中国属于贫油富煤国家，煤炭能源在能源生产和消费结构中占据主体地位，煤炭工业健康、稳定、持续的发展是关系国家能源安全的重大问题^[1]。煤矿安全问题是煤炭生产中首要面对的重大课题。为提高煤矿的安全生产水平，国务院、安监总局等部门相继发文[2]，规范和促进煤矿井下安全避险“六大系统”的建设与完善。

井下人员定位系统作为安全避险“六大系统”的子系统之一，是维护矿井安全的重要基础设施，为煤矿的日常生产管理提供保障，为紧急情况下的应急救援提供决策依据^[3]。井下人员定位系统的运行，一方面需要建立合理的传感器监测网络，将传感器测点科学地部署到煤矿的巷道网络中；另一方面需要有针对性的定位算法，快速准确完成对采集数据的分析处理，这都有赖于对巷道网络全面准确的理解。因此，建立真实巷道网络的合理而充分的系统模型，并以此作为巷道网络的可操作表达框架，是建立面向煤矿安全系统应用，特别是井下人员定位系统的重要研究基础。

现有的煤矿巷道网络建模研究多是在数字化矿山的框架下，以建立矿山井下虚拟现实系统为目的。文[4]釆用图论的树结构以及约束三角剖分的方法对区域网格三角化, 对同一中段边界线在任意复杂情况下的连通巷道拟合生成断面轮廓线, 完成巷道建模。文[5]采用冗余点取中线中点法对简单巷道与复杂巷道进行集成建模。文[6]提出了一种基于ArcGIS MultiPatch三维数据结构的矿井三维巷道建模方法。以上研究重点关注实现矿山井下巷道可视化以及在此基础上实现的查询与显示等功能。已有文献大多讨论的是局部模型，而宏观全局模型的研究则较少涉及，在以直观的形式显示巷道网络后，缺少解析形式的模型框架。

目前投入使用的以KJ236系列产品^[7]为代表的传统井下人员定位系统主要以射频识别技术^[8]为基础，通过布设大量的读卡器读取人员携带的电子标签实现人员定位。而新型井下人员定位系统^[9]以ZIGBEE技术^[10]为支撑，通过系统设置和算法设计实现允许盲区的监控网络。新型系统的设计目标不仅限于当前信息的统计与显示，更注重对数据的分析与挖掘。本文从应用背景出发，探讨新的煤矿巷道网络建模方法，为新型井下人员定位系统的优化改进提供基础。

1 弧段—节点连续网络模型

实际的井下生产系统包括很多的要素和与之相关的数据信息。考虑到井下人员定位系统全局性建模的实际需求，系统更关心人员在巷道网络中的位置和路径等信息以及人员未来的运动方向和趋势。为了对人员运动行为和规律做出分析和预测，希望对巷道网络的描述直观简明并尽可能解析。在此背景下，巷道实体的一些具体的复杂因素可以暂时搁置和忽略，突出并抓住主要问题。人员定位系统中，关注巷道的最主要因素是巷道网络中各巷道支路以及各交叉点的位置和拓扑关系，基于这些信息可以得到巷道网络的基本结构，从而感知和预测井下人员的全局位置。因此本文做出如下基本假设：

1) 不考虑蠕变演化和拓扑时变，即认为巷道网络结构不随时间变化；

2) 认为巷道是均匀截面，巷道的高度宽度相对巷道长度可以忽略；

3) 不考虑峒室的存在；

4) 矿井巷道被分为若干层，不同的层之间由若干通道相连；

5) 不同层之间相对独立，构成相应的子网，称为一个巷道网络的一个水平。

图 1所示为一煤矿的剖面示意图。作为一般化巷道网络建模的基础，本文将在上述假设下，研究建立单水平巷道网络的全局化模型。

1.1 基本定义与模型描述

从全局研究角度出发，为简化模型结构，将巷道抽象为沿着巷道的导线或导线网。这决定了井下矿井巷道的数据模型应以矢量模型为主，即在矿井巷道的延伸掘进阶段，其几何信息应以矢量形式存在。在地下，各矿井巷道纵横交错，形成巷道网络。可以将巷道网络中的各巷道抽象为空间弧段，形成由弧段和结点组成的巷道网络数据结构与模型。巷道的空间分布图可采用巷道网络模型来描述。将巷道抽象为巷道弧段，可更有效地对矿区中所有巷道进行全局整体管理，分析巷道间的连通性，并在紧急情况下可为分析和辅助救灾抢险提供有效路径。

