谐振器由于微尺寸效应，一般需要依靠一定的真空环境才能良好工作。这类传感器要实现更高的分辨率和更大的动态范围等，就需要获得更低的阻尼及更高的品质因数^[1-2]。品质因数反映了器件封装内部的真空度，其稳定性是传感器性能的重要影响因素^[3]。美国Draper实验室研制的硅微谐振加速度计，在真空封装内达到10⁵量级的品质因数，实现了低于1 μg的零偏稳定性^[4]。

真空封装是谐振器应用所需要的关键技术。在研究真空封装技术时，由于封装管壳内低气压的准确测量较为困难，通常使用品质因数作为参考来量化技术改进后的性能优劣。因此，监测品质因数成为谐振式传感器测试中的重要一环^[5-11]。

本文作者所在课题组研制的谐振式加速度计使用真空封装来达到高性能水平，需要对封装后的品质因数进行测量。常规的品质因数测量方法是通过对谐振式传感器进行正弦波激励扫频，测量传感器输出的-3 dB衰减的带宽和中心频率，来计算品质因数的^[7]。但是，实验发现，在封装气压低于1 Pa以下时，谐振梁的扫频实验曲线将会出现明显的非线性特性，此时无法使用常规方法测量品质因数。因此，本文提出了一种品质因数测量方法，对扫频曲线数据按照模型公式进行拟合即可得到品质因数，在线性、非线性的情况下均可以应用。

1 谐振梁的非线性振动 1.1 谐振式加速度计

本文实验使用的硅微谐振式加速度计均为同一批次，是本文作者们此前研制的^[12]。该加速度计采用双端音叉的谐振梁结构，通过对谐振梁谐振频率的测量可以得到敏感质量块上被施加的加速度。为了提高系统的品质因数，使用带吸气剂的金属管壳进行真空封装，封装后气压初步估计小于1 Pa。

由于单组振梁中的上下振梁完全一致且反向振动，谐振梁结构可简化为双端固支梁来考虑，中心梳齿状结构用于静电激励与电容检测，见图 1。

1.2 谐振梁的非线性模型

在对谐振梁的振动力学分析中，非线性振梁的物理模型可简化为

$ M\ddot A+B\dot A+{k_1}A+{k_3}{A^3}={F_0}\cos \omega t. $

(1)

其中：M为等效集中质量，B为阻尼系数，k₁为等效刚度，k₃为非线性系数，A为谐振梁的振幅，F₀为施加力的幅值，ω为施加力的频率。

根据非线性振动力学中的Duffing方程求解过程^[13]，可推导出谐振梁在稳态时某一振幅A下对应的相位φ和频率ω的计算公式，

$ \left\{ \begin{array}{l} \omega={\omega _{\rm{e}}} \pm \frac{{{\omega _0}}}{2}\sqrt {{{\left({\frac{{{F_0}}}{{{k_1}A}}} \right)}^2} - {{\left({\frac{B}{{M{\omega _0}}}} \right)}^2}} \\ j=\arctan \frac{{2M\left({{\omega _{\rm{e}}} - \omega } \right)}}{B} \end{array} \right.. $

(2)

其中：ω₀为无阻尼谐振频率，等效谐振频率为${\omega _{\rm{e}}}={\omega _0}\left({1+\frac{{3{k_3}}}{{8{k_1}}}{A^2}} \right)$。

当谐振梁的频率ω=ω_e时，振梁的振幅达到给定力F₀下的最大值，最大振幅A_max为

$ {A_{\max }}=\frac{{{F_0}}}{B}\sqrt {\frac{M}{{{k_1}}}}=\frac{{{F_0}}}{{B{\omega _0}}}. $

(3)

1.3 非线性效应

从式(2)可知，由于实际结构存在非线性系数k₃，当谐振梁振幅增大时，其谐振频率会发生偏移，且幅频与相频曲线均产生了非线性效应，并在同一频率下会出现多值对应的情况，如图 2所示。在对谐振梁进行扫频时，当出现了非线性现象后，有多值对应点的频率范围成为非稳态区域，扫频曲线在该区域将出现跳跃现象^[13-14]，使实际测量受到干扰。

2 品质因数测量方法

品质因数Q一般是在线性系统下进行定义的，如式(4)所示。其中ξ为阻尼比。本文在非线性下仍然使用该定义。

$ Q=\frac{1}{{2\xi }}=\frac{{{\omega _0}M}}{B}. $

(4)

常规的品质因数测量方法是将谐振梁系统简化为二阶阻尼系统，通过计算中心频率与-3 dB衰减的带宽之比，即可得出品质因数。然而，由于真空度的提高使得品质因数变大，谐振梁的振幅增大，以至出现了非线性振动，扫频曲线的跳跃现象使得常规的扫频无法判断出准确的-3 dB带宽。

此外，由于硅微谐振式加速度计的结构静态电容小(0.3 pF左右)，动态电容更小(fF级)，在一定真空下，品质因数超过10⁵之后，通过降低激励不仅很难消除非线性，而且还会使系统信噪比严重降低，并且其极窄的带宽对扫频设备的分辨率提出了非常高的要求。因此，在这种情况下，对谐振梁的品质因数进行测量，就要研究其他的可行办法。

