英国皇家测量师协会(RICS)在1994年的《理解房地产景气循环》^[1]中对房地产景气循环做出定义，即房地产景气循环是指所有类型房地产总收益率的重复性但不规则波动。在供需时滞的影响下，房地产景气循环可具体表现为4个阶段的交替，即复苏期(recovery)、扩张期(expansion)、收缩期(contraction)和萧条期(recession)。总体上看，房地产景气循环短期呈现非定期变动性，但在足够长的发展时期内具有一定周期性特征。房地产市场的这种长期的周期性特征，一方面反映宏观经济体系影响下市场自身的供求匹配关系，另一方面反映行业经济与宏观经济的协调程度。因此，对房地产市场周期进行研究，对于准确识别和监控房地产市场所处阶段，促进国民经济的平稳运行具有重要意义。

对于房地产景气循环指标选取，国外较早的研究包括1917年哈佛大学编制的美国商情指数^[2]，美国经济研究所(NBER)50年代构建的扩散指数(DI)^[3]及60年代提出的综合指数(CI)^[4]。在此基础上，众多学者先后考量空置率、价格水平波动、通胀水平波动等指标进行解释优化，从而确立了基本经济变量在房地产景气循环模型中的地位^{[5, 6]}。国内对于景气循环表征指标体系的构建起步较晚，主要基于单一指标，例如，商品房销售面积或其增长率^{[7, 8]}、 商品住房销售价格^[9]、 国房景气指数^[10]； 部分构建多级综合指标，例如基于供给类、需求类、社会经济类、心理类或金融类一级指标^{[11, 12]}，进一步细分为施工面积、竣工面积、城镇居民人均可支配收入、城镇居民储蓄存款余额^{[13, 14]}，以及房地产价格指数、固定资产投资完成额、商品房销售面积、商品房销售额等指标^[15]，对于所选指标，多数学者选取DI公式^[16]或CI公式进行合成^[15]。

在进一步的房地产周期分析方面，国外学者利用传统计量经济学模型^[17]、状态空间模型和Kalman滤波^[6]进行了相对成熟的研究。国内学者受限于时间样本欠缺以及统计范围不够全面的现状，主要采用年度数据进行传统时序模型研究^[18]，或采用Hodrick-Prescott(H-P)滤波法^[11]及GM(1，1)模型^[3]估计并分离长期趋势，或通过训练神经网络提取隐含特征关系^{[12, 18]}，并进一步将神经网络与模糊系统结合^[19]。

但是，现有研究多未从数据相关性的角度给出指标选取的客观论证，更重要的是，研究普遍先对趋势变化的模型进行假定，后拟合计算并进行趋势剥离，这种先验确定趋势变动的方法多基于对事先设定趋势函数的参数估计，因此不能够充分表征真正的趋势结构，且存在拟合精度限制。

本文在文献回顾的基础上初步构建房地产景气循环指标体系，通过主成分分析对供给类、需求类、土地类及社会经济与金融类等景气循环指标进行提取，合成周期预警指标，客观反映住宅市场的量价关系及供需关系。进一步，采用小波分析的研究方法，通过多层一维离散小波分解去除趋势和噪声，对合成指标进行高频分解和低频重构，进而更精确地实现非平稳时间序列的趋势分离和周期分析，并通过控制信号重构的尺度实现对市场短周期和长周期的识别，从而避免对趋势函数的先行假设，提升预测精度。

在房地产市场周期的研究中，基于时间序列的时域和频域分析得到了相对成熟的运用。时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息； 以Fourier变换为代表的频域分析虽具有准确的频率定位功能，但仅适用于平稳时间序列。中国房地产市场波动是多因素共同作用的结果，对应景气循环指标多为非平稳序列，具有趋势性、周期性等特征，

并存在随机性、突变性以及多时间尺度结构，具有多层次演变规律，需要某一频段的时间信息或某一时段的频域信息，显然，传统时域和频域分析对此均无能为力^[20]。

近年来，建立在非线性理论基础上的小波分析得到广泛应用。小波分析具有自适应性和数学显微镜性质，能够在时域和频域进行联合局部分析，对非线性系统进行良好的局部逼近，比H-P和Baxter-King (B-K)滤波法更加精细和优越^[21]，因此对于把握中国房地产市场复杂波动的特征具有突出的优势。目前，小波分解多应用于信号突变点检测、矿产和期货价格波动的研究，但尚未应用于房地产周期分析，这是本文对现有研究方法的创新性补充。

