性能检验是五轴联动数控机床研究的热点之一，大致可分为对机床检验的直接检验法和对加工试件检验的间接检验法。间接检验法以NAS979试件和 “S”形试件为代表^{[1, 2, 3, 4]}。“S”形试件如图1所示，其中左直纹面和右直纹面分别由左上和左下、右上和右下样条曲线构造而成。

五轴联动数控机床加工精度受多种因素影响，例如几何误差、动态误差、切削热变形、机床整机热变形和残余应力^[5]等，其中切削热变形是影响加工轮廓度精度的关键因素之一，特别是针对复杂薄壁件。切削温度场分析是“S”形试件切削热变形分析的基础，对基于“S”形试件数控机床性能检测、误差溯源与辨识研究具有重要作用。

在切削温度场研究方面，Richardson等和TANG等根据刀刃切入切出工件时切削温升呈现间歇性变化，提出了断续切削温升初步定性模型^{[6, 7]}。Mackerle等给出了用于仿真分析切削力和切削温度的正交切削模型^{[8, 9, 10, 11]}。侯军明等基于有限元法分析了切削过程刀具温度场^[12]。

目前，针对“S”形试件切削温度场相关研究未见文献报道。本文基于“S”形试件切削过程，通过热量分配比例模型结合热源法，建立间歇性切削温升过程加热阶段模型，利用温度实验建立冷却阶段模型，两者结合建立了完整的间歇性温升数学模型。本文基于有限元仿真预测“S”形试件切削温度场，并利用温度测量实验结果验证仿真的正确性。

1 工件热源模型

如图2所示，工件切削过程中存在3个变形区： 剪切区Ⅰ、 刀具-切屑摩擦区Ⅱ和刀具-工件摩擦区Ⅲ^[16]。 3个变形区产生的热量分别用Q _Ⅰ、 Q_Ⅱ和Q_Ⅲ表示，剪切区Ⅰ热量传入工件的比例为R _Ⅰ，刀具-切屑摩擦区Ⅱ传入工件的比例为R _Ⅱ，刀具-工件摩擦区Ⅲ传入工件的比例为R _Ⅲ。

工件热量主要来源于剪切区Ⅰ和刀具-工件摩擦区Ⅲ，其中剪切区Ⅰ对于工件热量贡献较大，该区热量分配模型经过多次优化已经具有较高的准确性^{[13, 14, 15]}，刀具-工件摩擦区Ⅲ对于工件热量贡献较小(约为10%~15%)，现有研究中大多忽略这部分热量，但这会影响热源分析的准确性。

切削过程中，在刀具与工件摩擦产生切削热的瞬间，接触区域产生温升，在刀具-工件接触面上，刀具和工件温度瞬时相等^[17]。通过热源法分别计算刀具接触面和工件接触面的温度，基于接触面温度瞬时相等原理可求得R_Ⅲ。

刀具-工件接触面是跟随刀具运动的矩形，接触面的热源为面热源。如图3所示，接触面热源的宽度为刀具与工件接触宽度L _w，长度为切削宽度a _w，移动速度为切削速度v。接触面相对刀具静止，相对于工件移动，因此刀具接触面热源温度采用静止面热源法计算，工件接触面热源温度采用移动面热源法计算。

1) 工件接触面温度。

根据移动面热源温度计算公式^[16]求得工件接触面平均温度$\bar{T}$ _w为

${{\bar{T}}_{w}}=0.752\frac{{{q}_{w}}}{{{k}_{w}}}\sqrt{\frac{{{\zeta }_{w}}{{L}_{w}}}{v}}+{{T}_{w0}}.$

(1)

式中: k _w为工件材料热导率； T_w0为工件初始温度； ζ _w为工件材料热扩散系数，ζ _w=k _w/(ρ _wc _w)，ρ _w为工件材料密度，c _w为工件材料比热容； q _w为工件接触面上单位时间单位面积的热量,

