基于机电建模的加工中心轴间耦合问题
赵彤 , 谢溢 , 胡建     
清华大学 机械工程系, 精密超精密制造装备与控制北京市重点实验室, 北京 100084
摘要:加工中心加工精度与其整机结构特性和各轴控制特性密切相关。考虑进给轴间的动态激励响应,研究加工中心整机在特定频率范围内的各向动柔度,对辅助机床设计具有重要意义。该文结合有限元建模和相关实验方法,分析了某双驱进给平台的结构动柔度,重点研究其机械系统的轴间耦合问题。提出了一种用传递函数组等效机械结构特性的整机机电联合仿真建模方法,并以此研究了某卧式加工中心机电系统的轴间耦合问题。研究结果表明:当加工中心存在某些模态振型同时影响刀具或工件在多方向的变形时,其机械系统和机电系统的轴间耦合在整机动柔度研究和控制环参数选择时必须予以考虑。
关键词加工中心     轴间耦合     有限元建模     机电建模    
Multi-axis coupling of machining centers based on electromechanical modeling
ZHAO Tong, XIE Yi, HU Jian     
Beijing Key Laboratory of Precision/Ultra-Precision Manufacturing Equipments and Control, Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract:The dynamic accuracy of a machining center is strongly influenced by its structural dynamics and control loops. The frequency response of the entire machine including the multi-directional dynamics is important in the machine tool design phase. The structural dynamics of a twin ball screw feed machine are analyzed using a finite element analysis (FEA) and measurements with a focus on the multi-axis coupling of its mechanical system. Then, an electromechanical modeling method is developed where the structural dynamics are replaced by transfer functions to study the multi-axis coupling of the electromechanical system of a horizontal machining center. The results show that when there are modal shapes leading to displacements of the tool or the workpiece in multiple directions, the multi-axis coupling of the machining center must be considered in studies of the dynamics and control parameters.
Key words: machining center     multi-axis coupling     finite element modeling     electromechanical modeling    

当前针对加工中心整机动态特性的研究,常围绕模态和动柔度展开[1-2]。柔度表征在理想切削力作用下,刀尖点处刀具与工件的相对位移,其幅值大小与加工精度密切相关。切削力及刀具与工件的相对位移均包含三向分量。当激励响应异向的动柔度与激励响应同向的动柔度幅值相当时,可认为机床存在“轴间耦合”现象。现有研究通常忽略动柔度矩阵中的非对角项[3],缺乏对机床各向动态特性的完整描述。

研究轴间耦合问题需要对机床进行准确建模。有限元分析(finite element analysis,FEA) 方法是机床结构动态特性研究的主流方法,其中机床结合部需要进行重点考虑[4]。丝杠螺母、导轨滑块、主轴轴承等运动结合部常用单个或多个弹簧阻尼单元等效[5-6],而主轴刀柄、地脚螺栓和定位胶等固定结合部常用弹簧阻尼单元或虚拟介质等效[7-9],并结合模态分析等实验方法进行结合部参数辨识。整机有限元模型主要用于模态、结构动柔度、装配预压等问题的仿真分析。

由于加工中心各轴伺服控制系统与整机结构低阶振动耦合[10],机械振动在限制进给系统带宽的同时,控制环特性也会对机床动柔度产生影响,有限元建模得到的结构动柔度无法准确预测实际加工中刀尖点的动柔度,因此在机床设计过程中需要建立机械、控制、加工三位一体的动力学模型。当前机床机电联合建模的主流方法有子系统简化法和软件集成法[2],前者侧重研究机械系统或控制系统的等效处理,后者侧重研究仿真软件间的接口。国内文献多利用机电模型研究机床运动特性[11-12],对机床振动特性的分析鲜有涉及,而国外文献尽管关注了控制环对动柔度的影响[13-14],但缺乏对机电系统轴间耦合问题的研究[15]

