柔性铰链是利用材料的变形使相互连接的刚体产生微小位移及转动的一种柔性单元^[1]。若干个柔性铰链可以组成柔性铰链机构,被广泛应用于微电子制造、航空制造及生物工程等领域^[2-4]。柔性铰链机构与传统的刚性机构相比,具有许多优点：1) 没有间隙,可提高运动精度; 2) 免于磨损,能够延长寿命; 3) 免于润滑,可避免污染; 4) 采用整体化设计和加工,可简化结构、减小体积和质量等^[5]。柔度是柔性铰链机构的重要设计参数,它能够反映载荷与变形量之间的关系。合理的柔度模型能够减小建模误差,进而有利于进行机构的设计优化及精确运动控制。柔性铰链机构包括空间和平面两种结构形式,其中平面柔性铰链机构应用最为广泛。

柔性铰链机构的柔度计算方法有伪刚体模型法、卡式第二定理法、有限元法等^[6-7]。伪刚体模型法将弹性杆(或铰链)模型等效为相应的刚性杆模型,用刚体中对机构进行分析与综合的方法,实现模型的简化。Li等^[6]采用伪刚体模型法,建立了一种压电陶瓷驱动的XY微定位平台的柔度模型,用于评估其运动学、静力学、刚度、承载能力和动力学等性能,并通过有限元法和实验进行了验证。Pei等^[8]提出了具有较大位移特性的杠杆式柔性机构的伪刚体建模方法,在对传统的建模方法进行优化的基础上,建立了相对简洁的伪刚体模型。但是,伪刚体模型法不能进行完整的柔度/刚度建模,只能建立工作方向上的柔度/刚度模型,应用范围受到限制^[9]。卡式第二定理法以应变能为基础,将柔性结构的应变能表示为载荷的函数。Lobontiu等^[10-11]采用卡式第二定理法,建立了圆弧型和导角型柔性铰链的柔度模型,并采用有限元法进行了对比分析,验证了该柔度模型的准确性和合理性。但是,卡式第二定理涉及到偏微分方程的计算,过程复杂,不利于进行机构的设计优化。有限元法通过变分方法,使得误差函数达到最小值并产生稳定解,是最准确的柔性铰链机构柔度建模方法^[12]。 Qin等^[13]采用有限元法,建立了2自由度对称柔性铰链机构的柔度模型,进而计算出最大耦合比,并通过实验进行了验证。但是,有限元法不能建立机构柔度与机构几何参数之间的解析关系,只适合于形状和尺寸确定以后、 制造和装配之前的性能验证分析^[12]。矩阵分析法是根据机构与组成单元之间力和变形量的转换关系计算机构柔度的一种方法。Lobontiu^[14]利用矩阵分析法,得到了多种工况下的平面串联柔性铰链机构的柔度模型,并通过对菱形放大机构的分析进行了验证,但是计算过程过于复杂。因此,柔性铰链机构的柔度计算方法,机构几何参数与机构柔度、柔度计算误差之间的关系还有待进一步研究。

本文基于矩阵分析法,得到平面串联、并联柔性铰链机构的简洁柔度计算公式。针对典型柔性铰链机构,采用有限元法对本文得到的公式的准确度进行分析,验证了该柔度计算方法的合理性和有效性; 进而基于该柔度计算方法分析机构几何参数与机构柔度、柔度计算误差之间的关系,为平面柔性铰链机构的设计优化提供参考。

1 柔性铰链的柔度

柔性铰链是柔性铰链机构最重要的组成部分。根据自由度的不同,可以分为单轴、两轴和多轴等^[1]。其中,单轴柔性铰链主要应用于平面柔性铰链机构。根据截面形状的不同,单轴柔性铰链可以分为圆弧型、直梁型、椭圆型、抛物线型及双曲线型等。

下面以圆弧型柔性铰链为例,分析柔性铰链的柔度。图 1所示为圆弧型柔性铰链结构示意图,主要包括中间的柔性铰链和两端的联接端部(一般只认为中间切口部分为柔性铰链)。结构几何参数包括：铰链厚度w、 铰链半径R、 铰链宽度D、 端部高度H和端部宽度W。

如图 2所示,圆弧型柔性铰链单元的一端自由,另一端固定。在柔性铰链自由端a处建立坐标系,x轴沿铰链的轴向指向固定端,y轴沿高度方向向上,z轴垂直纸面向外。载荷作用在柔性铰链自由端a处,一般情况下,包括6个分量：两个弯曲转矩M_y和M_z,两个剪切力F_y和F_z,一个轴向力F_x,一个扭转力矩M_x。单轴柔性铰链机构主要应用于平面运动,因此只考虑同一个平面内的载荷分量M_z、 F_y和F_x对柔性铰链单元的作用,其他载荷分量M_x、 M_y和F_z作用在该平面外,在分析平面柔性铰链机构时,可以忽略。

