电机作为典型的磁固耦合旋转机械，电磁激励是影响其动力学特性的重要因素之一[1]。理想情况下，电机定转子间气隙均匀对称，转子在均匀的磁场中转动，径向磁拉力合力为零。若定转子间的气隙不对称，会引起磁场不均匀而产生不平衡磁拉力(unbalanced magnetic pull,UMP)，导致转子系统产生振动和噪声，影响系统的稳定性[2]，严重时引起转子与定子的碰摩[3]，对转子系统的安全稳定运行构成威胁。
准确计算UMP是分析它对转子系统动力学特性影响的前提。早期计算UMP主要是基于线性方法，工程实践发现线性方法误差较大。Wang等[4]和Lundin等[5]应用有限元方法计算UMP并分析多种因素对UMP的影响，Guo等[6]利用Fourier级数展开法，推导了三相电机UMP的解析表达式，分析了UMP作用下转子的振动特征，Perpers等[7]考虑磁饱和的影响，推导出计算偏心转子UMP的非线性解析表达式。但上述研究在计算UMP时基本上仅考虑了转子的动偏心，对静偏心及动静复合偏心几乎没有涉及，而由制造偏差、 安装误差等引起的静偏心在工程中是普遍存在的。万书亭等[8]研究了同时考虑了动偏心和静偏心时UMP对汽轮发电机定转子振动特性的影响，但该研究中静偏心方向是固定的，未考虑不同方向的初始静偏心对转子系统动力学特性的影响，而通常静偏心方向是不确定的。因此，获得偏心转子动静复合偏心时气隙长度的统一表达式并同时考虑初始静偏心方向对UMP的解析计算具有重要意义。
UMP是旋转机电系统的一个重要的激振力，在转子系统建模中考虑UMP已逐渐成为学者们的共识。陈小安等[9]研究了UMP载荷和离心力载荷对高速电主轴转子系统动态特性的影响，王天煜等[10]分析了UMP及离心力作用下高速永磁电机机组轴系的非线性不平衡响应，徐进友等[11]利用谐波平衡法研究了动态偏心时水轮发电机转子非线性电磁振动的幅频特性，岳二团等[12]讨论了负载转矩时气隙偏心永磁电机转子的振动特性，李志和等[13]研究了考虑UMP及陀螺力作用下的偏心转子非线性振动。然而，这些研究在讨论转子系统的电磁振动时，仅考虑了随时间周期性变化的动载荷，忽略了转子所受到的静载荷。而事实上，静载荷会造成轴系的弯曲变形，引起转子气隙的变化，进而改变作用于转子系统的UMP，最终影响转子系统的振动特性。电机转子普遍会受到恒定载荷的作用，一种常见的有工程意义的静载荷便是重力，可选重力为代表进行研究。
因此，本文通过定转子间的几何关系，推导出转子动静复合偏心时气隙长度的统一表达式，建立转子系统在UMP、 静载荷(重力)和不平衡质量激励力作用下的运动微分方程。采用数值方法，分别研究了静载荷(重力)、 初始静偏心方向和静偏心量对转子系统轴心轨迹和位移频谱的影响。
1 转子系统运动方程的建立 1.1 不平衡磁拉力偏心电机转子的气隙如图1所示，Os为定子内圆几何中心，O为无外力(包括重力)作用时的转子外圆初始几何中心，OsO=r0为转子静偏心，φ为转子相对于定子的静偏心方向角。以O为坐标原点，建立Oxy正交坐标系。Or为电机运转中某时刻t转子外圆几何中心，OOr=r为转子动偏心，转子系统静止时O与Or重合，即r=0。θ为转子几何中心相对于x轴的方向角。设Or的坐标为(x,y)，则r=$\sqrt {{x^2} + {y^2}} $，且cosθ=x/r，sinθ=y/r。为便于分析，对转子系统作合理的简化和假设： 1) 转子和定子是标准的圆柱型结构，且两者的中心轴是平行的，仅考虑平动偏心； 2) 只考虑转子的振动，定子的振动相对于转子可忽略； 3) 忽略漏磁、 磁饱和、 端部效应和极槽影响； 4) 仅考虑系统的横向振动，忽略扭转振动和陀螺力矩。
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| 图1 电机偏心转子气隙示意图 |
设A、 B分别为转子外圆和定子内圆上的点，则OA、 OB的长度分别为：
${l_{OA}} = r\cos \left( {\alpha - \theta } \right) + \sqrt {R_1^2 - {r^2}{{\sin }^2}\left( {\alpha - \theta } \right)} ,$
(1)
${l_{OB}} = \sqrt {R_2^2 - r_0^2{{\sin }^2}\left( {\alpha - \varphi } \right)} - {r_0}\cos \left( {\alpha - \varphi } \right).$
(2)
考虑到r2$ \ll $R12和r20$ \ll $R22，对式(1)和(2)作合理简化：
$\sqrt {R_1^2 - {r^2}{{\sin }^2}\left( {\alpha - \theta } \right)} \approx {R_1},$
(3)
$\sqrt {R_2^2 - r_0^2{{\sin }^2}\left( {\alpha - \varphi } \right)} \approx {R_2}.$
(4)
由于电机转子不断旋转，转子的气隙长度不仅是定子与转子间相对位置的函数，也是时间的函数。同时考虑动、 静偏心时转子气隙长度的近似表达式为
δ(α,t)≈δ0－r0cos(α－φ)－rcos(α－θ).
