长期以来，机床加工精度的提高受到诸多限制，其中机械基准导向方式是主要限制之一。机械导轨存在加工误差、机械变形、摩擦磨损等问题，影响机床运动部件的运动精度，进而造成加工误差。因此，使机床运动部件脱离与机械导轨的接触，从而避免各种不利因素对其运动精度的影响，便成为人们追求的提高机床加工精度的一种途径。
液体静压导轨和气体静压导轨是传统机械分离技术。然而，液体静压导轨和气体静压导轨受到油膜和气膜厚度的限制，产生的悬浮高度小；重型超重型机床(如龙门机床)机械导轨变形严重，采用液体静压导轨或气体静压导轨难以彻底消除机械导轨误差对运动部件的影响。磁悬浮技术能够产生很大的悬浮高度，且其控制性能及动态性能均优于液体静压导轨和气体静压导轨。近年来，沈阳工业大学、大连交通交通大学、上海大学、清华大学等研究机构开展了机床磁悬浮系统的研究[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]。
机床磁悬浮系统要求悬浮精度高。磁悬浮系统是开环不稳定的强非线性系统，许多文献中采用平衡点线性化的方法对磁悬浮系统进行线性化，然而这种线性化方法在偏离控制点后控制性能恶化，甚至导致系统不稳定[9, 10]。反馈线性化方法是一种精确线性化方法，可将磁悬浮系统线性化为简单的二阶微分线性系统，然而该方法对于模型精度要求较高，磁悬浮系统的精确模型和参数难以获得[9, 11]。直接采用反馈线性化方法存在较大误差，增加了磁悬浮系统的控制器设计复杂性和调试难度，影响悬浮控制精度，甚至会影响系统稳定性[11]。为了解决此问题，本文提出结合干扰观测器的精确反馈线性化方法对磁悬浮系统进行线性化。
1 磁悬浮进给系统图1所示为本课题组研制的磁悬浮进给系统。该系统由磁悬浮工作台、导轨、直线电机、支座等组成。磁悬浮工作台有6个自由度，是系统的运动部件；导轨固定在支座上，主要为磁悬浮工作台提供磁路；直线电机安装在系统两侧，电机次级与支座固定在一起，电机初级固定在磁悬浮工作台两侧。
磁悬浮工作台通过位于4个角的电磁铁调节，实现沿z轴的悬浮。两侧的直线电机产生推力和法向力，法向力用来实现工作台沿x轴的悬浮，推力用于驱动工作台沿y轴的进给运动。沿z轴的悬浮运动是实现进给运动的基础，因此本文重点讨论z轴悬浮控制中的线性化问题。
传统磁悬浮系统通常采用电涡流传感器测量电磁铁与磁路导轨之间的气隙，对气隙进行控制。然而，构成磁路的导轨是质量大的简支梁，存在较大弯曲变形。为了避免z轴悬浮精度受到导轨变形的影响，本系统采用信息制导系统获得工作台的绝对悬浮高度，如图1所示。信息制导系统由位置敏感探测器(position sensitive detector，PSD)模块和激光模组组成。PSD模块通过检测激光模组的光斑获得工作台的悬浮高度，控制器对悬浮高度进行控制，从而避免了导轨误差对悬浮精度的影响。
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| 图 1 磁悬浮进给系统 |
磁悬浮平台通过控制4个角的电磁铁单元实现z轴高精度悬浮。电磁铁的电磁吸力F=k·i2/zgap2。其中：zgap=zmax-z，z表示悬浮高度，zmax表示最大气隙，zgap表示悬浮气隙；i表示线圈电流[2]。电磁系数k=μ0·S·N2/4。其中：μ0=4π×10－7为真空磁导率，S为铁芯面积，N为电磁铁线圈匝数[2]。
如图2a所示，电磁铁单元的磁悬浮数学模型可表示为
| $\left\{ \begin{gathered} \dot z = v \hfill \\ \dot v = \frac{k}{m} \cdot \frac{{{i^2}}}{{z_{{\text{gap}}}^2}} - \dot g \hfill \\ \end{gathered} \right.$ | (1) |
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| 图 2 磁悬浮系统反馈线性化 |
选取状态变量x=[x1 x2]′=[z v]′，式(1)的非线性状态方程可表示为
| $\left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2} \hfill \\ {{\dot x}^2} = \frac{k}{m} \cdot \frac{{{i^2}}}{{\left( {{z_{\max }} - {x_1}} \right)}} - \dot g \hfill \\ \end{gathered} \right.$ | (2) |
| $\begin{align} & f\left( x \right)=\left[ {{x}_{2}}-g \right]' \\ & g\left( x \right)=\left[ 0k/m\cdot {{\left( {{z}_{\max }}-{{x}_{1}} \right)}^{2}} \right]' \\ \end{align} $ |
