核电站的汽水分离装置中，水蒸气和液滴总体处于饱和状态，温度变化很小，依靠温差进行传热的影响较小，然而蒸汽携带液滴在汽水分离器中运动的过程中，会由于流动阻力的作用和分离器局部的结构变化造成压力降低，打破汽液相平衡，影响液滴传热传质特性，最终影响汽水分离特性^[1]。

许多学者对液滴蒸发过程进行了大量的实验和模拟研究^[2-4]。 王遵敬^[5]采用实验和计算对蒸发与凝结现象的分子动力学进行了研究； 高文忠等^[6]利用水滴闪蒸理论进行了混合除湿盐液滴闪蒸实验和模拟研究； 冉景煜等^[7]、 王健等^[8]采用非等温蒸发模型，只考虑重力、 曳力和浮力的液滴运动模型分别进行了急冷器内液滴蒸发和低温烟气中液滴蒸发研究； Abramzon等^[9]建立了一维有效导热模型对喷雾燃烧过程中液滴蒸发过程进行了模拟； Kryukov等^[10]对柴油燃料液滴蒸发的动力学模型和水力学模型进行了对比分析； Sazhin等^[11-14]对液滴运动蒸发模型进行了开发和优化，通过动力学模型、 有限导热模型和有效热传导模型等分别对液滴运动蒸发过程进行模拟研究； Irannejad等^[15]采用非平衡有限导热模型对高速喷雾中液滴蒸发过程进行数值模拟； Yin^[16]采用通用的液滴运动和蒸发模型进行了庚烷液滴受热蒸发特性研究； Perrin等^[17]通过光学测量方法对液滴在高温环境中运动蒸发的过程进行了实验测量和参数分析； Zhou等^[18]对高蒸发率液滴蒸发过程进行了建模分析； 一部分学者对液滴喷雾蒸发和运动到壁面的传热过程进行研究^[19-20]。 目前有关液滴相变过程的研究，大多数是关于农药喷淋蒸发、 灭火、 石油燃烧、 火箭推进等方面的蒸发研究，现有的液滴运动蒸发模型，没有考虑液滴旋转对运动相变特性的影响及运动过程中压力变化对相变的影响^{[4, 21]}。

在核电厂的汽水分离器中，虽然水蒸气和液滴总体处于饱和状态，但是在液滴和蒸汽的运动过程中，由于阻力的作用以及结构的变化会造成压力不断降低，对液滴的传热传质特性产生影响，进而影响汽水分离特性。 而现有的研究多是关于液滴在温度差作用下的蒸发且不考虑液滴的旋转运动，缺少液滴在汽水分离装置中运动过程中由于压力变化导致液滴运动相变方面的研究，有必要对汽水分离装置中液滴在运动过程中传热传质特性进行研究。

本文在对汽水分离装置中液滴运动过程中的相变现象描述和物理机理解释的基础上，结合压力变化条件下静止单液滴相变模型的基础和液滴运动模型，建立单液滴运动相变模型，最后验证模型的正确性，为液滴在重力分离空间、 旋风和旋叶分离器、 波纹板分离器等汽水分离装置中运动相变过程中的分离效率计算和分析液滴相变对汽水分离性能的影响提供依据。

1 计算模型 1.1 物理描述及机理解释

图 1为液滴在汽水分离装置中运动的相变示意图。 半径r温度T_r压力p_r的液滴在温度和压力分别为T_nr和p_nr流速为U的蒸汽中运动，液滴在运动的过程中由于流动阻力的作用和局部结构的改变会造成压力的降低，在压力降低的开始瞬间压力波快速传播，造成蒸汽的快速运动，液滴表面的蒸汽快速蒸发，称为快速蒸发阶段^[22]； 当液滴表面周围的压力降低到与环境压力基本一致时，压差驱动的作用影响基本很小可以忽略，但是由于在快速蒸发过程中液滴的温度变化要远远滞后于压力的变化，此时液滴为过热状态，打破了原有的汽液相平衡，液滴进入热平衡蒸发过程，称为热平衡蒸发阶段^[4]。 在汽水分离装置中，运动液滴在这2种蒸发机理的作用下，从t₁到t₂、 t₃时刻，在运动的过程中半径不断减小，半径越小的液滴随着蒸汽运动的随流性越强，更容易被蒸汽夹带。

液滴在汽水分离装置中的运动相变过程可以理解为： 在自身初始速度和流动曳力作用下不断运动，在运动到下一个位置时，由于压力和周围流场参数变化会导致液滴的蒸发或者冷凝，液滴在运动过程中一直不断地发生相变。

