平面柔性铰链机构的柔度计算方法
杜云松 , 李铁民 , 姜峣 , 张京雷     
清华大学 机械工程系, 北京 100084
摘要:作为一种高精度的微动机构, 柔性铰链机构已经在多个工业领域得到应用。该文针对平面柔性铰链机构, 对机构设计中柔度计算方法进行了研究。在分析了一般柔性铰链的柔度计算方法的基础上, 利用虚功原理, 推导出单个铰链的变形/受力相较于整个机构的变形/受力的关系; 利用矩阵分析方法, 结合串联机构和并联机构的单元与终端的变形/受力的互逆形式的传递规律, 分别获得了简洁的串并联柔性铰链机构的柔度计算公式。针对3种典型的串并联柔性铰链机构, 进行了柔度计算和不同机构参数与各方向柔度关系的分析, 并利用经典的有限元法进行了对比仿真实验。实验结果表明: 该方法的计算结果与有限元法最大相差7%, 平均相差3%。这表明该方法能够为平面柔性铰链机构的设计和结构优化提供参考。
关键词柔性铰链机构     柔度     矩阵分析法    
Compliance calculation method for planar flexure-based mechanisms
DU Yunsong , LI Tiemin , JIANG Yao , ZHANG Jinglei     
Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract:Flexure-based mechanisms are widely used in industry as highly precise micro-motion mechanisms. This paper presents a compliance calculation method for planar flexure-based mechanisms. The compliance of flexure hinges is used to relate the deformations to the loads on flexure member with the end-effector motion obtained using the virtual work principle. Then, a matrix method is used to derive concise compliance equations for serial and parallel flexure mechanisms. The compliance and the relationship between the compliance terms and variable geometric parameters are analyzed for three typical flexure-based mechanisms. The model results compare well with finite element method (FEM) predictions with a maximum difference of 7% and an average difference of 3%. This method provides theoretical and technical support for the design and optimization of flexure-based mechanisms.
Key words: flexure-based mechanisms     compliance     matrix method    

柔性铰链是利用材料的变形使相互连接的刚体产生微小位移及转动的一种柔性单元[1]。若干个柔性铰链可以组成柔性铰链机构,被广泛应用于微电子制造、航空制造及生物工程等领域[2-4]。柔性铰链机构与传统的刚性机构相比,具有许多优点:1) 没有间隙,可提高运动精度; 2) 免于磨损,能够延长寿命; 3) 免于润滑,可避免污染; 4) 采用整体化设计和加工,可简化结构、减小体积和质量等[5]。柔度是柔性铰链机构的重要设计参数,它能够反映载荷与变形量之间的关系。合理的柔度模型能够减小建模误差,进而有利于进行机构的设计优化及精确运动控制。柔性铰链机构包括空间和平面两种结构形式,其中平面柔性铰链机构应用最为广泛。

柔性铰链机构的柔度计算方法有伪刚体模型法、卡式第二定理法、有限元法等[6-7]。伪刚体模型法将弹性杆(或铰链)模型等效为相应的刚性杆模型,用刚体中对机构进行分析与综合的方法,实现模型的简化。Li等[6]采用伪刚体模型法,建立了一种压电陶瓷驱动的XY微定位平台的柔度模型,用于评估其运动学、静力学、刚度、承载能力和动力学等性能,并通过有限元法和实验进行了验证。Pei等[8]提出了具有较大位移特性的杠杆式柔性机构的伪刚体建模方法,在对传统的建模方法进行优化的基础上,建立了相对简洁的伪刚体模型。但是,伪刚体模型法不能进行完整的柔度/刚度建模,只能建立工作方向上的柔度/刚度模型,应用范围受到限制[9]。卡式第二定理法以应变能为基础,将柔性结构的应变能表示为载荷的函数。Lobontiu等[10-11]采用卡式第二定理法,建立了圆弧型和导角型柔性铰链的柔度模型,并采用有限元法进行了对比分析,验证了该柔度模型的准确性和合理性。但是,卡式第二定理涉及到偏微分方程的计算,过程复杂,不利于进行机构的设计优化。有限元法通过变分方法,使得误差函数达到最小值并产生稳定解,是最准确的柔性铰链机构柔度建模方法[12]。 Qin等[13]采用有限元法,建立了2自由度对称柔性铰链机构的柔度模型,进而计算出最大耦合比,并通过实验进行了验证。但是,有限元法不能建立机构柔度与机构几何参数之间的解析关系,只适合于形状和尺寸确定以后、 制造和装配之前的性能验证分析[12]。矩阵分析法是根据机构与组成单元之间力和变形量的转换关系计算机构柔度的一种方法。Lobontiu[14]利用矩阵分析法,得到了多种工况下的平面串联柔性铰链机构的柔度模型,并通过对菱形放大机构的分析进行了验证,但是计算过程过于复杂。因此,柔性铰链机构的柔度计算方法,机构几何参数与机构柔度、柔度计算误差之间的关系还有待进一步研究。

