2013年5月1日《电子招标投标办法》落地实行，电子招投标在建筑工程等领域逐渐得到推广，建筑市场采用电子招投标的形式，进一步优化了建筑市场的资源配置，大幅提升了建筑企业的核心竞争力及产品质量，同时很大程度上降低了不正当竞争的发生概率。 同时，建筑市场也在不断创新电子招投标形式，以适应节能、环保的工作需求。但建筑市场电子招投标平台的市场响应机制比较缺乏，对于建筑市场最终用户的需求并未做到及时跟踪和响应，使得客户满意度越来越低，建筑企业的形象受到了严重影响。

从价值共创理论视角来看，建筑市场工程质量事故频发背后的原因正是当前的中国建筑市场尚未真正进入顾客主导逻辑下的成熟市场^[1]。按照顾客主导逻辑，顾客不仅参与价值创造，而且还是价值网络中所有活动的驱动者和决定性因素^[1-2]。但在建筑市场中，由于建筑产品的单件性、固定性，以及其生产组织的项目制和流动性，当最终用户拿到建筑产品时，相关项目型生产组织已经解散，质量责任难以向生产者追究。中国当前的法律环境也非常不利于建筑产品最终用户质量投诉的快速解决，使得众多的最终用户不得不放弃对自身权利的维护。全面提升建筑市场的工程质量水平需要一种机制打通从最终用户到供应链各生产者之间的责任追究链条，为建筑市场引入顾客主导逻辑，从而使顾客价值诉求直接驱动供应链各生产者对质量的自觉追求，实现顾客与生产者的价值共创。

另外，由于建筑产品的多样性、竣工后的不可逆转性及交易价值的高额性，除价格外，建设单位或总承包方也对设计、施工、供货及监理等单位的企业资质、经营业绩、服务质量等其他非价格属性均有相应的要求和限定。传统的建筑市场招标仅凭价格作为唯一衡量标准显然不能满足现实需求。因此，理论上需要从多维属性角度刻画建筑市场的招标行为。

本文从建筑市场最终用户的视角，以建筑市场施工招投标为例建立了两阶段拍卖模型：第1阶段，通过引入投标价格、履约能力和基于第三方的建筑质量评价3个属性到评标函数，构建了网上逆向多属性拍卖模型，并采用基于简单加权法的赢者决策方案对招投标策略进行了均衡策略分析；第2阶段，鉴于建筑市场部分电子招投标平台评标完成后会产生多于一个的中标候选人以展开进一步谈判，本文构建和分析了招标方与中标候选人的不完全信息条件下无限回合的合同降价谈判模型，得到了子博弈精炼纳什均衡。该拍卖模型积极地响应了最终用户的相关诉求，从整体上提高了建筑产业供应链的竞争力。

1 研究现状

传统招投标需经过招标、投标、开标、评标与定标等程序，涉及招标方、投标方、监管方、代理方等多个角色，其中的规章制度繁琐、操作流程复杂、采购周期较长、整个运作成本较高。并且，传统招标的工作大部分采用人工、书面文件的方式操作，电子化程度较低。而电子招标投标则以数据电文形式，依托电子招标投标系统完成全部或者部分招标投标交易、公共服务和行政监督活动^[3]。与传统招投标相比，电子招投标的施行对于提高采购透明度、节约资源和交易成本、促进政府职能转变具有非常重要的意义，特别是在利用技术手段解决弄虚作假、暗箱操作、串通投标、限制排斥潜在投标人等招标投标领域的突出问题方面有着独特优势。目前，多个省市已建立起电子化招投标平台，例如北京工程建设电子化招投标平台、福州建设工程电子招投标平台等。

目前，在市场经济下卖方竞争越来越激烈，网上逆向多属性拍卖成为流行的交易方式，将网上逆向多属性拍卖引入到建筑市场交易环境中可以在很大程度上改变建筑市场供应链上企业的行为和企业间关系，使合作和竞争的企业关系在供应链上共存，并降低信息、交易和参与成本，从而可以改善建筑市场供应链的绩效^[4]。

