航天器对接的全局渐近稳定控制
魏伟1, 左敏1, 苏婷立1, 杜军平2    
1. 北京工商大学 计算机与信息工程学院, 北京 100048;
2. 北京邮电大学 计算机学院, 北京 100876
摘要:与基于推力器对接方式相比, 航天器电磁对接具有无推进剂消耗、无羽流污染、无对接冲击的优势。然而, 航天器对接固有的高度非线性、不确定性以及强耦合性极大地限制了航天器对接控制的性能。该文在远场电磁力模型及Hill模型组成的电磁对接动力学模型的基础上利用非线性变换将非线性电磁对接控制模型线性化, 设计全局稳定控制律; 基于Lyapunov函数获得了航天器电磁对接控制全局渐近稳定的充分条件。仿真结果证实了空间电磁对接控制的有效性。
关键词电磁对接    非线性控制    全局渐近稳定    
Global asymptotically stable control for spacecraft docking
WEI Wei1, ZUO Min1, SU Tingli1, DU Junping2    
1. School of Computer and Information Engineering, Beijing Technology and Business University, Beijing 100048, China;
2. School of Computer Science, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China
Abstract: Spacecraft docking with electromagnetic mechanism has obvious advantages over traditional docking methods, such as no propellant consuming, no plume contamination or docking impact. A dynamic model for electromagnetic docking was employed based on the far-field electromagnetic force model and Hill's model. High nonlinearity, uncertainty and coupling make docking control a challenging work. A transformation was utilized to linearize the nonlinear docking model with a control approach based on Lyapunov function designed for spacecraft docking. Sufficient conditions were obtained for global asymptotical stability with simulations being performed. Both theoretical and numerical results support the proposed control approach.
Key words: electromagnetic docking    nonlinear control    global asymptotical stability    

空间交会对接技术是发展载人航天工程必须解决的一项关键技术,是完成空间站、载人航天器等空间平台在轨组装、燃料加注、维修以及空间救援、物资补给等多项航天任务的基础,也是我国进一步发展载人航天技术和空间对抗技术的重要手段[1, 2]。基于推力器的空间对接技术存在着诸多问题,例如: 对接过程中易发生的碰撞风险,因推力器产生的羽流污染、冲击载荷等。

近年来,利用太阳翻板提供电能作用于电磁线圈产生电磁力,通过线圈电流连续改变电磁力的大小及方向实现基于电磁作用的航天器对接方式不仅避免了推进剂的消耗和羽流污染,而且电流(电磁力)的连续和可逆控制使得空间电磁对接更为精细和柔性。电磁对接装置结构简单、性价比高,电磁对接的诸多优势使其具有更为广阔的应用价值[3, 4]

国外已开始了空间电磁对接的工程试验。华盛顿大学相关学者于2000年研究了电磁对接方法与装置[5]; 2005年德克萨斯大学设计微重力条件下的地面自主对接和分离试验,验证了空间环境下电磁对接和分离的可行性[6]。国内在电磁对接装置以及电磁对接的测量、控制方面虽有相关报道[1, 2, 3, 4, 7, 8, 9],但起步较晚,尚无有效研究[2]。电磁力固有的非线性、相互性以及空间环境中各种干扰力矩决定了电磁对接控制具有非线性、强耦合、不确定的特点[9]。基于近距离相对运动Hill方程研究空间电磁对接的非线性控制问题已有许多结果[2, 3, 4, 8, 9]。文[2]在Lee博士论文[10]所建二维模型的基础上利用反馈线性化思想设计控制律实现柔性电磁对接,但是控制律需要获得偏差的微分信号,在一定程度上影响了其适用范围; 将Hill相对运动方程和远场电磁力模型结合建立空间电磁对接动力学模型[10]、 比例微分控制[3]、 反馈线性化与H复合控制[4, 8]、 基于扩张状态观测器的线性二次型高斯控制[9]、 滑模控制[11]等已有结果。空间电磁对接控制问题是电磁对接过程中非常关键的环节。目前已有对接工程试验研究,但关于其控制策略和方法的讨论相对较少。空间对接涉及复杂的空间电磁环境,存在各种干扰力矩,已报道的控制方法和策略大多依赖系统数学模型。减少控制律对模型的依赖对于空间电磁对接而言具有重要的现实意义。

本文受文献[2, 3, 4]中控制设计思想的启发,在电磁力远场模型与Hill相对运动方程结合的空间电磁对接受控系统模型的基础上,验证基于Lyapunov函数的全局渐近稳定的空间电磁对接控制方法的有效性。该方法仅依据对接偏差设计控制律,增强了对接的鲁棒性。