小波分析的基本思想是用一簇小波函数系表示或逼近某一信号或函数。设ψ表示基本小波函数，标度因子a反映波周期长度，平移因子b反映小波在实践上相对于x的平移，则小波基可以定义为

小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度a得到信号低频或高频信息，实现对不同时间尺度和空间局部特征分析。函数f(x)的小波变换定义为

一维连续小波变换将一维信号变换到在时坐标位置b和尺度a上具有相对振幅W_a,b(f)变化的二维平面(a，b)中，对应于f(x)在函数族上的分解，以3层小波分解为例，假设其原始序列为S，则可利用多分辨分析对低频部分逐层分解(如图1 所示)，N层小波分解结构以此类推。与分解相对应，重构即对各层分解系数进行信号反向叠加。

图 1 三层小波分解结构示意图

图选项

本文选取了景气循环周期的11项基本指标，数据来源为《北京市统计年鉴》(1999—2012年)^[22]，具体包括住宅开发投资额(X₁)、 社会固定资产投资额(X₂)、 住宅施工面积(X₃)、 住宅竣工面积(X₄)、 土地购置费(X₅)、 房地产贷款增加率(X₆)、 城镇居民储蓄存款余额(X₇)、 城镇居民人均可支配收入(X₈)、 住宅销售额(X₉)、 住宅销售面积(X₁₀)、住宅平均售价(X₁₁)。由于包含所有指标的时间序列仅具有14 a年度数据，计算精度有限，因此本文在筛选后对核心指标进行时序扩展，利用CPI (consumer price index)平减月度数据叠加获得季度数据，有效解决年度数据样本量问题。

1) 计算因子特征根和主成分特征向量表，提取主成分。由于量纲之间存在较大差异，因此首先对变量标准化。对标准化后变量求取相关系数矩阵并进行Kaiser-Meyer-Olkin (KMO)检验，相关系数矩阵表示变量的相关性明显，KMO检验结果表示标准化后适合进行主成分分析。主成分特征根和方差贡献率见表1。本文选取特征根大于1的主成分M₁、 M₂和M₃，其累计方差贡献率占到总方差的94.633% (明显大于85%)，因此具有较强的代表性。

2) 依据初选和成指标系数提取核心指标。求取主成分荷载矩阵，由主成分载荷向量除以各自主成分特征值的算术平方根求取主成分系数，并利用各自“单个方差贡献率”求取加权平均值。由表2可知，通过主成分降维，住宅销售面积(X₁₀)和住宅销售额(X₉)的合成指标系数最大，因此最具有代表性； 住宅施工面积(X₃)、 住宅开发投资额(X₁)和住宅竣工面积(X₄)的合成指标较大。进一步考虑住宅施工面积的数据的有限性(中宏数据库中北京市住宅施工面积月度数据始于2008年12月)，本文选择对X₁₀、 X₉、 X₁和X₄等4项指标进行季度拓展，加权合成周期计算指标。

3)计算终选合成指标系数。合成指标值是主成分以“单个方差贡献率”为权数求得的加权平均数。针对初选的4个主要指标进行主成分、特征根和方差贡献率的计算，第一主成分MA₁的累计方差贡献率67.796 < 85%，而第二主成分MA₂的特征根0.968>0.95，因此放松条件取MA₁和MA₂，其累计方差贡献率91.984%>85%，具有较强的代表性。终选指标的合成系数见表3。

基于表3的合成系数对X₁₀、 X₉、 X₁和X₄进行进一步合成(如图2)。该合成的季度指标克服了单一指标选取的主观性偏差，同时利用数据相关性特征保证了涵盖的信息量和代表性，具有明显优势； 在经济层面上，住宅销售额和住宅销售面积主要反映了需求类信息，而住宅开发投资额和住宅竣工面积主要反映了供给类信息，因此该合成指标能够客观反映住宅市场的量价及供求关系，比单一指标更具代表性和信息量。