本文建立了一台双驱进给平台的有限元模型,结合模态实验和频响实验研究了其机械系统的轴间耦合问题;提出了一种用传递函数组等效结构动态特性的加工中心机电联合仿真建模方法,分别建立了一台双驱卧式加工中心的有限元模型、进给轴控制环模型和整机机电模型,并以此研究了其机械系统和机电系统的轴间耦合问题,定性分析了耦合产生的原因及其对机床动态特性及控制环参数选择的影响。

1 单轴双驱进给平台有限元建模

串联式加工中心一般有三向进给轴。本文首先利用一台双驱进给平台TCB1研究单轴进给系统,其主要结构件为工作台和床身,如图 1所示。

图 1 TCB1双驱进给平台

利用ANSYS Workbench对该进给平台进行有限元建模,将工件、电机座和轴承座处的螺栓结合部等效为固连,而将机床地脚结合部、导轨滑块结合部和丝杠轴系结合部分别等效为三向、两向和单向弹簧阻尼单元。首先,借助文[9]中的经验公式和相关数据库对结合部参数进行预设,再根据进给平台有限元仿真、模态实验和频响实验结果,对结合部的刚度参数k和阻尼参数c进行修正,直至仿真结果满足误差要求。修正后的部分结合部参数如表 1所示。由于进给平台整体质量分布不均,因此同类型的结合部在不同位置处的参数也有所不同。

表 1 进给平台部分结合部参数
结合部 方向 刚度k/(MN·m-1) 阻尼c/(kN·s·m-1)
地脚螺栓(近电机端) x 20 5.12
y 38 3.22
z 108 25.4
导轨滑块(近电机端) y 1 770 18.5
z 75 000 103
丝杠轴系 x 307 -

确定所有结合部参数后,可建立TCB1进给平台完整的有限元模型。相应的模态实验采用PCB公司的086D50力锤和356A16三向加速度传感器进行信号激励和采集,采用LMS SCADAS数据采集前端和Test.Lab软件进行信号处理和数据分析,如图 2a所示。实验采用移动力锤法,用119个点完全构建进给平台几何轮廓,且在床身、工作台与工件上均布置传感器。两阶模态振型实验结果示例如图 2b2c所示。

图 2 进给平台模态实验

在0~350 Hz频率范围内,仿真和实验均得到12阶模态,如表 2所示。可见,其模态振型高度吻合,固有频率仿真误差均在5%以内,且半数误差小于1%,模态仿真分析准确性高。

表 2 进给平台模态分析结果
阶次 模态振型 仿真f/Hz 实验f/Hz 误差/%
1 整体沿y向平移 29.1 29.1 0.00
2 整体沿x向平移 33.1 32.3 2.26
3 整体绕z向偏摆 48.0 46.9 2.45
4 整体前端绕y向俯仰 77.1 73.7 4.54
5 整体后端绕y向俯仰 92.1 94.2 2.25
6 整体绕x向翻滚 103.5 103.4 0.08
7 工作台沿x向平移 139.1 140.2 0.81
8 整体沿对角线翘曲 181.9 187.9 3.19
9 复合振型 245.8 246.1 0.15
10 工作台前端绕z向偏摆 251.0 250.9 0.04
11 工作台中间拱起 296.1 296.8 0.22
12 工作台绕z向偏摆 305.1 304.1 0.32

2 进给平台机械系统轴间耦合 2.1 谐响应分析与频响实验

基于有限元模型,用模态叠加法进行谐响应分析可求得进给平台结构动柔度。分别沿+x、+y和-z向对工件进行激励,求取工件沿+x、+y和+z三向的响应。频响实验采用与模态实验相同的设备,也采用锤击法,工件上激励点和响应点的位置和方向均与仿真分析一致,实验得到的各向加速度-力曲线在频域内可按式(1) 转化为动柔度曲线,

$\left\{ \begin{array}{l} {A_{{\rm{di}}}} = {A_{{\rm{ai}}}}/\omega _{\rm{i}}^2,\\ {\varphi _{{\rm{di}}}} = {\varphi _{{\rm{ai}}}} - {\rm{\pi }}{\rm{.}} \end{array} \right.$ (1)