本文基于矩阵分析法,得到平面串联、并联柔性铰链机构的简洁柔度计算公式。针对典型柔性铰链机构,采用有限元法对本文得到的公式的准确度进行分析,验证了该柔度计算方法的合理性和有效性; 进而基于该柔度计算方法分析机构几何参数与机构柔度、柔度计算误差之间的关系,为平面柔性铰链机构的设计优化提供参考。

1 柔性铰链的柔度

柔性铰链是柔性铰链机构最重要的组成部分。根据自由度的不同,可以分为单轴、两轴和多轴等[1]。其中,单轴柔性铰链主要应用于平面柔性铰链机构。根据截面形状的不同,单轴柔性铰链可以分为圆弧型、直梁型、椭圆型、抛物线型及双曲线型等。

下面以圆弧型柔性铰链为例,分析柔性铰链的柔度。图 1所示为圆弧型柔性铰链结构示意图,主要包括中间的柔性铰链和两端的联接端部(一般只认为中间切口部分为柔性铰链)。结构几何参数包括:铰链厚度w、 铰链半径R、 铰链宽度D、 端部高度H和端部宽度W。

图 1 圆弧型柔性铰链结构示意图

图 2所示,圆弧型柔性铰链单元的一端自由,另一端固定。在柔性铰链自由端a处建立坐标系,x轴沿铰链的轴向指向固定端,y轴沿高度方向向上,z轴垂直纸面向外。载荷作用在柔性铰链自由端a处,一般情况下,包括6个分量:两个弯曲转矩My和Mz,两个剪切力Fy和Fz,一个轴向力Fx,一个扭转力矩Mx。单轴柔性铰链机构主要应用于平面运动,因此只考虑同一个平面内的载荷分量Mz、 Fy和Fx对柔性铰链单元的作用,其他载荷分量Mx、 My和Fz作用在该平面外,在分析平面柔性铰链机构时,可以忽略。

图 2 圆弧型柔性铰链单元受载示意图

平面单轴柔性铰链端部变形量可以表示为

$\sigma =CF.$ (1)

式中:δ=[δxyz]T是柔性铰链自由端a处的变形量, F=[Fx,Fy,Mz]T是作用在柔性铰链自由端a处的载荷,C是柔性铰链的柔度。

平面单轴柔性铰链的柔度矩阵可以表示为[1]

$C=\left[ \begin{matrix} {{C}_{x-{{F}_{x}}}} & 0 & 0 \\ 0 & {{C}_{y-{{F}_{y}}}} & {{C}_{y-{{M}_{z}}}} \\ 0 & {{C}_{\alpha -{{F}_{y}}}} & {{C}_{\alpha -{{M}_{z}}}} \\ \end{matrix} \right].$ (2)

式中:Cm-n是载荷n(力或转矩)作用下m方向的柔度,α为转角。

2 平面串联柔性铰链机构的柔度

若干个柔性铰链与刚性联接端部相互串联,可以组成平面串联柔性铰链机构,如图 3所示。

图 3 平面串联柔性铰链机构