| $\left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2} \hfill \\ {{\dot x}_2} = \frac{k}{m} \cdot \frac{{{i^2}}}{{\left( {{z_{\max }} - {x_1}} \right)}} - \dot g \hfill \\ \end{gathered} \right.$ | (3) |
采用反馈线性化方法，反馈控制量u=α(x)+β(x)·υ。其中：υ为控制器输出，α(x)和 β(x)计算公式如下：
| $\left\{ \begin{gathered} \alpha \left( x \right) = - \frac{{L_f^2h\left( x \right)}}{{{L_g}{L_f}h\left( x \right)}} = \frac{{mg}}{k} \cdot {\left( {{z_{\max }} - {x_1}} \right)^2} \hfill \\ \beta \left( x \right) = - \frac{1}{{{L_g}{L_f}h\left( x \right)}} = \frac{{mg}}{k} \cdot {\left( {{z_{\max }} - {x_1}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ | (4) |
| $\begin{gathered} {L_f}h\left( x \right) = {x_2},L_f^2h\left( x \right) = - g \hfill \\ {L_g}{L_f}h\left( x \right) = k/\left( {m \cdot {{\left( {{z_{\max }} - {x_1}} \right)}^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} $ |
如图2b所示，将反馈控制量u代入非线性系统(2)，得到二阶微分线性系统，
| $\left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2} \hfill \\ {{\dot x}_2} = \dot v \hfill \\ \end{gathered} \right.$ | (5) |
造成反馈线性化误差的因素包括电磁吸力的建模误差、电流跟踪误差以及参数误差。电磁吸力F计算模型忽略了漏磁通，忽略了电磁铁和导轨中的电阻，假设磁势均匀降在气隙上，并且忽略了电磁铁和导轨的磁化曲线非线性。因此，电磁系数k理论计算公式存在误差，并且电磁吸力存在未建模误差。实际电磁系数会随着电流i、悬浮高度z的变化而变化，即电磁系数是电流i、悬浮高度z的函数，可表示为k(i，z)。电磁吸力未建模误差也是电流i、悬浮高度z的函数，可表示为δF(i，z)。实际电磁吸力可表示为
| $F = k\left( {i,z} \right) \cdot \frac{{{i^2}}}{{{{\left( {{z_{\max }} - z} \right)}^2}}} + \delta F\left( {i,z} \right)$ | (6) |
在图2线性化过程中，假设电流环传递函数为1，考虑电流环跟踪误差的影响，实际电流i=Gi·ic。其中：Gi为实际电流环传递函数，${i_c} = \sqrt u $为电流指令。
此外，通常工作台的质心与几何中心不重合，每个电磁铁承担的质量m难以准确获得；而由于导轨存在较大变形误差，最大气隙zmax与设计值存在较大误差，进而导致气隙计算zgap=zmax-z存在较大误差。
反馈线性化过程中，由式(4)可得到反馈控制量u=m0·(g+υ)·(zmax0－z)2/k0。其中：m0表示理论悬浮质量，zmax0表示理论最大气隙，k0表示理论电磁系数。实际电磁吸力F为
| $\begin{gathered} F = k\left( {i,z} \right) \cdot \frac{{{i^2}}}{{{{\left( {{z_{\max }} - z} \right)}^2}}} + \delta F\left( {i,z} \right) = \hfill \\ k\left( {i,z} \right) \cdot \frac{{G_i^2 \cdot i_c^2}}{{{{\left( {{z_{\max }} - z} \right)}^2}}} + \delta F\left( {i,z} \right) = \hfill \\ k\left( {i,z} \right) \cdot \frac{{G_i^2 \cdot u}}{{{{\left( {{z_{\max }} - z} \right)}^2}}} + \delta F\left( {i,z} \right) = \frac{{k\left( {i,z} \right) \cdot G_i^2}}{{{{\left( {{z_{\max }} - z} \right)}^2}}} \cdot \hfill \\ \frac{{{m_0} \cdot \left( {g + v} \right) \cdot {{\left( {{z_{\max }} - z} \right)}^2}}}{{{k_0}}} + \delta F\left( {i,z} \right) = \hfill \\ \frac{{{\eta _k}}}{{{\eta _z}}} \cdot G_i^2 \cdot {m_0}\left( {g + v} \right) + \delta F\left( {i,z} \right) \hfill \\ \end{gathered} $ | (7) |
