清华大学电机系, 电力电子与电机控制国家重点实验室, 北京 100084
收稿日期: 2016-01-04
作者简介: 施洪亮(1983-),男(汉),湖北,博士研究生。
Nonlinear control for the front end power supplies of magnetic imaging resonance gradient amplifiers
State Key Laboratory of Power Electronics and Electric Machine Control, Department of Electrical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
前级电源的作用是在成像过程中为梯度放大器提供一个稳定的直流电压。梯度放大器作为前级电源的负载具有如下特点： 其工作的典型电流波形为梯形波，工作频率为几十Hz到几kHz，输出电流峰值高达几百A，电流上升率为A/μs数量级[1, 2, 3]。前级电源的负载(梯度放大器)是一种周期性变化的脉冲型负载，前级电源输出的平均功率通常只有其峰值功率的1/10左右。前级电源在这种周期性，脉冲型电流负载工况下的动态响应性能对磁共振系统能否实现高质量的成像至关重要，其动态响应性能直接决定着成像质量的清晰度。前级电源的负载动态响应性能由电路的拓扑结构和控制算法来共同决定。
为了提高电力电子变换器在负载电流阶跃时的动态响应性能，研究人员对各种高性能的控制算法进行了大量的研究工作。文[4, 5]采用一种滞环控制算法来提高Buck变换器的动态响应性能，由于滞环控制器能够在负载电流发生阶跃时立即响应，因此大大改善了系统的动态响应性能。文[6]采用非线性PI控制算法来提高Boost变换器的动态响应性能，通过构造基于误差的非线性指数函数实现非线性PI控制算法，获得了更快的响应速度。文[7]提出了一种基于误差信号的“自适应函数”的自适应PID控制器，相比传统的线性PID控制器，获得了更短的动态负载响应时间。文[8]提出了一种基于非线性跟踪微分控制器的非线性PID控制器，并将其应用到电力系统的励磁控制中，在有效改善系统响应性能的同时保持一定的鲁棒性。文[9, 10, 11]将电容充放电平衡控制策略应用于Buck电路，获得了接近系统动态物理极限的响应结果。文[12]将一种基于几何开关控制曲面的非线性模型预测控制算法应用于Buck电路，获得了接近时间优化控制的负载动态响应性能。文[13]采用电流模式控制，电感电流内环采用dead-beat控制器，实现快速的电流跟踪，电压外环采用线性PI控制器，实现较高的控制带宽。文[14]提出了一种新型的dead-beat控制算法的参数整定方法，该方法基于误差的相关性，通过对参考信号注入方波信号优化系统的控制参数，缩短了动态过程的调整时间。文[15]将一种电流模式控制器应用于Boost变换器，内环采用电感电流比例控制，外环采用电容电压线性比例非线性积分控制，该控制策略的引入使得系统同时具有高精度的稳态性能和快速的动态响应速度。
为了提高磁共振成像系统中前级电源的动态响应性能，本文在电压外环非线性PID的基础上增加了一个电流内环控制器。与文[13, 14, 15]提出的电流模式控制器类似，本文提出的控制器具有传统电流模式的双环结构，外环为调节电容电压的非线性PID控制，内环为调节电感电流的比例控制。同时，本文将系统的动态物理极限[16, 17]作为评价控制器性能的基准，比较了非线性PID控制器、电压电流双闭环非线性控制器的动态响应性能。
1 前级电源主电路及动态物理极限
1.1 主电路拓扑及其参数
图1为前级电源的主电路图，其中IGBT开关管Q1～Q4组成高频逆变H桥，其作用是将输入直流电压逆变成高频的双极性方波电压。逆变后的双极性方波电压经过高频变压器T与高频二极管DR1～DR4组成的高频整流桥之后，变换成单极性方波电压，最后通过输出LC滤波器滤波的作用变换为提供给负载的稳定的直流电压。其中： Tsample为采样周期； N为变压器变比，为变压器副边匝数与变压器原边匝数比。
图2为前级电源的驱动波形，变压器原边电压波形和高频整流桥输出侧的电压波形。其中，VQ1、 VQ2为超前桥臂的IGBT的驱动信号波形，VQ3、 VQ4为滞后桥臂的IGBT的驱动信号波形，均为50%固定占空比PWM信号。通过调整VQ3和VQ1之间的相位差来实现对输出电压的调节。D为控制系统输出的占空比数值。前级电源和Buck电路不同之处是输出滤波电感电流上的纹波频率是Buck电路的两倍，其采样频率是开关频率的两倍。本文的仿真参数和实验样机参数如表1所示。
表1 前级电源样机参数表
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Vg/V | 输入电压 | 120 |
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Vout/V | 输出电压 | 120 |
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Lf/Μh | 输出滤波电感 | 600 |
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Cf/μF | 输出滤波电容 | 2 800 |
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fswitch/kHz | 开关频率 | 10 |