1.2 基本假设

根据液滴在汽水分离装置中的运动相变物理机理解释，进行简化假设，以便建立合理的数学模型，作出4个基本假设。

1) 球对称蒸发假设： 在汽水分离装置中液滴的半径一般为几微米到几百微米^[23]，尺寸较小，因此可以认为液滴在蒸发过程中保持球形。

2) 蒸汽流场稳态、 蒸发过程准稳态假设： 汽水分离器中，液滴占的体积很小，尤其对于单液滴蒸发，对蒸汽流场的影响很小，可以认为气相流场为稳态流场； 文^[24-26]通过特征时间的数量级分析，发现气相的热传导时间和动量传递的特征反应时间要比液滴受热时间短1~2个量级，意味着可以认为蒸发过程中的小段时间内流场参数不变，蒸发为准稳态过程。

3) 液滴温度均匀假设： 汽水分离装置中液滴尺寸较小，Biot数小于0.1^[27]，可以忽略液滴内部的温度梯度。

4) 忽略辐射传热假设： 汽水分离装置中，液滴与汽水分离装置壁面间温差较小，可忽略辐射传热。

1.3 数学模型

单液滴运动相变模型包括运动和相变模型。

1.3.1 液滴运动模型

根据液滴运动机理的分析可得液滴在流场运动过程的受力情况，液滴受到自身重力、 流体的浮力、 流动曳力、 附加质量力、 Magnus升力和Saffman升力^[28]。 运动模型基本方程包括液滴位移方程、 转动方程和速度方程。

液滴旋转速度ω(t)满足

$I\frac{d\omega }{dt}=M.$

其中： 液滴的转动惯量I=2mr²/5； M表示流场对液滴的转矩，液滴所受流场施加的合力矩 M=－0.5ρ_fC_Mr₅|ω－Ω/2|(ω－Ω/2)； Ω表示流场旋度，Ω＝∇u； C_M表示转矩系数。

液滴运动速度v(t)满足

$m\frac{dv}{dt}={{F}_{D}}+{{F}_{A}}+{{F}_{V}}+{{F}_{M}}+{{F}_{S}}$

其中： 液滴质量m=4πρ_dr₃/3，ρ_d为液滴密度； 流动曳力F_D=πC_Dρ_f|u-v|(u-v)r₂/4，ρ_f为流体密度，u为蒸汽流速； 附加质量力F_A=2πρ_fr₃[d(u-v)/d_t]/3； 体积力F_V=F_G-F_B=4πr₃(ρ_d-ρ_f)g/3，g为重力加速度(F_G为重力，F_B为浮力)； Magnus升力F_M=πC_Maρ_fr₃(u-v)(ω-Ω/2)； Saffman升力F_S=6.46C_Sa(R_μ)²(ρ_fμ_f)^0.5r₂|Ω|^-0.5[(u-v)Ω]，(R_μ)²表征特征液滴内部环流量对Safffman升力的影响，μ_f为流体动力黏性系数。 C_M、 C_D、 C_Ma和C_Sa等相关系数参考张谨奕和张璜的相关研究结果^{[1, 28-29]}。

液滴位移x(t)满足^[30]

$\frac{dv}{dt}=v.$

1.3.2 液滴相变模型

液滴相变模型包括传质模型和传热模型，其中传质模型又包括水动力学模型和动力学模型，快速蒸发阶段采用水动力学模型，热平衡蒸发阶段采用动力学模型，二者以压力变化从环境传播到液滴表面的时间t_p作为分界判据，t_p的数值根据从环境位置到液滴表面的距离和压力波在蒸汽中的传播速度计算得到。 根据机理解释和相变过程描述可知，在时间小于等于t_p时，采用水动力学模型进行压力变化后的液滴快速蒸发过程的计算； 在时间大于t_p时，采用动力学模型进行液滴热平衡蒸发过程计算。

1) 水动力学传质模型。

根据基本的传质理论^[31]有

$\dot{m}=4\pi {{r}^{2}}{{D}_{v}}\frac{d\rho }{dr}$

(1)

其中：${\dot{m}}$为液滴质量变化速率，单位为kg/s； D_v为蒸汽自扩散系数，单位为m²/s。 根据Fuller等^[32]提出的中低压气体扩散系数经验关系为