关于逆向多属性拍卖，相关理论研究较多。McAfee等^[5]提及了多属性拍卖，Thiel^[6]探讨了多属性拍卖机制设计问题，但最早较系统地研究多属性采购拍卖理论应归结为Che^[7]，他把一级和二级价格密封式拍卖推广到多属性拍卖领域，在投标者成本函数是私人信息的假设前提下，设计了一个两属性采购拍卖模型，其中投标由价格和质量2个属性构成。Branco^[8]延伸了Che的工作，把Che的工作推广到投标者的成本函数之间相关的情形，以社会整体福利为出发点，用一个两阶段机制实现了最优拍卖的结果。Beil等^[9]进一步探讨了Che的拍卖模型，其假设买方仅了解供方的成本函数，但不知参数值的相关信息，买方通过多轮迭代拍卖去了解供方的成本函数，并在最后一轮最大化其评分函数。David等^[10]基于Che的相关研究，在多属性拍卖中引入了英式拍卖的概念。 Parkes等^[11]在Che的基础上，构建了一种迭代逆向拍卖机制，其供方成本函数和买方效用函数均为线性函数，并证明了此机制均衡策略的存在性。Narasimhan等^[12]从供方的角度对逆向拍卖进行了研究，供方则通过判断买方的偏好确定投标策略。Saroop等^[13]探讨了一种两属性拍卖机制，该机制限制了买方偏好函数的信息揭露。Asker等^[14]对投标者私人信息模型进行了深入研究，实现了从一维到多维的转变。 Kostamis等^[15]对公开逆向拍卖和密封拍卖2种拍卖形式进行了对比，并对非价格属性进行成本调整，一旦存在不同的价格调整并且部分供方有着较高的成本调整时，则采用公开拍卖的形式进行拍卖。Wang等^[16]提出了2种多属性拍卖模型，对投标标的进行标准化处理，并采用权重评分方法进行评分，最后对2种模型的均衡投标策略、买方的收益和优化拍卖设计进行了对比分析。Perrone等^[17]开发了一种用于汽车工业标准化工程服务采购的多属性拍卖方法，分析得出了其最优供方策略和期望收益，并利用仿真技术研究了敏感度问题。Karakaya等^[18]研究了用于多属性、单物品、多轮逆向拍卖环境的迭代方法，并根据买方以往招标中的属性偏好估算其偏好函数的相关参数，该参数值被循环改进并告知供方，供方更新投标标的后继续参与拍卖，直到不存在供方从持续迭代中获利为止。Bellosta等^[19]结合多属性英式逆向拍卖和行为决策理论定义了一类框架，框架考虑了各种偏好模型，并对不可对比的偏好结构进行了分析、讨论。冯玉强等^[20-21]通过细化评分函数，把David等的工作推广到更一般化的情形。Shi^[22]提出了一种涉及拍卖安全问题的密封多属性拍卖协议，主要对投标隐私保护和投标者匿名2种情况进行了分析。Yang等^[23]通过二维对比方法以获取买方的偏好信息。

需注意的是，上述模型在评标时，绝大部分评分函数将价格以线性形式引入其中，而基于简单加权法的非线性评分函数^[24]不仅统一了各属性的单位，并将投标价格及其非价格属性以非线性的形式加入到评分函数当中，克服了投标者的数量对成交价没有影响的脱离实际的弊端，故本文采用基于简单加权法的非线性评分函数进行投标方的选择评价。另外鉴于两阶段模型可以保证竞争的充分性，并可能带来更高收益^[25]，故本文建立了两阶段拍卖模型。

2 模型构建与均衡策略分析 2.1 建筑施工电子招投标模型

鉴于现实拍卖中风险中性的投标者占比较大，故本文着重对风险中性投标者的投标策略展开研究。 假定拍卖中，招标方的合同为不可分割合同。 并且，规定投标者的投标由投标价格、 履约能力和基于第三方的建筑质量评价3个属性构成。 然后，投标者进行密封投标，获得最高分的投标者赢得施工合同，具体假设条件如下。