${{q}_{w}}=\frac{{{F}_{fa}}v}{{{L}_{w}}{{a}_{w}}}{{R}_{III}}.$

(2)

式中，F_fa为刀具后刀面摩擦力。

2) 刀具接触面温度。

根据静止面热源平均温升公式^[14]，假设热量传入刀具的比例是1-R_Ⅲ，即可获得面热源的平均温度,

${{\bar{T}}_{t}}=\frac{{{q}_{w}}(1-{{R}_{III}}){{L}_{w}}}{{{k}_{t}}}\bar{A}+{{T}_{t0}}.$

(3)

式中: k _t为刀具材料热导率，T_t0为刀具初始温度，$\bar{A}$为面积系数。

令式(1)和(3)相等，即可求得热量分配比例R _Ⅲ,

${{R}_{III}}=\frac{\frac{{{q}_{w}}{{L}_{w}}\bar{A}}{{{k}_{t}}}+{{T}_{t0}}-{{T}_{w0}}}{\frac{0.752{{q}_{w}}}{{{k}_{w}}}\sqrt{\frac{{{\zeta }_{w}}{{L}_{w}}}{v}}+\frac{{{q}_{w}}{{L}_{w}}\bar{A}}{{{k}_{t}}}}.$

(4)

剪切区Ⅰ热源强度Q _Ⅰ为

${{Q}_{I}}=\frac{{{F}_{s}}{{v}_{s}}}{{{l}_{s}}{{a}_{w}}}.$

(5)

式中: F _s为剪切力，v _s为剪切速度，l _s为剪切面宽度。

刀件摩擦区热源强度Q _Ⅲ为

${{Q}_{III}}=\frac{{{F}_{fa}}v}{{{L}_{w}}{{a}_{w}}}.$

(6)

结合剪切区Ⅰ热源强度Q _Ⅰ、 剪切区热量分配比例R _Ⅰ和刀件摩擦区热源强度Q _Ⅲ公式，获得切削过程中传入工件的热量Q _w,

${{Q}_{w}}={{Q}_{I}}{{R}_{I}}+{{Q}_{III}}{{R}_{III}}.$

(7)

剪切区Ⅰ热量传入工件的比例为R _Ⅰ为

${{R}_{I}}=1-{{\left[ 1+1.328\sqrt{\frac{{{\zeta }_{w}}{{\gamma }_{s}}}{v{{a}_{p}}}} \right]}^{-1}}.$

(8)

式中: γ _s为剪切应变，a _p为切削深度。

2 间歇性切削温升模型

切削过程中，刀齿周期性切入和切出工件，使得温升过程由加热和冷却两个阶段组成，即构成间歇性切削模型。

侧铣刀刀齿数较少且切削厚度较小，如果简化为直齿切削进行计算不会出现刀齿切入切出重叠情况，如果按照实际斜齿切削进行计算，会有重叠出现，但是将斜齿线展开到工件上，热源仍是间歇性平行线热源，符合间歇性切削过程。如图4a所示，温度曲线经过t ₁加热阶段上升到θ ₁，然后经过t ₂冷却阶段降到 θ ₁ ^′，依此类推，进行周期循环。其中: t ₁是刀齿切入工件时间，t ₂是刀齿切出且下一齿还未切入的时间间隔。假设刀具齿数为Z，啮合角为α，主轴转速为n，刀具半径为r，则t ₁、 t ₂可由式(9)计算：

$\left\{ \begin{matrix} {{t}_{1}}=\alpha /\omega =(30\alpha )/(n\pi r) \\ {{t}_{2}}=(2\pi /Z-\alpha )/\omega =30(\pi /2-\alpha )/(n\pi r) \\ \end{matrix}. \right.$

(9)

