锥齿轮(主要指弧齿锥齿轮和准双曲面齿轮)传动(如图 1所示的汽车主减速器)是汽车、船舶、航空等领域中常用的传动方式,其性能的优劣将直接影响整个传动系统的性能,因此对锥齿轮传动的相关问题进行深入研究具有重要意义。

锥齿轮传动系统在载荷作用下会发生一定的变形,锥齿轮主从动齿轮由此产生的相对位移可用错位量来表示。错位量会直接影响锥齿轮齿面接触区的位置,进而影响齿面的接触应力和传动误差等性能,因此在锥齿轮的校核^[1]及加载接触分析^[2-3]时都需要考虑错位量的影响。产生错位量的主要原因是传动系统的变形。此外,由于摩擦的存在,传动系统在实际工作中温度会升高,各部件受热膨胀,而轴承刚度对变形较为敏感,因此轴系的热膨胀将对锥齿轮传动系统的刚度和变形产生影响^[4],进而影响错位量。目前,尚没有学者针对这一影响锥齿轮错位量的因素进行系统的分析和研究。研究该问题的前提是如何准确获得锥齿轮的错位量。若采用试验方法^[5-6]测量锥齿轮的错位量,系统的工作状态虽然接近真实,但受到传动系统结构和实际测量条件的限制,准确测得齿轮的位移和转角非常困难; 此外,试验方法需要制造样件,费时费力。若采用仿真建模方法计算锥齿轮的错位量,则需要建立一个考虑轴承刚度耦合性和非线性的锥齿轮传动系统模型。对于轴承的模拟,有学者^[7-9]采取有限元方法建立其实体有限元模型,通过非线性接触计算来分析轴承的受载变形,但这种方法建模复杂,计算量大,并不适用于研究整个传动系统。

本文详细推导了轴系的热膨胀与轴承刚度、系统变形之间的关系,建立了考虑热膨胀的锥齿轮传动系统非线性有限元模型,通过求解该模型的系统变形可以得到锥齿轮的错位量。最后,通过算例分析了热膨胀对锥齿轮错位量的影响,以及不同温度下错位量的变化情况。

1 锥齿轮传动系统建模

为了更好地分析轴系热膨胀的作用效果,本文以简化的驱动桥主减速器为例,建立了一个典型的锥齿轮传动系统模型,忽略了差速器、外部壳体等结构,如图 1所示。首先,需要建立该传动系统的有限元模型。

1.1 轴系模型的建立

图 1所示的结构中,传动轴均由多个轴承支撑,由于轴承刚度在各方向存在耦合性和非线性,因此无法简单地求得其刚度。本文采用一种考虑轴承刚度耦合性和非线性的轴承单元,该单元有2个节点,分别模拟轴承的内外圈,内圈节点与对应的梁单元节点相连,外圈节点由于忽略壳体的影响而作为约束端施加位移约束。轴承单元2个节点间的刚度矩阵,是根据轴承内部载荷与位移之间的关系推导得到,在Harris等^[10]和Lim等^[11]的研究基础上,进一步考虑了滚子锥角的影响。这里以圆锥滚子轴承为例给出轴承各方向的载荷和位移关系表达式如式(1)所示,轴承局部坐标系定义如图 2所示。