1) n：参与竞标投标者的数量；

2) p：合同价格；

3) b：履约能力，其为将参与投标施工企业的资质、业绩、施工方案、诚信度等作为自变量的综合评分函数；

4) q：基于第三方的建筑质量评价，通过公正的第三方检测机构对参与投标的施工企业3年内完工建筑的质量进行检测并给出评分，作为招标综合评分的重要参考项之一；

5) S(p，b，q)：评标函数；

6) (p_i，b_i ，q_i)：投标方i的投标方案；

7) p₀：最高合同价格为p₀，p_i≤p₀，i=1，2，…，n；

8) b₀：招标方所能接受的最低履约能力水平b₀，b_i≥b₀，i=1，2，…，n；

9) q₀：最终用户所能接受的最低建筑质量评分q₀，q_i≥q₀，i=1，2，…，n；

10) θ：投标方的成本参数，可考虑为施工企业为提高施工能力和建筑质量所做出的努力，为私人信息，θ越大，其施工能力越强，建筑质量越高。

11) F(·)、f(·)：假设各投标方的成本参数在区间[a,b]上相互独立且同分布，其分布函数为F(·)，其密度函数f(·)是一个连续的正函数，且0<a<b<+∞；

12) G(·)、g(·)：G(·)=F ^n-1 (·)、g(·)=G′(·)；

13) C(b，q，θ)：成本函数；

14) C_θ<0、C_b>0、C_q>0：在实际生产中，施工企业的施工能力越强，其施工成本和边际成本就越低；施工企业的施工能力越强，建设的建筑质量越好，其生产成本越高，故本文作此假设。

本文基于上述假设，借鉴王明喜等^[24]提出的基于简单加权法的赢者决策方案，对模型进行了均衡投标策略分析。为了消除价格、履约能力和基于第三方的建筑质量评价属性量纲不统一所引起的计算问题，首先做去单位化处理，经去单位化处理后，3个标量均大于1，评分中也凸显了非价格属性的作用，使得价格、 履约能力和基于第三方的建筑质量评价3个属性得以均衡体现。 对于投标者的投标(p，b，q)，评分函数为

$~S\left( p,b,q \right)={{w}_{1}}\frac{{{p}_{0}}}{p}+{{w}_{2}}\frac{b}{{{b}_{0}}}+{{w}_{3}}\frac{q}{{{q}_{0}}}.$

(1)

其中，w₁、w₂、 w₃分别是招标方根据偏好设定的权重，且w₁+w₂+w₃=1。各评标专家仅了解其参与评标项的权重，评审专家的选取也是由计算机随机抽取产生的，这样也减少了投标方事先进行贿赂的行为。据此，招标方依据公平、公正、择优的评标基本原则，利用基于建筑施工招投标中投标价格、履约能力和基于第三方的建筑质量评价的网上逆向多属性采购拍卖模型对投标文件进行综合评比，以选取合格的中标单位或中标候选人。

针对招标方而言，其最优策略为

$\underset{1\le i\le n}{\mathop{Max}}\,S({{p}_{i}},{{b}_{i}},{{q}_{i}}).$

(2)

对于投标方而言，其最优策略为

$~\underset{\left( p,b,q \right)}{\mathop{Max}}\,P\left[ p-C\left( b,q,\theta \right) \right].$

(3)

其中，P为投标者在投标策略(p，b，q)下的获胜概率。

其贝叶斯纳什均衡策略证明如下。

以投标者1的投标策略为例进行分析，假设投标者1的成本参数为θ，其投标策略为(p，b，q)；其他投标者的成本参数为θ_i，其投标策略为(p_i，b_i，q_i)，则各投标方的得分为

$~S\left( {{p}_{i}},{{b}_{i}},{{q}_{i}} \right)={{w}_{1}}\frac{{{p}_{0}}}{{{p}_{i}}}+{{w}_{2}}\frac{{{b}_{i}}}{{{b}_{0}}}+{{w}_{3}}\frac{{{q}_{i}}}{{{q}_{0}}}.$

