机动的大；而文[11]指出相同条件下两者突防效果基本相同。但文[3]和[11]均缺少数学推导及严格证明，且没有研究航迹旋转角度的其他变化情况。

本文针对舰炮/高炮的反导作战过程，研究了蛇形机动目标射弹脱靶量与其三维旋转角度的函数关系，从数学意义上证明了如下规律：蛇形航迹的旋转，并不改变舰炮/高炮火控解算中求取的目标运动参数，但可能改变求取的射弹飞行时间；进而，射弹飞行时间的改变能够引起射弹脱靶量的变化；严格意义上讲，航迹旋转能够引起射弹脱靶量的变化，但在一定条件下若射弹飞行时间的改变很小以至于可以忽略，则可有“航迹旋转对射弹脱靶量没有影响”的近似结论。

1 蛇形机动目标运动模型 1.1 目标航迹直角坐标系

大地直角坐标系以反导武器中心为原点，记作P(x，y，z)，所在水平面为X-Y平面。机动起始时刻目标处于(x0，y0，z0)。

图1中，在二维正弦模型[6]的基础上，定义目标航迹三维直角坐标系，记作Pn(xn，yn，zn)。原点为(x0，y0，z0)，Xn轴正向为目标主运动方向；Zn轴位于机动平面内，与Xn垂直，向上为正；根据右手定则，确定Yn轴。

图 1 大地直角坐标系和目标直角坐标系
图选项

设目标沿Xn轴方向匀速直线运动，速度为V；Zn轴方向机动幅度为An，机动角频率为ω，初始相位φ，则有：

$\left\{ \begin{array}{l} {x_n}\left( t \right) = Vt,\\ {y_n}\left( t \right) = 0,\\ {z_n}\left( t \right) = {A_n}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right). \end{array} \right.$ (1)

β和ε分别是主运动方向的方位角和高低角；将(ωt+φ)∈(0°，90°)时机动范围内目标航迹所在的半平面记为Φ；为表征Φ的方向，将Xn轴所在铅垂面记作Ψ；Φ与Ψ的交角称为机动平面角，记作α。

1.2 航迹旋转与坐标变换
$\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right)\\ z\left( t \right) \end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \cos \left( \varepsilon \right)\\ 0\\ \sin \left( \varepsilon \right) \end{array}\begin{array}{l} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\begin{array}{l} - \sin \left( \varepsilon \right)\\ 0\\ \cos \left( \varepsilon \right) \end{array} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \cos \left( \beta \right)\\ - \sin \left( \beta \right)\\ 0 \end{array}\begin{array}{l} \sin \left( \beta \right)\\ \cos \left( \beta \right)\\ 0 \end{array}\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \end{array}} \right]}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\begin{array}{l} 0\\ \cos \left( \alpha \right)\\ - \sin \left( \alpha \right) \end{array}\begin{array}{l} 0\\ \sin \left( \alpha \right)\\ \cos \left( \alpha \right) \end{array} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {x_n}\left( t \right)\\ {y_n}\left( t \right)\\ {z_n}\left( t \right) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} {x_0}\\ {y_0}\\ {z_0} \end{array} \right] \cdot } \end{array}$ (2)

式(2)是上述2个直角坐标系的变换公式，其坐标轴的旋转角度为(α，β，ε)，逆时针为正。 yn(t)恒为零，故式(2)可化为

$\left[ \begin{array}{l} x\left( t \right)\\ y\left( t \right)\\ z\left( t \right) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} a{x_n}\left( t \right) + b{z_n}\left( t \right)\\ c{x_n}\left( t \right) + d{z_n}\left( t \right)\\ e{x_n}\left( t \right) + f{z_n}\left( t \right) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} {x_0}\\ {y_0}\\ {z_0} \end{array} \right],$ (3)
$\left\{ \begin{array}{l} a = \cos \left( \varepsilon \right)\cos \left( \beta \right),\\ b = \cos \left( \varepsilon \right)\sin \left( \beta \right)\sin \left( \alpha \right) - \sin \left( \varepsilon \right)\cos \left( \alpha \right),\\ c = sin\left( \beta \right),\\ d = \cos \left( \beta \right)\sin \left( \alpha \right),\\ e = \sin \left( \varepsilon \right)\cos \left( \beta \right),\\ f = \sin \left( \varepsilon \right)sin\left( \beta \right)\sin \left( \alpha \right) + \cos \left( \varepsilon \right)\cos \left( \alpha \right). \end{array} \right.$ (4)
2 目标假定与理想弹着点坐标