平面单轴柔性铰链端部变形量可以表示为

$\sigma =CF.$

(1)

式中：δ=[δ_x,δ_y,δ_z]^T是柔性铰链自由端a处的变形量, F=[F_x,F_y,M_z]^T是作用在柔性铰链自由端a处的载荷,C是柔性铰链的柔度。

平面单轴柔性铰链的柔度矩阵可以表示为^[1]

$C=\left[ \begin{matrix} {{C}_{x-{{F}_{x}}}} & 0 & 0 \\ 0 & {{C}_{y-{{F}_{y}}}} & {{C}_{y-{{M}_{z}}}} \\ 0 & {{C}_{\alpha -{{F}_{y}}}} & {{C}_{\alpha -{{M}_{z}}}} \\ \end{matrix} \right].$

(2)

式中：C_m-n是载荷n(力或转矩)作用下m方向的柔度,α为转角。

2 平面串联柔性铰链机构的柔度

若干个柔性铰链与刚性联接端部相互串联,可以组成平面串联柔性铰链机构,如图 3所示。

载荷作用点与位移输出点之间的位置关系包括3种情况：载荷作用点靠近机构固定端、位移输出点靠近机构固定端及两作用点位置重合。

如图 3所示,当载荷作用点位于靠近固定端的刚体k上的E点、 位移输出点在刚体m上的P点时,只有固定端和刚体k之间的柔性铰链产生弹性变形,机构的柔度计算只包括前k个柔性铰链。

根据虚功原理,第i个柔性铰链在自身局部坐标系下的变形量δⁱ_i与在机构位移输出端产生的变形量δ_i之间的关系可以表示为

${{\delta }_{i}}={{J}_{{{d}_{i}}}}\delta _{i}^{i}\left( i=1,2,3,\cdots k \right).$

(3)

式中,J_di是第i个柔性铰链在局部坐标系下的变形量与在位移输出端产生的变形量之间的位移转换矩阵。

作用在机构位移输出端的载荷F与第i个柔性铰链在自身局部坐标系下的载荷Fⁱ_i之间的关系可以表示为

$F_{i}^{i}={{J}_{{{f}_{i}}}}F\left( i=1,2,3,\cdots k \right).$

(4)

式中,J_fi是作用在机构位移输出端的载荷与第i个柔性铰链在局部坐标系下的载荷之间的力转换矩阵。

将柔性铰链在机构位移输出端产生的变形量进行叠加,得到机构的变形量为

$\delta =\sum\limits_{i=1}^{k}{{{J}_{{{d}_{i}}}}\delta _{i}^{i}=}\sum\limits_{i=1}^{k}{{{J}_{{{d}_{i}}}}C_{i}^{i}F_{i}^{i}=}\left( \sum\limits_{i=1}^{k}{{{J}_{{{d}_{i}}}}C_{i}^{i}{{J}_{_{{{f}_{i}}}}}} \right)F.$

(5)

式中,Cⁱ_i是第i个柔性铰链在其局部坐标系下的柔度。

由式(5)得到串联机构的柔度为

$C=\frac{\partial \delta }{\partial F}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{J}_{{{d}_{i}}}}C_{i}^{i}}{{J}_{_{{{f}_{i}}}}}={{J}_{d}}{{C}^{*}}{{J}_{f}}.$

(6)

式中：

$\begin{align} & {{J}_{d}}=\left[ {{J}_{{{d}_{1}}}}{{J}_{{{d}_{2}}}}{{J}_{{{d}_{3}}}}\cdots {{J}_{{{d}_{k}}}} \right], \\ & {{J}_{f}}={{\left[ {{J}_{{{f}_{1}}}}^{T}{{J}_{{{f}_{2}}}}^{T}{{J}_{{{f}_{3}}}}^{T}\cdots {{J}_{{{f}_{k}}}}^{T} \right]}^{T}}, \\ & {{C}^{*}}=diag\left( C_{1}^{1}C_{2}^{2}C_{3}^{3}\cdots C_{k}^{k} \right). \\ \end{align}$

当载荷作用点位于图 3中远离固定端的刚体m上的P点、位移输出点在刚体k上的E点时,载荷作用点和位移作用点之间的柔性铰链可以等效为刚体,机构位移输出端的柔度计算只包括前k个柔性铰链,所得机构柔度与式(6)相同。

当载荷作用点与位移输出点位置重合,都位于图 3中刚体k上的E点时,满足

$C=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{J}_{{{d}_{i}}}}C_{i}^{i}J_{{{d}_{i}}}^{T}.}$