(4)

假设投标者1为中标单位或中标候选人，则

$\begin{align} & {{S}_{1}}>S\left( {{\theta }_{i}} \right)= \\ & {{w}_{1}}\frac{{{p}_{0}}}{p\left( {{\theta }_{i}} \right)}+{{w}_{2}}\frac{b\left( {{\theta }_{i}} \right)}{{{b}_{0}}}+{{w}_{3}}\frac{q\left( {{\theta }_{i}} \right)}{{{q}_{0}}}. \\ \end{align}$

(5)

进而，投标者1在此贝叶斯博弈中的获胜概率为

$~P=Prob\left( S\left( {{\theta }_{i}} \right)<{{S}_{1}},\text{ }i=2,3,\cdots ,n \right).$

(6)

因为

$\begin{align} & S\prime \left( {{\theta }_{i}} \right)=-{{w}_{1}}\frac{{{p}_{0}}}{{{p}^{2}}\left( {{\theta }_{i}} \right)}p\prime \left( {{\theta }_{i}} \right)+{{w}_{2}}\frac{b\prime \left( {{\theta }_{i}} \right)}{{{b}_{0}}}+ \\ & {{w}_{3}}\frac{q\prime \left( {{\theta }_{i}} \right)}{{{q}_{0}}}>0. \\ \end{align}$

(7)

所以S^-1(·)存在，则

$\begin{align} & P=Prob\left( {{\theta }_{i}}<{{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right),\text{ }i=2,3,\cdots ,n \right)= \\ & {{F}^{n-1}}\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)=G\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right). \\ \end{align}$

(8)

则当投标者的投标策略为(p，b，q)时，其期望收益为

$v\left( p,b,q;\theta \right)=\left[ p-C\left( b;q;\theta \right) \right]G\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right).$

(9)

最大化投标者1的期望收益，将式(9)分别对p、b、q求偏导数，即可得到：

$\left\{ \begin{align} & \frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial p}=G\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)-\left[ p-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)\frac{1}{S\prime \left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)}\frac{{{w}_{1}}{{p}_{0}}}{{{p}^{2}}}, \\ & \frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial b}=-{{C}_{b}}\left( b;q;\theta \right)G\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)+\left[ p-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)\frac{{{w}_{2}}}{{{b}_{0}}S\prime \left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)}, \\ & \frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial q}=-{{C}_{q}}\left( b;q;\theta \right)G\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)+\left[ p-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)\frac{{{w}_{3}}}{{{q}_{0}}S\prime \left( {{S}^{-1}}\left( {{S}_{1}} \right) \right)}. \\ \end{align} \right.$

(10)

假设其他投标者的投标策略为(p(θ_i)，b(θ_i)，q(θ_i))，当投标者1的策略为贝叶斯纳什均衡策略时，其最优投标(p(θ)，b(θ)，q(θ))满足：

$\begin{align} & \left( \frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial p},\frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial b},\frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial q} \right)= \\ & \left( 0,0,0 \right). \\ \end{align}$

(11)

又因

${{S}_{1}}\left( p\left( \theta \right),b\left( \theta \right),q\left( \theta \right) \right)=S\left( \theta \right).$

(12)

则S^-1(S₁)= θ，代入式(12)可得：

$\left\{ \begin{align} & \frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial p}\left| _{\left( p=p\left( \theta \right),b=b\left( \theta \right),q=q(\theta ) \right)} \right.=G\left( \theta \right)-\left[ p\left( \theta \right)-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( \theta \right)\frac{1}{S\prime \left( \theta \right)}\frac{{{w}_{1}}{{p}_{0}}}{{{p}^{2}}\left( \theta \right)}=0, \\ & \frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial b}\left| _{\left( p=p\left( \theta \right),b=b\left( \theta \right),q=q(\theta ) \right)} \right.=-{{C}_{b}}\left( b;q;\theta \right)G\left( \theta \right)+\left[ p-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( \theta \right)\frac{{{w}_{2}}}{{{b}_{0}}S\prime \left( \theta \right)}=0, \\ & \frac{\partial v\left( p,b,q;\theta \right)}{\partial q}\left| _{\left( p=p\left( \theta \right),b=b\left( \theta \right),q=q(\theta ) \right)} \right.=-{{C}_{q}}\left( b;q;\theta \right)G\left( \theta \right)+\left[ p-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( \theta \right)\frac{{{w}_{3}}}{{{q}_{0}}S\prime \left( \theta \right)}=0. \\ \end{align} \right.$