为便于研究，本文给出若干描述性定义，描述矿井巷道的主要要素，通过这些定义及其之间的关系，可建立井下巷道网络的数学模型。

定义1  结点

结点是巷道弧段的端点，同时是巷道弧段的汇合点，用来表示同一水平巷道的交叉口，也可以表示水平巷道与上下山的交叉口等。如果认为巷道弧段是有向的，则结点可分为入结点和出结点。

定义2 弧段

弧段指结点之间的部分，没有分支，是构成巷道网络的基本的元素，包括直线与弯曲弧段。

定义3 节点

一条弧段的空间形态是由离散点序列确定，这些离散点就称为该弧段上的节点，又称形状点或控制点。

根据上述定义可将巷道的网络模型描述为由巷道弧段、结点和节点连接而成的网络图。图 2为根据定义和基本假设抽象形成的一个单水平巷道网络图。

对于上述模型有如下说明：首先，在巷道网络模型中，各巷道被抽象为巷道线，其基本组成元素是弧段。一般来说，弧段代表着一条完整的连续的巷道，因此上述模型可称为弧段—节点连续网络模型。其次，在上述模型中，由于弧段、结点都未涉及层的标识，也不包括跨层弧，因此所建模型直接适合于单水平巷道网络的表达。在添加有关水平之间联通要素如上下山等的描述后，可扩展到多水平的巷道网。最后，建模使用的底层数据是导线点，导线点是为了确定矿井开采的方向位置等信息而选取的一系列点，导线点上包括点的空间位置、左右帮等测量信息。依据导线点可以解算出巷道中线^[11]，本文模型中的结点和节点均位于巷道中线上。

1.2 单水平网络模型中的拓扑关系

煤矿巷道网络模型反映的是连续巷道及其之间的拓扑连接关系。逻辑上，巷道网络由巷道弧段和结点连接而成，因此可以将巷道网络N记为

$N = M \cup B = \left( {\bigcup\limits_{i = 1}^n {\left\{ {{m_i}} \right\}} } \right) \cup \left( {\bigcup\limits_{j = 1}^m {\left\{ {{b_i}} \right\}} } \right).$

(1)

其中，每条巷道弧段对应始末2个结点。如果2条巷道有一个共同的结点则表示这2条巷道在共有结点处连接，多条巷道可以共用一个结点。2结点之间为一条弧段，2结点分别对应起始点和终止点。2条弧段之间没有交叉，当出现交叉的弧段时，可在交叉处设置结点组成新的弧段。巷道系统中不存在孤立的结点和弧段。因此弧段中每个个体可以用弧段两端的结点和弧段内部的节点描述，即b_i={m_i1, m_i2, j_i1, j_i2，…, j_ik}, (m_i1, m_i2) 指弧段两端的结点，(j_i1, j_i2，…, j_ik) 指弧段内部的节点。每个节点唯一对应一个弧段，故不同b_i中的j_is互不相同。

2 弧线—节点离散采样模型

在煤矿井下，巷道的一个层是三维空间中厚度较小的一个薄型立体区域，而一个水平的巷道网络分布在此薄型区域中。因此，由弧线—节点连续网络模型所表达的巷道线将对应一个三维薄型区域中的连续函数曲线。此时，要将巷道线函数加以完全描述，需要无穷多数据点。从可操作的角度来讲，解决的办法是对连续模型进行适当的有限化采样处理，形成离散的数据模型，称为弧线—节点离散采样模型。