${{D}_{v}}=\frac{1.516\text{ }32\times {{10}^{-10}}T_{r}^{1.75}}{{{P}_{r}}},{{P}_{r}}\le 8\text{ }MPa$

假设选取的环境边界到液滴中心距离为n倍的液滴半径，当$n\to \infty $时为无穷远处，则将式(1)沿半径方向在[r,nr]进行积分并考虑对流的作用，整理可得对流时的液滴传质方程

$\frac{dr}{dt}=-\frac{n}{n-1}\frac{Sh{{D}_{v}}}{2{{\rho }_{{{d}^{r}}}}}({{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}})$

其中： Sh为Sherwood数； ρ_r和ρ_nr分别为蒸汽在液滴表面处和距离液滴中心n倍半径处的密度，单位为kg/m³。

Sherwood数和Reynolds数表达式分别为

$\begin{matrix} Sh=2.0+0.6R{{e}^{0.5}}S{{c}^{1/3}}, \\ Re=\frac{2{{\rho }_{r}}vr}{\mu }. \\ \end{matrix}$

其中： μ为蒸汽的动力黏度，单位为kg/(m·s)； Sc为Schmidt数。

2) 动力学传质模型。

在热平衡蒸发阶段的主要作用机理为恢复汽液相平衡，采用经典的体现界面传质特性的蒸发冷凝模型Hertz-Knudsen公式^[10]来进行汽液界面非汽液相平衡传质过程计算，其表达式为

$G=\frac{2\alpha }{2-\alpha }\sqrt{\frac{M}{2\pi R}}\left( \frac{{{p}_{1}}}{\sqrt{{{T}_{1}}}}-\frac{{{p}_{g}}}{\sqrt{{{T}_{g}}}} \right).$

(2)

其中： G为质量流密度，单位为kg/(m²·s)； α为汽液界面蒸发/冷凝系数； R为气体常数，J/(mol·K)； M为摩尔质量，单位为kg/mol； T_l和T_g分别为液相温度和汽相温度，单位为K； p_g和p_l分别为蒸汽压力和液相温度T_l所对应的液相饱和压力，单位为MPa。

式(2)经过化简变为

$\[\frac{dr}{dt}=-\frac{1}{{{\rho }_{d}}}\frac{2\alpha }{2-\alpha }\sqrt{\frac{M}{2\pi R}}\left( \frac{{{P}_{1}}}{\sqrt{{{T}_{1}}}}-\frac{{{P}_{g}}}{\sqrt{{{T}_{g}}}} \right).\]$

其中α的取值在不同研究文献中差异较大，Marek等^[33]汇总分析了水的蒸发冷凝系数，总体上认为α随着压力增加而下降，在不同压力下，α可能跨越3~4个数量级。 为了得到蒸发冷凝系数随着压力变化关系式，进行曲线拟合，得到在压力低于7 MPa时蒸发冷凝系数随着压力p_r变化的表达式为

$\alpha = \left\{ {\matrix{ \matrix{ 0.829 - 2.324 \times {10^3}{p_r} + 4.789 \times {10^6}{p^2}_r - 4.665 \times {10^9}{p^3}_r + \hfill \cr 1.661 \times {10^{12}}{p^4}_r,{p_r} \le 0.001{\rm{ }}MPa; \hfill \cr} \cr \matrix{ 0.183exp( - {p_r}/0.001{\rm{ }}13) + 0.183exp( - {p_r}/0.001{\rm{ }}38) + 0.128, \hfill \cr 0.001{\rm{ }}MPa ＜ {p_r} \le 0.005{\rm{ }}MPa; \hfill \cr} \cr \matrix{ 0.056exp( - {p_r}/0.018) + 0.056exp( - {p_r}/0.021) + 0.049, \hfill \cr 0.005{\rm{ }}MPa ＜ {p_r} \le 0.1{\rm{ }}MPa; \hfill \cr} \cr {\matrix{ {{{0.05{v_v}({p_r})} \over {{v_v}\left( {0.1{\rm{ }}MPa} \right)}},} & {0.1{\rm{ }}MPa ＜ {p_r} \le 7{\rm{ }}MPa.} \cr } } \cr } } \right.$

3) 传热方程。

对液滴运用能量守恒方程^[34]可得：

$m{{c}_{p}}\frac{dT}{dt}=4\pi {{r}^{2}}h({{T}_{nr}}-{{T}_{r}})+\gamma \dot{m}.$

(3)

