柔性铰链是利用材料的变形使相互连接的刚体产生微小位移及转动的一种柔性单元^[1]。若干个柔性铰链可以组成柔性铰链机构,被广泛应用于微电子制造、航空制造及生物工程等领域^[2-4]。柔性铰链机构与传统的刚性机构相比,具有许多优点：1) 没有间隙,可提高运动精度; 2) 免于磨损,能够延长寿命; 3) 免于润滑,可避免污染; 4) 采用整体化设计和加工,可简化结构、减小体积和质量等^[5]。柔度是柔性铰链机构的重要设计参数,它能够反映载荷与变形量之间的关系。合理的柔度模型能够减小建模误差,进而有利于进行机构的设计优化及精确运动控制。柔性铰链机构包括空间和平面两种结构形式,其中平面柔性铰链机构应用最为广泛。

柔性铰链机构的柔度计算方法有伪刚体模型法、卡式第二定理法、有限元法等^[6-7]。伪刚体模型法将弹性杆(或铰链)模型等效为相应的刚性杆模型,用刚体中对机构进行分析与综合的方法,实现模型的简化。Li等^[6]采用伪刚体模型法,建立了一种压电陶瓷驱动的XY微定位平台的柔度模型,用于评估其运动学、静力学、刚度、承载能力和动力学等性能,并通过有限元法和实验进行了验证。Pei等^[8]提出了具有较大位移特性的杠杆式柔性机构的伪刚体建模方法,在对传统的建模方法进行优化的基础上,建立了相对简洁的伪刚体模型。但是,伪刚体模型法不能进行完整的柔度/刚度建模,只能建立工作方向上的柔度/刚度模型,应用范围受到限制^[9]。卡式第二定理法以应变能为基础,将柔性结构的应变能表示为载荷的函数。Lobontiu等^[10-11]采用卡式第二定理法,建立了圆弧型和导角型柔性铰链的柔度模型,并采用有限元法进行了对比分析,验证了该柔度模型的准确性和合理性。但是,卡式第二定理涉及到偏微分方程的计算,过程复杂,不利于进行机构的设计优化。有限元法通过变分方法,使得误差函数达到最小值并产生稳定解,是最准确的柔性铰链机构柔度建模方法^[12]。 Qin等^[13]采用有限元法,建立了2自由度对称柔性铰链机构的柔度模型,进而计算出最大耦合比,并通过实验进行了验证。但是,有限元法不能建立机构柔度与机构几何参数之间的解析关系,只适合于形状和尺寸确定以后、 制造和装配之前的性能验证分析^[12]。矩阵分析法是根据机构与组成单元之间力和变形量的转换关系计算机构柔度的一种方法。Lobontiu^[14]利用矩阵分析法,得到了多种工况下的平面串联柔性铰链机构的柔度模型,并通过对菱形放大机构的分析进行了验证,但是计算过程过于复杂。因此,柔性铰链机构的柔度计算方法,机构几何参数与机构柔度、柔度计算误差之间的关系还有待进一步研究。

本文基于矩阵分析法,得到平面串联、并联柔性铰链机构的简洁柔度计算公式。针对典型柔性铰链机构,采用有限元法对本文得到的公式的准确度进行分析,验证了该柔度计算方法的合理性和有效性; 进而基于该柔度计算方法分析机构几何参数与机构柔度、柔度计算误差之间的关系,为平面柔性铰链机构的设计优化提供参考。

1 柔性铰链的柔度

柔性铰链是柔性铰链机构最重要的组成部分。根据自由度的不同,可以分为单轴、两轴和多轴等^[1]。其中,单轴柔性铰链主要应用于平面柔性铰链机构。根据截面形状的不同,单轴柔性铰链可以分为圆弧型、直梁型、椭圆型、抛物线型及双曲线型等。

下面以圆弧型柔性铰链为例,分析柔性铰链的柔度。图 1所示为圆弧型柔性铰链结构示意图,主要包括中间的柔性铰链和两端的联接端部(一般只认为中间切口部分为柔性铰链)。结构几何参数包括：铰链厚度w、 铰链半径R、 铰链宽度D、 端部高度H和端部宽度W。

如图 2所示,圆弧型柔性铰链单元的一端自由,另一端固定。在柔性铰链自由端a处建立坐标系,x轴沿铰链的轴向指向固定端,y轴沿高度方向向上,z轴垂直纸面向外。载荷作用在柔性铰链自由端a处,一般情况下,包括6个分量：两个弯曲转矩M_y和M_z,两个剪切力F_y和F_z,一个轴向力F_x,一个扭转力矩M_x。单轴柔性铰链机构主要应用于平面运动,因此只考虑同一个平面内的载荷分量M_z、 F_y和F_x对柔性铰链单元的作用,其他载荷分量M_x、 M_y和F_z作用在该平面外,在分析平面柔性铰链机构时,可以忽略。

平面单轴柔性铰链端部变形量可以表示为

$\sigma =CF.$

(1)

式中：δ=[δ_x,δ_y,δ_z]^T是柔性铰链自由端a处的变形量, F=[F_x,F_y,M_z]^T是作用在柔性铰链自由端a处的载荷,C是柔性铰链的柔度。

平面单轴柔性铰链的柔度矩阵可以表示为^[1]

$C=\left[ \begin{matrix} {{C}_{x-{{F}_{x}}}} & 0 & 0 \\ 0 & {{C}_{y-{{F}_{y}}}} & {{C}_{y-{{M}_{z}}}} \\ 0 & {{C}_{\alpha -{{F}_{y}}}} & {{C}_{\alpha -{{M}_{z}}}} \\ \end{matrix} \right].$

(2)

式中：C_m-n是载荷n(力或转矩)作用下m方向的柔度,α为转角。

2 平面串联柔性铰链机构的柔度

若干个柔性铰链与刚性联接端部相互串联,可以组成平面串联柔性铰链机构,如图 3所示。