| $\begin{gathered} {\eta _k} = k\left( {i,z} \right)/{k_0}, \hfill \\ {\eta _k} = {\left( {{z_{\max }} - z} \right)^2}/{\left( {{z_{\max 0}} - z} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} $ |
| $\begin{gathered} \ddot z = \frac{{F - mg}}{m} = \hfill \\ \frac{{{\eta _k}}}{{{\eta _z}}} \cdot G_i^2 \cdot \frac{{{m_0}}}{m} \cdot \left( {g + v} \right) + \frac{{\delta F\left( {i,z} \right)}}{m} - g = \hfill \\ \frac{{{\eta _k} \cdot G_i^2}}{{{\eta _z} \cdot {\eta _m}}} \cdot \left( {g + v} \right) + \frac{{\delta F\left( {i,z} \right)}}{m} - g = \hfill \\ \left( {\eta - 1} \right) \cdot g + {m^{ - 1}} \cdot \delta F\left( {i,z} \right) + \eta \cdot v \hfill \\ \end{gathered} $ | (8) |
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| 图 3 反馈线性化误差模型 |
针对图3b中线性化后的误差模型设计干扰观测器(disturbance observer，DOB)，如图4所示。实际模型Gp(s)=η /s2，名义模型Gn(s)=1/s2。基于干扰观测器稳定性和干扰抑制能力的要求，滤波器Q(s)设计为二阶低通滤波器[12]。
| $Q\left( s \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + {\tau _Q}s} \right)}^2}}}$ | (9) |
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| 图 4 干扰观测器补偿 |
由图4可知从输入υ到输出x1的传递函数为
| ${G_{v{X_1}}}\left( s \right) = \frac{{{G_{\text{p}}}\left( s \right){G_{\text{n}}}\left( s \right)}}{{{G_{\text{n}}}\left( s \right) + \left[ {{G_{\text{p}}}\left( s \right) - {G_{\text{n}}}\left( s \right)} \right]Q\left( s \right)}}$ | (10) |
从干扰d到输出x1的传递函数为
| ${G_{D{X_1}}}\left( s \right) = \frac{{{G_{\text{p}}}\left( s \right){G_{\text{n}}}\left( s \right)\left[ {1 - Q\left( s \right)} \right]}}{{{G_{\text{n}}}\left( s \right) + \left[ {{G_{\text{p}}}\left( s \right) - {G_{\text{n}}}\left( s \right)} \right]Q\left( s \right)}}$ | (11) |
悬浮工作台机械运动速度相对控制器信息处理速度较慢，干扰d及模型误差变化处于控制器信号的低频段。选择合适的滤波器带宽，可使得滤波器Q(s)在低频段满足Q(s)=1，则由式(10)和(11)得
| $\begin{gathered} {G_{v{X_1}}}\left( s \right) = {G_{\text{n}}}\left( s \right) \hfill \\ {G_{D{X_1}}}\left( s \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} $ | (12) |
在低频段，从控制量输入υ到输出x1的响应与理想线性模型响应一致，且干扰部分被完全抑制。因此，通过干扰观测器补偿，反馈线性化方法可以实现对磁悬浮系统的精确线性化，得到理想的二阶微分线性系统，如图5所示。