其中： c_p为液滴定压比热容，单位为J/(kg·K)； T_nr为距离液滴中心n倍半径处蒸汽的热力学温度，单位为K； h为对流换热系数，单位为W/(m²·K)； γ为水汽化潜热，单位为J/kg。

式(3)整理可得温度的变化关系式

$\frac{dT}{dt}=\frac{3}{{{\rho }_{d}}{{c}_{p}}{{r}^{2}}}\left[ hr({{T}_{nr}}-{{T}_{r}})-\frac{n}{n-1}\gamma Sh{{D}_{v}}({{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}}) \right].$

其中Nusselt数和对流换热系数h表达式为

$\begin{matrix} Nu=2.0+0.6R{{e}^{0.5}}P{{r}^{1/3}}, \\ 0\le Re\le 7\times {{10}^{4}},0.6\le Pr\le 400; \\ h=\lambda \frac{Nu}{2r}. \\ \end{matrix}$

其中： λ为蒸汽的导热系数，单位为W/(m·K)； Pr为Prandtl数。

综上可得，单液滴运动相变模型为

(1) 当t≤t_p时为快速蒸发阶段，方程组为

$\left\{ \begin{matrix} \frac{dx}{dt}=v, \\ \frac{d\omega }{dt}={{\lambda }_{1}}{{C}_{M}}\left| \omega -\frac{\Omega }{2} \right|(\omega -\frac{\Omega }{2}), \\ \begin{align} & \frac{dv}{dt}={{\lambda }_{2}}{{C}_{D}}\left| u-v \right|\left( u-v \right)+{{\lambda }_{3}}{{C}_{Ma}}\left( u-v \right)(\omega -\frac{\Omega }{2})+ \\ & {{\lambda }_{4}}{{C}_{Sa}}{{\Omega }^{-0.5}}[\left( u-v \right)\Omega ]+{{\lambda }_{5}}g, \\ \end{align} \\ \frac{dr}{dt}=-\frac{n}{n-1}\frac{Sh{{D}_{v}}}{2{{\rho }_{d}}r}({{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}}), \\ \frac{dT}{dt}=\frac{3}{{{\rho }_{d}}{{c}_{p}}{{r}^{2}}}\left[ hr({{T}_{nr}}-T)-nn-1\gamma Sh{{D}_{v}}({{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}}) \right]. \\ \end{matrix} \right.$

(4)

其中λ₁、 λ₂、 λ₃、 λ₄、 λ₅为归一化系数，其数值参见文^[29]的研究结果。

(2) 当t ＞t_p时为热平衡蒸发阶段，方程组为

$\left\{ \begin{matrix} \frac{dx}{dt}=v, \\ \frac{d\omega }{dt}={{\lambda }_{1}}{{C}_{M}}\left| \omega -\frac{\Omega }{2} \right|(\omega -\frac{\Omega }{2}), \\ \begin{align} & \frac{dv}{dt}={{\lambda }_{2}}{{C}_{D}}\left| u-v \right|\left( u-v \right)+{{\lambda }_{3}}{{C}_{Ma}}\left( u-v \right)(\omega -\frac{\Omega }{2})+ \\ & {{\lambda }_{4}}{{C}_{Sa}}{{\Omega }^{-0.5}}[\left( u-v \right)\Omega ]+{{\lambda }_{5}}g, \\ \end{align} \\ \frac{dr}{dt}=-\frac{1}{{{\rho }_{d}}}\frac{2a}{2-a}\sqrt{\frac{M}{2\pi R}}\left( \frac{{{P}_{1}}}{\sqrt{{{T}_{1}}}}-\frac{{{P}_{g}}}{\sqrt{{{T}_{g}}}} \right), \\ \frac{dT}{dt}=\frac{3}{{{\rho }_{d}}{{c}_{p}}{{r}^{2}}}\left[ hr({{T}_{nr}}-T)-\frac{n}{n-1}\gamma Sh{{D}_{v}}({{\rho }_{r}}-{{\rho }_{nr}}) \right]. \\ \end{matrix} \right.$

(5)

1.4 数学模型求解方法

通过数学模型的表达式(4)和(5)，再结合气体状态方程，在初始条件和边界条件已知的情况下，便可以进行模型求解。 由于该数学模型符合微分方程y′=f(x,y)的基本形式，所以可以采用经典的四阶Runge-Kutta法求解，采用显式差分格式，先求解液滴运动方程，然后在每一个液滴运动方程的迭代步长中再求解液滴相变方程。