其中:Adiφdi分别为位移-力曲线中ωi频率处对应的幅值和相位;Aaiφai分别为加速度-力曲线中ωi频率处对应的幅值和相位。不失一般性,以激励沿进给方向的结构动柔度GxxGxy为例,仿真和实验结果如图 3所示。

图 3 进给平台x向激励仿真与实验结果对比

由于阻尼参数设置不够准确,仿真和实验的结果在某些频率范围内存在一定误差,但在主要振动峰值处,仿真和实验对应较好。结合模态分析结果可知,本文对TCB1进给平台结合部的等效处理合理可行,由此建立的有限元模型可对其结构动态特性和机械系统轴间耦合问题进行有效分析。

2.2 进给平台机械系统轴间耦合

现用进给平台频响实验结果分析其机械系统的轴间耦合问题。激励响应同向的结构动柔度GxxGyyGzz与激励响应异向的结构动柔度GxyGxzGyxGyzGzxGzy的对比如图 4所示。

图 4 进给平台各向结构动柔度

结果显示,尽管与激励同向的变形总体大于与激励异向的变形,但在某些频率范围内,各向激励响应幅值相当,其结构变形最大的方向并非激励方向。例如,在270~350 Hz范围沿+x向激励,或在150~190 Hz范围沿-z向激励,进给平台机械系统均表现出明显的轴间耦合现象。

进一步分析可知,在0~350 Hz的研究频率范围内,进给平台大部分模态为刚体振型,主要影响工件响应点在单一方向的变形,如图 2b所示的140.2 Hz处的振型为工作台沿x向平移,主要带来响应点沿x向变形,因此在图 4a中139 Hz附近Gxx远大于GxyGxz,轴间耦合作用弱。但也存在一些模态,其振型会影响响应点在多个方向的变形,如图 2c所示的296.8 Hz处的振型为工作台中间拱起,会同时带来响应点x向和z向变形,因此在图 4a中296 Hz附近GxzGxx更大,轴间耦合作用强。同理不难分析,图 4c中188 Hz附近Gzy大于Gzz,由于该频率对应的进给平台模态振型为进给平台整体沿对角线的翘曲,因此响应点产生z向变形的同时也会产生较大的y向变形。

3 加工中心整机机电联合仿真建模方法

针对轴间耦合问题,现将单轴进给平台扩展到包含多个进给轴的加工中心整机,将机械系统扩展到包含控制环的机电系统,如图 5所示。由于篇幅所限,图 5中省略了x向和y向的控制环。整机机电系统输入为在刀尖点的激励和各轴的位移指令,输出为刀具与工件的相对位移。三向控制环均按照图 5所示方式与机械结构耦合,即机械子系统测量元件得到的实际位移和实际速度输入到控制子系统形成反馈闭环,而控制子系统产生的伺服驱动力及其反力输入到机械子系统。

图 5 双驱卧式加工中心机电系统结构

针对上述机电系统,本文提出一种用传递函数组等效结构动态特性的加工中心整机机电联合仿真建模方法,包括以下流程:

1) 分别建立整机机械系统有限元模型和三向进给轴控制环模型;

2) 用有限元模型进行模态和谐响应分析,得到表征机电系统外部输入输出的激励-响应和表征机电系统内部关联的激励-反馈、驱动-响应、驱动-反馈4类频响函数曲线,其中激励和响应均包含三向分量,而驱动和反馈沿各轴进给方向。对所有频响函数曲线进行传递函数参数辨识,得到传递函数组用以等效整机结构动态特性;

3) 明确传递函数组与三向控制环模型的输入输出关系,建立整机机电模型完整结构;

4) 指定模型输入为各轴位移指令和模拟动态切削力的时域扫频信号,指定模型输出为刀具与工件相对位移的时域信号。对输入输出同时进行快速Fourier变换得频域信号,将其幅值作比、相位作差,即可得到整机机电系统任意方向的动柔度曲线。