图 2 合成指标信号图

图选项

图2所示合成指标反映了住宅市场波动基本形态，由长期趋势(T)、 景气循环周期(C)、 季节变动(S)和随机波动(R)等4部分构成，由式(3)表示，即

图 3 本文采用的db4作为小波基的小波母函数形态

图选项

本文采用小波分析对于图2所示合成指标(Y)进行信号分离，通过母函数、分解层数和阈值的选取，获得最小均方误差下的信号分解结果，以最后一层分解得到的低频信号作为时间趋势T，采用反证法将第一、二层的高频信号与R及S相对应，最终反向计算景气循环周期波动信号(C=Y-T-S-R)。

本文采用Matlab软件进行小波分析编程，将合成指标时间序列数据看作含有噪声干扰的非平稳的信号，进一步进行时域和频域上的处理。

在小波去噪过程中有3个关键步骤，即小波母函数选择、小波层数选择和阈值选择。在小波母函数选择方面，应具有正交性、紧支撑性、原点矩、对称性； 在小波层数选择方面，由于分解层次越高，去噪效果明显的同时失真度相应增大，对于以去除白噪声干扰为目的的去噪，分解层次一般不超过5层^[23]； 在阈值选择方面，降噪结果对阈值选择规则很敏感，阈值太小去噪效果不明显，阈值过高可能会过滤掉趋势成分。

参考降噪小波函数正交性、紧支撑性、原点矩、对称性的要求，目前学者多选用Daubechies小波系dbN。 本文通过对db1、 db4和db10等3种小波基函数分别模拟计算，按照最小均方误差原理选择db4小波基作为周期分析采用的小波基(如图3所示)。在分解层次方面，研究参考小波分析在价格周期预测方面的成果，综合取N=3~5，进一步根据最小均方误差进行分解层次的比选，确定为5层。在阈值选择方面，本文采用默认阈值消噪处理，用ddencmp函数获得在消噪压缩过程中的默认阈值。

在图3所示db4小波母函数的基础上，通过编程实现利用小波母函数5 分层重构信号。图4显示了分层重构信号后的多层一维离散小波分解结果，其中LF5为5层分解低频信号(low-pass filtering)，HF1—HF5分别为1层至5层分解高频信号(low-pass filtering)(原理见图1)。

图 4 母函数为db4的5层一维离散小波分解结果

图选项

图4显示，具有明显单调性趋势的LF5波较好地反映了商品房销售额波动的时间趋势(T)，利用初始信号(主成分合成指标Y)直接去除时间趋势T得到包含所有噪声和季节性波动的周期(C+R)。 HF1的频率非常高，且经过Augmented Dickey-Fuller (ADF)单位根检验后表现为平稳的时间序列，因此认为HF1反映了商品房销售额的随机扰动项(R)，而HF2、 HF3、 HF4和HF5不具备趋势性特征和明显的噪声特征，初步认为可以反向叠加生成周期性特征，但由于HF2的波动频率较高，且经过ADF单位根检验后表现为平稳的时间序列，因此需要进一步定性判断HF2的属性。本文采用反证法，假设其是周期波动组成部分，因此可反相叠加HF2、 HF3、 HF4和HF5构造信号Cycle1，而不包括HF2的信号为Cycle2。图5反映了在样本期间初始信号(Y)、 时间趋势(T)、 反向包含所有噪声的周期性波动信号(C+R)、 仅剔除HF1的周期性波动信号(Cycle1)的波动性对比。

图 5 基本信号及其组合重构

图选项

由图5可知，去掉时间趋势后，包含白噪声的周期性波动仍具有非常高的频率，信号(C+R)的周期约为3个季度； 同时，Cycle1的周期比(C+R)周期略大，约为1 a(4个季度)左右，因此HF2可以判断为非周期扰动的季节性波动项(S)。

根据经济周期理论，短周期(基钦周期)主要与存货投资的周期性变动有关，平均波长为3~4 a^[22]。 本文依据分层重构信号的对比分析结论，选择在去除趋势项的基础上进一步去除HF1和HF2，反向叠加得到的周期性波动Cycle2(如图6)，表征在去除趋势项和噪声后，房地产市场的供求关系在政策周期和信贷周期的驱动下表现出短期波动性的特征。