设舰炮或高炮火控采样周期为τ，平滑滤波开始时刻为t0，平滑周期为τp，射弹飞行时间为tf。则tr=t0+τp+tf为射弹倒计时的零时刻，此时目标真实位置为

$\left[ \begin{array}{l} x\left( {{t_{\rm{r}}}} \right)\\ y\left( {{t_{\rm{r}}}} \right)\\ z\left( {{t_{\rm{r}}}} \right) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} a{x_n}\left( {{t_{\rm{r}}}} \right) + b{z_n}\left( {{t_{\rm{r}}}} \right)\\ c{x_n}\left( {{t_{\rm{r}}}} \right) + d{z_n}\left( {{t_{\rm{r}}}} \right)\\ e{x_n}\left( {{t_{\rm{r}}}} \right) + f{z_n}\left( {{t_{\rm{r}}}} \right) \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} {x_0}\\ {y_0}\\ {z_0} \end{array} \right] \cdot $ (5)

实际装备在对目标现在点信息进行平滑滤波处理时一般都采用最小二乘滤波或Kalman滤波。由于在不考虑状态噪声情况下，这2种滤波方式具有等价性[12]，本文在最小二乘准则下进行研究。

以X坐标为例，设n为τp内的采样点数，测量序列为

$\begin{array}{*{20}{c}} {X\left( {{t_0}} \right) = }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( {{t_0} + \tau } \right)}{x\left( {{t_0} + 2\tau } \right)} \cdots {x\left( {{t_0} + {\tau _p}} \right)} \end{array}} \right]}^T}.} \end{array}$ (6)

一次假定下，设$\tilde x$0和$\tilde \upsilon $x分别为目标初始位置和飞行速度的滤波值，令

$\left\{ \begin{array}{l} {{\bf{B}}_x} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde x}_0}}&{{{\tilde \upsilon }_x}} \end{array}} \right]^T},\\ G = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&1 &\cdots &1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} \tau &{2\tau }& \cdots& {n\tau } \end{array} \end{array} \right],\\ A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\tau _p} + {t_f}} \end{array}} \right]^T}. \end{array} \right.$ (7)

二次假定下，设$\tilde \upsilon $0和$\tilde \alpha $x分别为速度初值和加速度的滤波值，令

$\left\{ \begin{array}{l} {{\bf{B}}_x} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde x}_0}}&{{{\tilde \upsilon }_x}}&{{{\tilde \alpha }_x}} \end{array}} \right]^T},\\ G = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&1& \cdots &1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} \tau &{2\tau } &\cdots& {n\tau } \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {{\tau ^2}/2}&{{{\left( {2\tau } \right)}^2}/2} &\cdots& {{{\left( {n\tau } \right)}^2}/2} \end{array} \end{array} \right],\\ A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\tau _p} + {t_f}}&{{{\left( {{\tau _p} + {t_f}} \right)}^2}/2} \end{array}} \right]^T}. \end{array} \right.$ (8)

目标运动参数等价为方程GBx=X(t0)在最小二乘意义下的解，有

${B_x} = {\left( {{G^T}G} \right)^{ - 1}}{G^T}X\left( {{t_0}} \right)$ (9)

不考虑其他误差，tr时刻理想弹着点X坐标为

$\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x\left( {{t_r}} \right) = {{\left( {{\bf{X}}_n^T\left( {{t_0}} \right){\bf{Q}} - {x_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2} + }\\ {{{\left( {{\bf{Z}}_n^T\left( {{t_0}} \right){\bf{Q}} - {z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2}.} \end{array}$ (10)

