对于沿海地区(如中国的东南沿海、美国的东南海岸等)，飓风灾害往往会导致巨大的经济损失和人员伤亡。2005年美国Katrina飓风带来的直接经济损失超过1亿美元^[1]。据福建省民政厅的统计结果，2013年7月的台风“苏力”造成福建省9个地级市及平潭综合实验区80个县(市、区)103万人受灾，直接经济损失达17.7亿元^[2]。对飓风灾害进行风险评估，近年来得到了众多学者的关注^[3-7]。 Bjarnadottir等^[5]对美国佛罗里达州Miami-Dade县的飓风灾害进行了评估，该方法首先根据每年最大风速的概率模型，计算得到每年的飓风灾害，然后对其累加得到评估期内的累积灾害。 Li等^[6]对澳大利亚North Queensland地区由飓风引起的经济损失进行了评估，该方法也是先求得每年的灾害损失，然后对其进行累加。

对某一特定地区，飓风的发生存在着间歇性(例如，每隔3—5年发生一次)^[8-9]。这表明，根据每年最大风速的概率分布来计算每年的飓风灾害，得到的结果是不准确的。为了体现飓风过程的间歇性特性，本文提出采用Poisson过程模型来描述飓风的发生。在此基础上，提出了飓风灾害评估新的计算方法。

1 飓风灾害评估方法 1.1 已有方法

考虑时间(0，T］内的累积飓风灾害D_T，已有研究^[5-6]中采用下式计算：

${{D}_{T}}={{d}_{1}}+{{d}_{2}}+\ldots +{{d}_{T}}.$

(1)

其中，d_i表示第i年内的飓风灾害，且

$E{{d}_{i}}=\int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot {{f}_{v}}\left( v,\text{ }i \right)dv,$

(2)

$\begin{align} & Var{{d}_{i}}= \\ & \int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E{{d}_{i}} \right]}^{2}}\cdot {{f}_{v}}\left( v,i \right)dv. \\ \end{align}$

(3)

其中： E()和Var() 分别表示括号中变量的均值和方差； F_D(v)为飓风灾害函数； f_v(v，i)为第i年的最大风速的概率密度函数PDF。假定各d_i互相独立，则由式(1)—(3)得：

$\begin{align} & E\left( {{D}_{T}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{T}{{}}E{{d}_{i}}= \\ & \sum\limits_{i=1}^{T}{{}}\int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot {{f}_{v}}\left( v,\text{ }i \right)dv. \\ \end{align}$

(4)

$\begin{align} & Var\left( {{D}_{T}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{T}{{}}Var{{d}_{i}}= \\ & \sum\limits_{i=1}^{T}{{}}\int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E{{d}_{i}} \right]}^{2}}\cdot {{f}_{v}}\left( v,\text{ }i \right)dv. \\ \end{align}$

(5)

式(4)和(5)即为已有的评估某一地区未来一段时间内累积飓风灾害的方法。然而，对于沿海地区，飓风的发生是罕见的，可能存在着一年中不发生飓风的情形^[8-9]。因此，式(4)和(5)中的f_v(v，i)是“虚拟”的年最大风速。这表明，利用已有方法计算累积飓风灾害D_T时，得到的结果是不准确的。

1.2 本文方法

为了更加准确地评估时间(0，T］内的累积飓风灾害D_T，本文提出将飓风发生的随机过程描述为平稳的Poisson过程，其Poisson强度记为λ(即单位时间内平均有λ次飓风发生)。将时间段(0，T］划分为N个等长的小区间(N足够大)，则根据Poisson过程的性质，在每个区间上，发生一次飓风的概率为$\frac{\lambda T}{N}$， 不发生飓风的概率为1－$\frac{\lambda T}{N}$。 若每次飓风风速v的PDF为${\tilde{f}}$(v)，将第j个区间上的飓风灾害记作${\tilde{d}}$_j，j=1，2，…,N，则

$E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)=\frac{\lambda T}{N}\cdot \int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv,$

(6)

$\begin{align} & Var\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)=\frac{\lambda T}{N}\cdot \int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right) \right]}^{2}}\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv,+ \\ & \left( 1-\frac{\lambda T}{N} \right)\cdot {{E}^{2}}\left( {{{\tilde{d}}}_{i}} \right).~ \\ \end{align}$