$\begin{align} & {{F}_{x}}=-\frac{{{K}_{B}}}{{{n}_{s}}}\sum\limits_{j=1}^{Z}{\left[ \sum\limits_{k=1}^{{{n}_{s}}}{\left( \delta _{j,k}^{10/9}\cos \alpha \sin {{\psi }_{j}} \right)} \right]}, \\ & {{F}_{y}}=\frac{{{K}_{B}}}{{{n}_{s}}}\sum\limits_{j=1}^{Z}{\left[ \sum\limits_{k=1}^{{{n}_{\text{s}}}}{\left( \delta _{j,k}^{10/9}\cos \alpha \cos {{\psi }_{j}} \right)} \right]}, \\ & {{F}_{z}}=\frac{{{K}_{B}}}{{{n}_{s}}}\sum\limits_{j=1}^{Z}{\left[ \sum\limits_{k=1}^{{{n}_{\text{s}}}}{\left( \delta _{j,k}^{10/9}\sin \alpha \right)} \right]}, \\ & {{M}_{x}}=\frac{{{K}_{B}}}{{{n}_{s}}}\sum\limits_{j=1}^{Z}{\left[ \sum\limits_{k=1}^{{{n}_{\text{s}}}}{\left( \left( {{r}_{\text{p}}}\sin \alpha -{{t}_{k}} \right)\delta _{j,k}^{10/9}\cos {{\psi }_{j}} \right)} \right]}, \\ & {{M}_{y}}=\frac{{{K}_{B}}}{{{n}_{s}}}\sum\limits_{j=1}^{Z}{\left[ \sum\limits_{k=1}^{{{n}_{\text{s}}}}{\left( \left( {{r}_{\text{p}}}\sin \alpha -{{t}_{k}} \right)\delta _{j,k}^{10/9}\sin {{\psi }_{j}} \right)} \right]}, \\ & {{M}_{z}}=0. \\ \end{align}$

(1)

式(1)中： K_B为综合刚度系数,Z为滚子数,α为接触角,ψ_j为第j个滚子的方位角,r_p为滚子节圆半径。考虑滚子修缘的影响,沿滚子轴线方向将滚子划分为多个等厚度的切片,n_s为切片数,t_k为第k个切片的轴向坐标(如图 3所示)。δ_j,k为第j个滚子的第k个切片的法向位移量,

$\begin{align} & {{\delta }_{j,k}}=\left[ {{\delta }_{z}}+{{r}_{\text{p}}}\left( {{\theta }_{x}}\cos {{\psi }_{j}} \right) \right]\sin \alpha + \\ & \left( -{{\delta }_{x}}\sin {{\psi }_{j}}+{{\delta }_{y}}\cos {{\psi }_{j}} \right)\cos \alpha + \\ & \frac{{{t}_{k}}\left( -{{\theta }_{x}}\cos {{\psi }_{j}}-{{\theta }_{y}}\sin {{\psi }_{j}} \right)}{\cos \left( \beta /2 \right)}-\frac{2P\left( {{t}_{k}} \right)}{\cos \left( \beta /2 \right)}. \\ \end{align}$

(2)

其中： δ_x、 δ_y和δ_z为轴承内外圈之间沿3个坐标轴方向的位移; θ_x和θ_y为绕x和y轴的转角; β为滚子锥角; P(t_k)为滚子修缘量,是t_k的函数。由于滚子与滚道间没有拉力,因此在迭代计算时,δ_j,k小于0时取0。

圆柱滚子轴承可看作是圆锥滚子轴承的特例,取式(2)中的接触角α和滚子锥角β为0,即可得到圆柱滚子轴承的载荷位移关系式。对式(1)求偏导或用差分法均可得到轴承单元的刚度矩阵。

对于传动轴,可用梁单元进行模拟,根据截面尺寸的不同将传动轴划分成多个轴段。考虑到短粗轴的情况,本文选用考虑剪切变形的Euler梁单元,并在与轴承连接处设置节点,与对应的轴承单元内圈节点相连。将轴承单元的刚度矩阵组集到模拟轴的梁单元刚度矩阵中,即可得到单根轴系统的刚度矩阵。

1.2 锥齿轮模型的建立

建立了轴与轴承的有限元模型后,进一步需要建立锥齿轮模型,连接2根传动轴。由于驱动桥主减速器中的弧齿锥齿轮或准双曲面齿轮采用了局部共轭理论,因此在传动时可看作是点接触。啮合过程中轮齿部分的局部变形以及啮合点位置的变化对于系统整体变形的影响较小,可以忽略。主从动齿轮始终在齿轮副的节点处啮合,齿轮副的简化模型如图 4所示。在齿轮副节点处主从动齿轮相啮合的两点分别为P和P',过啮合点分别作与2根传动轴轴线垂直的直线,交点即为主从动齿轮在轴线上的中点。在啮合点与齿轮中点(G和W)之间分别建立刚性梁单元,用于模拟2个齿轮,其中GP对应的梁单元代表主动轮,WP'对应的梁单元代表从动轮。两啮合点P和P'之间通过等效啮合刚度矩阵进行耦合。