将式(6)、 (3)和(4)代入，得

$\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde x\left( {{t_r}} \right) = }\\ {\left[ {aX_n^T\left( {{t_0}} \right) + bZ_n^T\left( {{t_0}} \right) + {x_0}{I_{1 \times n}}} \right]G{{\left( {{G^T}G} \right)}^{ - 1}}A = }\\ {aX_n^T\left( {{t_0}} \right)G{{\left( {{G^T}G} \right)}^{ - 1}}A + bZ_n^T\left( {{t_0}} \right)G{{\left( {{G^T}G} \right)}^{ - 1}}A + }\\ {{x_0}{I_{1 \times n}}G{{\left( {{G^T}G} \right)}^{ - 1}}A = aX_n^T\left( {{t_0}} \right)G{{\left( {{G^T}G} \right)}^{ - 1}}A + }\\ {bZ_n^T\left( {{t_0}} \right)G{{\left( {{G^T}G} \right)}^{ - 1}}A + {x_0}.} \end{array}$ (11)

I为全1矩阵。另设Q=G(GTG)－1A，则

$\tilde x\left( {{t_r}} \right) = aX_n^T\left( {{t_0}} \right)Q + bZ_n^T\left( {{t_0}} \right)Q + {x_0}.$ (12)

理想弹着点的Y和Z坐标分别为

$\left\{ \begin{array}{l} \tilde y\left( {{t_r}} \right) = cX_n^T\left( {{t_0}} \right)Q + dZ_n^T\left( {{t_0}} \right)Q + {y_0},\\ \tilde z\left( {{t_r}} \right) = eX_n^T\left( {{t_0}} \right)Q + fZ_n^T\left( {{t_0}} \right)Q + {z_0}. \end{array} \right.$ (13)
3 空间脱靶量模型

脱靶量即弹目偏差量，是攻防双方评估突防概率或毁歼概率的重要指标[8，13]，且目标假定与状态估计误差是射击误差的主要来源[13]。因此，本文只考虑目标假定与状态估计误差的影响，不考虑其他误差，求取空间脱靶量R。

根据式(5)和(12)，可得

$\begin{array}{*{20}{c}} {R_x^2\left( {{t_r}} \right) = \left( {\tilde x\left( {{t_r}} \right)} \right) - \left( {a{x_n}\left( {{t_r}} \right) + } \right.}\\ {{{\left. {\left. {b{z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)} \right)}^2} = \left( {a\left( {X_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - } \right.} \right.}\\ {\left. {{x_n}\left( {{t_r}} \right)} \right) + b{{\left( {Z_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2},} \end{array}$ (14)
$\begin{array}{*{20}{c}} {R_y^2\left( {{t_r}} \right) = c\left( {X_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - } \right.}\\ {\left. {{x_n}\left( {{t_r}} \right)} \right) + d{{\left( {Z_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2},} \end{array}$ (15)
$\begin{array}{*{20}{c}} {R_z^2\left( {{t_r}} \right) = e\left( {X_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - } \right.}\\ {\left. {{x_n}\left( {{t_r}} \right)} \right) + f{{\left( {Z_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2}.} \end{array}$ (16)

则空间脱靶量表示为

$\begin{array}{*{20}{c}} {{R^2}\left( {{t_r}} \right) = R_x^2\left( {{t_r}} \right) + R_y^2\left( {{t_r}} \right) + R_z^2\left( {{t_r}} \right) = }\\ {\left( {{a^2} + {c^2} + {e^2}} \right){{\left( {X_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {x_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2} + }\\ {\left( {{b^2} + d + {f^2}} \right){{\left( {X_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2} + }\\ {2\left( {ab + cd + ef} \right)\left( {X_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - } \right.}\\ {\left. {{x_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)\left( {Z_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right).} \end{array}$ (17)
3.1 tf为恒值情况