(7)

3 平面并联柔性铰链机构的柔度

平面串联柔性铰链机构是组成并联柔性铰链机构的基础,如图 4所示,平面并联柔性铰链机构由n个支链组成。

相较于支链,终端平台具有更大的刚度,可以等效为刚体。因此,终端平台位移输出点P的变形量可以表示为

$\delta ={{J}_{{{p}_{i}}}}{{\delta }_{i}}\left( i=1,2,3,\cdots k \right).$

(8)

式中：δ_i是第i个支链端部的变形量,J_Pi是位移转换矩阵。

将作用在串联支链上的载荷进行叠加,得到作用于终端平台的载荷,

$F=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{J}_{{{F}_{i}}}}{{F}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{J}_{{{F}_{i}}}}{{K}_{i}}{{\delta }_{i}}=}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{J}_{{{F}_{i}}}}{{K}_{i}}J_{{{p}_{i}}}^{-1}} \right)\delta .}$

(9)

式中：F_i是作用在第i个支链端部的载荷,J_Fi是力转换矩阵,K_i是第i个支链端部的刚度。

由式(9)得到并联机构的刚度,

$K=\frac{\partial F}{\partial \delta }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{J}_{{{F}_{i}}}}{{K}_{i}}J_{{{p}_{i}}}^{-1}}.$

(10)

因此,机构的柔度可以表示为

$C={{K}^{-1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{J}_{{{P}_{i}}}}{{C}_{i}}J_{{{F}_{i}}}^{-1}=J_{P}^{*}{{C}^{*}}J_{F}^{*}.}$

(11)

式中：C_i是第i个支链端部的柔度,J^*_P=[J_P1 J_P2 J_P3 … _Pn],J^*_F=[(J^-1_F1)^T (J^-1_F2)^T (J^-1_F3)^T… (J^-1_Fn)^T]^T和C^*=diag(C₁ C₂ C₃ … C_n)。

4 算例分析

不失一般性,采用圆弧型柔性铰链作为机构分析的基本组成单元,结构几何参数如图 1所示,其柔度矩阵通过有限元法计算得到。

4.1 平面串联柔性铰链机构

如图 5所示,选取文^[15]中的平面串联柔性铰链机构。机构参数L=35 mm,铰链参数R=5 mm,D=10 mm,铰链厚度w分别取1、 3、 5 mm,比较有限元仿真值与本文方法计算值的误差。

当载荷作用点和位移输出点都位于n点时,结果如表 1所示。

当载荷作用点在靠近固定端的m点,位移输出点在n点,或者位移输出点在靠近固定端的m点、 载荷作用点在n点,误差如表 2所示。

从表 1和2可以看出,随着柔性铰链厚度w的增加,轴向柔度、转角柔度和剪切柔度的误差均逐渐增大。其中,轴向柔度误差最大,为7%。总体看来,有限元仿真值与本文方法计算值之间误差较小。

4.2 平面并联柔性铰链机构

平行四边形柔性铰链机构是组成并联柔性铰链机构的一种常用结构形式,在实际应用中,经常呈对称结构分布,组成双平行四边形铰链机构。如图 6a所示,平行四边形铰链机构的终端平台在载荷F_x作用下,沿x轴运动时,不会发生转动,但是沿y轴方向会产生不必要的耦合运动误差e_y,从而对机构的动力学分析和运动控制带来不利影响。如图 6b所示,两个相同的平行四边形铰链机构沿着驱动轴线呈对称分布组成双平行四边形铰链机构,该对称分布铰链机构可以完全消除机构的耦合运动误差,实现机构的输出解耦,并且可以看作是两个理想的移动副。

下面分别采用本文方法和有限元法分析典型平面并联柔性铰链机构,包括平行四边形铰链机构和双平行四边形铰链机构。

如图 7所示,平行四边形柔性铰链机构包括两条串联支链,载荷作用点P和位移输出点E位置相同,都位于机构上端部^[16]。

机构参数B=35 mm,L=54 mm,铰链参数 R=5 mm,D=10 mm,铰链厚度w分别取1、 3、 5 mm 时,比较有限元仿真与本文方法的误差,结果如表 3所示。可以看出,轴向柔度误差最大,转角柔度误差最小,最大误差为6.3%。

如图 8所示,参考文[15]中的双平行四边形并联柔性铰链机构。该机构包括4条串联支链,左右对称,载荷作用点和位移输出点均位于n点,端部A、 B、 C和D固定约束。