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Tsample/μs | 采样周期 | 50 |
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Llk/μH | 变压器漏感 | 2.2 |
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N | 变压器变比 | 11/14 |
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Rload/Ω | 额定负载电阻 | 4 |
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K | 电压传感器系数 | 0.0192
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1.2 动态物理极限
DC-DC变换器的动态响应性能由主电路拓扑和控制算法来共同决定。一旦根据系统动稳态性能指标要求设计好了主电路的参数，控制算法的设计就直接决定着系统的稳态性能和动态性能。为了找到评价各种不同控制器动态响应性能的绝对基准，文[16]给出了Buck电路的动态物理极限的理论推导和实验验证。文[17]采用基于时间优化控制理论的思想，对移相全桥电路的动态物理极限进行了理论推导并进行了仿真与实验的验证，本文将文[17]中的实验结果作为评价本文提出的两种控制算法的参考评价基准，动态物理极限的详细计算方法参见文[17]。
2 单电压环非线性PID控制
相比线性PID固定的控制参数，非线性PID控制器可根据系统不同的工况选择适当方式改变比例增益Kp、 积分增益Ki、 微分增益Kd的大小，这种非线性机制的引入可以在不牺牲系统稳定性的前提下有效提高系统的动态响应性能。下面以经典的线性PID控制规律为基础，具体分析系统在“稳态”和“暂态”两种模式之间切换时，为了提高动态响应性能，各部分控制期望增益的变化规律。
2.1 非线性Kp
Kp可以加快系统的动态响应速度，减小系统的调整时间。然而Kp如果过大则会加大系统的震荡幅度甚至导致系统不稳定。当系统处于稳态时，误差信号err(t)很小，系统主要性能要求是无静差，此时要求Ki较大，期望Kp和Kd较小； 当系统在稳态受到外部扰动进入暂态时，err(t)迅速变大，此时期望Kp随着err(t)而增大； 当系统从暂态回到稳态时，随着err(t)减小，期望Kp要慢慢减小到一个较小的稳态值，以保证系统稳定。根据上述规律构造Kp的函数为
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${{K}_{p}}\left( {{e}_{rr}}\left( t \right) \right)={{A}_{p}}+B\left( 1-\frac{2}{{{e}^{{{C}_{p}}{{e}_{rr}}\left( t \right)}}+{{e}^{-{{C}_{p}}{{e}_{rr}}\left( t \right)}}} \right).$
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(1) |
其中参数Ap、 Bp、 Cp都是正实常数。Kp随着err(t)的函数变化如图3所示。
2.2 非线性Ki
Ki的作用是让系统稳态无静差，因此系统在稳态即err(t)近似等于0时，为了保证系统稳态无静差，期望Ki比较大。但是积分会带来饱和，相位滞后等问题，会恶化系统的动态响应性能甚至造成系统的不稳定。因此当系统从稳态过渡到暂态时，err(t)变大，期望Ki随err(t)变大而变小； 当系统从暂态回调到稳态时，期望Ki随着err(t)变小而变大，直至系统重新到达稳态，此时Ki最大。根据上述规律构造Ki的函数为
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${{K}_{i}}\left( {{e}_{rr}}\left( t \right) \right)={{A}_{i}}+B\left( 1-\frac{2}{{{e}^{{{C}_{i}}{{e}_{rr}}\left( t \right)}}+{{e}^{-{{C}_{i}}{{e}_{rr}}\left( t \right)}}} \right).$
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(2) |
其中参数Ai、 Ci都是正实常数。Ki随着err(t)的函数变化如图4所示。
2.3 非线性Kd
Kd的作用是提高系统的动态响应性能，但是在稳态的时候err(t)近似等于0，此时Kd会对系统的噪声产生放大的作用，因此期望此时的Kd非常小。当系统从稳态过渡到暂态时err(t)变大，为了提高系统的动态响应性能，期望Kd随着err(t)变大而变大； 系统从暂态回到稳态，err(t)减小，期望的Kd要慢慢减小到稳态时较小的值。由上面的分析可见，Kd的变化趋势跟KP的变化趋势相似。根据上述规律构造Kd的函数为
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Kd(err(t))=Ad－(Ad－Bd)e－Cde2rr(t).