(13)

即

$\left\{ \begin{align} & G\left( \theta \right)=\left[ p\left( \theta \right)-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( \theta \right)\frac{1}{S\prime \left( \theta \right)}\frac{{{w}_{1}}{{p}_{0}}}{{{p}^{2}}\left( \theta \right)}, \\ & {{C}_{b}}\left( b;q;\theta \right)G\left( \theta \right)=\left[ p\left( \theta \right)-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( \theta \right)\frac{{{w}_{2}}}{{{b}_{0}}S\prime \left( \theta \right)}, \\ & {{C}_{q}}\left( b;q;\theta \right)G\left( \theta \right)=\left[ p\left( \theta \right)-C\left( b;q;\theta \right) \right]g\left( \theta \right)\frac{{{w}_{3}}}{{{q}_{0}}S\prime \left( \theta \right)}. \\ \end{align} \right.$

(14)

其中

$\begin{align} & S\prime \left( \theta \right)= \\ & -{{w}_{1}}\frac{{{p}_{0}}}{{{p}^{2}}\left( \theta \right)}p\prime \left( \theta \right)+{{w}_{2}}\frac{b\prime \left( \theta \right)}{{{b}_{0}}}+{{w}_{3}}\frac{q\prime \left( \theta \right)}{{{q}_{0}}}. \\ \end{align}$

(15)

其中，(p(θ)，b(θ)，q(θ))是最大化投标者1的预期效益函数v(p，b，q；θ)的必要条件，易证明其也是最大化投标者1的预期效益函数v(p，b，q；θ)的充分条件。故(p(θ)，b(θ)，q(θ))为贝叶斯纳什均衡策略。

另外，在均衡策略中，就风险中性投标者而言，价格属性与投标数量成反比，质量属性则与投标数量成正比； 同时，投标得分及投标者的成本则与投标参与方的数量成正比^[24]。

投标完成后，招标方选择得分最高者中标，或依次选取一定数量的中标候选人，展开谈判选定中标人。

2.2 无限回合合同降价谈判模型

在合同降价谈判过程中，通常招标方先出价，即招标方先提出降价的额度，中标候选人可以接受或者拒绝第1回合，招标方向中标候选人出价如果中标候选人接受了这个降价，则谈判达成； 如果中标候选人拒绝该出价，则在第2回合，中标候选人将向招标方出价，如果招标方接受了中标候选人的出价，则谈判达成； 如果招标方拒绝此出价，在第3回合，招标方再向中标候选人出价，以此类推当且仅当其中一方接受了另一方的出价时谈判结束^[26]。轮流出价的讨价还价模型是从博弈的视角出发，揭示双方之间对某一存在争论的问题进行博弈，双方通过考虑各自利益和各种影响因素而达成最终协议，得出均衡结果^[27]。

本文针对设置中标候选人的情况进行了不完全信息条件下无限回合的合同降价谈判模型的构建与分析。假设中标候选人均同意接受降价谈判，且各候选人之间相互独立、不结盟。对于招标方而言，其选择原则为其认为中标候选人已降价至最小合理利润区间内为止，然后进行横向对比，选取合理降价期间的最低价的中标候选人获得施工合同，未获取合同的中标候选人收益为0，其中，降价是指广义的降价，涵盖实质性降价，以及提高施工效率或施工能力造成所增加的成本，也考虑为总合同降价。因各中标候选人相互独立，本文以招标方与一个中标候选人的谈判模型为例进行分析。