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| 图 5 磁悬浮系统精确线性化控制框图 |
在精确线性化基础上，可以对二阶微分线性系统设计线性或非线性控制器，实现高精度悬浮。图5采用状态反馈控制方法设计悬浮高度控制器，进行磁悬浮单元闭环控制。由状态反馈控制器得
| $v = {\ddot z_c} + {k_2} \cdot \dot e + {k_1} \cdot e$ | (13) |
磁悬浮工作台总质量为158 kg，单个电磁铁铁芯面积为2.25×10-3 m2、线圈匝数为100匝，悬浮高度指令为zc=300 μm。采用理论模型参数进行反馈线性化，第1组参数(参数1)为m0=158/4 kg=39.5 kg、k0=7.07×10－6、zmax0=1.2 mm。无干扰观测器补偿时，工作台悬浮曲线如图6a所示，工作台的4个角悬浮高度误差都很大。悬浮高度误差的标准差可以体现实际悬浮高度围绕悬浮高度指令的分散程度，因此可以采用悬浮高度误差的标准差来衡量悬浮精度。悬浮高度误差的标准差$\sigma = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{z_c} - {z_i}} \right)/n} } $此时工作台4个角的悬浮精度如表1所示。
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| 图 6 无DOB补偿、采用参数1和参数2时的工作台悬浮高度 |
| 实验条件 | σ 1/μm | σ 2/μm | σ 3/μm | σ 4/μm |
| 参数1无DOB | 144 | 135 | 111 | 121 |
| 参数2无DOB | 44 | 30 | 29 | 49 |
| 参数1有DOB | 5.0 | 1.4 | 3.2 | 3.8 |
| 参数2有DOB | 2.4 | 1.5 | 2.2 | 2.9 |
采用参数1时，悬浮高度存在正误差，即存在负扰动，一般δF(i，z)较小，负扰动主要由于η < 1导致。通常电磁系数k0采用理论计算值，误差较大，可通过减小k0增大η。调整电磁系数k0，第2组参数(参数2)为m0=39.5 kg、k0=6.55×10－6、zmax0=1.2 mm，工作台悬浮曲线如图6b所示，此时悬浮误差减小，但是悬浮精度仍然较低。
加入干扰观测器后，在参数1和参数2下控制工作台悬浮，悬浮曲线如图7所示。在两组参数下，工作台都稳定地悬浮在指令高度位置，其悬浮精度如表1所示。
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| 图 7 有DOB补偿、采用参数1和参数2时的工作台悬浮高度 |
图6表明在没有干扰观测器时，反馈线性化存在误差，悬浮误差很大，且难以通过实验调试获得精确模型参数，仅采用反馈线性化难以实现高精度悬浮。对比图6和7可见，加入干扰观测器后，工作台的悬浮精度大幅度提高，达到μm级；且在两组不同参数下，干扰观测器均对反馈线性化误差进行有效补偿，对参数误差不敏感。这说明基于理想二阶线性系统设计的状态反馈控制器能够使得悬浮高度误差收敛到零，即加入干扰观测器后可以获得精确的线性化模型。
6 结论本文针对磁悬浮系统的线性化问题进行了研究，并提出基于干扰观测器的磁悬浮精确反馈线性化方法。该方法通过干扰观测器对反馈线性化误差的补偿，可以获得磁悬浮系统的精确线性化模型，且对参数误差不敏感。该方法能够有效提高磁悬浮系统的控制性能，实现磁悬浮系统的高精度悬浮。磁悬浮工作台的悬浮实验验证了该方法的有效性。实验结果表明，该方法将磁悬浮单元精确线性化为二阶微分线性系统，磁悬浮工作台的悬浮精度大幅度提高，达到μm级悬浮精度。
| [1] | 郭庆鼎, 赵希梅, 孙宜标, 等. 磁悬浮横梁零相位直线驱动龙门移动镗铣床及控制方法[P]. 中国: CN200610047574.X. 2007-02-21.GUO Qingding, ZHAO Ximei, SUN Yibiao, et al. EMS Cross Rail Zero-Phase Linear Drive Gantry Machine and Control Method[P]. China: CN200610047574.X. 2007-02-21. (in Chinese) |
| [2] | 王丽梅, 石佳. 基于反馈线性化的龙门数控机床磁悬浮系统滑模鲁棒控制[J]. 机床与液压, 2008, 36(5): 254-256.WANG Limei, SHI Jia. Sliding mode control of magnetic levitation system used in gantry NC machine tool based on feedback linearization[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2008, 36(5): 254-256. (in Chinese) |