4 加工中心整机轴间耦合 4.1 整机机械系统轴间耦合

针对南通科技MCH63双驱卧式加工中心整机(下文简称为卧加整机),采用与进给平台建模相同的方法,首先在ANSYS Workbench中建立其有限元模型。床身立柱定位胶结合部用虚拟材料等效,其他结合部均用弹簧阻尼单元等效,其中部分结合部参数如表 3所示。

表 3 卧加整机部分结合部参数
结合部及个数 方向 刚度k/ (108 N·m-1) 阻尼c/ (kN·s·m-1)
主轴主轴箱×1 法向 870 110
切向 160 120
刀柄主轴×1 轴向 95 2.1
径向 47 3.5
导轨滑块×12 横向 5.1 7.5
径向 4.3 4.5
丝杠轴系×6 x 2.0 -
y 1.8 -
z 1.3 -

为保证计算效率,本文在0~100 Hz低频段对卧加整机进行动态特性分析,仿真得到10阶模态,其中的4阶振型如图 6所示。其中:第1和第8阶振型主要引起刀具x向单向变形,而第4和第9阶振型会同时引起刀具和工件y向和z向变形,由第2节研究可知,在该固有频率附近轴间耦合可能较强。

图 6 卧加整机部分模态振型

利用有限元模型进行整机谐响应分析,取激励为刀尖点处作用于刀具和工件上的一对反力,根据刀具位移与工件位移的幅值和相位信息计算其相对位移,得到卧加整机各向结构动柔度如图 7所示。

图 7 卧加整机各向结构动柔度

图 7显示,y轴与z轴之间的耦合作用远大于同x轴之间的耦合,因为0~100 Hz范围内,与刀具和工件x向变形相关的模态振型对其他两方向变形影响很小,而对于刀具和工件上的响应点,模态振型同时影响y向和z向的变形,轴间耦合作用强,例如在50 Hz附近,GyzGyy数值相当,而在84 Hz附近,Gzy大于Gzz,和2.2节中的模态分析得到的结论完全一致。

4.2 整机机电系统轴间耦合

利用有限元模型求得表征整机结构动态特性的激励-响应、激励-反馈、驱动-响应、驱动-反馈频响曲线,用Matlab系统辨识工具箱进行传递函数辨识。例如,激励-响应Gyy辨识结果为

$\begin{array}{l} {G_{yy}} = \left( {{{10}^{ - 3}}{s^{10}} + 0.2{s^9} + 955{s^8} + 7.2 \times {{10}^4}{s^7} + } \right.\\ 2.8 \times {10^8}{s^6} + 1.2 \times {10^{10}}{s^5} + 3.4 \times {10^{13}}{s^4} + 7.0 \times \\ \left. {{{10}^{14}}{s^3} + 1.6 \times {{10}^{18}}{s^2} + 1.3 \times {{10}^{19}}s + 2.5 \times {{10}^{22}}} \right)/\\ \left( {{s^{10}} + 57{s^9} + 7.5 \times {{10}^5}{s^8} + 3.3 \times {{10}^7}{s^7} + 2.1 \times } \right.\\ {10^{11}}{s^6} + 6.4 \times {10^{12}}{s^5} + 2.6 \times {10^{16}}{s^4} + 5.0 \times {10^{17}}{s^3} + \\ \left. {1.4 \times {{10}^{21}}{s^2} + 1.3 \times {{10}^{22}}s + 2.5 \times {{10}^{25}}} \right). \end{array}$

MCH63卧加整机三向进给系统均采用比例积分微分(PID) 控制和三环级联结构,系统数学方程组为

$\left\{ \begin{array}{l} {R_{\rm{A}}} \cdot {I_{\rm{A}}} + {L_{\rm{A}}} \cdot \frac{{{\rm{d}}{I_{\rm{A}}}}}{{{\rm{d}}t}} + {K_{\rm{e}}} \cdot {\omega _m} = {U_{\rm{A}}},\\ {T_{\rm{L}}} + {J_{\rm{m}}} \cdot \frac{{{\rm{d}}{\omega _m}}}{{{\rm{d}}t}} = {T_{\rm{m}}},\\ {F_{\rm{d}}} + \left( {{m_{\rm{T}}} + {m_{\rm{W}}}} \right) \cdot \frac{{{{\rm{d}}^2}x}}{{{\rm{d}}{t^2}}} = {K_{{\rm{sp}}}} \cdot \left( {{\theta _{\rm{m}}} \cdot \frac{h}{{2{\rm{\pi }}}} - x} \right). \end{array} \right.$ (2)