2.2.1 假设条件

1) 招标方B和投标方S均为理性人，且招投标方均期望达成最终协议。

2) 各中标候选人为相互独立主体。

3) 中标候选人的利润为π，谈判降低的合同额度为ω，则第1回合招标方提出降低合同额度为ω₁，第2回合中标候选人提出的降价额度为ω₂，第3回合招标方提出的降价额度为ω₃，以此类推。

4) 折算系数：因较晚签署合同对于招投标双方都有代价(时间价值、实际开支或对工期造成的影响)，会降低双方的收益，故设自第2回合开始招标方的折算系数为δ₁，中标候选人的折算系数为δ₂，且δ₁、δ₂<1，又因招标方相对于中标候选人具有一定优越性，一般招标方的信息获取成本和谈判成本均低于中标候选人，故δ₁<δ₂。

5) 在不完全信息博弈中，招标方和中标候选人对收益情况有一定了解，但并非全部了解。 针对此情况，一般信息主要由主观概率分布来表达。假设在不完全信息博弈中，招投标方接受本回合谈判的概率为P_a，招投标方拒绝本回合谈判的概率为P_r，且P_a+P_r=1。

6) 招标方和中标候选人的信息是不完全的，即招标方对中标候选人的利润等投标企业的内部信息并不是很了解，投标方对对方的特征也不是很了解。

其中，针对不完全信息情况，海萨尼提出了一种处理不完全信息博弈的方法，将所有具有不完全信息的博弈转化为一个完全但不完美的信息博弈，只需要引入一个虚拟参与人参数——“自然”，“自然”首先决定参与人的特征，参与人知道自己的特征，而其他参与人不知道，这即是海萨尼转换^[28]。

2.2.2 模型构建

在不完全信息情况下，招标方只能依据主观概率分布来预测中标候选人采取某一策略的可能性，这里就需要运用海萨尼转换，引入“自然”这个变量来进行分析，因此，对讨价还价每一回合的分析也要分为2种情况同步进行。

第1回合：由招标人首先提出降价额度为ω₁，若中标候选人以P_a的概率接受本轮谈判，则

$B_{1}^{'}={{P}_{a}}{{w}_{1}},$

(16)

$S_{1}^{'}={{P}_{a}}\left( \pi -{{w}_{1}} \right).$

(17)

而当中标候选人以P_r的概率拒绝本回合谈判时，

$B_{1}^{''}={{P}_{r}}\cdot 0$

(18)

$S_{1}^{''}={{P}_{r}}\cdot \pi .$

(19)

因此，在第1回合中，招标方和中标候选人在谈判中的期望收益为

${{B}_{1}}\text{=}B_{1}^{'}+B_{1}^{''}\text{=}{{P}_{a}}{{w}_{1}},$

(20)

${{S}_{1}}=S_{1}^{'}+S_{1}^{''}=\pi -{{P}_{a}}{{w}_{1}}.$

(21)

其中：B₁表示招标方在第1回合谈判中的期望收益；S₁则表示中标候选人在第1回合中的期望收益。若中标候选人拒绝第1回合招标方提出的降价额度，则谈判进入第2回合。

第2回合：由中标候选人提出降价额度为ω₂，另因较晚签署合同对于招投标双方都有代价，会降低双方的收益，故招投标方接受本轮谈判的收益如下：

$B_{2}^{'}={{P}_{a}}{{\delta }_{1}}{{w}_{2}},$

(22)

$S_{2}^{'}={{P}_{a}}{{\delta }_{2}}(\pi -{{w}_{2}}).$

(23)

而当招标人以P_r的概率拒绝本回合谈判时，

$B_{2}^{''}={{P}_{r}}\cdot {{\delta }_{1}}\cdot 0,$

(24)

$S_{2}^{''}={{P}_{r}}\cdot {{\delta }_{2}}\cdot \pi .$

(25)

因此，在第2回合中，招标方和中标候选人在谈判中的期望收益为

${{B}_{2}}=B_{2}^{'}+B_{2}^{''}{{P}_{a}}{{\delta }_{1}}{{w}_{2}},$

(26)