式中，ω为刀具转动角速度，rad/s。

现在分析间歇切削过程中的瞬态温度过程。根据图4a，假设切削过程中近似的温度增长如曲线a所示，温度降低如曲线b所示，则有^[6]：

$\left\{ \begin{matrix} {{T}_{a}}={{T}_{c}}{{e}^{-\tau /t}} \\ {{T}_{b}}={{T}_{c}}{{e}^{-t/\tau '}} \\ \end{matrix} \right..$

(10)

式中: T _a为温度增长函数，T _b为温度下降函数，T _c为与切削速度相关的温度常数，τ为升温曲线时间常数，τ′为降温曲线时间常数。

那么经过时间t ₁，温度值为

${{T}_{1}}={{T}_{c}}{{e}^{-\tau /{{t}_{1}}}}.$

(11)

经过冷却时间t ₂，温度值为

$T_{1}^{'}={{T}_{1}}{{e}^{-{{t}_{2}}/\tau '}}={{T}_{c}}{{e}^{-\tau /{{t}_{1}}}}{{e}^{-{{t}_{2}}/\tau '}}.$

(12)

重复第N个周期后，温度为

$\begin{align} & {{T}_{N}}={{T}_{1}}\left[ 1+{{e}^{-\frac{{{t}_{2}}}{\tau '}}}+{{e}^{-\frac{2{{t}_{2}}}{\tau '}}}+\cdot \cdot \cdot +{{e}^{-\frac{(N-1){{t}_{2}}}{\tau '}}} \right]= \\ & \frac{{{T}_{1}}}{1-{{e}^{-{{t}_{2}}/\tau '}}}={{T}_{c}}\frac{{{e}^{-\tau /{{t}_{1}}}}}{1-{{e}^{-{{t}_{2}}/\tau '}}}. \\ \end{align}$

(13)

基于有限长线热源分析，计算t ₁结束后的温度值为

${{T}_{1}}=\frac{{{Q}_{w}}}{2k\pi }k\left( \frac{\upsilon r}{2{{\zeta }_{w}}} \right){{e}^{-\frac{x\cos (\alpha /2)+z\sin (\alpha /2)}{{{\zeta }_{w}}}n\pi r}}.$

(14)

结合式(11)与(14)，则有

${{T}_{1}}={{T}_{c}}{{e}^{-\tau /{{t}_{1}}}}=\frac{{{Q}_{w}}}{2k\pi }k\left( \frac{\upsilon r}{2{{\zeta }_{w}}} \right){{e}^{-\frac{x\cos (\alpha /2)+z\sin (\alpha /2)}{{{\zeta }_{w}}}n\pi r}}.$

(15)

由此可得，加热过程的位置参数可求：

$\left\{ \begin{matrix} {{T}_{c}}=\frac{{{Q}_{w}}}{2k\pi }k\left( \frac{\upsilon r}{2{{\zeta }_{w}}} \right) \\ \tau =10\alpha \left[ xcos(\alpha /2)+zsin(\alpha /2) \right]/{{\zeta }_{w}} \\ \end{matrix} \right..$

(16)

式中，k(u)在数学上称为零阶二类Bessel函数，数值可以通过数学手册查找。

基于线性回归原理，将温度测量实验结果冷却曲线数据带入式(10)，计算得到τ′的值为1.895 3×10^-4。

3 切削温度场分析关键技术 3.1 热载荷施加方法

间歇性切削过程的热载荷分布如图5所示。为适应“S”形试件切削仿真长时间长距离间歇性切削过程，本文基于“S”形试件切削热误差分析要求，对传统热载荷施加方法进行了优化。改进热载荷施加方式，在刀具刀齿尖端施加持续线热源，热源强度根据式(7)获得。

3.2 冷却液载荷施加方法

精密加工过程大多采用湿切削，冷却液起到了冷却、润滑、清洗、防锈等方面的作用，减少了刀具磨损，提高了加工精度。其中与切削热主要相关的是冷却作用，冷却作用的原理是切削液与工件接触通过强制对流带走热量，因此仿真过程的冷却液载荷可以简化为强制对流系数的施加。根据实际切削液参数、流动速度和流量，计算五轴数控机床加工“S”形试件的过程中工件(铝合金7050-T7451)与切削液之间的强制对流换热系数，并分析切削液作用时间和作用位置。仿真过程中将简化后切削液冷却载荷按照实际的时间步施加在相应位置。