1 空间电磁对接控制模型

假定目标航天器在近圆轨道上运动,其轨道坐标系为相对运动参考系。目标航天器为T,对接航天器为C(如图1所示)。

图1 航天器相对运动示意图

当目标航天器T与对接航天器C之间的距离d <50 km时,C与T的相对运动满足Hill方程:

$\left\{ {\matrix{ {\ddot x - 2\omega \dot y - 3{\omega ^2}x = 2{{{F_\alpha }} \over m},} \cr {\ddot y + 2\omega \dot x = 2{{{F_{cy}}} \over m},} \cr {\ddot z + {\omega ^2}z = 2{{{F_{cz}}} \over m}.} \cr } } \right.$ (1)
式中: x、 y、 z为C与T的相对距离 d 在参考坐标系的投影,ω为目标航天器轨道运动角速度,F c=(Fcx,Fcv,Fcz)T为对接航天器的电磁力矩,m为对接航天器的质量。

假定目标航天器上的电磁力矩保持不变,追踪航天器上的电磁力矩(μcxcvcz)T为待设计变量。基于偶极子假设建立远场电磁力模型:

${F_c} = - {{3{u_0}} \over {4\pi }}\left[ { - {{{u_T} \cdot {u_c}} \over {{d^5}}}d - {{{u_T} \cdot d} \over {{d^5}}}{u_c} - {{{u_c} \cdot d} \over {{d^5}}}{u_T} + 5{{\left( {{u_T} \cdot d} \right)\left( {{u_c} \cdot d} \right)} \over {{d^7}}}d} \right].$ (2)
式中: μ0为真空磁导率,μ T、 μ c分别为目标航天器和追踪航天器的电磁矩矢量。

本文主要考虑电磁对接的控制问题,假设对接航天器姿态已经与参考系一致且相对位置在控制过程中保持稳定。将目标与相对航天器的偶极子电磁矩、相对距离投影到参考系可得:

$\left\{ {\matrix{ {{u_T} = {{\left( {0,{u_T},0} \right)}^T},} \cr {{u_c} = {{\left( {{u_{cx}},{u_{cy}},{u_{cz}}} \right)}^T},} \cr {d = {{\left( {x,y,z} \right)}^T}.} \cr } } \right.$ (3)

将式(3)代入式(2)并投影到参考系,可得追踪航天器所受电磁力标量模型:

$\eqalign{ & {F_c} = \left[ {\matrix{ {{F_{cx}}} \cr {{F_{cy}}} \cr {{F_{cz}}} \cr } } \right] = \cr & {{3{u_0}{u_T}} \over {4\pi {d^5}}}\left[ {\matrix{ {y - {{5{x^2}y} \over {{d^2}}}} & {x - {{5x{y^2}} \over {{d^2}}}} & { - {{5xyz} \over {{d^2}}}} \cr {x - {{5x{y^2}} \over {{d^2}}}} & {3y - {{5{y^3}} \over {{d^2}}}} & {z - {{5{y^2}z} \over {{d^2}}}} \cr { - {{5xyz} \over {{d^2}}}} & {z - {{5{y^2}z} \over {{d^2}}}} & {y - {{5{y^2}z} \over {{d^2}}}} \cr } } \right]\left[ {\matrix{ {{u_{cx}}} \cr {{u_{cy}}} \cr {{u_{cz}}} \cr } } \right] \cr} $ (4)

将式(4)代入式(1)即得空间电磁对接控制模型:

$\left\{ {\matrix{ {\ddot x - 3{\omega ^2}x = {\delta _{cx}},} \cr {\ddot y = {\delta _{cy}},} \cr {\ddot z + {\omega ^2}z = {\delta _{cz}}.} \cr } } \right.$ (5)
其中,
$\eqalign{ & \left[ {\matrix{ {{\delta _{cx}}} \cr {{\delta _{cy}}} \cr {{\delta _{cz}}} \cr } } \right] = {{3{u_0}{u_T}} \over {2\pi m{d^7}}}\left[ {\matrix{ {{d^2}y - 5{x^2}y} & {{d^2}x - 5x{y^2}} & { - 5xyz} \cr {{d^2}x - 5x{y^2}} & {3{d^2}y - 5{y^3}} & {{d^2}z - 5{y^2}z} \cr { - 5xyz} & {{d^2}z - 5{y^2}z} & {{d^2}y - 5y{z^2}} \cr } } \right] \cdot \cr & \left[ {\matrix{ {{u_{cx}}} \cr {{u_{cy}}} \cr {{u_{cz}}} \cr } } \right] + \left[ {\matrix{ {2\omega \dot y} \cr { - 2\omega \dot x} \cr 0 \cr } } \right] \cr} $ (6)

经式(6)所示变换,非线性耦合对接模型已化为线性解耦模型,取如下坐标变换:

$\phi $1=x,$\phi $2=${\dot x}$,$\phi $3=y,$\phi $4=${\dot y}$, $\phi $5=z,$\phi $6=${\dot z}$.