锥齿轮的等效啮合刚度矩阵只包含3个平动方向的分量,其啮合力的方向向量为

$h=\left( \frac{{{F}_{xg}}}{F},\frac{{{F}_{yg}}}{F},\frac{{{F}_{zg}}}{F},0,0,0 \right).$

(3)

其中： F为啮合力,可通过给定的锥齿轮几何参数及传递的转矩计算得到; F_xg,F_yg和F_zg为啮合力在空间坐标系下的分量。等效啮合刚度矩阵可表示为式(4),式中k_m为锥齿轮接触的等效啮合刚度。

${{K}_{\text{m}}}={{k}_{\text{m}}}\left[ \begin{matrix} {{h}^{\text{T}}}h & -{{h}^{\text{T}}}h \\ -{{h}^{\text{T}}}h & {{h}^{\text{T}}}h \\ \end{matrix} \right].$

(4)

通过锥齿轮模型可将主从动齿轮轴模型相连,由此便建立了锥齿轮传动系统的有限元分析模型,其系统刚度方程可表示为

$P=K\delta .$

(5)

其中： K为系统的刚度矩阵,P为外载荷向量,δ为节点位移向量。

根据实际的载荷工况对该系统模型施加边界条件,采用Newton-Raphson(NR)法迭代即可求得平衡时刻模型中各节点的位移即系统变形结果,在此基础上可进一步得到所需的锥齿轮错位量。

1.3 锥齿轮错位量的计算

锥齿轮错位量定义在锥齿轮副的轴交错点M和N之间,可通过系统模型中的G和W点的位移计算得到。错位量包括齿轮副沿小轮轴向的相对位移ΔP、 沿大轮轴向的相对位移ΔW、 沿偏置距方向的相对位移ΔE和沿轴交角方向的相对角位移ΔΣ,其定义及正方向如图 5所示。

在图 4所示的坐标系下,G和W点的3个方向平动位移及两个方向角位移可分别表示为δ_Gx、 δ_Gy、 δ_Gz、 θ_Gy、 θ_Gz和 δ_Wx、 δ_Wy、 δ_Wz、 θ_Wx、 θ_Wz,则主动轮和从动轮的错位量可表示为：

$\left\{ \begin{align} & \Delta {{P}^{G}}=\delta _{x}^{G}, \\ & \Delta {{W}^{G}}=-\delta _{y}^{G}+\overline{W{P}'}\cos \varepsilon sin\theta _{z}^{G}, \\ & \Delta {{E}^{G}}=-\delta _{z}^{G}-\overline{W{P}'}\cos \varepsilon sin\theta _{y}^{G}, \\ & \Delta {{\Sigma }^{G}}=-\theta _{z}^{G}. \\ \end{align} \right.$

(6)

$\left\{ \begin{align} & \Delta {{P}^{W}}=-\delta _{x}^{W}-\overline{GP}\cos \eta sin\theta _{z}^{W}, \\ & \Delta {{W}^{W}}=-\delta _{y}^{W}, \\ & \Delta {{E}^{W}}=-\delta _{z}^{W}-\overline{GP}\cos \eta sin\theta _{x}^{W}, \\ & \Delta {{\sum }^{W}}=\theta _{z}^{W}. \\ \end{align} \right.$

(7)

其中： ε和η分别为主从动齿轮的偏置角,对于偏置距为0的弧齿锥齿轮,ε和η为0。将主从动齿轮各自的错位量相加,即可得到齿轮副的综合错位量：

$\left\{ \begin{align} & \Delta P=\Delta {{P}^{P}}+\Delta {{P}^{W}}, \\ & \Delta W=\Delta {{W}^{P}}+\Delta {{W}^{W}}, \\ & \Delta E=\Delta {{E}^{P}}+\Delta {{E}^{W}}, \\ & \Delta \sum =\Delta {{\sum }^{P}}+\Delta {{\sum }^{W}}. \\ \end{align} \right.$

(8)