由于存在过载控制和飞行边界等约束条件，目标的机动行为在一定空间范围内存在随机性[14]，航迹旋转角度均有范围限制，短时间内的机动航迹应比较接近。对于空间小邻域内的理想命中点，对应的tf可假定为恒值，即式(17)的Q与(β，ε，α)无关，则将式(3)代入式(17)，经化简得

$\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {c^2} + {e^2} = 1,\\ {b^2} + {d^2} + {f^2} = 1,\\ 2\left( {ab + cd + ef} \right) = 0, \end{array} \right.$ (18)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{R^2}\left( {{t_r}} \right) = {{\left( {X_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {x_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2} + }\\ {{{\left( {Z_n^T\left( {{t_0}} \right)Q - {z_n}\left( {{t_r}} \right)} \right)}^2}.} \end{array}$ (19)

显见，不考虑其他误差，蛇形机动引起的空间脱靶量是关于t0、 τp、 tf、 An、 ω、 φ和V的函数，与航迹旋转量(β，ε，α)无关；脱靶量计算过程等价于Pn坐标系下的滤波、预测和外推过程，与航迹旋转及平移过程无关。

3.2 实际情况

设h和d分别是弹着点的高度和水平距离，tf可近似为[15]

$\begin{array}{*{20}{c}} {{t_f}\left( {d,h} \right) = }\\ {\sum\limits_{k = 0}^N {\sum\limits_{l = 0}^k {{a_{k,l}}{{\left( {\frac{{h - {h_0}}}{{{h_0}}}} \right)}^{k - l}}{{\left( {\frac{{d - {d_0}}}{{{d_0}}}} \right)}^l} \cdot } } } \end{array}$ (20)

该函数高阶连续、可导，N为最高阶数，有

$\frac{{\partial {t_f}}}{{\partial h}} = \sum\limits_{k = 0}^N {\sum\limits_{l = 0}^k {\left( {k - l} \right){a_{k,l}}{{\left( {\frac{{h - {h_0}}}{{{h_0}}}} \right)}^{k - l - 1}}{{\left( {\frac{{d - {d_0}}}{{{d_0}}}} \right)}^l},} } $ (21)
$\frac{{\partial {t_f}}}{{\partial d}} = \sum\limits_{k = 0}^N {\sum\limits_{l = 0}^k {\left( {l - 1} \right){a_{k,l}}{{\left( {\frac{{h - {h_0}}}{{{h_0}}}} \right)}^{k - l}}{{\left( {\frac{{d - {d_0}}}{{{d_0}}}} \right)}^{l - 1}} \cdot } } $ (22)

式(12)、 (13)和(20)联立构成方程组，其中

$\left\{ \begin{array}{l} d = \sqrt {\tilde x{{\left( {{t_r}} \right)}^2} + \tilde y{{\left( {{t_r}} \right)}^2},} \\ h = \tilde z\left( {{t_r}} \right). \end{array} \right.$ (23)

式(12)和(13)反映出目标运动参数滤波结果与(β，ε，α)无关；式(20)却说明了tf与(β，ε，α)的相关性(tf随h或d的增大而增大)。其相互关系为：航迹旋转过程改变弹着点的(h，d)坐标，进而影响tf的解算结果，引起外推时间及脱靶量的变化。

另一方面，由于存在脱靶量随tf增大而减小的情况[9]，且(β，ε，α)变化可能引起h和d的反方向变化，其相应的tf及脱靶量变化可能出现震荡，但统计意义上，tf和脱靶量之间应呈现较强的相关性，两者极值应基本对应。

4 仿真验证

考虑到近程反导的特点，本文针对主运动方向指向炮位原点的机动目标(如反舰导弹和反炮位空地导弹)，采用自适应Kalman滤波模型，由实弹初速v0和C43弹型系数，建立tf近似解析算法[13]，对不同(β，ε，α)进行仿真，通过统计[τp，τp+2π/ω]内连续射击的脱靶量来表征目标突防概率[8]。特别地，(β0，ε0，0)和(β0，ε0，±π/2)分别对应文[3, 10, 11]中的垂直机动和水平航向机动。