2.1 常规阻尼振荡法在非线性模型下的局限

二阶系统在欠阻尼振荡状态时，时域响应为

$ y\left(t \right)=\frac{a}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}{{\rm{e}}^{ - {\rm{\xi }}{\omega _0}t}}\sin \left({{\omega _0}\sqrt {1 - {\xi ^2}} t} \right). $

(5)

其中：y为振动位移，a为常数，ξ为阻尼比，t为时间。文[15-16]将振荡曲线的包络线取对数后，拟合出直线，拟合公式为

$ \ln y\left(t \right)=\ln \frac{a}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}=- \xi {\omega _0}t=\ln \frac{a}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }} - {k_0}t. $

(6)

得到直线斜率k₀后，通过式(4)和(6)，可计算品质因数Q，

$ Q=\frac{{ - {\omega _0}}}{{2{k_0}}}. $

(7)

由于该方法是在线性二阶模型下推出的，其测试结果会受到非线性振动的影响。

使用该方法对3号谐振式加速度计进行了实验：先对系统进行电路闭环，闭环振幅设置为某初始振幅y₀，待谐振梁稳定振荡后突然断开回路，同时测量输出响应。由于闭环电路稳定性的限制，只选取了y₀约为53 mV和95 mV的闭环点进行了两次采集，其中95 mV的实验采集至衰减为8.6 mV的时刻，包络线取对数后如图 3所示。从95 mV的曲线中选取了26～8.6 mV、12～8.6 mV两段数据与前两段数据一起计算，作为参考。

表 1为计算结果。由于传感器的输出幅值较小，测量信号噪声较大；在振幅衰减过程中的过程中，斜率有明显变化；且当输出幅值小于20 mV后数字示波器测量信噪比很低。可见，测量结果波动较大，因此该方法不适用于高品质因数下谐振式加速度计的测量。

2.2 基于非线性模型的品质因数估算方法

阻尼振荡模型的方法受非线性振动影响较大，为了在非线性振动下仍然得到准确的品质因数，本文对非线性模型进行了进一步的研究。

联合式(3)和品质因数Q的定义式(4)，即可得到品质因数的计算公式，

$ Q=\frac{{{A_{\max }}M\omega _0^2}}{{{F_0}}}=\frac{{{A_{\max }}{k_1}}}{{{F_0}}}=\frac{{{k_1}}}{{{a_{AV}}{a_{VF}}}}\frac{{{V_{{\rm{oMax}}}}}}{{{V_{{\rm{in}}}}}}. $

(8)

式(8)中得到Q的计算公式和线性模型下的一致，与非线性系数k₃无关，可通过谐振梁等效刚度k₁、振幅到输出电压的系数a_AV、激励电压到加力的系数a_VF、激励电压幅值V_in以及最大输出电压幅值V_oMax来计算。在系统参数确定后，只需关注扫频曲线中的最大幅值增益即可，不需要判断-3 dB带宽，计算更加方便。但由于加工精度等非理想情况限制，这些参数的实际值和设计值有出入，直接使用设计值将导致计算结果偏差较大，也无法进行标定。并且，高品质因数下，最大幅值增益的测量误差也易受扫频分辨率影响。

将式(8)代入式(2)，且只看等效谐振点的左半侧频率曲线，并令振幅比率为x=A/A_max，得到式(9)，

$ \omega={\omega _0}\left({1+\frac{{3{k_3}}}{{8{k_1}}}A_{\max }^2{x^2} - \frac{1}{{2Q}}\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} } \right). $

(9)

将式(9)简化后，可以得到一个简洁的频率与振幅比率的关系式，

$ f={f_0}\left({1+b{x^2} - \frac{1}{{2Q}}\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} } \right). $

(10)

根据该式即可将扫频曲线左侧数据直接拟合，得到品质因数Q。由于在拟合中充分利用了左侧扫频曲线的所有数据，计算准确率得到提高，同时可抑制噪声的影响。

3 基于非线性模型的方法的实验验证 3.1 测量方法的一致性验证

使用动态信号分析仪HP35670对3号谐振式加速度计进行扫频，将右半侧曲线数据去除后，把增益变换为实际输出幅值，再除以最大幅值得到振幅比率，然后使用Matlab的拟合工具箱按照式(10)进行自定义拟合。为了加快拟合速度及准确性，设置谐振频率f₀=20 000 Hz为起始条件，本文所有拟合中的确定系数R²均在0.999以上，保证结果可信。16 mV激励下的拟合结果如图 4所示。

为了验证该方法不受激励幅值的影响，分别在不同幅值正弦激励下进行了扫频，如图 5所示。

由于离谐振点越远，振幅越小，噪声也越大，因此在拟合过程中，数据的选取范围会对拟合结果造成影响。对谐振点左半侧曲线分别取整段、靠右侧2/3段、靠右侧1/3段分别为范围1、2、3，如图 5所示。根据各激励幅值下的数据，对各范围拟合出品质因数，如表 2所示。

