大坝超载能力与非线性破坏机理一直以来都是水工结构安全分析的热点与难点。基于相似理论的地质力学模型、离心模型试验和基于连续、非连续介质力学的多种数值方法广泛应用于水工大坝的整体稳定分析。地质力学模型试验^[1]基于材料力学性能相似来模拟原型结构，但复杂的材料非线性相似条件难以满足，试验结果与原型结构仍存在一定差异。离心模型试验^[2]基于自重相似来模拟原型结构，但由于离心机的容量限制、操作复杂，关于大坝整体稳定的离心试验开展较少。

目前，大坝安全评价的数值分析仍未形成统一的计算标准与安全评判方法。破坏过程的数值评价、安全度划分大多源于经验性判断。弹塑性分析是进行大坝整体稳定性的简单方法，其数值稳定性较好，超载计算易收敛。然而，弹塑性方法并不能合理反映工程材料的力学特性，理想弹塑性本构和几何线性处理均会高估结构的极限承载力^[3]。为模拟准脆性材料的拉压异性、多轴强度和应变软化等非线性力学特性，塑性损伤模型^[4-5]、内时损伤模型^[6]和断裂力学模型^[7-8]可适当用于结构的破坏过程分析。岩石、混凝土等准脆性材料的破坏模式复杂，包括拉裂、压溃、剪、扭以及冲切等多种模式^[9]，破坏过程主要源于材料内部裂缝的稳定、失稳扩展。准脆性材料的应变软化和损伤断裂过程将引起结构极限承载力的尺寸效应现象，可定义为几何相似结构的名义强度随着结构尺寸的不同而发生变化。小尺寸结构 (如几倍骨料粒径) 和大尺寸结构 (如原型大坝) 的破坏模式分别近似塑性和脆性破坏，而位于2种尺寸范围之内的结构将呈现塑性到脆性的过渡破坏^[10]。因而，小尺寸相似模型的极限承载力并不代表原型结构，也不能简单地由相似关系换算至原型结构。

尺寸效应的理论研究主要包含统计理论、能量释放引起的尺寸效应理论和微裂纹或断裂分形特性引起的尺寸效应理论。然而，各理论的应用仍具有一定的限制。Weibull统计理论^[11]适合于结构起裂处失效，且没有考虑结构形状和受力方式的影响。Le等^[12]对统计理论进行了修正，并可用于准脆性材料的尺寸效应描述。Baant^[13-14]基于能量分析推导的尺寸效应相对较为严密，但假设不同尺寸结构的初始裂纹长度呈比例，其结构尺寸范围大致为1:20。Duan等^[15]放弃初始裂纹长度的相似假设，提出了边界效应模型。Carpinteri^[16-17]基于断裂分形的论据阐述结构尺寸效应，这一论据并非基于力学和能量分析的角度，而是出自严格的几何分析，断裂面的分形特性并不能代表材料的断裂本质。

大坝结构很难开展原型试验，考虑实际结构的几何、荷载和破坏过程的复杂性，也难以直接从理论上建立结构强度的尺寸效应。因而，联合模型试验和合理的数值方法，将有助于研究结构强度的尺寸效应和原型结构的极限承载力。为讨论重力坝的断裂破坏过程以及结构强度的尺寸效应，本文基于扩展有限元方法实现了离心模型试验的断裂过程模拟。同时，考虑离心模型和重力加速度模型，建立了一系列几何相似的重力坝模型，利用相同数值方法和材料参数，来探讨不同影响因素下结构强度的尺寸效应关系。

1 计算原理

Belytschko等^[18]于1999年引入扩展有限元法，极大改善了传统有限元对于不连续问题的模拟，如裂纹的扩展。断裂分析过程中，节点富集函数通常由反映裂尖奇异性的渐进函数和代表裂缝面位移的不连续函数组成。

基于Melenk等^[19]提出的单位分解思想，位移近似函数可表示为

$\mathit{\boldsymbol{u}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{N}_{i}}\left( x \right)}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}}+H\left( x \right){{\mathit{\boldsymbol{a}}}_{i}}+\sum\limits_{\alpha =1}^{4}{{{F}_{\alpha }}\left( x \right)}\mathit{\boldsymbol{b}}_{i}^{\alpha } \right].$

(1)

其中：N_i(x) 为常规有限元的节点形函数，u_i为常规有限元节点位移向量，H(x) 为裂缝面的阶跃函数，F_α(x) 为裂尖弹性渐进函数，a_i和b_i^α为节点附加自由度向量。

Moёs等^[20]在被裂纹面所截断的单元内引入Heaviside阶跃函数，以此作为富集函数：

$H\left(\boldsymbol{x} \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1, & (\mathit{\boldsymbol{x}}-{{\mathit{\boldsymbol{x}}}^{*}})\cdot \mathit{\boldsymbol{n}}\ge 0; \\ -1 , & 其他. \\ \end{array} \right.$

(2)