火控相关参数设为：τ=0.02 s，τp=3 s，σ2=50，C43=1.893，$\upsilon $0=1 189 m/s。

测量噪声设为(0，σ2) 的Gauss白噪声，为保证旋转前后的一致性，将其叠加于Pn(xn，yn，zn)而非P(x，y，z)。

目标相关参数有：x0=3 000 m，y0=3 500 m，β0=π-arc tan(y0/x0)，V=300 m/s，An=250 m，α0=0，α∈[-π，π]，ω=0.2π rad/s，φ=0，ε0=-arc tan(z0/(x02+y02)。

4.1 主运动方向不变

在(β，ε)不允许调整时，航迹旋转体现为α在[-π，π]内的取值。由于自变量较多，为便于对比，以垂直机动(β=β0，ε=ε0，α=0)作为参照，其时变脱靶量见图2，统计周期内平均脱靶量Rv为643.6 m。

图 2 垂直机动脱靶量时变曲线
图选项

在此基础上，改变α分别仿真。由于脱靶量时变曲线与图2非常接近，仅给出平均射弹飞行时间tfv和平均脱靶量Rv，如图3所示。

图 3 改变α时的仿真结果
图选项

显见，平均脱靶量变化幅度约3.41 m，平均射弹飞行时间变化幅度为0.025 s，α取值的影响远小于实际工程的其他误差因素。因此，严格意义上符合文[3]中“垂直机动比航向机动突防概率大”的仿真结论，工程意义上亦符合文[11]中“垂直机动与水平机动突防概率基本相同”的结论。另一方面，平均脱靶量与平均射弹飞行时间的变化规律具有一致性，极值情况基本对应。

进一步假设tf与α无关，统一采用垂直机动时解算得到的tf。经仿真，不同α下脱靶量时变曲线完全重合，说明tf无差异时，脱靶量与α无关，验证了3.1节的结论。

4.2 主运动方向允许微调

设(β，ε)能够小范围调整，其范围均设为±π/12，分别研究两者在垂直机动下的作用规律，其脱靶量时变曲线均与图2相似，不再单独给出，其统计结果如图4和5所示。

图 4 改变β时的仿真结果
图选项
图 5 改变ε时的仿真结果
图选项

改变β和ε时，平均脱靶量变化幅度分别为25.3和48.6 m，平均射弹飞行时间变化幅度分别为0.14和 0.371 s；且平均脱靶量和平均射弹飞行时间之间具有较强相关性，相关系数分别为0.9676和0.8994，与3.2节的分析相符合。

进一步假设tf与(β，ε)无关，统一采用垂直机动时的tf值，经仿真，不同(β，ε)不影响脱靶量的时变曲线，平均脱靶量曲线为直线。

5 结 论

本文通过数学推导，证明了蛇形机动目标的航迹旋转能够对射弹脱靶量产生影响，其内在原因是不同旋转角度下的射弹飞行时间存在差异，进而使得弹着点的时机和位置发生了变化。实践过程中，由于航迹旋转角度的可选范围一般较窄，相对于机动幅度、机动频率、发射时机和射弹初速等因素，射弹飞行时间的差异并不显著，对射弹脱靶量的影响一般较弱。规划目标机动航迹时，应结合攻防双方的性能参数进行综合仿真，以期有效增加突防概率。