(5)
气隙磁导为
$ \wedge \left( {\alpha ,t} \right) = \frac{{{\mu _0}}}{{\delta \left( {\alpha ,t} \right)}}.$
(6)
根据电机原理[14]，对称负载时三相同步电机的气隙基波磁动势为
$F\left( {\alpha ,t} \right) = {F_{\text{c}}}\cos \left( {\omega t - p\alpha - \beta } \right).$
(7)
气隙磁密分布为
B(α,t)=Λ(α,t)F(α,t).
(8)
假设转子铁心磁导无限大，转子表面的Maxwell应力张量在切向和径向上的分量分别为：
${\sigma _{\text{n}}}\left( {\alpha ,t} \right) = \frac{1}{{2{\mu _0}}}\left( {{B_{\text{n}}}{{\left( {\alpha ,t} \right)}^2} - {B_\tau }{{\left( {\alpha ,t} \right)}^2}} \right),$
(9)
${\sigma _\tau }\left( {\alpha ,t} \right) = \frac{1}{{{\mu _0}}}{B_{\text{n}}}\left( {\alpha ,t} \right){B_\tau }\left( {\alpha ,t} \right).$
(10)
通常来说，气隙磁密的径向分量远大于切向分量，可以忽略切向分量[15, 16]，即有:
Bn(α,t)=B(α,t),Bτ(α,t)=0.
(11)
$\sigma \left( {\alpha ,t} \right) = \frac{{B{{\left( {\alpha ,t} \right)}^2}}}{{2{\mu _0}}}.$
(12)
x方向和y方向的不平衡磁拉力可以通过转子表面水平方向和垂直方向的Maxwell应力积分得出
$F_x^{{\text{ump}}} = {R_1}L\int_0^{2\pi } {\sigma \left( {\alpha ,t} \right)\cos } \alpha {\text{d}}\alpha ,$
(13)
$F_y^{{\text{ump}}} = {R_1}L\int_0^{2\pi } {\sigma \left( {\alpha ,t} \right)\sin } \alpha {\text{d}}\alpha .$
(14)
将电机转子简化为Jeffcott转子系统，不平衡质量引起的离心激振力在x方向和y方向的分量分别为:
Fxe=ma(2π · Ω)2cos(2π · Ωt),
(15)
Fye=ma(2π · Ω)2sin(2π · Ωt).