则式(5)所示电磁对接模型可化为如下形式:

$\left\{ {\matrix{ {{{\dot \phi }_1} = {\phi _2},} \cr {{{\dot \phi }_2} = 3{\omega ^2}{\phi _1} + {\delta _{cx}};} \cr } } \right.$ $\left\{ {\matrix{ {{{\dot \phi }_3} = {\phi _4},} \cr {{{\dot \phi }_4} = {\delta _{cy}};} \cr } } \right.$ $\left\{ {\matrix{ {{{\dot \phi }_5} = {\phi _6},} \cr {{{\dot \phi }_6} = - {\omega ^2}{\phi _5} + {\delta _{cz}};} \cr } } \right.$ (7)

于是经控制变换及坐标变换后原空间电磁对接控制对象变为3个独立的线性控制对象,只需分别设计3个控制输入(δcxcvcz)T即可(基于控制变换的适应性参见文[3])。

2 空间电磁对接控制律设计

基于式(7)所示3个独立的线性控制对象设计如下控制律:

$\left\{ {\matrix{ {{\delta _{cx}} = {k_1}{e_2} + \left( {1 + 3{\omega ^2}} \right){e_1}} \cr {{\delta _{cy}} = {k_2}{e_4} + {e_3}} \cr {{\delta _{cz}} = {k_3}{e_6} + \left( {1 - {\omega ^2}} \right){e_5}} \cr } } \right.$ (8)

令 E 1=(e1,e2,e5,e6)T,E 2=(e3,e4)T为对接偏差:

$\left\{ \matrix{ {e_1} = {x_d} - x = {x_d} - {\phi _1}, \hfill \cr {e_2} = {{\dot e}_1}, \hfill \cr {e_3} = {y_d} - y = {y_d} - {\phi _3}, \hfill \cr {e_4} = {{\dot e}_3}, \hfill \cr {e_5} = {z_d} - z = {z_d} - {\phi _5}, \hfill \cr {e_6} = {{\dot e}_5}. \hfill \cr} \right.$ (9)

式中(xd,yd,zd)T为x、 y、 z三个方向上的期望轨迹。对接阶段x、 z向相对位置/速度理论上已到零,y向为主对接方向,取yd=-0.5+0.001t。

引理1 [12] 非线性自治系统 ${\dot x}$=f( x ) 存在连续可微函数V: Rn→R,满足V(0)=0,V( x )>0,∀ x ≠0,当‖ x ‖→∞时有V( x )→∞且∀ x ≠0时 ${\dot V}$ ( x )<0,那么平衡点x=0是全局渐近稳定的。

引理2 [12] 区域DRn包含非线性非自治系统 ${\dot x}$=f(t,x )的平衡点x=0,连续可微函数V: [0,∞)×D→R,对于∀t≥0,∀ x ∈D满足:

c1 ‖ x ‖a≤V(t,x )≤c2 ‖ x ‖a, ∂V/ ∂t + ∂V/ ∂ x f(t,x )≤-c3 ‖ x ‖a.
其中c1、 c2、 c3、 a为正常数。那么平衡点x=0是全局指数稳定的。

定理1 设计控制律(8),并取控制参数ki>0,i=1,3,k2>1,则闭环系统(7)、 (8)全局渐近稳定。

证明 取Lyapunov函数

V=V1( E 1)+V2(t,E 2)= 1 2 E 1T E 1+ 1 2 E 2T E 2.

显然V1( E 1)>0,∀ei≠0,i=1,3,当‖ E 1‖→∞时V1( E 1)→∞,沿系统(7)对V1( E 1)求导有:

${\dot V}$ 1( E 1)= 1 2 ( E 1T E 1)′= e1${\dot e}$ 1+e2${\dot e}$2+e5${\dot e}$5+e6 ${\dot e}$ 6=e1e2+e2(-3ω2$\phi $1-δcx)+e5e6+ e6(-ω2$\phi $5-δcz)= (1+3ω2)e1e2-δcxe2+ (1-ω2)e5e6-δcze6.
将式(8)所示控制量(δcxcz)T代入${\dot V}$ 1可得
${\dot V}$ 1( E 1)=(1+3ω2)e1e2-δcxe2+ (1-ω2)e5e6-δcze6=-k1e22-k3e62.
∀ E 1≠0,如果ki>0,i=1,3,V · 1( E 1)<0; 子系统(7b)为非自治系统, V2(t,E 2)= 1 2 E 2T E 2= 1 2 e32+ 1 2 e42. 显然
1 /2 e32≤V2(t,E 2)≤e32+e42.
沿着子系统(7b)对V2(t,E 2)求导有
dV2(t,E 2) dt =e3${\dot e}$3+e4${\dot e}$4=-k2e42.
如果k2>1,那么
dV2(t,E 2) dt =e3${\dot e}$3+e4${\dot e}$4=-k2e42≤-e42.