${{S}_{2}}=S_{2}^{'}+S_{2}^{''}={{\delta }_{2}}\pi -{{P}_{a}}{{\delta }_{2}}{{w}_{2}}.$

(27)

若招标方拒绝中标候选人提出的降价额度，则谈判进入第3回合。

第3回合：招标方提出降价额度为ω₃，同样分为2种情况进行分析，若中标候选人以P_a的概率接受本轮谈判，则

$B_{3}^{'}={{P}_{a}}\delta _{1}^{2}{{w}_{3}},$

(28)

$S_{3}^{'}={{P}_{a}}\delta _{2}^{2}(\pi -{{w}_{3}}).$

(29)

而当中标候选人以P_r的概率拒绝本回合谈判时，

$B_{3}^{''}={{P}_{r}}\cdot \delta _{1}^{2}\cdot 0,$

(30)

$S_{3}^{''}={{P}_{r}}\cdot \delta _{2}^{2}\cdot \pi .$

(31)

因此，在第3回合中，招标方和中标候选人在谈判中的期望收益为

${{B}_{3}}=B_{3}^{'}+B_{3}^{''}{{P}_{a}}\delta _{1}^{2}{{w}_{3}},$

(32)

${{S}_{3}}=S_{3}^{'}+S_{3}^{''}=\delta _{2}^{2}\pi -{{P}_{a}}\delta _{2}^{2}{{w}_{3}}.$

(33)

谈判如此循环下去，直到双方达成满意的降价意向为止。

2.2.3 模型求解

通过上述分析可知，该模型是一个不完全信息条件下无限回合的讨价还价博弈模型。无限回合讨价还价与有限回合讨价还价不同，有限回合讨价还价可以有一个可作为逆推归纳法起始点的最后回合，因此，按常规思路，逆推归纳法无法适用于对本模型的求解。但谢织予^[28]在其著作中描述了一种解决这种博弈问题的思路，该思路是基于Shaked等^[29]在1984年提出的，对于一个无限回合的讨价还价博弈来讲，设立的逆推基点不管是第3回合，还是第1回合，其最终的结果都是一样的。所以，选择有限期中的3个阶段讨价还价作为无限期讨价还价逆推的起始节点。

在第3回合中，招标方的期望收益为B₃=P_aδ₁²ω₃，而中标候选人的期望收益为S₃=δ₂²π-P_aδ₂²ω₃。再看第2回合，若中标候选人提出的方案使得招标方的期望收益B₂小于第3回合的期望收益B₃，则招标方将拒绝该回合的谈判结果，谈判将进入第3回合。所以为了避免谈判进入到第3回合以产生不必要的损耗，则中标候选人提出的降价额度应使得招标方在该回合的期望收益不小于第3回合的B₃，同时使得自己的谈判期望收益最大。

故在本回合谈判中，中标候选人的最优策略为

${{B}_{2}}={{B}_{3}},$

(34)

${{P}_{a}}{{\delta }_{1}}{{w}_{2}}={{P}_{a}}\delta _{1}^{2}{{w}_{3}}.$

(35)

即：

${{w}_{2}}={{\delta }_{1}}{{w}_{3}}.$

(36)

对于中标候选人而言，

$\begin{align} & {{S}_{2}}={{\delta }_{2}}\pi -{{P}_{a}}{{\delta }_{2}}{{w}_{2}}= \\ & {{\delta }_{2}}\pi -{{P}_{a}}{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}}{{w}_{3}}. \\ \end{align}$

(37)

又知：

$~{{S}_{3}}=\delta _{2}^{2}\pi -{{P}_{a}}\delta _{2}^{2}{{w}_{3}}.$

(38)

故比较S₂和S₃，可得：

$\begin{align} & {{S}_{2}}-{{S}_{3}}= \\ & {{\delta }_{2}}\left[ \left( 1-{{\delta }_{2}} \right)\pi -{{P}_{a}}{{w}_{3}}\left( {{\delta }_{1}}-{{\delta }_{2}} \right) \right]. \\ \end{align}$