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(3) |
其中参数Ad、 Bd、 Cd都是正实常数。Kd随着err(t)的函数变化如图5所示。
2.4 实验结果
为了验证上述非线性PID控制的有效性，在一台120 V/30 A的移相全桥实验平台上进行了实验验证，主电路参数见表1。基于经典控制理论频域设计方法，将系统的控制带宽设置为1 kHz(开关频率的1/10)，得到一组PID控制参数Kp1=8.1，Ki1=0.4，Kd1=26.3作为非线性PID的控制器下界参数。将系统的控制带宽设置为2.2 kHz，得到另一组PID控制参数Kp2=16.1，Ki2=0.9，Kd2=42.3作为非线性PID的控制器上界参数。调节非线性函数的速度因子分别为： Cp=6.5，Ci=3.2，Cd=10。
输出电压为Vout=120 V，负载电阻从400 Ω突变至4 Ω时，由文[16, 17]的方法所得的动态物理极限负载阶跃动态过程和采用前述非线性PID控制所得的负载阶跃动态过程的输出电压电流波形如图6所示。从实验波形可以看出，采用非线性PID控制时，在负载电流iload从0.3 A阶跃至30 A时，输出电压跌落Vuv=5.4 V，调整时间Tres=2.8 ms，分别比系统的动态物理极限(输出电压跌落4.1 V，调整时间1.7 ms)大1.3 V和1.1 ms。其中，调整时间大了将近22个控制周期，与系统动态物理极限存在较大的差距，这种电压单环非线性PID控制器的动态性能还存在较大的提高空间。
3 电压电流双闭环非线性控制
与电压控制模式相比，电流控制模式具有控制形式简单、变量的物理意义明确、设计简单等特点。而且针对负载电流的扰动，电流控制模式有更快的动态响应速度[14]。为了进一步提高前级电源的动态响应性能，本小节在节2非线性PID控制的基础上增加了一个电感电流内环控制器。
3.1 电流内环设计
电流控制模式一般是一种双环结构，内环为电感电流控制器，外环为电容电压控制器。图7为电感电流连续模式(CCM)下，滤波电感上的电流波形图。
当tn<t<tn+d(n)Tsample时，电感电流iL(t)可以用如下微分方程描述：
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$\begin{align}
& {{L}_{f}}\frac{d{{i}_{L}}\left( t \right)}{dt}+{{V}_{out}}\left( t \right)={{V}_{in}}\left( t \right), \\
& {{t}_{n}}\le t\le {{t}_{n}}+d\left( n \right){{T}_{sample}}. \\
\end{align}$
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(4) |
其中： Vin(t)为原边折算到变压器副边的等效电压，Vout(t)为输出电压。当tn+d(n)Tsample<t<tn+1时，iL(t)可以用如下微分方程描述：
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$\begin{align}
& {{L}_{f}}\frac{d{{i}_{L}}\left( t \right)}{dt}=-{{V}_{out}}\left( t \right), \\
& {{t}_{n}}+d\left( n \right){{T}_{sample}}\le t\le {{t}_{n+1}}. \\
\end{align}$
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(5) |
图7中，iL(t)在下一个开关周期起始时刻的值为
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iL(tn+1)=iL(tn)+M1d(n)Tsample－
M2(1－d(n))Tsample.