2 模型验证

为了进行模型的验证和应用，将建立的单液滴运动相变模型在重力空间均匀流场中液滴运动相变特性方面进行简单应用，同时进行液滴运动相变模型验证。 分析液滴在重力空间均匀流场中的运动过程中相变对于液滴运动特性的影响。

根据张谨奕^[1]、 马超^[23]和陈军亮等^[35]的研究结果可知，在汽水分离装置中的液滴半径为5~500 μm，在重力空间中上升流动过程造成的压降不超过5 kPa，蒸汽的流速一般不超过5 m/s，液滴初始速度一般不超过6 m/s。 采用的计算条件为： 蒸汽携带液滴重力空间均匀流场中竖直向上运动，蒸汽流速为2 m/s，液滴初始速度为0.5 m/s，空间高度为1.4 m，进出口压差为4 000 Pa，压力沿运动方向线性下降，液滴初始半径r₀分别为20，50，100，200，500 μm等。 得到的液滴的位移z随着时间t的变化曲线如图 2所示。

将图 2中的计算结果与文^[1]中关于重力分离空间内液滴分离高度的液滴位移计算结果进行对比，结果基本一致，说明提出的液滴运动模型正确，初始半径较小的液滴被蒸汽携带出重力分离空间，而初始半径较大的液滴则在竖直向上运动一段距离后，由于重力作用占主导而落回到重力分离空间的入口处重新回到自由液面。 可以看到，考虑相变时，重力可分离的临界半径为182 μm，即初始半径大于或等于182 μm的液滴可以被重力分离，小于182 μm的液滴不能被重力分离； 然而不考虑相变时可以被重力分离的液滴临界初始半径为179 μm，与不考虑相变的结果对比可知，考虑相变时，液滴在运动过程中不断蒸发，使得液滴尺寸不断减少，随流性更强，更容易被蒸汽流携带而不被分离，造成分离装置能分离的液滴临界初始半径变大，与不考虑液滴运动相变结果相比，考虑液滴运动相变时初始半径更大的液滴才能被分离装置分离，使得重力分离效率下降。 需要指出的是，文中在计算过程中已经对时间步长进行了无关性验证，由于篇幅所限，在此不赘述。

另外，为了定性地进行液滴运动相变模型的分析，考虑到液滴在蒸汽发生器汽水分离装置中的运动、 相变等微观行为，进行液滴在重力空间均匀流场中运动过程的运动相变特性的计算。 考虑进出口压差分别为0，2 000，4 000 Pa 3种情况，其他条件与图 2中的参数一致，以便得到有无相变过程的分析以及了解压差逐渐趋近于0时的渐进特性。 得到的计算结果如图 3所示。

考虑液滴运动过程的相变结果与不考虑液滴相变的结果对比可以看出，不考虑液滴相变时，由于液滴在蒸汽流场中主要受到流动曳力和自身重力作用，液滴在运动开始的一段时间内做加速运动，之后达到稳定的速度竖直向上运动； 考虑液滴运动过程中的相变特性，由于液滴在运动过程中，周围流场的压力不断降低，造成液滴快速蒸发，并且会打破原有的汽液相平衡状态造成液滴蒸发，液滴尺寸不断减少，而其他参数相同时液滴半径越小，受到流场的流动曳力越大，导致液滴运动不断加速，运动速度不断增加，在较短的时间内便到达管道出口位置，这一结果与理论分析一致； 另外，可以看到，当进出口压差从4 000 Pa逐渐下降到2 000 Pa和0 Pa时，液滴在运动过程中的位移、 速度以及半径的变化均逐渐趋近于不考虑相变的数值，符合理论分析结果。

3 结 论

对汽水分离装置中液滴在运动过程中的相变特性，进行了物理现象描述和机理解释，将液滴运动相变过程分为快速蒸发和热平衡蒸发2个阶段，并建立了单液滴运动相变模型，该数学模型包括了液滴运动和液滴相变模型。 将该模型在重力空间均匀流场中的液滴运动相变特性方面进行简单应用，同时进行了液滴运动相变模型验证，计算结果与已有结果和理论分析一致。 另外，经过分析发现液滴的相变对汽水分离装置中的液滴微观行为会产生一定的影响，在汽水分离装置以及其他相关的设备的设计中应当加以考虑，可以采用本文建立的液滴运动相变模型进行液滴在重力分离空间、 旋风和旋叶分离器、 波纹板分离器等汽水分离装置中运动相变过程中的分离效率计算，衡量液滴相变对汽水分离性能的影响大小。