弧线—节点离散采样模型的符号和变量描述如下：

1) 巷道网络中结点集M={m₁, m₂, …, m_s}，其中结点中每个个体m_i，用Euclid三维坐标描述，记为m_i(x_i, y_i, z_i)，简记为m_i。

2) 巷道网络中节点集J={j₁, j₂, …, j_t}，其中节点中每个个体j_i，j_i Euclid三维坐标为 (x_i, y_i, z_i)，自然坐标为b(该节点所在弧段)，m(该节点所在弧段的入结点)，ρ_i(该节点与所在弧段入结点的距离)，记为j_i(x_i, y_i, z_i, b, m, ρ_i)，简记为j_i。

3) 巷道网络中弧段集B={b₁, b₂, …, b_l}。

4) 巷道网络记为N。

从2种单水平模型对比的角度看：弧线—节点连续网络模型所表达的是连续巷道及其之间的拓扑连接关系，因此也可称为拓扑型单水平网络；弧线—节点离散采样模型所表达的是巷道网络在三维空间中的一个薄型立体区域中的分布，则可称为Euclid型单水平网络。

3 模型间的拟合与变换

真实巷道是连续的通道，但本文的数据模型只能给出巷道中有限个节点和结点坐标，为了研究与使用处理的方便，有必要通过弧段的2个结点和相关节点的坐标拟合出一段曲线，作为巷道弧段的估计。井下巷道网络以直线为主，曲线弧段巷道以缓和曲线与圆曲线组成的平曲线居多。假设巷道曲线弧段属于C¹，无拐点或至多有一个拐点，同一弧段内的数据点坐标都近似在同一水平上，巷道内数据点的Euclid坐标形式为{(x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_i, y_i)} (x_i之间的间隔基本均匀)。人员定位系统中对位置和速度的预测估计算法涉及到函数的解析表达式，考虑巷道的常见形态，从工程应用的实际出发，希望曲线形式在满足计算精度的前提下能较为简单，对曲线拟合的基本原则是恢复后的弧段阶数较低，尽可能减少分段，曲线应满足C¹连续。

3.1 对插值方法的讨论

1) 分段线性插值。

分段线性插值是最基本和直接的插值方法，即通过插值点折线连接起来逼近实际曲线。

分段线性插值优点形式简单，计算直观简单。虽然当插值间隔趋向于无穷小时，分段线性插值函数一致收敛到被插值函数，但是实际中插值间隔较大，分段线性插值的误差也较大；分段次数较多，不利于后期应用计算。

2) Lagrange多项式插值。

经过n+1个互异的点可以构造出基于n次插值基函数的不高于n次Lagrange插值多项式。

Lagrange插值法的缺点是高次插值函数可能出现Runge现象，插值多项式无法收敛到原被插函数，带来较大的误差。

3) 三次样条插值。

样条插值是在设计中广泛应用的一种插值方法，常用的三次样条插值在每个子区间上是三次多项式，并保证在整个区间上有连续的二阶导数。

结合巷道定位的实际需求，巷道拟合曲线没有二阶导数连续的光滑性要求 (实际井下巷道点数据也可能无法提供高阶导数的信息)，样条插值使用的是多区间分段插值的方法，与之前设定的避免分段原则不符合，且计算开销相对较大，因而需要寻找更有针对性的插值算法。

4) Hermite插值。

许多实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。满足这种要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。给定节点处的函数值与一阶导数值：

$\left( {{x_j}, {f_j}} \right), \left( {{x_j}, {{f'}_j}} \right)j = 1, 2, \cdots, n.$

(2)

满足条件的插值多项式最低次数为2n+1次，且可唯一表示成

$H\left( x \right) = \sum\limits_{j = 0}^n {{f_j}{A_j}\left( x \right)} + \sum\limits_{j = 0}^n {{{f'}_j}{B_j}\left( x \right)} .$