假设冷却液流经“S”形试件的表面，初始温度为常温，层流区和紊流区平均换热系数H _T分别为：

层流区(2 300≤Re≤8 000)：

${{H}_{T}}=0.664(k/L){{\operatorname{Re}}^{1/2}}{{\Pr }^{1/3}};$

(17)

紊流区(8 000≤Re≤10⁷)：

${{H}_{T}}=\left( \frac{k}{L} \right)(0.037R{{e}^{0.8}}-871)P{{r}^{1/3}}.$

(18)

式中: Reynolds数Re=ρ _lv _lL/u _l，ρ _l为流体密度，v _l为流速，L为特征尺寸，u _l为运动粘度； Pr为流体Prandtl数。

本文所用冷却液的Reynolds数Re=9 682，符合紊流条件，根据式(18)计算得到强制对流换热系数为334.8 W/(m²·K)。

3.3 仿真分析示例

刀具材料为硬质合金，刀径20 mm，刀齿数为4，工件材料为航空铝合金7050-T7451。初始条件设定： 刀具转速为4 000 r/min，切削厚度为2 mm，轴向切削深度为20 mm，进给速度40 mm/s，刀具和工件初始温度为293 K，强制对流换热系数为334.8 W/(m²·K)，空气对流换热系数为12.5 W/(m²·K)。

根据实际加工刀具参数(前刀面角、后刀面角、刀具直径、切削宽度等)建立切削刀具简化模型。仿真单位网格划分采用3维显式结构实体solid 164单元，有8个节点，可进行温度载荷的施加。该方法的优点是限制条件较少，适合复杂仿真。材料连续性采用Lagrange算法计算。

Johnson-Cook(J-C)材料的流动应力可以表示为

$\sigma =\left[ A+B{{\varepsilon }^{n}} \right]\left[ 1+Cln{{\varepsilon }^{*}} \right]\left[ 1-{{({{T}^{*}})}^{m}} \right].$

式中: σ为有效应力; ε为塑性应变; ε^*为规范化有效塑性应变率; A，B，C为计算系数; T^*=(T-298)/(T_melt-298)，T_melt为融化温度。 J-C材料损伤失效应变

${{\varepsilon }_{f}}=\left[ {{D}_{1}}+{{D}_{2}}{{e}^{{{D}_{3}}{{\sigma }^{*}}}} \right]\left[ 1+{{D}_{4}}\ln {{\varepsilon }^{*}} \right]\left[ 1+{{D}_{5}}{{T}^{*}} \right].$

σ^*为有效平均规范应力，D₁—D₅为计算系数。“S”形检测试件的材料为航空铝合金7050-T7451，Poisson比v _w=0.3，弹性模量E _w=2.0，密度ρ _w=2.83×10³ kg/m³，热膨胀系数2.36×10^-5/K，抗剪模量2.69×10¹⁰ N/m²，比热容为860 J/(kg·K)，热导率为180 W/(m·K)。切屑分离条件选取基于Strenkowsh等效塑性应变理论的剪切失效准则。刀具材料密度ρ _t=4.510×10³ kg/m³，Poisson比v _t=0.32，弹性模量E _t=3.6。

3.4 仿真结果分析

基于仿真环境和参数的分析，进行“S”形试件切削温度场有限元仿真。刀具运动到“S”形试件不同点处，温度场分布如图6所示。从图6中可以直观看出，温度峰值总是出现在刀具附近。选取侧铣“S”件过程的两组典型点，观察仿真温度变化趋势，分析切削传热的规律，第1组点按图7进行选取。