(7)

根据式(6)和(7)，假设各d~_j互相独立，有

$\begin{align} & E\left( {{D}_{T}} \right)=\sum\limits_{j=1}^{N}{{}}E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)= \\ & \lambda T\cdot \int {{F}_{D}}\left( v \right)\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv, \\ \end{align}$

(8)

$\begin{align} & Var{{D}_{T}}=\sum\limits_{j=1}^{N}{{}}Var\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)= \\ & \lambda T\cdot \int {{\left[ {{F}_{D}}\left( v \right)-E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right) \right]}^{2}}\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv+ \\ & E\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)E\left( {{D}_{T}} \right)-\lambda T\cdot {{E}^{2}}\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right). \\ \end{align}$

(9)

当N足够大时，式(9)可改写为

$\begin{align} & Var\left( {{D}_{T}} \right)=\underset{N\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{j=1}^{N}{{}}Var\left( {{{\tilde{d}}}_{j}} \right)= \\ & \lambda T\cdot \int F_{D}^{2}\left( v \right)\cdot \tilde{f}\left( v \right)dv.~ \\ \end{align}$

(10)

式(8)和(10)即为本文提出的飓风灾害评估的新方法。与已有方法对比，本文方法中考虑到了飓风发生的间歇性特性，因此更能准确地反映真实情况。

将飓风发生随机过程描述为Poisson过程，则相邻2次飓风的时间间隔Δ也是随机变量，且服从指数分布，其累积密度函数CDF为

$~F\delta =1-exp-\lambda \cdot \delta $

(11)

2 算例分析 2.1 数据

本文选取美国佛罗里达州Miami-Dade县1900—2010年的登陆飓风数据进行分析^[10]，如表 1所示(数据来源： http://coast.noaa.gov/hurricanes)。在110年里共登陆27次飓风，其轨迹如图 1所示。

将飓风发生随机过程看作平稳Poisson过程，其Poisson强度λ=27/110=0.245。 根据式(11)，相邻2次飓风的时间间隔Δ的CDF为

$~F\delta =1-exp\left( -0.245\delta \right).$

(12)

式(12)中的F(δ)如图 2所示。为了验证本文提出的Poisson过程模型的准确性，计算表 1中每相邻2次飓风的发生时间间隔δ_i，并按升序排序δ₁ <δ<₂ <…<δ₂₆； 然后将点对(δ_i，i /27)绘制于图 2中(i=1，2，…，26)。 借助Chi-Square的一致性检验，得到p值为0.969^[11]。 p值的数学意义是指“出现更不符合假定概率模型的样本的几率”，通常当p>0.200时，便认为假定概率分布模型是合理的。由此可知，飓风的发生时间间隔Δ可用指数分布描述其离散性，且拟合效果良好。

计算得到表 1中27次风速的均值为31.8 m/s，标准差为16.19 m/s。 用Weibull分布来拟合${\tilde{v}}$的分布，则${\tilde{v}}$的CDF，${\tilde{F}}$(v)为

$\tilde{F}\left( v \right)=1-exp{{\left[ -\left( \frac{v}{35.9} \right) \right]}^{2.06}}.$

(13)

将表 1中的风速按升序排列v₁<v₂<…<v₂₇； 然后将点对(v_i，i /28)绘制于图 3中(i=1，2，…，27)。 为方便比较，在图 3中也绘制了式(13)中的 ${\tilde{F}}$(v)。 对Weibull分布拟合进行Chi-Square的一致性检验^[11]，得到p值为0.663>0.200。 这表明，实际记录的飓风风速(1 min持续风速)可以用Weibull分布描述，且拟合效果良好。

根据表 1中的数据可推算出式(4)和(5)中的“虚拟”年最大风速的PDF，f_v(v，i)。 用Poisson过程描述飓风发生的随机过程，在时间段(0，T₀］内，记飓风发生次数为Q，则

$\begin{align} & Pr\left( Q=k \right)=\frac{\left( \lambda T_{0}^{k} \right)}{k!}exp\left( -\lambda {{T}_{0}} \right), \\ & k=0,1,2,\ldots \\ \end{align}$

(14)

