频谱共享是移动通信中认知无线电技术的核心内容^[1]，它允许次用户在满足主用户设定的干扰约束的前提下接入授权频谱，可显著提高无线频谱的利用率。若频谱共享系统中次用户基站采用分布式天线的架构^[2-4]，可以降低次用户的平均接入距离，提高次用户的容量，并有效控制对主用户的干扰^[5]，该系统称为基于分布式天线的频谱共享系统(DSSS)，如图 1所示。该系统中次用户能重复使用主用户系统的无线信道，并在在满足主用户干扰约束的前提下提高次用户系统的整体性能。

为了挖掘DSSS中分布式天线架构提供的性能优势^[6]，文^[7]在确保不超过主用户干扰门限的情况下，优化了次用户系统的天线位置，以获得更大的系统平均容量。文^[8]研究了DSSS中的天线选择问题，在全信道状态信息条件下，提出了优化搜索的方法来得到最优的天线选择方案。文^[9]进一步在全信道状态信息条件下，分析了联合信道分配和天线选择问题，采用了人工鱼群算法提出了问题的次优求解思路。

已有研究工作表明，信道分配和天线选择是提升DSSS系统性能的重要手段。但是，这些工作大多假设了完全信道状态信息条件。而在实际系统中，信道状态信息的获得需要付出相应的系统开销如发送导频序列等。研究表明，当信道数和天线数较多时，获取完全信道状态信息会带来巨大的系统开销^[10]。

为了有效控制资源优化的系统开销，本文研究基于大尺度信道状态信息的联合信道分配和天线选择问题。大尺度信道状态的变化相对缓慢，因此能够以可控的系统开销获得。在系统和速率最大化目标下，问题建模为整数规划问题。进一步提出了基于变量松弛的低复杂度问题求解方法。仿真结果表明，仅仅获取大尺度信道状态信息可有效控制降低系统开销，同时能显著提升系统的和速率性能。

1 系统模型

本文考虑典型的多用户多信道DSSS模型。系统中分布式天线数目设为N，这些天线单元进一步组成K个天线簇，每簇天线数量为n_k，则$\sum\limits_{k=1}^{k}{{{n}_{k}}}=N$。假定系统中存在M个次用户，不失一般性，第m个次用户的天线数设为A_m。考虑F个可用信道，第f信道的带宽和干扰门限分别为W_f和T_f。

在上述参数基础上，若第m个次用户选择了第簇天线和第f个信道，则其接收信号可表示为

${{y}_{mkf}}={{H}_{mkf}}{{L}_{mkf}}{{x}_{kf}}+{{z}_{mf}}.$

(1)

其中x_kf是第k簇天线在第f个信道上的发送信号，其功率为P_kf。H_mkf表示第m个次用户与第k簇天线之间在第f个信道上的小尺度信道状态信息，是一个A_m×n_k维的复Gauss随机矩阵； z_mf是Gauss白噪声，服从Gauss分布； L_mkf表示第m个次用户与第k簇天线在第f个信道上的大尺度信道状态信息，是一个n_k×n_k维的对角矩阵，可表示为

${{L}_{mkf}}=\begin{matrix} l_{mkf}^{\left( 1 \right)} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & l_{mkf}^{\left( 2 \right)} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & l_{mkf}^{({{n}_{k}})} \\ \end{matrix}$

其中$l_{mkf}^{\left( i \right)}=\sqrt{D_{mkf}^{\left( i \right)}-\gamma S_{mkf}^{\left( i \right)}},D_{mkf}^{\left( i \right)}$和S_mkf⁽ⁱ⁾是独立变量，分别表示路径衰落和阴影衰落，γ是路径损耗因子，{S_mkf⁽ⁱ⁾|,i=1,2，…，n_k}是独立随机变量，其概率密度函数为

${{f}_{s}}(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\lambda {{\sigma }_{s}}s}exp-\frac{{{(lns)}^{2}}}{2{{\lambda }^{2}}\sigma _{s}^{2}},s\ge 0.$