其中:UAIARALA分别是电机电枢线电压、线电流、电阻和电感,Ke为反电动势常数,TmTL分别是电机输出力矩和负载力矩,Jm为系统等效转动惯量,ωmθm分别是电机轴角速度和转角,Ksph分别是丝杠轴系刚度和丝杠导程,mTmw分别是工作台和工件质量,Fd为干扰力。忽略双驱特性差异,在Matlab/Simulink®中建立各轴控制环模型,如图 8所示,其中主要电控参数如表 4所示。

图 8 卧加整机z向控制环模型

表 4 卧加整机控制环主要参数
参数 单位 x y z
电机转动惯量 kg·m2 0.005 3 0.005 3 0.005 3
反电动势常数 V/(rad·s-1) 0.829 0.829 0.829
力矩常数 N·m/A 0.79 0.79 0.79
电机额定转矩 N·m 22 22 22
电机额定转速 r/min 3 000 3 000 3 000
丝杠导程 mm 12 12 12
移动质量 kg 1 380 470 1 020
位置环比例系数 31 500 50 000 35 000
速度环比例系数 3.36 3.98 3.53
速度环积分系数 80 100 100
电流环比例系数 5.6 5.6 5.6
电流环积分系数 500 500 500

将等效结构动态特性的传递函数组与三向控制环模型联合,可在Matlab/Simulink®中建立双驱卧整机加机电仿真模型,如图 9所示。

图 9 卧加整机机电联合仿真模型

研究整机动柔度时,将各轴位移指令置零。若将x向、y向激励也置零,再将输入的z向0~100 Hz扫频和输出的z向相对位移时域信号转换为频域信号,二者幅值相比即可得到整机机电系统z向动柔度Gzz,其他各向动柔度可用同样的方法求得。

利用该机电模型可研究控制环参数对整机动柔度的影响。由上文分析可知,整机机械系统y轴和z轴耦合作用较强,因此分别改变y轴和z轴的控制环参数,考察Gzz的变化。以速度环增益Kv为例,仿真结果如图 10所示。

图 10 控制参数对整机动柔度Gzz的影响

随着z轴速度环增益的减小,Gzz在50 Hz与55 Hz处的峰值均增大,证明整机动柔度与控制参数有关。而随着y轴速度环增益的减小,Gzz在50 Hz处的峰值也明显增大,验证了加工中心整机机电系统的轴间耦合作用,即某向进给控制参数可能会影响其他方向的动柔度。其原因与机械系统轴间耦合相同,即50 Hz对应的卧加模态振型同时引起刀具和工件y向和z向的变形。

由此可见,以获得高速和大加速度为目标进行控制参数整定,可能会在某些频率范围内加剧机床振动,在控制参数选择时,整机机电系统轴间耦合作用不能忽略。

5 结论

本文利用有限元建模方法分别研究了TCB1单轴进给平台和MCH63卧式加工中心整机的轴间耦合问题,并用模态实验和频响实验验证了进给平台有限元模型的准确性;提出了一种用传递函数组等效机械结构的加工中心整机机电联合建模方法,并以此研究了MCH63卧加整机机电系统的轴间耦合问题,得到以下主要结论:加工中心存在某些模态振型,引起刀具或工件在多方向的变形,则在相应固有频率附近,整机机械系统和机电系统的轴间耦合作用较强,由异向激励引起的变形不可忽略,且受异向进给控制参数的影响。因此,在进行加工中心动柔度研究和控制参数的选择时,轴间耦合问题必须予以考虑。

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