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(6) |
其中iL(t)的上升率M1和下降率M2计算如下：
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${{M}_{1}}=\frac{d{{i}_{L}}\left( t \right)}{dt}=\frac{{{V}_{in}}\left( t \right)-{{V}_{out}}\left( t \right)}{{{L}_{f}}}.$
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(7) |
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${{M}_{2}}=\frac{d{{i}_{L}}\left( t \right)}{dt}=\frac{{{V}_{out}}\left( t \right)}{{{L}_{f}}}.$
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(8) |
式(6)表明当前时刻下一个开关周期起始时刻的 iL(tn+1)由上一个开关周期的iL(tn)、 上一个周期的占空比d(n)、 输入电压Vin(tn)、 输出电压Vout(tn)和电感值Lf共同决定。将式(7)和(8)代入式(6)中，同时将连续变量替换成采样时刻的离散量，可以求解出d(n)的离散表达式为
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$d\left[ n \right]=\frac{{{L}_{f}}}{{{T}_{sample}}}\frac{{{i}_{ref}}\left[ n+1 \right]-{{i}_{L}}\left[ n \right]}{{{V}_{in}}\left[ n \right]}+\frac{{{V}_{out}}\left[ n \right]}{{{V}_{in}}\left[ n \right]}.$
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(9) |
其中： iref[n+1]、 iL[n+1]、 Vout[n]和Vin[n]分别为电感参考电流、电感电流、输出电压和输入电压的离散值。一个良好设计的电流内环控制器中，iL[n+1]和Vout[n]会分别与iref[n+1]和参考电压值Vref非常接近。因此，式(9)可以表示为
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$d\left[ n \right]=\frac{{{L}_{f}}}{{{T}_{sample}}}\frac{{{i}_{ref}}\left[ n+1 \right]-{{i}_{L}}\left[ n \right]}{{{V}_{in}}\left[ n \right]}+\frac{{{V}_{ref}}\left[ n \right]}{{{V}_{in}}\left[ n \right]}.$
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(10) |
式(10)为电感电流内环的控制方程，可知电感电流内环控制为比例控制。
3.2 电压外环设计
电流控制模式一般是一种双环结构，内环为电感电流控制器，电压外环的作用是给电流内环提供一个参考信号从而保证系统无静差。理论上，任何包含积分环节的控制器都可以作为电压外环控制器。然而，为了最大程度利用电流内环的快速响应的优势，本文采用了节2的非线性PID控制器作为电压外环。图8为系统闭环控制框图。其中，Gv(s)为电压外环控制器，K为电压传感器系数，H(s)为零阶保持器的传递函数，Gvd(s)为输出电压对占空比的传递函数，Gc(s)为电流内环控制。
由于电流内环的调整速度远快于电压外环，电流内环闭环传递函数可以用单位增益来代替。这个简化过程可用参考电流和实际电流之间的传递函数表示为
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${{T}_{CI}}\left( s \right)=\frac{{{{\hat{i}}}_{L}}\left( s \right)}{{{{\hat{i}}}_{ref}}\left( s \right)}\frac{{{G}_{c}}\left( s \right){{G}_{id}}\left( s \right)}{1+{{G}_{c}}\left( s \right){{G}_{id}}\left( s \right)}\approx 1.$
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(11) |
由式(11)可知Gc(s)Gid(s)$\gg $1。
输出占空比对参考电流的传递函数为
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${{T}_{CD}}\left( s \right)=\frac{{{{\hat{d}}}_{{}}}\left( s \right)}{{{{\hat{i}}}_{ref}}\left( s \right)}\frac{{{G}_{c}}\left( s \right){{G}_{id}}\left( s \right)}{1+{{G}_{c}}\left( s \right){{G}_{id}}\left( s \right)}\approx \frac{1}{{{G}_{id}}\left( s \right)}.$
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(12) |
由式(12)可知，电流内环的传递函数可以由1/Gid(s)来代替，图8可以简化为图9。由于电感电流内环的调节速度远远大于电压外环，原来的电压电流双闭环控制系统简化为电压单环控制系统，因此可以采用常规的频域设计法来设计电压外环控制器。
3.3 实验结果
在节2.4的实验平台上采用电压电流双闭环非线性控制器进行验证，主电路参数见表1。电流控制内环的参数Kinner=Lf/Tsample=12，电压外环采用与节2.4一样的控制参数。输出电压Vout=120 V，图10为负载电阻从400 Ω突变至4 Ω时，输出电压与输出电流的实验波形。从图10中可以看出输出电压跌落Vout=4.4 V，调整时间Tres=1.97 ms。得益于电流内环比例调节器的快速性，同时电压外环采用非线性PID，有效提高了系统的控制带宽。从图6与图10的电压波形对比结果来看，相比仅采用非线性PID控制器，采用电压电流双闭环控制时系统的动态响应性能更接近系统的动态物理极限。这与文[9, 10, 11]采用的电容充放电平衡策略获得的动态响应性能很接近。
系统的动态物理极限和本文所采用的非线性PID、 电压电流双闭环非线性控制器的结果如表2所示。
表2 不同控制方法实验结果
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控制算法 | 输出电压跌落/V | 调整时间/ms
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物理极限 | 4.1 | 1.70 |
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非线性PID | 5.4 | 2.80 |
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电压电流双闭环 | 4.4 | 1.97
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4 结 论
本文针对前级电源高动态性能要求，提出了一种非线性控制器，该控制器具有电压电流双闭环控制结构，电流内环采用比例控制器以控制电感电流，参数设计简单，同时电压外环采用非线性PID控制器。实验结果表明： 该非线性控制器的效果比单电压环非线性PID控制器的更接近系统的动态物理极限，有效提高了系统的动态响应性能。