根据式(14)得：

$\begin{align} & F\left( v,{{T}_{0}} \right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{}}Pr\left( Q=k\cdot \right){{{\tilde{F}}}^{k}}\left( v \right)= \\ & exp\left[ -\lambda {{T}_{0}}\left( 1-\tilde{F}\left( v \right) \right) \right].~ \\ \end{align}$

(15)

其中，F(v，T₀)为时间(0，T₀］内的最大风速v_T0的CDF。 由式(15)，v_T0的均值为

$~E{{v}_{{{T}_{0}}}}=\int_{0}^{\infty }{{}}v\cdot \frac{\partial F(v,{{T}_{0}})}{\partial v}\cdot dv.$

(16)

用Weibull分布刻画年最大风速，其CDF记为F_v(v，i)，则

${{F}_{v}}\left( v,i \right)=1-exp\left[ -{{\left( \frac{v}{{{u}_{1}}} \right)}^{{{\alpha }_{1}}}} \right].$

(17)

为拟合式(17)中的参数u₁和α₁，令式(16)中的T₀=30，40，50，…，100，可分别计算E(v₃₀)，E(v₄₀)，E(v₅₀)，…,E(v₁₀₀)； 然后线性拟合点对ln[E(v_T0)],ln(lnT₀)，则斜率为α₁，截距为-α₁ln u₁。 如图 4所示，拟合得到u₁=20.55 m/s，α₁=1.27。 进而，由式(17)得：

$0.0618{{\left( \frac{v}{20.55} \right)}^{0.27}}\cdot exp{{\left[ -\left( \frac{v}{20.55} \right) \right]}^{1.27}}.$

(18)

2.2 灾害评估

考虑从当前时刻开始50年内的累积飓风灾害D₁，D₂，…，D₅₀。根据本文提出的式(8)和(10)计算得到D_T的均值和标准差，如图 5所示。其中，飓风灾害函数F_D(v)采用文^[12]中的模型，如式(19)所示。F_D(v)的含义是风速为v的飓风引起的损伤资产占该地区所有资产的比重，

$\eqalign{ & {F_D} = \cr & \left\{ \matrix{ 0.01exp\left( {0.252v - 5.823} \right),v \le 35; \hfill \cr 0.01\left[ {20 + 11.43\left( {v - 35} \right)} \right],35 < v \le 42; \hfill \cr 1,v > 42. \hfill \cr} \right. \cr} $

(19)

其中，v表示10 min持续风速(m/s)。 表 1中的风速为1 min持续风速，因此，需要将1 min风速乘以转换系数0.9来转化为10 min风速。

为方便对比，分别根据式(4)和(5)计算得到不考虑飓风间歇性特性的累积灾害D_T，其均值和标准差也绘制于图 5中。从图 5(a)可以看到，50年内的飓风累积灾害随着时间的增加而线性增加。如果忽略飓风发生过程的间歇性，则会显著高估飓风灾害的均值。以E(D₅₀)为例，由式(8)计算得E(D₅₀)=3.332，而由式(4)(即不考虑飓风间歇性)计算得E(D₅₀)=4.713，高估41.4%。 从图 5(b)可以看到，如果忽略飓风的间歇性特性，则会高估飓风灾害的方差。比如，对于Var(D₅₀)，由本文方法计算得Var(D₅₀)=2.823，而由式(5)计算得Var(D₅₀)=3.389，高估20.05%。 2种方法计算得到的D_T的变异系数COV，即标准差与均值的比值如图 5(c)所示。可以看到，随着T增加，D_T的变异性变小。这是因为2种方法中，D_T的均值随T线性增加，但其标准差则随T平方根线性增加。此外，如果忽略飓风的间歇性特性，则会低估飓风灾害的变异性。

3 结 论

本文考虑到飓风的间歇性特征，采用平稳Poisson过程来描述飓风发生的随机过程，提出了飓风灾害评估的新方法。对美国Miami-Dade县1900—2010年的飓风数据进行了分析，结果表明： 平稳Poisson过程可以准确描述飓风发生的随机过程； 此外，每次飓风的风速可以用Weibull分布来刻画。应用本文方法对Miami-Dade县未来50年内的飓风灾害进行了评估，结果表明： 利用已有方法(忽略飓风的间歇性特性)，则会高估飓风灾害的均值和方差，但会低估其变异性。在50年内的评估期内，已有方法会对飓风灾害的均值和方差分别高估41.4%和20.05%。