(39)

因δ₁、δ₂<1，δ₁<δ₂，则S₂>S₃，即在第2回合的谈判中，一般而言，招标方和中标候选人均不愿进入第3回合谈判。

回到第1回合谈判中，第1回合招标方提出合同降低额度。因招标方知道一旦谈判进入第2回合，中标候选人提出的降价额度为w₂，则招标方的期望收益为B₂=P_aδ₁ω₂，而中标候选人的期望收益为S₂=δ₂π-P_aδ₂ω₂。与上述情况类似，在此回合，若招标方提出的降价额度使得中标候选人的期望收益S₁小于第2回合中的期望收益S₂，则中标候选人将拒绝谈判而进入第2回合。故招标方提出的降价额度既能让中标候选人接受，又使得自己的期望收益最大，则招标方的最优策略为

${{S}_{1}}={{S}_{2}}$

(40)

将式(21)和(37)代入式(40)，可得：

$~\pi -{{P}_{a}}{{w}_{1}}={{\delta }_{2}}\pi -{{P}_{a}}{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}}{{w}_{3}}.$

(41)

即：

${{w}_{1}}=\left[ \left( 1-{{\delta }_{2}} \right)/{{P}_{a}} \right]\pi +{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}}{{w}_{3}}.$

(42)

对于一个无限回合博弈而言，无论将第3回合，或第1回合作为逆推归纳的起始点，其所求得的最大合同降价额度是相同的^[26]，故：

$\begin{align} & {{w}_{3}}={{w}_{1}}= \\ & \left[ \left( 1-{{\delta }_{2}} \right)/{{P}_{a}} \right]\pi +{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}}{{w}_{3}}. \\ \end{align}$

(43)

即：

$~{{w}_{3}}=\left( 1-{{\delta }_{2}} \right)\pi /\left[ {{P}_{a}}\left( 1-{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}} \right) \right],$

(44)

$\begin{align} & \pi -{{w}_{3}}= \\ & \pi -\left( 1-{{\delta }_{2}} \right)\pi /\left[ {{P}_{a}}\left( 1-{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}} \right) \right].~ \\ \end{align}$

(45)

设ω_i=ω(常数)，则该博弈模型的子博弈精炼纳什均衡解为

$~{{W}^{*}}=\left( 1-{{\delta }_{2}} \right)\pi /\left[ {{P}_{a}}\left( 1-{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}} \right) \right],$

(46)

$\begin{align} & \pi -{{W}^{*}}= \\ & \pi -\left( 1-{{\delta }_{2}} \right)\pi /\left[ {{P}_{a}}\left( 1-{{\delta }_{1}}{{\delta }_{2}} \right) \right], \\ \end{align}$

(47)

式(46)为招标方最大收益，即中标候选人的最优降价额度；而式(47)为中标候选人在谈判中的最大收益。其他中标候选人的谈判分析过程与之相同。最终，招标方通过横向对比选取其认可的合理降价范围内最大降幅的中标候选人即最终中标人并签订施工合同。

3 结论及展望

建筑市场电子招投标平台在工程建设招投标中未对最终用户的建筑质量要求等权益诉求进行全面响应，使得最终用户满意度越来越低，本文结合建筑产品的特点及建筑市场对多属性电子招投标的需求，从建筑市场最终用户的角度，以建筑市场施工招标为例，建立了两阶段拍卖模型，即网上逆向多属性拍卖模型和不完全信息条件下无限回合的合同降价谈判模型，扩展了投标者的成本函数，分析了其均衡策略，得到第1阶段模型的贝叶斯纳什均衡策略，并推导了第2阶段模型招投标方的期望效用。

在未来的研究中，可进一步放宽假设条件，深入探究成本函数和效用函数的表达式，以及对在线拍卖优秀投标策略^[30]和混合拍卖模型^[31-32]展开进一步分析和研究等。此外，基于BIM技术建设的工程项目电子招投标系统也将成为未来电子化招投标发展的一个新方向。