在锥齿轮设计时需要错位量的4个分量值,而在锥齿轮校核公式中,所需要的综合错位量Mis则是通过式(9)计算得到,

$Mis=\max \left( \left| \Delta E \right|,\left| \Delta P\cos {{\delta }_{1}}-\Delta W\cos {{\delta }_{2}} \right| \right).$

(9)

采用Gleason校核公式时,根据综合错位量Mis查图表^[1]可得到此错位量下锥齿轮的载荷分配系数。当综合错位量超过一定值后,载荷分配系数与综合错位量成正比。在锥齿轮校核公式中,锥齿轮的弯曲疲劳安全系数与载荷分配系数成反比,接触疲劳安全系数与载荷分配系数的平方根成反比,因此错位量的大小对锥齿轮校核的结果有着重要影响。

2 热膨胀对轴承刚度的影响

实际传动系统在工作时其内部各部件间存在着复杂的传热关系,但这并非本文研究的重点,为了简化该问题,本文将各部件的工作温度作为已知量。这里假设当轴承、轴和轴承座的温度与室温相同时,其结构尺寸与标注尺寸相同; 当其温度大于室温时,则各部件开始发生热膨胀。热膨胀本身产生的变形量相对于零件的原尺寸来说是一个小量,因此热膨胀对系统的影响主要体现在对变形比较敏感的地方,如轴承的刚度。因此,先来分析热膨胀对于轴承刚度的影响。

2.1 由热膨胀产生的径向过盈量

对于轴承来说,热膨胀的影响主要体现在对轴承内外圈产生的径向挤压。由于轴承与轴、轴承座的工作温度不同,导致它们在配合面上由于热膨胀而产生的径向尺寸变化不同。若轴的外径膨胀量大于轴承的内圈内径膨胀量,或轴承座的内径膨胀量小于轴承外圈外径膨胀量时,轴和轴承座就会对轴承的内外圈产生挤压,而这种挤压将影响轴承滚道与滚子之间的相对位移,进而影响其刚度。采用过盈量来表示这种径向的挤压量。设室温为T,定义轴承、轴和轴承座的工作温度分别为T_b、 T_s和T_h,轴承的内圈内径为B,外圈外径为D,轴承、 轴和轴承座材料的线膨胀系数分别为α_b、 α_s和α_h,则可得到轴承内圈与轴之间由于热膨胀产生的径向过盈量I_i^T为

$I_{\text{i}}^{\text{T}}=B\left( {{T}_{\text{s}}}-T \right){{\alpha }_{\text{s}}}-B\left( {{T}_{\text{b}}}-T \right){{\alpha }_{\text{b}}}.$

(10)

轴承外圈与轴承座之间于热膨胀产生的径向过盈量I_o^T为

$I_{\text{o}}^{\text{T}}=D\left( {{T}_{\text{b}}}-T \right){{\alpha }_{\text{b}}}-D\left( {{T}_{\text{h}}}-T \right){{\alpha }_{\text{h}}}.$

(11)

从式(10)和(11)可以看出,当材料的线膨胀系数相近时,热膨胀所产生的过盈量将主要取决于轴与轴承、轴承与轴承座之间的温差。

2.2 过盈量对轴承内外圈变形的影响

由热膨胀引起的过盈量会使轴承的内外圈与滚子接触处发生径向变形,对滚子产生挤压。要确定这种挤压的影响首先需要求得径向变形的大小,可使用弹性力学中的厚壁圆环模型来进行分析,将轴承的内外圈简化为等厚度的圆环。由文^[12]可知,对于任意尺寸的一个厚壁圆环,材料的弹性模量为E,Poisson比为ν,其内外径分别为R_i、 R_o,内外表面分别受到均匀的压力作用,压强分别为p_i、 p_o,则圆环上半径为R的位置的径向位移u为