(16)
设Jeffcott转子无质量转轴的刚度系数和阻尼系数分别为k和c，对转子系统进行动力学建模，系统在UMP、 不平衡质量激振力、 重力作用下的运动微分方程为
$\left\{ \begin{gathered}
m\ddot x + c\dot x + kx = F_x^{{\text{ump}}} + F_x^{\text{e}} \hfill \\
m\ddot y + c\dot y + ky = F_y^{{\text{ump}}} + F_y^{\text{e}} - mg \hfill \\
\end{gathered} \right..$
(17)
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
M&O \\
C&M
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dot q} \\
{\ddot q}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
O&{ - M} \\
K&O
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
q \\
{\dot q}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
O \\
F
\end{array}} \right].$
(18)
由于方程(18)的非线性，本文采用Runge-Kutta法对系统运动微分方程进行数值求解。设定转子初始振动位移和速度均为零，预设仿真步数为8 000，为消除自由振动时瞬态响应的影响，取数值稳定后的4 000步计算结果进行分析。
计算时的主要参数分别为m=18.15 kg，c=81.9 N·s/m，k=1.526×106 N/m，a=0.5 mm，Fj=684 A，Fs=0，p=1,R1=59 mm，δ0=2.2 mm，L=0.155 1 m，g=9.8 m/s2，μ0=4π×10-7 H/m，ω=(50×2π) rad/s。
2.1 重力对动偏心转子系统振动的影响仅考虑动偏心时，初始静偏心为零。在其他条件相同时，讨论不同转速下不计重力和考虑重力时电机转子的轴心轨迹，对比结果如图2所示。
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| 图2 不同转速下重力对动偏心转子轴心轨迹的影响 |
由图2可知，在不计重力时，转子的轴心轨迹是中心对称图形，轨迹外包络圆的半径随转速非线性增加； 考虑重力时，转子的轴心轨迹仅关于y轴对称，轨迹波动加剧。对比图2a与2b、 图2c与2d及图2e与2f可知，在相同的转速条件下，x方向位移在考虑重力时略有增加，y方向位移在考虑重力时向y轴负方向偏移。这说明重力的影响类似于转子系统轴系的一个预变形，该变形量的大小随转速的增大略有增加，相对于转子的振动位移不可忽略。
进一步，如图3所示，对不计重力和考虑重力两种情形下不同转速时的位移频谱进行分析。为便于观察比较，将位移幅值A取对数后进行3维瀑布图分析。
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| 图3 不同转速下重力对动偏心转子位移频谱的影响 |
由图3可知，不计重力时，各个转速下的位移频谱中均含有不平衡质量激励力引起的基频(Ω)和电频率2倍频与基频的组合(100－ Ω)两种频率成分，随着转速的增加，依次出现100－3 Ω和200－ Ω两种频率。考虑重力时，除以上频率特征外，还存在恒定频率0 Hz和100 Hz，它们的幅值不随转速变化，说明位移频谱中存在重力引起的恒定分量。此外，随着转速的增加，重力作用下转子振动位移中还出现了复杂的频率特征，如出现转速倍频(2 Ω和3 Ω)及转速倍频与电频率2倍频的组合频率(100－2 Ω、 100+ Ω和100+2 Ω)。
2.2 重力对动静复合偏心转子系统振动的影响下面讨论转子系统存在动静复合偏心的情形。设此时转子的静偏心率r0/δ0=5%，偏心方向为x轴正向，分析不计重力和考虑重力时转子的轴心轨迹，结果如图4所示。
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| 图4 不同转速下重力对动静复合偏心转子轴心轨迹的影响 |
分析图4可知，不计重力时，动静复合偏心转子的轴心轨迹不再关于y轴对称，但关于初始静偏心方向x轴对称； 考虑重力时，轴心轨迹失去了对称性。同样，轴心轨迹向y轴负方向偏移，重力作用相当于转子轴系的一个预变形。此外，考虑重力时，轴心轨迹的波动更加明显，特别是在垂直方向上，说明重力加剧了转子系统的振动。
静偏心率(r0/δ0=5%)和偏心方向(x轴正向)等条件相同时，不同转速下动静复合偏心时转子不计重力和考虑重力时的位移频谱如图5所示。
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| 图5 不同转速下重力对动静复合偏心转子位移频谱的影响 |