其中σ_s是阴影衰落的标准差，$\lambda =\frac{ln10}{10}$。

2 资源优化问题与求解

根据式(1)，第m个次用户选择了第k簇天线和第f信道时，平均可达速率为：

$\begin{align} & {{C}_{m,k,f}}={{W}_{f}}E\{lb[det[{{I}_{{{A}_{m}}}}+ \\ & \frac{1}{{{\sigma }^{2}}}({{H}_{mkf}}{{L}_{mkf}}){{P}_{kf}}{{({{H}_{mkf}}{{L}_{mkf}})}^{H}}]]\}. \\ \end{align}$

(2)

其中E{·}表示对小尺度信道信息的期望运算符。期望运算本质上是个积分，因此式(2)并不是闭式的。为了简化系统的平均可达速率，引入如下近似表达式^[11]：

${{C}_{m,k,f}}\approx {{W}_{f}}\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{k}}}{lb1+\frac{{{[{{l}_{i}}]}^{2}}{{p}_{i}}{{A}_{m}}}{W{{\sigma }^{2}}}}+{{A}_{m}}lbW-{{A}_{m}}lb[e(1-{{W}^{-1}})].$

(3)

其中$W=1+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{k}}}{\frac{{{[{{l}_{i}}]}^{2}}{{p}_{i}}}{2{{\sigma }^{2}}+{{[{{l}_{i}}]}^{2}}{{p}_{i}}{{W}^{-1}}{{A}_{m}}}}$是对角阵L_mkf的第i个对角元素，p_i是对角阵P_kf的第i个对角元素。

令α_mkf表示信道分配和天线选择的指示因子，如果第m个次用户分配了信道f，选择了天线簇k，那么α_mkf=1； 否则α_mkf=0。为了避免次用户之间的互相干扰，考虑每个信道只分配给一个次用户，同样为了减少共信道干扰，假定每簇天线只能为一个次用户服务。次用户传输时必须保证在每个信道上的干扰都要小于干扰门限，因此可以得到：

$\sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{k=1}^{K}{{{a}_{mkf}}tr}}({{{\hat{L}}}_{kf}}{{P}_{kf}})\le {{T}_{f}},f=1,2,\cdots ,F.$

其中${{{\hat{L}}}_{kf}}$是天线簇k在信道f上对主用户系统的干扰信道系数。

基于以上分析，提出如下优化问题：

$\begin{align} & \underset{\left\{ {{a}_{m}},k,f \right\}}{\mathop{\max }}\,\sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{k=1}^{K}{\sum\limits_{f=1}^{F}{{{a}_{m,k,f}}}{{C}_{m,k,f}}}}, \\ & s.t.\sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{f=1}^{F}{{{a}_{m,k,f}}\le }}1,k=1,2,\cdots ,K; \\ & \sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{k=1}^{K}{{{a}_{m,k,f}}\le 1,f=1,2,\cdots .F;}} \\ & \sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{f=1}^{F}{{{a}_{m,k,f}}\le 1,m=1,2,\cdots ,M;}} \\ & \sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{k=1}^{K}{{{a}_{m,k,f}}tr({{L}_{kf}}{{P}_{kf}})\le {{T}_{f}}}} \\ & {{a}_{m,k,f}}\in \{0,1\}. \\ \end{align}$

(4)

不难看出，这是一个0—1整数规划问题。下面提出对该问题的化简方法。

由于天线的发送功率是固定的，可以计算出每簇天线在给定信道f上对主用户的干扰，据此可以排除掉一部分信道和一部分天线，以降低备选信道和备选天线的数量。具体地，如果某个信道f在任意天线发送情况下产生的干扰都大于T_f，那么该信道称为坏信道，可以将该信道排除，即α_mkf=0,m=1,…,M; k=1,…,K。如果某簇天线在工作时，在任意信道上f的干扰都会大于T_f，那么该天线称为坏天线，可以将该天线排除，即α_mkf=0,m=1,…,M; f=1,…,F。如果某簇天线k在工作时对信道f的干扰大于T_f，那么称天线k和信道f的连接为坏连接，可以将它排除，即α_mkf=0,m=1,…,M，由此可以将原问题进行化简。在去除掉所有的坏信道、坏天线和坏连接后，备选集合处于可控的范围内，进一步将α_m,k,f从{0,1}松弛到[0,1]，这样便得到了一个连续的线性规划问题：