图 6 周期性波动(Cycle2)信号图

图选项

结果显示，北京房地产市场的波动的周期平均约为15个季度(约3.75 a)，大致可以分为3个阶段。

第一阶段： 2003年第一季度之前，整个景气循环过程的波动幅度不明显；

第二阶段： 2003年第二季度到2008年第二季度金融危机爆发之前，房地产市场经历了一个较长的景气时期，景气循环波动幅度较上一阶段显著增大，持续大约5 a，2006年市场逐步进入衰退期，但是受到住房高投资回报率的惯性影响，房地产市场开发商投资热情持续增加，最终导致供给严重超过需求。

第三阶段： 2008年爆发全球金融危机，对房地产市场产生了剧烈的影响，房地产销售额降至最低(位于波谷)，在市场极度不景气的压力下，政府被迫采取救市措施进行缓冲，房地产市场从波谷处开始恢复，因此2008年第三季度至今，可能由于金融危机和政府对于房地产市场频繁干预调控的影响，处于多重干扰下的房地产市场产生了各种适应性的反映，相比上一阶段，景气循环周期缩短且振幅增加，周期约为3.5 a。

与短周期的性质和引致因素不同，中长周期(Juglar周期)主要与基础设施建设、产业结构升级和技术进步有关，平均波长在7 a以上^[24]。在去除趋势项(LF5)和噪声(HF1和HF2)的基础上，进一步过滤短周期影响，对信号进行反向叠加得到中长周期波动Cycle3的信号图(如图7)，在数据覆盖的时间段内出现了1个完整的9 a周期，其中，2003年土地出让制度改革有效刺激了基础设施建设和房地产市场的发展，房地产市场进入扩张期，房地产业逐渐成为支柱产业； 住房投资性需求的惯性驱动导致实际供应骤增，具有一定的泡沫性质，自2007年开始，房地产市场逐渐进入收缩阶段，并初步开启市场结构的调整； 2008年，在市场滞后性和金融危机双重作用下，房地产市场快速衰退并达到谷底，其后政府救市措施和多项宏观调控政策的缓冲促进了房地产市场从波谷中逐步复苏，2009年下半年，房地产市场进入复苏期，房地产市场逐步实现从国民经济“加速器”到“稳定器”的角色置换，新型城镇化的背景进一步拉动房地产市场的多元化转变，保障性住房、改善型住宅、适老住宅等差异化需求进一步扩大，显示出产业深化和转型的积极信号。

图 7 周期性波动(Cycle3)信号图

图选项

进一步对比分析短周期和中长周期的识别结论可知，本文的周期测算结果与现有文献研究得到的“3 a短周期”和“7~9 a中长周期”平均水平接近^{[9, 11, 12, 13, 15]}，但仍表现出相对偏长的特征，主要原因在于小波分析相比于传统的时域或频域分析能够更加有效地过滤高频政策干预带来的短期高频扰动，同时避免先验地确定趋势变动的函数而带来的拟合精度限制。因此，小波分析多尺度、自适应性强的特点，有助于更好地适应中国房地产市场非平稳、多层次的演变规律。

本文针对房地产市场周期研究提出了一种新型研究方法——小波分析，充分利用小波分析自适应性和数学显微镜性质，通过小波去噪和重构，对北京市房地产市场的短周期以及中长周期进行了识别。

总体上看，在短周期方面，北京市房地产市场的波动的周期平均约为15个季度(约3.75 a)； 在中长周期方面，在数据覆盖的时间段内，仅出现了1个完整的周期，周期约为9 a。 2014年房地产市场位于萧条期，投资者应认清周期形式，理性进行顺周期投资决策，从而减少个体损失，促进社会资源的有效配置。

本文在支持现有研究结论的基础上，针对中国房地产市场非平稳、多层次、政策干预频繁的特征提出了针对性的实证工具，一方面丰富了周期识别的研究方法，另一方面为进一步采用小波神经网络等方法分别对小波分析得到的趋势项和周期项进行经济变量解释分析和数值预测，从而更加精确地开展房地产市场泡沫和周期预警后续研究创造条件。