(3)

其中：

$\begin{array}{c} {A_j}\left( x \right) = \left[{1-\frac{{\omega ''\left( {{x_j}} \right)}}{{\omega \left( x \right)}}\left( {x-{x_j}} \right)} \right]l_j^2\left( x \right), \\ {B_j}\left( x \right) = \left( {x -{x_j}} \right)l_j^2\left( x \right), \\ {l_j}\left( x \right) = \frac{{{\omega _{n + 1}}\left( x \right)}}{{g{{w'}_{n + 1}}\left( {{x_j}} \right)\left( {x -{x_j}} \right)}}, \\ {\omega _{n + 1}}\left( x \right) = \prod\limits_{j = 0}^n {\left( {x -{x_j}} \right)} . \end{array}$

高次Hermite插值同样存在稳定性与收敛性方面的困难，实际中应用较多的是低阶分段插值，一般较为自然的是取n=1得到的分段三次Hermite插值。

根据实际应用背景，希望得到分段数尽可能少，阶数尽可能低，同时又能保持基本光滑性的插值曲线。结合文[12]中第一类分段二次Hermite插值的思想，可以构造一种整体具有一阶光滑度的二次插值多项式。在整个[a, b]区间上，构造2个二次多项式，在端点处满足式 (2) 约束，并在区间中点相交且相切。由此构造出的插值函数记为H₂(x)。

记$m = \left\lceil {\frac{{b-a}}{2}} \right\rceil $，H₂(x) 可表示为

${H_2}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {f_0} + \left( {x- {x_1}} \right)\left[{{{f'}_1} + \frac{{x-{x_1}}}{2}\left( {\frac{{4\left( {{f_n}-{f_1}} \right)}}{{{{\left( {{x_n}-{x_1}} \right)}^2}}} - \frac{{{{f'}_n} + 3{{f'}_1}}}{{{x_n} - {x_1}}}} \right)} \right], {x_1} \le x \le {x_m};\\ {f_n} + \left( {{x_n} - x} \right)\left[{-{{f'}_n} + \frac{{{x_n}-x}}{2}\left( {\frac{{{{f'}_0} + 3{{f'}_n}}}{{{x_n}-{x_1}}} - \frac{{4\left( {{f_n} - {f_1}} \right)}}{{{{\left( {{x_n} - {x_1}} \right)}^2}}}} \right)} \right], {x_m} \le x \le {x_n}. \end{array} \right.$

(4)

使用分段二次插值H₂(x) 可以在计算精度和计算复杂度之间实现较好的平衡。

3.2 自然坐标与Euclid坐标变换关系

Euclid坐标可以准确定位各节点的方位，但使用起来较为不便。在具体的人员定位应用中，可能更关注节点所在弧段以及节点到巷道弧段入口的相对距离，因此自然坐标会更实用。因而有必要研究建立自然坐标和Euclid坐标的变换关系。

本文在此考虑节点j_t的坐标变换问题，其中i表明从巷道入口看，是第i个节点。设其自然坐标为 (b, m, ρ_i)，Euclid坐标为 (x_i, y_i, z_i)。若已知弧段b各点Euclid坐标 (x_i, y_i, z_i) 以及该弧段入结点m₁，结合弧段的插值曲线，按照弧长积分计算，则

${\rho _i} = \int_{{x_0}}^{{x_i}} {\sqrt {1 + H_2^{'2}\left( x \right)} {\rm{d}}x} .$

(5)

若已知弧段b上弧长ρ_i，欲反求Euclid坐标则较为复杂, 涉及到弧长参数化的问题。设曲线Γ的参数方程为

$\mathit{\Gamma :}\mathit{\boldsymbol{r}} = \mathit{\boldsymbol{r}}\left( t \right), \alpha \le t \le \beta .$

(6)

其弧长可表示为

$s\left( t \right) = \int_a^t {\left| {\boldsymbol{r'}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t.} $

(7)