其中：x为高斯点，x^*为裂纹面上距离x最近的点，n为x^*处裂纹的外法线方向。

Belytschko等^[18]针对二维线弹性裂缝问题，在裂尖单元处引入Westergaad函数，以此作为富集函数：

$\begin{align} & {{F}_{\alpha }}\left( x \right)= \\ & \left[ \sqrt{r}\text{sin}\frac{\theta }{2},\sqrt{r}\text{cos}\frac{\theta }{2},\text{ }\sqrt{r}\text{sin}\theta \text{sin}\frac{\theta }{2},\text{ }\sqrt{r}\text{sin}\theta \text{cos}\frac{\theta }{2} \right].~ \\ \end{align}$

(3)

其中 (r, θ) 为裂纹尖端的极坐标系，θ=0代表与裂纹相切的方向。

对于Ⅰ、Ⅱ型复合加载状态，极坐标 (r, θ) 下裂纹尖端应力场可表示为

$\begin{align} & {{\sigma }_{r}}=\frac{1}{\sqrt{2\rm{ }\!\!\pi\!\!\rm{ }r}}\rm{cos}\frac{\theta }{2}\left[ {{K}_{\rm{I}}}\left( 1+\rm{si}{{\rm{n}}^{2}}\frac{\theta }{2} \right) \right.+ \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left. {{K}_{\rm{II}}}\left( \frac{3}{2}\rm{sin}\theta -2\rm{tan}\frac{\theta }{2} \right) \right], \\ \end{align}$

(4)

${{\sigma }_{\theta }}=\frac{1}{\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }r}}\text{cos}\frac{\theta }{2}\left[ {{K}_{\text{I}}}\text{co}{{\text{s}}^{2}}\frac{\theta }{2}-\frac{3}{2}{{K}_{\text{II}}}\text{sin}\theta \right],$

(5)

${{\tau }_{r\theta }}=\frac{1}{2\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }r}}\text{cos}\frac{\theta }{2}\left[ {{K}_{\text{I}}}\text{sin}\theta +{{K}_{\text{II}}}\left( 3\text{cos}\theta -1 \right) \right].$

(6)

其中K_Ⅰ和K_Ⅱ分别为Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子。

裂纹的开裂采用最大主应力准则，即当最大主应力达到材料抗拉强度，裂纹开始萌生。对于复合应力情况，利用最大环向应力准则判断可裂缝的开裂方向，此时应力条件满足$\frac{\partial {{\sigma }_{\theta }}}{\partial \theta }\left| _{r}=0 \right.$，可得：

${{K}_{\text{I}}}\text{sin}\theta +{{K}_{\text{II}}}(3\text{cos}\theta -1)=0.$

(7)

裂缝扩展角为

${{\theta }_{\text{c}}}=\text{arccos}\frac{3K_{\text{II}}^{2}\pm \sqrt{K_{\text{I}}^{4}+8K_{\text{I}}^{2}K_{\text{II}}^{2}}}{K_{\text{I}}^{2}+9K_{\text{II}}^{2}}.$

(8)

在软化阶段，使用线性的内聚力模型来表述裂缝演化阶段裂缝截面的力学行为。

2 计算模型 2.1 重力坝模型

为研究混凝土重力坝的断裂特性，Renzi等^[2]基于96 m高的原型重力坝开展了一系列结构断裂的离心模型试验，其中1:100比例尺模型的结构尺寸如图 1所示。H为模型坝高，预制缝长度等于H/8，模型厚度T等于预制缝的长度。模型底部采用加劲吊环保持与底座的刚性固定。在重力坝断裂模拟中，模型可视为平面应变问题。

2.2 计算工况与材料参数

离心模型试验中，上游水推力由注入橡胶带的静水压力模拟，总水压为P=P₀+λP₁，其中P₀为三角形分布的水压，λP₁为超高水位的水压。按照重力相似条件，竖向加速度比例尺为100g (g为重力加速度)，水平加速度比例尺为1g。

数值计算采用与试验相同的加载方式，即先施加模型初始重力荷载，然后施加离心力荷载，接着施加三角形分布的水荷载，最后施加超高水位荷载直至破坏。计算中不考虑缝内水压的作用。数值计算中采用的外荷载见表 1。重力坝离心试验采用湿筛混凝土材料，数值计算中相应的材料参数见表 2。

2.3 数值验证

Renzi等^[2]所开展的1:100离心模型试验最大承载力为1 551~1 660 kPa，试验的荷载—开口位移 (P-CMOD) 曲线和开裂路径分别如图 2和图 3所示。

Barpi等^[21]采用网格重构技术，对试验加载时橡胶带的切向荷载作用作了2种处理:当不考虑切向作用时极限承载水压为1 501 kPa; 考虑14%的切向作用时极限承载水压为1 623 kPa。杜效鹄等^[22]利用有限元富集技术，考虑3种切向荷载的影响情况：不考虑切向作用、考虑7%切向作用的影响以及考虑14%切向作用的影响，相应的极限承载水压分别为1 506、1 558和1 717 kPa。本文采用扩展有限元方法，引入富集函数技术，在不考虑切向荷载影响下，计算的极限承载水压为1 586 kPa。图 2对比了试验与数值计算的P-CMOD曲线，可以看出，本文的计算结果虽然没有考虑切向作用，但结构的荷载-位移响应基本与试验相吻合。图 3对比了试验与数值计算的开裂路径，所选择的数值结果均不考虑切向作用。由开裂路径的对比可知，试验过程中由于橡胶带的作用，使得其初始破坏路径略缓于各数值计算的路径，但数值计算能大致描述结构的破坏过程。且各数值结果之间差异不大，基本反映了所采用数值方法的合理性。