$\begin{align} & u=\frac{R}{E}\left\{ {{p}_{i}}\left[ \frac{{{\left( \frac{{{R}_{\text{o}}}}{R} \right)}^{2}}+1}{{{\left( \frac{{{R}_{\text{o}}}}{R} \right)}^{2}}-1}+v\frac{{{\left( \frac{{{R}_{\text{o}}}}{R} \right)}^{2}}-1}{{{\left( \frac{{{R}_{\text{o}}}}{{{R}_{\text{i}}}} \right)}^{2}}-1} \right] \right.- \\ & \left. {{p}_{\text{o}}}\left[ \frac{1+{{\left( \frac{{{R}_{\text{i}}}}{R} \right)}^{2}}}{1-{{\left( \frac{{{R}_{\text{i}}}}{{{R}_{\text{o}}}} \right)}^{2}}}-v\frac{1-{{\left( \frac{{{R}_{\text{i}}}}{R} \right)}^{2}}}{1-{{\left( \frac{{{R}_{\text{i}}}}{{{R}_{\text{o}}}} \right)}^{2}}} \right] \right\}. \\ \end{align}$

(12)

当两个厚壁圆环相接触时,若初始状态下两个圆环在接触面的直径方向上存在微小的过盈量I,则公共面上两圆环受到的压强p与过盈量I之间的关系为

$p=\frac{I}{{{D}_{0}}\left\{ \frac{1}{{{E}_{1}}}\left[ \frac{{{\left( \frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{0}}} \right)}^{2}}+1}{{{\left( \frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{0}}} \right)}^{2}}-1}+{{v}_{1}} \right]+\frac{1}{{{E}_{2}}}\left[ \frac{{{\left( \frac{{{D}_{0}}}{{{D}_{2}}} \right)}^{2}}+1}{{{\left( \frac{{{D}_{0}}}{{{D}_{2}}} \right)}^{2}}-1}-{{v}_{2}} \right] \right\}}.$

(13)

其中： 公共面的直径为D₀; 外环的外径为D₁,Young's模量和Poisson比分别为E₁、 ν₁; 内环的内径为D₂,Young's模量和Poisson比分别为E₂、 ν₂。

当轴承内圈与轴连接时,已知热膨胀产生的过盈量为I_i^T,轴承内圈的内径为B,外径为D_b1,轴的内径为D_s。轴承和轴的Young's模量和Poisson比分别为E_b、 E_s、 ν_b、 ν_s,则轴承内圈在外径处的径向位移u_i可通过将式(13)代入式(12)并取轴的内径为0得到,

$\begin{align} & {{u}_{i}}= \\ & \frac{2I_{\text{i}}^{\text{T}}\left( \frac{{{D}_{\text{b1}}}}{B} \right)}{\left[ {{\left( \frac{{{D}_{\text{b1}}}}{B} \right)}^{2}}-1 \right]\left\{ \left[ \frac{{{\left( \frac{{{D}_{\text{b1}}}}{B} \right)}^{2}}+1}{{{\left( \frac{{{D}_{\text{b1}}}}{B} \right)}^{2}}-1}+{{v}_{\text{b}}} \right]+\frac{{{E}_{\text{b}}}}{{{E}_{\text{s}}}}\left[ 1-{{v}_{s}} \right] \right\}}. \\ \end{align}$

(14)

同理,当轴承外圈与轴承座相接时,已知热膨胀产生的过盈量为I_o^T,轴承外圈的外径为D,内径为D_b2。轴承座的外径可根据实际轴承座尺寸取一个等效直径D_h。轴承和轴承座的Young's模量和Poisson比分别为E_b、 E_h、 ν_b、 ν_h,则轴承外圈在内径处的径向位移u_o为

$\begin{align} & {{u}_{0}}= \\ & \frac{2I_{\text{o}}^{\text{T}}\left( \frac{D}{{{D}_{\text{b2}}}} \right)}{\left[ {{\left( \frac{D}{{{D}_{\text{b2}}}} \right)}^{2}}-1 \right]\left\{ \left[ \frac{{{\left( \frac{D}{{{D}_{\text{b2}}}} \right)}^{2}}+1}{{{\left( \frac{D}{{{D}_{\text{b2}}}} \right)}^{2}}-1}-{{v}_{b}} \right]+\frac{{{E}_{\text{b}}}}{{{E}_{\text{b}}}}\left[ \frac{{{\left( \frac{{{D}_{\text{h}}}}{D} \right)}^{2}}+1}{{{\left( \frac{{{D}_{\text{h}}}}{D} \right)}^{2}}-1}+{{v}_{\text{h}}} \right] \right\}} \\ \end{align}$