铰链参数R=5 mm,D=10 mm,w=1 mm。当并联机构参数M=30 mm,P=10 mm时,(L-2R)/R取不同值; 当M=30 mm,L=10 mm时,P/R取不同值; 当P=10 mm,L=10 mm时,(M-2R)/R取不同值。分析主要结构尺寸参数 P/R、 (L-2R)/R、 (M-2R)/R与机构柔度之间的关系,比较有限元仿真与本文方法的误差。

由式(7)计算得到并联机构4条串联支链的柔度为

${{C}_{1}}=\sum\limits_{j=1}^{2}{{{J}_{{{d}_{j}}}}C_{j}^{j}J_{{{d}_{j}}}^{T}.}$

(12)

式中：

$\begin{align} & {{J}_{{{d}_{1}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -\left( w/2+R \right) \\ 0 & 1 & -\left( L+B+2R \right) \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right], \\ & {{J}_{{{d}_{2}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -\left( w/2+R \right) \\ 0 & 1 & -B \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}$

${{C}_{2}}=\sum\limits_{j=3}^{4}{{{J}_{{{d}_{i}}}}C_{i}^{i}J_{{{d}_{j}}}^{T}.}$

(13)

式中：

$\begin{align} & {{J}_{{{d}_{3}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -\left( 3w/2+3R+P \right) \\ 0 & 1 & -\left( L+B+2R \right) \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right], \\ & {{J}_{{{d}_{4}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -\left( 3w/2+3R+P \right) \\ 0 & 1 & -B \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}$

${{C}_{3}}=\sum\limits_{j=5}^{6}{{{J}_{{{d}_{i}}}}C_{i}^{i}J_{{{d}_{j}}}^{T}.}$

(14)

式中：

$\begin{align} & {{J}_{{{d}_{5}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 3w/2+3R+P \\ 0 & 1 & L+B+2R \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right], \\ & {{J}_{{{d}_{6}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 3w/2+3R+P \\ 0 & 1 & -B \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}$

${{C}_{4}}=\sum\limits_{j=7}^{8}{{{J}_{{{d}_{i}}}}C_{i}^{i}J_{{{d}_{j}}}^{T}.}$

(15)

式中：

$\begin{align} & {{J}_{{{d}_{7}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & w/2+R \\ 0 & 1 & L+B+2R \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right], \\ & {{J}_{{{d}_{8}}}}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & w/2+R \\ 0 & 1 & -B \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}$

由式(11)得到机构的柔度,

$C={{K}^{-1}}={{\left( \sum\limits_{i=1}^{4}{C_{i}^{-1}} \right)}^{-1}}.$

(16)

如图 9a、9b 所示,随着P/R比值增大,本文方法计算得到的轴向柔度逐渐减小,剪切柔度基本不变。可见,结构参数P/R对轴向柔度的影响较大,而对剪切柔度的影响很小。如图 10a、 10b所示,随着(L-2R)/R比值增大,本文方法计算得到的轴向柔度线性增加,剪切柔度增加的幅度较大。可见,结构参数(L-2R)/R对剪切柔度和轴向柔度的影响都比较大。如图 11a、11b 所示,随着(M-2R)/R比值增大,本文方法计算得到的轴向柔度增加幅度较大,而剪切柔度变化不大。可见,结构参数(M-2R)/R对轴向柔度的影响比较大。

如图 12a所示,随着P/R比值增大,轴向柔度C_{x -Fx}和转角柔度C_{α -Mz}的有限元与本文方法的误差线性增加,剪切柔度C_{y -Fy}的误差最小,基本稳定在0.1%,轴向柔度_{x -Fx}的误差最大,但小于3%。如图 12b所示,随着(L-2R)/R比值增大,轴向柔度、转角柔度和剪切柔度的误差都缓慢减小。剪切柔度的误差最小,轴向柔度的误差最大,但小于2.5%。如图 12c所示,随着(M-2R)/R比值增大,轴向柔度和转角柔度的误差都减小,而剪切柔度的误差变化不大。总体看来,有限元仿真值与本文方法计算值的误差较小。

5 结 论

本文针对平面柔性铰链机构,基于矩阵分析法计算机构的柔度,在此基础上分析了典型串联柔性铰链机构、平行四边形和双平行四边形并联柔性铰链机构的柔度和柔度计算误差：

1) 将串联柔性铰链的变形量进行叠加,得到串联柔性铰链机构的柔度计算公式; 将并联支链的载荷进行叠加,得到并联柔性铰链机构的柔度计算公式。

2) 采用有限元法进行对比分析,结果表明典型柔性铰链机构的柔度计算误差较小,验证了本文方法的合理性和有效性。

3) 本文方法能够用于分析铰链机构几何参数与建模误差、机构柔度之间的关系,为铰链机构的设计优化提供了参考。