参考文献
[1] Zarchan P. Tactical and Strategic Missile Guidance [M]. 3rd ED. Reston VA: AIAA Inc, 1997.
[2] 顾文锦, 赵红超, 王凤莲. 反舰导弹末端机动的突防效果研究 [J]. 宇航学报, 2005, 26(6): 758-761.GU Wenjin, ZHAO Hongchao, WANG Fenglian. Research on the penetration effect of terminal maneuver for anti-ship missiles [J]. Journal of Astronautics, 2005, 26(6): 758-761. (in Chinese)
[3] 范作娥, 顾文锦, 姜鹏, 等. 基于蒙特卡洛法的反舰导弹末端机动突防效果研究 [J]. 海军航空工程学院学报, 2010, 25(3): 241-246.FAN Zuoe, GU Wenjin, JIANG Peng, et al. Research on penetration effect of terminal maneuver for anti-ship missile based on Monte Carlo method [J]. Journal of Naval Aeronautical and Astronautically University, 2010, 25(3): 241-246. (in Chinese)
[4] Ohlmeyer E J. Root-mean-square miss distance of proportional navigation missile against sinusoidal target [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1996, 19(3): 563-568.
[5] Ryoo C K, Whang I H, Tahk M J. 3-D evasive maneuver policy for anti-ship missiles against close-in weapon systems [C]// AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit. Austin, Texas, USA: AIAA Inc, 2003: 1-7.
[6] 武志东, 顾文锦, 毕兰金. 反舰导弹最优末端蛇形机动策略 [J]. 战术导弹技术, 2011(3): 1-5.WU Zhidong, GU Wenjin, BI Lanjin. Optimal terminal weaving maneuver strategy for anti-ship missile [J]. Tactical Missile Technology, 2011(3): 1-5. (in Chinese)
[7] 冯元伟, 金振中, 郜彪. 导弹蛇形机动与摆式机动突防反导舰炮仿真 [J]. 导弹防御技术, 2010, 38(4): 22-25, 52. FENG Yuanwei, JIN Zhenzhong, GAO Biao. Simulation of penetration of horizontal S maneuver and cycloid maneuver against antimissile naval gun [J]. Modern Defense Technology, 2010, 38(4): 22-25, 52. (in Chinese)
[8] 王海斌, 江言林. 脱靶量在反舰导弹“蛇形机动”突防中的应用分析 [J]. 舰船电子工程, 2010, 30(12): 33-34, 90.WANG Haibin, JIANG Yanlin. Appliance investigation of the miss distance of ship to air missile in zigzag course of anti-ship missile [J]. Ship Electronic Engineering, 2010, 30(12): 33-34, 90. (in Chinese)
[9] Zarchan P. Proportional navigation and weaving targets [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1995, 18(5): 969-974.
[10] Lee J I, Ryoo C K, Choi K. A guidance law with sinusoidal evasive maneuver for enhancing survivability of anti-ship missiles [J]. Automatic Control in Aerospace, 2007, 17(1): 804-809.
[11] 冯元伟, 夏小华, 吴艳征. 导弹两种蛇形机动对反导舰炮突防效果比较 [J]. 火力与指挥控制, 2011, 36(8): 107-109, 113.FENG Yuanwei, XIA Xiaohua, WU Yanzheng. Comparison of penetration effect of two kinds of S maneuver missile against anti-missile naval gun [J]. Fire Control & Command Control, 2011, 36(8): 107-109, 113. (in Chinese)
[12] 张贤椿. 高炮火控系统各子系统间信息传递的优化技术[D]. 南京: 南京理工大学博士学位论文, 2009.ZHANG Xianchun. Optimization Techniques of Information Transmission Between the Subsystems of Fire Control System [D]. Nanjing: Nanjing University of Science & Technology, 2009. (in Chinese)
[13] 肖元星, 张冠杰. 地面防空武器系统效费分析 [M]. 北京: 国防工业出版社, 2006.XIAO Yuanxing, ZHANG Guanjie. Effectiveness Cost Analysis on Land-based Air Defense Weapon System [M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2006. (in Chinese)
[14] 张科南, 周浩, 陈万春. 超声速飞行器多约束多种机动突防模式弹道规划 [J]. 弹道学报, 2012, 24(3): 85-90.ZHANG Kenan, ZHOU Hao, CHEN Wanchun. Trajectory planning for hypersonic vehicle with multiple constraints and multiple maneuvering penetration strategies [J]. Journa1 of Ballistics, 2012, 24(3): 85-90. (in Chinese)
[15] 邵振星. 机动目标虚拟闭环校射原理研究[D]. 南京: 南京理工大学硕士学位论文, 2008.SHAO Zhenxing. Research of the Principle of Fictitious Closed-loop Amending for Maneuvering Targets [D]. Nanjing: Nanjing University of Science & Technology, 2008. (in Chinese)