分析图5可知，动静复合偏心转子不计重力和考虑重力时的位移频谱基本相同，只是考虑重力情形下，频率100－3 Ω出现时转速较低，频率100+ Ω在转速相同时幅值较大。综合比较图3b和5a可知，考虑重力时的动偏心转子位移频谱和不计重力时的动静复合偏心转子位移频谱基本相同，说明重力的作用相当于转子系统的一个恒定的静偏心量，因此对于动静复合偏心转子，图5a和5b分别所示的考虑重力和不计重力时的位移频谱差别不明显。将图2a、 2b、 2c与对应的图4a、 4b、 4c分别对比发现，动静复合偏心时的转子轴心轨迹明显不同于动偏心，由于静偏心会使气隙变化，加剧系统振动，使振动频率成分更加复杂(如图3a与5a所示)。
2.3 静偏心方向对转子系统振动的影响由于初始静偏心方向的不确定性，有必要研究静偏心方向对转子系统振动的影响。在工程实践中，偏心的方向可能是任意的，为便于分析，将圆周360°均分为8个区间，间隔为45°，在转速Ω=5 Hz、 静偏心率r0/δ0=5%和考虑静载荷(重力)作用的条件下，分析不同偏心方向角对转子系统轴心轨迹的影响，结果如图6所示。
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| 图6 不同静偏心方向时转子的轴心轨迹 |
分析图6a和6c可知，偏心方向角为45°和135°时，转子的轴心轨迹形状基本相同，y方向上的位移相同，但x方向的位移互为相反数。这说明初始静偏心方向角影响转子轴心轨迹的位置，图6e与6g、 图6d与6h也可类似分析得出此结论。图6b所示偏心方向角为90°时的轴心轨迹明显不同于其他情况，此时的轴心轨迹关于y轴对称，振幅最小，且不呈现出环形。这是因为静偏心方向和重力方向夹角为180°，重力引起的预变形作用和初始静偏心造成的气隙偏心相互削弱。图6f所示的转子静偏心方向和重力方向相同，轴心轨迹仍关于y轴对称，但振幅明显增大，由于此时两者的作用相互叠加，转子振动幅值增加。
由图6(图6b除外)可知，转子轴心轨迹为环形区域，其外轮廓为圆形，内轮廓为椭圆。精确计算可知该区域的几何中心不同，进一步验证了静偏心方向会影响转子轴心轨迹的分布。区域内边界的椭圆短轴所在直线与x轴的夹角随偏心方向变化，该夹角的大小是由静偏心方向上的变形和重力方向上的预变形矢量叠加确定的，重力的作用效果可以简化为一个偏心方向为270°的静偏心。
为便于比较，分析转速Ω=5 Hz、 静偏心率 r0/δ0=5% 时偏心方向角每间隔10°的位移频谱图，结果如图7所示。
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| 图7 不同静偏心方向时转子的位移频谱 |
由图7可知，随偏心方向角的变化，位移频谱中出现了周期性特征。0 Hz频率分量在偏心角为90°和270°时最小，在180°和360°时最大，呈现出简谐周期函数的特征，且周期为180°。频率成分Ω和100－Ω的幅值不随偏心方向角变化，而2 Ω、 100－2 Ω和100 Hz的幅值呈现出先减小后不变的特征，在偏心方向角为90°时最小，缓慢增大后保持不变。频率成分为3 Ω和100+ Ω的幅值则是先减小后增大，90°时幅值最小，270°时幅值最大，表现出较强的周期性。偏心角为180°~270°时，激发出频谱中4 Ω的频谱成分，偏心角为180°~360°时，频谱中出现幅值较小的100+2 Ω成分。
2.4 静偏心量对转子系统振动的影响初始静偏心将引起转子气隙分布不均，形成不平衡磁拉力。针对转子动静复合偏心的情形，考虑静载荷(重力)作用，讨论在一定转速下如Ω=10 Hz，静偏心方向x轴正向时，不同静偏心量对位移频谱的影响。工程中静偏心率(r0/δ0)一般为10%以下，本文从1%~10%逐一分析偏心量变化时振动位移频谱的特征，结果如图8所示。限于篇幅，只分析静偏心量对位移频谱的影响，轴心轨迹的变化规律可类似分析。
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| 图8 不同静偏心率时转子的位移频谱 |
分析图8可知，各个转速下的位移频谱均含有恒定频率(0 Hz和100 Hz)的振动、 不平衡质量激励力产生的基频(Ω)振动和动静偏心产生的倍频及组合频率(2 Ω、 3 Ω、 100－2 Ω、 100－Ω和100+ Ω)的振动。随着静偏心量的增加，转子的频率成分逐渐复杂，静偏心率为6.5%时出现100－3 Ω频率成分，静偏心率为7.5%时出现4 Ω频率成分。这是由于静偏心量越大，最小间隙处的气隙长度越小，而UMP的方向一般同转子最小间隙方向相同，这相当于转子系统添加了一个负刚度，进一步使转子偏心增大。二者的共同作用使偏心对系统振动特性的影响增强，从而使位移频谱中频率成分多样化。
3 结 论1) 静载荷(重力)对转子系统运动的影响是不可忽略的，其作用类似于静载荷方向上大小恒定的静偏心，可将静载荷简化为静偏心处理。
2) 考虑初始静偏心是非常必要的，静偏心方向影响转子轴心轨迹的位置分布，但对轴心轨迹的形状影响不大，转子的静偏心是初始静偏心与静载荷引起的偏心矢量叠加的结果。静偏心方向使转子位移频谱中幅值周期性变化。
3) 静偏心量的增加会加剧转子系统的振动，使位移频谱中出现4倍转频的振动分量。
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