$\begin{align} & \underset{\left\{ {{a}_{m}},k,f \right\}}{\mathop{\max }}\,\sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{k=1}^{K}{\sum\limits_{f=1}^{F}{{{a}_{m,k,f}}}{{C}_{m,k,f}}}}, \\ & s.t.\sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{f=1}^{F}{{{a}_{m,k,f}}\le }}1,k=1,2,\cdots ,K; \\ & \sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{k=1}^{K}{{{a}_{m,k,f}}\le 1,f=1,2,\cdots .F;}} \\ & \sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{f=1}^{F}{{{a}_{m,k,f}}\le 1,m=1,2,\cdots ,M;}} \\ & {{a}_{mkf}}\le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\operatorname{sign}[{{T}_{f}}-tr({{L}_{kf}}{{P}_{kf}})]; \\ & {{a}_{m,k,f}}\in [0,1]. \\ \end{align}$

(5)

该问题是一个线性规划问题，可借助成熟的优化工具高效求解^{[12, 13]}。得到的解{α_mkf}中，对于第m个次用户，令{α_mkf,k=1,2,…,K;f=1,2,…,F}中值最大的元素等于1，表明第m个次用户选择了第k簇天线和第f个信道，其他的元素为0，这样得到了就联合信道分配和天线选择问题的解{α^*_mkf}。

3 仿真分析

本节通过仿真来验证所提出算法的有效性，并分析采用大尺度信道状态信息对信道分配和天线选择的影响。考虑DSSS中次用户分布于一个圆形区域，区域半径为R=1 000 m，M=4，K=4，F=6，路径损耗因子为γ=4，阴影衰落的标准差取值σ_s=4，噪声功率设定为-100 dBm，主用户的干扰门限设定为-90 dBm，W_f在0~1中随机取值，功率将平均分配到每根天线。

首先分析将α_m,k,f从{0,1}松弛到[0,1]的影响。定义松弛误差为

$\delta =\frac{1}{MKF}\sum\limits_{m=1}^{M}{\sum\limits_{k=1}^{K}{\sum\limits_{f=1}^{F}{|{{a}_{mkf}}-a_{mkf}^{*}|.}}}$

(6)

在总发送功率为10 dBm时，使用Monte Carlo方法仿真得到平均的误差δ=9.3×10^-5，几乎可以忽略，因此可以认为简化问题和原问题的解是基本一致的。

其次对比基于全信道状态信息、基于大尺度信道状态信息和无信道状态信息的信道分配和天线选择方案的和速率性能，如图 2所示。在无信道状态信息的情况下，本文使用随机信道分配和天线选择。不失一般性，采用Monte Carlo法仿真了100个大尺度信道状态信息，每个大尺度信道状态信息都伴随着1 000个小尺度信道状态信息。可以看出，基于全信道状态信息和大尺度信道状态信息的方案得到的次用户的和速率差距并不很大，都要远优于无信道状态信息的方案。由于仅仅使用大尺度信道信息的方案需要的系统开销比基于全信道状态信息的方案更少，在实际应用中综合考量增益与开销，该方案具有显著的优势。

4 结 论

在DSSS中，信道和天线等资源的联合优化对于系统性能至关重要。由于小尺度信道状态信息往往高速动态变化，在进行信道分配和天线选择时，完全信道状态信息的获取需要较大的系统开销。本文从降低系统开销的角度，采用大尺度信道状态信息来进行联合信道分配和天线选择。具体地，以次用户的和速率为目标，建立了信道分配和天线选择的优化问题，通过变量松弛将0-1整数规划问题转化为线性规划问题求解，得到了信道分配和天线选择方案。仿真结果表明： 使用大尺度信道状态信息，仍能够获得较大的系统和速率增益。