根据引理1、 2可知ki>0,i=1,3,k2>1时闭环系统(7)、 (8)全局渐近稳定。

3 仿真分析

空间电磁对接为最终逼近段,在该阶段主要考虑轴向对接的轨迹跟踪控制。假定目标航天器轨道高度设计为450 km,相关参数见表 1

表1 系统参数、控制参数及期望轨迹
系统参数控制参数期望轨迹
x00.5k10.4xd0
y0-0.5
z00.01k22yd-0.5+0.001t
${\dot x}$00.01
${\dot y}$00.01k30.8zd0
${\dot z}$00.05
ω0.001 1

仿真步长取为0.01,采用欧拉近似,仿真时间500 s。对接效果如图2所示。

图2 对接效果

从对接效果可以看出控制律可使系统在100 s内实现有效对接。

4 结 论

本文考虑空间电磁对接的控制问题,在Hill运动方程与远场电磁力矩模型的基础上验证基于Lyapunov函数的全局渐近稳定电磁对接控制律,理论研究和仿真结果均表明本文设计的控制律能获得良好的电磁对接效果。

参考文献
[1] 尤超蓝, 洪嘉振. 空间交会对接过程的动力学模型与仿真 [J]. 动力学与控制学报, 2004, 2(2): 23-28.YOU Chaolan, HONG Jiazhen. Dynamical model and simulation of rendezvous and docking procedure [J]. Journal of Dynamics and Control, 2004, 2(2): 23-28. (in Chinese)
[2] 张元文, 杨乐平. 空间电磁对接控制问题 [J]. 控制理论与应用, 2010, 27(8): 1069-1074. ZHANG Yuanwen, YANG Leping. The control of spatial electromagnetic docking [J]. Control Theory and Applications, 2010, 27(8): 1069-1074. (in Chinese)
[3] 张元文, 杨乐平. 空间电磁对接的非线性控制 [J]. 控制理论与应用, 2011, 28(8): 1181-1186. ZHANG Yuanwen, YANG Leping. Nonlinear control of space electromagnetic docking [J]. Control Theory and Applications, 2011, 28(8): 1181-1186. (in Chinese)
[4] 张元文, 杨乐平, 朱彦伟, 等. 空间电磁对接的鲁棒协调控制 [J]. 国防科技大学学报, 2011, 33(3): 33-37. ZHANG Yuanwen, YANG Leping, ZHU Yanwei, et al. Coordinated robust control of space electromagnetic docking [J]. Journal of National University of Defense Technology, 2011, 33(3): 33-37. (in Chinese)
[5] Bloom J, Sandhu J, Paulsene M, et al. On orbit autonomous servicing satellite (OASIS) project preliminary design review [D]. University of Washington, 2000.
[6] Ocampo C, Williams J. Electromagnetically guided autonomous docking and separation in microgravity [D]. Department of Aerospace Engineering, University of Texas, 2005.
[7] 王龙, 杨乐平, 许军校. 电磁编队飞行与电磁交会对接关键技术及进展 [J]. 装备指挥技术学院学报, 2009, 20(1): 74-78. WANG Long, YANG Leping, XU Junxiao. The key technology and development of electromagnetic formation flight and electromagnetic rendezvous docking [J]. Journal of the Academy of Equipment Command and Technology, 2009, 20(1): 74-78. (in Chinese)
[8] 张元文, 杨乐平. 空间电磁对接的鲁棒非线性轨迹跟踪控制 [J]. 宇航学报, 2011, 32(7): 1502-1507. ZHANG Yuanwen, YANG Leping. Robust and nonlinear path tracking control of space electromagnetic docking [J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(7): 1502-1507. (in Chinese)
[9] Zhang Y W, Yang L P, Zhu Y W, et al. Nonlinear 6-DOF control of spacecraft docking with inter-satellite electromagnetic force [J]. Acta Astronautica, 2012, 77(8): 97-108.
[10] Ahsun U. Dynamics and control of electromagnetic satellite formation [D]. Massachusetts Institute of Technology, 2004.
[11] Neave M D. Dynamic and thermal control of an electromagnetic formation flight testbed [D]. Massachusetts Institute of Technology, 2005.
[12] Khalil H K. Nonlinear Systems (3rd edition) [M]. New Jersey: Prentice Hall, 2002: 124-154.