第1组点温度曲线如图8所示。 A点因为是第一齿切削的位置，受到的热传导最少，相对其他点少了切屑分离之前的传热，因此整体温度较低，数值只有200 ℃左右； B、 E两点温度曲线峰值明显高于其他各点，峰值温度275 ℃左右； C点温度曲线峰值比B、 E两点略小，但也高于A、 D两点，峰值温度260 ℃左右。可见,“S”形试件弯曲位置处，切削热较大； 温度峰值均出现在刀具切削到各点的附近位置。

第2组点按图9进行选取，A、 B、 C 3组共6个点，每组点只有Z轴坐标变化，分析“S”形曲面不同高度处温度值变化情况。

第2组点温度曲线如图10所示。从整体温度变化趋势上看，A、 B、 C 3个位置处的上下两点温度曲线较为一致； 距离基台越近的点，温度峰值越小，原因主要由两点： 1) 在“S”曲面与基台接触区域，热量很容易传导入基台中; 2) 由于“S”曲面上方与空气接触，热量一部分进入空气，另一部分反射回曲面，造成热量积聚，因此远离基台位置温度峰值较高。

4 “S”形试件切削温度实验研究

利用Parpas-PM20数控机床，搭建了“S”形试件切削温度场实验平台，基于热工热电偶法，利用K型热电偶丝测量切削过程中工件的温度场分布。实验测量系统如图11所示，由热电偶、电压信号放大器、数据采集卡和计算机等组成。

该实验平台利用插入式人工热电偶法进行切削温度测量。热电偶布点如图12所示，共计20个热电偶测点，均匀分布在“S”形曲面的上下两层，每层10个点。选用直径1 mm的K型热电偶丝。

在该实验平台上，针对4种工况进行了切削温度场实验研究，如表1所示。实验现场如图13所示。

由于实验过程测得的电压信号存在干扰，因此标定出的温度曲线有明显波动，本文对实验数据进行了滤波处理，“S”形试件切削温度曲线如图14所示。工况1、 3测量结果通过第1层热电偶测点T0—T18(共计10个测点)获得，工况2、 4测量结果通过第2层热电偶测点T1—T19(共计10个测点)获得。由于冷却液温度低于零度，因此远离切削位置处的热电偶点，温度出现零度以下的情况。

选取“S”形试件曲面上典型的4个位置(T0、T6、T10、T16这4根热电偶所在位置)，分别进行仿真温度曲线和实验测量温度曲线的对比，并绘出仿真与实验的温度差值的分布曲线。如图15所示，分别是工况1、 2、 3、 4条件下的对比曲线，实线为实验测量结果，虚线为仿真计算结果。表2所示为仿真和实验温度差值和误差百分比。

从仿真与实验温度的对比可以发现，实际温度峰值大于仿真温度峰值，这是因为仿真计算为理想切削热，且不存在切屑与工件二次接触，而实际加工中由于切屑与工件脱离不完全、刀具后刀面与工件接触区域较大等，均会导致实验测量温度高于仿真温度。

从温度下降阶段可以看出，仿真温度比实际温度下降缓慢，这是由于仿真模型中“S”形薄壁面与基台传热不充分，以及仿真条件中忽略了冷却液的润滑作用，使得仿真散热较慢。

从图15和表2可以看出，有限元仿真预测的温度与实验测量结果基本吻合，验证了本文仿真方法的正确性。

5 总 结

本文基于接触面温度瞬时相等原理研究了刀件摩擦区热量分配问题，建立了更接近真实切削过程的间歇性切削温升模型，给出了冷却液和温度载荷施加方法，从而解决了“S”形试件复杂曲面切削热力耦合仿真的切削温度场分析关键技术问题，实现了“S”形试件间歇性切削温度场预测。搭建了基于Parpas-PM20数控机床的“S”形试件切削温度场实验平台。切削温度测量实验数据与仿真结果的一致性验证了本文模型和方法的正确性。

“S”形试件切削温度场建模、仿真与预测研究，为下一步切削热误差研究打下了基础。