(15)

由此得到了在给定过盈量下轴承内外圈的径向变形量,对于滚子来说内外圈的径向合变形为u_r=0.5(u_i+u_o)。将其加入式(2)径向变形一项中,即可在轴承的刚度计算中考虑过盈量的影响,得到的法向位移为

$\begin{align} & {{\delta }_{j,k}}=\left[ {{\delta }_{z}}+{{r}_{\text{p}}}\left( {{\theta }_{x}}\cos {{\psi }_{j}}+{{\theta }_{y}}\sin {{\psi }_{j}} \right) \right]\sin \alpha + \\ & \left( -{{\delta }_{x}}\sin {{\psi }_{j}}+{{\delta }_{y}}\cos {{\psi }_{j}}+{{u}_{\text{r}}} \right)\cos \alpha + \\ & \frac{{{t}_{k}}\left( -{{\theta }_{x}}\cos {{\psi }_{j}}-{{\theta }_{y}}\sin {{\psi }_{j}} \right)}{\cos \left( \beta /2 \right)}-\frac{2P\left( {{t}_{k}} \right)}{\cos \left( \beta /2 \right)}. \\ \end{align}$

(1)

3 热膨胀对传动轴轴向变形的影响

热膨胀除了对轴承产生影响,也会对传动轴的变形产生影响。由于轴的热膨胀量远小于其结构尺寸,从梁单元的刚度公式可知热膨胀对轴自身刚度的影响很小。但是,由于传动系统中的齿轮和轴承等部件均连接在轴上,因此轴的热膨胀将直接影响这些部件的变形和位移。

轴的轴向热膨胀实际表现为轴向尺寸的伸长,由于齿轮中心点位于轴上,因此轴的轴向热膨胀会直接影响齿轮中心点的位移,进而影响错位量计算。对于轴承来说,由于轴承的内外圈分别固定在轴和轴承座(这里将各个轴承座看作一个整体,例如主减速器壳体)上,因此若在轴的轴向上,轴与轴承座产生等量的膨胀,则轴承的内外圈之间在轴[LL]向上不会发生位移,对其刚度也不会产生影响。在考虑轴的轴向热膨胀对轴承的影响时,所关注的应该是轴与轴承座在轴向产生的热膨胀量的差值。对于长度为l的轴,该相对膨胀量为

$\Delta l=l\left( {{T}_{\text{s}}}-T \right){{\alpha }_{\text{s}}}-l\left( {{T}_{\text{h}}}-T \right){{\alpha }_{\text{h}}}.$

(17)

式(17)的膨胀量并非作用于单个轴承,而是对轴上的多个轴承产生影响,因此不能直接将其加入轴承的变形公式; 而直接改变轴的轴向长度需要大量移动有限元模型中的节点位置,不便于模型的处理。本文采用的方法是通过在轴的两端施加一组大小相等方向相反的轴向拉力,使轴产生与热膨胀相同的轴向变形。这样可以将轴的伸长处理为一组特定的外载荷,便于在模型中实现。

在轴的有限元模型中,根据截面尺寸的不同将轴分为不同的轴段,轴段的轴向刚度为k=E_sA/l。其中,A为轴段的截面积,对于两端截面积分别为A₁和A₂的锥形轴,可取等效截面积$A=\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}}+\sqrt{{{A}_{1}}{{A}_{2}}} \right)/3$。将A引入式(17)求得使轴产生相同轴向变形的等效轴向载荷F_T为

$\begin{align} & {{F}_{\text{T}}}=k\Delta t= \\ & {{E}_{\text{s}}}A\left[ \left( {{T}_{\text{s}}}-T \right){{\alpha }_{\text{s}}}-\left( {{T}_{\text{h}}}-T \right){{\alpha }_{\text{h}}} \right]. \\ \end{align}$

(18)

由式(18)可以看出,等效轴向载荷与轴段的截面积有关,而与轴段的长度无关。在轴系分析模型中,将每个轴段计算出的等效轴向载荷作为外载荷,施加在模拟轴段的梁单元两端的节点上。相邻两个轴段的公共节点上的轴向载荷为两轴段在该节点上的载荷之和,这样便可在轴系计算中考虑轴的轴向热膨胀对系统变形的影响。