| [3] | 安明伟. 机床用磁悬浮系统悬浮高度的鲁棒控制研究[D]. 沈阳: 沈阳工业大学, 2010.AN Mingwei. Robust Control of Levitation Height in Electromagnetic Levitation System Used in Machine Tool[D]. Shenyang: Shenyang University of Technology, 2010. (in Chinese) |
| [4] | 王军闯. NC机床磁悬浮进给机构研究[D]. 大连: 大连交通大学, 2006.WANG Junchuang. Study on Magnetic Suspension Feed Mechanism for NC Machine Tools[D]. Dalian: Dalian Jiaotong University, 2006. (in Chinese) |
| [5] | 葛研军, 张文跃, 蒋成勇, 等. 数控机床磁浮直线进给系统[P]. 中国: CN200610161995.5. 2007-08-29.GE Yanjun, ZHANG Wenyue, JIANG Chengyong, et al. EMS Linear Feed Drive System of NC Machine Tool[P]. China: CN200610161995.5. 2007-08-29. (in Chinese) |
| [6] | 张钢, 汪希平, 朱礼进, 等. 工业应用型主动磁悬浮机床导轨直线电机进给平台[P].中国: CN200310107944.0. 2004-09-15.ZHANG Gang, WANG Xiping, ZHU Lijin, et al. Industrial EMS Linear Motor Feed Drive Platform of Machine Tool[P]. China: CN200310107944.0. 2004-09-15. (in Chinese) |
| [7] | 吴国庆. 用于数控机床的磁悬浮支承系统及其控制技术[D]. 上海: 上海大学, 2006.WU Guoqing. Magnetic Suspension Supporting System and Its Control Technology Used for Numerical Control Machine[D]. Shanghai: Shanghai University, 2006. (in Chinese) |
| [8] | JIANG Wenxue, ZHOU Kai, LV Jiangwei, et al. Superconducting EMS feed drive system of NC machine tool[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014, 74(5-8): 1053-1060. |
| [9] | Trumper D L, Olson S M, Subrahmanyan P K. Linearizing control of magnetic suspension systems[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 1997, 5(4): 427-438. |
| [10] | Da Rocha P H, Ferreira H C, Porsch M C, et al. Fixed-point DSP implementation of nonlinear controller for large gap electromagnetic suspension system[J]. Control Engineering Practice, 2009, 17(10): 1148-1156. |
| [11] | Sungjun J, Seo J H. Design and analysis of the nonlinear feedback linearizing control for an electromagnetic suspension system[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 1997, 5(1): 135-144. |
| [12] | 刘德君, 郭庆鼎, 翁秀华. 直线电动机驱动3-DOF磁浮平台推力解耦控制[J]. 机械工程学报, 2005, 41(1): 234-238.LIU Dejun, GUO Qingding, WENG Xiuhua. Thrust decoupling control of linear motor driver 3-DOF planar magnetic suspension stage[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(1): 234-238. (in Chinese) |