已知弧长ρ_i求Euclid坐标的问题可转化为已知弧长求相应参数的问题。由于弧长表达式没有解析表达式，其反函数也未必能求出。精确实现一般参数曲线的弧长参数化非常困难。为解决这一问题实际中多采用近似弧长参数化的方法。早期研究近似弧长参数的方法是用数值积分的方法，虽然可以较为精确地求解任意弧长对应的参数，但是只能逐点计算，算法时间开销大，难以满足实际需求。文[13]提出过一种用有理线性函数进行C¹连续近似弧长参数化插值方法，必须先求出整个反函数，再进行弧长参数化，这种方法不利于实时处理。文[14]用分段有理二次函数对弧长反函数进行整体逼近，得到了C²连续近似弧长参数化曲线。但在求弧长反函数时，必须进行迭代计算，计算量较大。

本文采用插值的方法实现近似弧长参数化。用一组节点划分参数区间[α, β]。

${t_0} = \alpha < {t_1} < \cdots < {t_i} < \cdots < {t_n} = \beta .$

t_i对应的弧长

${s_i} = \int_\alpha ^{{t_i}} {\left| {\mathit{\boldsymbol{r'}}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t.} $

(8)

虽然s(t) 的反函数s^－1(t) 是未知的，但是其在插值点 (t_i, s_i) 处的导数值可计算为

${s'_i} = 1/\left| {\boldsymbol{r'}\left( t \right)} \right|.$

(9)

这使得Hermite插值成为可能。为使算法保持一致性，采取前述分段二次Hermite插值，由以上数据可以很快得到与式 (4) 形式上类似的插值函数。使用本方法获得的函数能够保持弧长函数的单调性，以较小的计算代价实现较好的逼近效果。

在容许盲区的新型井下人员定位系统中，通过基于ZIGBEE技术的传感器网络定位单元获取监控区域人员位置信息，再通过数据处理技术和计算方法，估计巷道网络中人员当前或未来的位置信息。在单水平网络模型的框架下，可以对在巷道中行进的人员运动特征或行为模式做出进一步的假定，进而提高位置估计的准确性，同时为更多改进的预测算法的实现提供了基础。模型的插值方法也有助于提高定位计算中需要关心的自然坐标的计算效率。

4 算例分析

依据某矿采工图和井下实测数据，对某矿一水平区域内巷道网络进行建模，得到所有弧段的解析函数，如图 3所示。对图中圆圈内局部的弧段分析，为方便起见，取以弧段起点为原点的局部坐标系进行计算，最后通过坐标平移和旋转可以得到全局坐标系下的相关数值。

如图 4中实线所示，该局部弧段为缓和曲线+圆曲线+缓和曲线构成的基本型曲线^[15]；虚线为分段二次Hermite插值得到的曲线。

定义插值的均方差 (MSE) 为

${\rm{MSE = }}\sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i}-{{y'}_i}} \right)}^2}} }}{n}} .$

(10)

其中: y_i表示数据点的实际值，y′表示插值数值。

不同算法的插值误差比较见表 1。

由计算结果可知，对于巷道中常见的平曲线，分段二次Hermite插值的性能略低于三次Hermite插值，但优于同为二阶的多项式插值，也优于三次多项式插值，能满足定位应用的需求。

5 结论

本文以井下人员定位系统为应用背景，通过分析实际需求，结合巷道的特点，在对真实巷道环境进行适当简化的基础上，提出了一种煤矿巷道的单水平网络全局化建模方法，为容许盲区的新型井下人员定位系统的改进提供了基础。真实的井下巷道网络中不仅包括多个不同的单水平网络，还涉及空间曲线和不同水平间巷道的多种连接与位置关系。下一步研究中可通过补充相应的设定和约束条件，将单水平网络模型拓展到多水平网络，并与定位系统监测网络模型以及包含环境干扰和人员间互动耦合因素的井下人员活动模型相融合，形成完整的井下人员定位理论与技术。