从表 2可看到，选取的数据越集中在峰值附近，不同激励幅值下的拟合结果一致性也越好，因此选取范围3拟合得到的品质因数为测量值。不同激励幅值下的品质因数均在2.6×10⁵左右，说明了该方法在非线性振动下测量的一致性较高。

3.2 测量方法的准确性验证

由于在真空封装中气压较低，非线性现象容易激发，因此将未封装的谐振式加速度计芯片放置在真空腔中，并将气压p维持在9.8 Pa左右，控制精度为±0.1 Pa。

分别使用16、32、160 mV的激励幅值对真空腔内的芯片进行扫频，扫频步距设置为动态信号分析仪的极限值0.012 5 Hz，时间间隔设置为0.5 s，使测量时振动状态尽可能稳定，得到曲线如图 6所示。

在图 6中，16、32 mV激励时的非线性现象几乎没有，而160 mV时有明显非线性现象。因此，可以对16、32 mV的数据用-3 dB衰减的带宽法(带宽约0.627 5 Hz)来估计谐振式加速度计的品质因数，并用非线性模型法对3组数据均进行估计，实验重复两次，计算结果如图 7所示。两种方法多次结果均在3.3×10⁴附近，验证了该方法的准确性。

-3 dB带宽法的整体值偏小，可能有两点原因：1)由于扫频时间间隔并不是无穷大，下降过程存在非线性引起的衰减延迟，而0.012 5 Hz便会引起品质因数量值600的变化；2)由于峰值点的最大增益不容易测到，0.1 dB的误差便会引起0.025 Hz的带宽变化。

本文提出的基于非线性模型的方法不需要前期的闭环操作，在开环条件下使用常规方法进行扫频，然后对数据进行拟合即可得到品质因数。本文实验验证了基于非线性模型方法的一致性与准确性，尤其是在非线性现象明显的情况下，该方法可以得到其他方法测不到的品质因数，适用于高品质因数、弱信号情况下的品质因数测量。

4 品质因数测量在真空封装监测中的应用 4.1 封装气压与品质因数的关系

为了掌握真空封装后的气压，需要得到封装气压与品质因数的关系曲线。在真空腔内对2号谐振式加速度计进行了变气压实验，使用真空计与配套的真空规管进行气压测量，实验装置如图 8所示。在该实验前，对该加速度计在真空封装的条件下进行了品质因数测量，以得到该批次真空封装的封装情况，测量得到的品质因数为2.204×10⁵。

然后，将真空封装的管壳盖板去掉，放入真空腔中，接好真空泵后，通过调节节流阀来改变真空腔内气压，在气压稳定后对加速度计进行扫频。在0.1～50 Pa之间进行了多次不同气压条件下的实验，计算所有测量点的数据，如图 9所示。

从图 9a可以看到，随着气压的降低，品质因数的增长越来越快，尤其是在1 Pa以下，品质因数对气压的变化非常敏感。为了方便观察在1 Pa以下的变化情况，使用双对数坐标来表示Q与封装气压的关系，如图 9b所示。真空设备能抽到的极限气压为0.13 Pa，此时品质因数Q值为2.149×10⁵，与实验前真空封装下的Q值2.204×10⁵对比可知，该批次真空封装效果良好，气压保持在0.1 Pa左右。

4.2 不同温度下真空封装的稳定性

为了监测不同温度下真空封装的稳定性，对3号及4号两只谐振式加速度计进行了温度实验。

使用半导体致冷器温控系统对加速度计进行温度控制，温控精度为0.01 ℃，分别在30、40、50、60 ℃下，以20 mV幅值的激励信号对加速度计的左右两侧谐振梁进行了扫频实验。实验结果如图 10所示。品质因数随着温度升高而下降，但均保持在1.5×10⁵以上，恢复到室温后，Q值也与实验前一致，验证了真空封装的可靠性，在不同温度下均可很好满足高精度谐振式加速度计的需求。

根据真空封装下品质因数对温度的敏感特性，谐振式加速度计在低温下工作可以达到更好的性能。

4.3 长期气密性跟踪

在间隔5个月左右之后，对4号谐振式加速度计的品质因数进行了测量。从表 3来看，品质因数略微下降，气压仍然保持在0.1 Pa左右，基本不会对传感器性能造成影响。

5 总结

本文基于谐振梁的非线性振动模型，提出了一种估算方法，可以在非线性振动下，通过拟合扫频曲线准确估算出谐振梁的品质因数，并利用谐振式加速度计进行实验，验证了该方法的一致性和准确性，测得该批加速度计在真空封装后品质因数均在2×10⁵以上。最后，利用谐振梁品质因数与气压的相关性，对谐振式加速度计的真空封装进行了监测。实验表明，真空封装后的气压保持在0.1 Pa左右，并且该真空封装在温度实验和长期跟踪中仍然保持着良好的真空度，证明了该金属管壳真空封装方案的可靠性。

可见，基于非线性模型的方法可实现较高精度的品质因数测量，该方法为低气压真空封装、高品质因数谐振梁等相关研究中品质因数的测量提供了一个更优的选择。