综合以上荷载—位移响应和开裂路径分析，本文所采用的数值计算结果与试验以及其他数值手段吻合较好，表明所采用的数值方法可以用于此类结构的破坏过程模拟和极限承载力的计算。

3 结构模型尺寸效应

为继续探讨结构模型的尺寸效应关系，本文建立一系列长度比例尺为1:150、1:100、1:50、1:20、1:10、1:5和1:2的数值模型，采用节2相同的数值方法和材料参数。

模型上游面水压力P采用超水容重法施加，P=K_rP₂，其中P₂=r_wH，r_w为水的容重，K_r为超载倍数。为比较不同尺寸的结构强度，定义结构的极限承载强度为

$\sigma =\frac{F}{HT}=\frac{0.5{{r}_{\text{w}}}{{H}^{2}}T{{K}_{\text{r}}}}{HT}=0.5{{r}_{\text{w}}}H{{K}_{\text{r}}}.$

(9)

3.1 离心模型

离心模型需要满足重力相似条件，计算过程中，先施加模型的初始重力荷载，然后逐级施加离心力荷载，接着施加三角形分布的正常水荷载，最后施加超水容重直至破坏。

不同尺寸的离心模型极限承载强度大小见表 3。由图 4a可知，离心模型的极限承载强度呈现出明显的尺寸效应现象。与文[22]计算结果相似，随着结构尺寸的增加，极限承载强度大致呈指数衰减趋势下降，当超过一定尺寸时，承载强度将逐渐趋于稳定值。由于文[22]中采用的是超水位加载，而本文统一采用超水容重法加载，两者的极限承载强度大小并不完全一致，但总体呈现的变化趋势一致。

由于采用相同计算方法和材料参数，断裂过程区长度大致为一常数，因而随着结构尺寸的增加，断裂过程区相对结构尺寸的比值逐渐减小。当尺寸足够大时，可忽略断裂过程区的影响，结构呈现脆性破坏。

由上述分析可知，小尺寸离心模型承载强度明显大于原型结构，因而直接用小尺寸模型代表原型结构，将会高估大坝的承载能力，偏于不安全，需联合试验和合理的数值方法共同验证以及推算原型结构的真实承载强度。

3.2 重力加速度模型

不同于离心模型，重力加速度模型中的竖向加速度均为1g。计算过程中，先施加模型初始重力荷载，接着施加三角形分布的正常水荷载，最后施加超水容重直至破坏。

不同尺寸的重力加速度模型极限承载强度大小见表 4。由图 4b可知，重力加速度模型的尺寸效应与离心模型有较大区别。随着结构尺寸的增加，重力加速度模型的极限承载强度呈指数衰减趋势下降，当超过一定尺寸范围后，又大致呈线性增长。由于重力加速度模型并未考虑重力相似，此类尺寸效应将同时包含断裂过程区相对长度的内在因素和自重应力效应的外部荷载因素。

自重应力效应对结构的极限承载强度影响比较明显。当结构尺寸较小时，自重对结构抗力的贡献较小，外荷载做功主要用于结构开裂的能量消耗，此时，极限承载强度大小随结构尺寸的增加而减小。当结构尺寸增加到一定范围，断裂过程区的影响较小，而自重对结构抗力的贡献明显，外荷载做功将同时用于自重做功和结构开裂所需要的能量，极限承载强度大小随结构尺寸的增加而增大。

离心模型和重力加速度模型的破坏路径也有较大区别，选取几何比例尺为1:100的结构模型，其破坏模式如图 5所示。重力加速度模型的破坏路径明显缓于离心模型。离心模型由于满足自重相似，其破坏路径将大致接近原型结构。

重力加速度模型的极限承载强度和破坏模式与原型结构均有较大区别，其试验结果也不能直接代表原型结构，但作为一类试验手段，仍可用于数值验证。

4 结论

基于扩展有限元方法研究了重力坝模型的破坏过程，并针对离心模型和重力加速度模型，采用相同的材料参数和数值方法，讨论了2类结构的尺寸效应及其影响因素，主要结论如下：1) 随着结构尺寸的增加，离心模型的极限承载强度大致呈指数衰减趋势下降，并逐渐趋于稳定值；重力加速度模型的极限承载强度首先呈指数衰减趋势下降，当超过一定尺寸范围后，又大致呈线性增长。2) 重力加速度模型的破坏路径缓于离心模型，满足自重相似的离心模型更能反映原型结构的破坏模式。3) 离心模型的尺寸效应主要源于断裂过程区相对长度的内在因素，而重力加速度模型还包含自重应力效应的外部荷载因素。4) 准脆性材料的结构模型试验存在尺寸效应现象，模型的结果不能简单由相似关系换算至原型结构，需要联合试验与数值共同验证并推算至原型结构。