4 算例分析

由于在现有的商用有限元软件中无法建立本文所采用的考虑刚度耦合性和非线性的轴承单元,因此笔者在Matlab环境下编程,进行有限元建模计算,并将轴系热膨胀的影响添加到锥齿轮传动系统模型中。

该算例包含4个圆锥滚子轴承和1个圆柱滚子轴承、2根传动轴以及一对准双曲面齿轮。轴的尺寸、轴承的型号和参数均参考某型号驱动桥给出,限于篇幅这里不一一列出。准双曲面齿轮采用 Gleason 制设计,基本参数如表 1所示。在主动轴(小轮所在轴)末端施加输入转矩8.9×10³ N·m,在从动轴两端约束轴向转角。

相关试验表明,该系统在正常工作时其轴承的温度约在65~87.5 ℃,润滑油的温度约在63~85 ℃。考虑到系统内部的传热关系,传动轴的温度应略低于润滑油温度,而壳体的温度最低。因此,在算例中设定轴的工作温度范围为60~80 ℃,壳体的温度范围为45~60 ℃,室温为20 ℃。首先,以各部件工作温度最高的情况作为计算工况,分别计算考虑热膨胀和不考虑热膨胀两种情况时的锥齿轮综合错位量结果,并查得其对应的载荷分配系数,结果如表 2所示。

由表 2可以看出,考虑热膨胀影响后,锥齿轮错位量的计算结果有明显变化,说明热膨胀对于系统变形和错位量结果影响显著。此外,从综合错位量结果看,考虑热膨胀后综合错位量减小了 57.23 μm,对应的载荷分配系数降低了0.221。产生这种结果的原因是： 由系统变形的原理可知,当轴承刚度越大时,系统整体刚度越大,锥齿轮的错位量越小; 而计算表明,轴系的热膨胀所造成的影响中,径向热膨胀的影响起主要作用,其效果是使轴承内部产生附加的径向变形,轴承的刚度增加,因此在考虑热膨胀时计算出的错位量减小。

将表 2中的载荷分配系数代入到锥齿轮校核公式^[1]可知,考虑热膨胀的影响后,锥齿轮的弯曲疲劳安全系数提高了19.9%,接触疲劳安全系数提高了9.5%。因此,在锥齿轮的安全系数校核时,如果以最恶劣的情况进行分析,可以不考虑热膨胀的影响。但从表 2可见,热膨胀对错位量各分量影响明显,因此在锥齿轮的加载接触分析时,如果要准确计算锥齿轮在特定工况下的接触状态,则有必要考虑热膨胀的影响。

进一步研究各部件温度在所给范围内变化对错位量的影响效果。各工况下部件的温度及综合错位量结果如表 3和图 6所示。

从表 3和图 6中可以看出,随工作温度的升高,轴承与轴和轴承座之间的温差有增大趋势,所计算出的锥齿轮综合错位量逐渐减小。这说明随系统的工作温度升高,热膨胀的影响趋势相同,均是使锥齿轮错位量减小; 温度越高,热膨胀作用的影响越明显。由于系统工作温度过高会导致润滑油失效,对轴承和齿轮造成更大的损害,因此在传动系统设计时可将系统在大载荷工况下的工作温度保持在接近温度上限处,这将有助于降低锥齿轮错位量。

5 结论

1) 本文详细推导了轴系的热膨胀与轴承刚度、系统变形之间的关系,建立了考虑热膨胀的锥齿轮传动系统非线性有限元模型,并用于锥齿轮错位量的计算。

2) 算例结果表明,热膨胀对系统变形影响明显,并使锥齿轮错位量减小。因此,在锥齿轮校核时可以忽略热膨胀的影响,但在齿轮加载接触分析时则需要考虑热膨胀对错位量的影响。

3) 对不同工作温度下错位量的变化分析表明,系统工作温度越高,热膨胀影响效果越明显,合理地设计系统工作温度将有助于减小锥齿轮错位量。

4) 本文所述方法对其他类型传动系统的分析也具有一定的借鉴意义。