水权制度是自然资源产权制度的一种，通过明晰水资源产权规范用水秩序、进行总量控制、激发市场交易，促进水资源向高效益用户流转，提高用水效益，改善生态环境^[1]。美国、澳大利亚等国家的水权交易成功实践说明了水权交易对于水资源优化配置的有效性^[2-5]。

中国作为水资源短缺的大国^[6]，随着社会主义市场经济改革逐步深化，通过市场机制优化配置水资源逐渐成为解决中国目前水资源问题的重要手段^[7-9]。在水市场中，买卖双方对于水资源价值的评价差异，是促成水权交易的主要因素^[10]，合理的水权交易价格是提高市场活跃程度，实现交易福利最大化的基础^[11]。探索合理的水权交易定价模式，确定最大化市场福利的交易价格，是水权交易实施过程中非常重要的环节。

水权定价算法是水权交易研究的热点。Zaman等^[12]和Khan等^[13]采用统计学的方法，对交易的均衡价格和交易量进行回归分析，预测水权交易价格。Reddy等^[14]以经济损失最小为原则，分析了工业水权交易市场的出清价格。Hung等^[15]以个人收益最大化为目标，通过分析最优性条件，求解均衡价格。孔珂等^[16]对水权交易市场进行了博弈分析，并求解得到子博弈精炼Nash均衡的结果，给出了相应的交易参与者策略。王为人等^[17]通过建立基于回流模型的水权双向拍卖机制，分析得出了水权交易条件和均衡价格。

水权交易定价模型主要有2类: 1) 基于历史数据，采用统计学方法的实证分析建模。在很多情况下，水权交易样本量有限、交易均衡价格影响因素复杂，基于统计结果的价格确定缺乏置信度。特别是，中国水市场尚不发达，实际交易数据匮乏，难以通过统计方法建立交易模型。2) 交易模型采用经济、金融等领域的理论框架，建立数学解析模型。这一类模型侧重探讨水权交易定价的经济学机理，具有理论意义，但在实践中较难操作应用。针对中国水市场实际情况，提出具有一定经济学理论基础，而且切合水资源管理实践的水权交易撮合定价模型，具有切实的学术意义。

在实践方面，水权市场较为发达的澳大利亚采用集市模式进行水权交易撮合并且取得了较好的实践效果^[18-19]。集市型水权交易源于股票交易中的集合竞价，通过集市对多个买家和多个卖家的报价进行统一撮合，形成市场均衡价格。但是，由于水资源所具有的流动性、外部性、来水不确定性以及公共资源的属性^[20]，导致水权交易与股票交易相比需要更加复杂的审批和监管机制以及更加全面的信息披露内容，并需要从时间和空间上对交易进行合理匹配。充分考虑水资源特性，是股票交易算法在水权交易中应用的研究关键，是水权交易算法研究的重要方向。

集市交易的模式最早于1998年应用于澳大利亚Goulburn-Murray灌区，通过建立北维多利亚水权 (North Vitoria water rights, NVWR) 交易系统开展交易，并于2008年8月通过Watermove水权交易撮合系统将该交易机制成功推广至整个墨累达令河流域^[4]。集市型水权交易在澳大利亚的成功推广，促进了澳大利亚水市场的繁荣，有效实现了水资源的优化配置^[21-22]。但是，澳大利亚地广人稀、人均资源禀赋充沛，政治体制和社会文化与中国差异较大。针对中国情况，改进集市型水权交易算法，为中国水权交易实践提供技术支撑，具有重要的实践意义。

本文基于集市型水权交易的基本规则，分析提出水权交易的集市交易数学模型，研究集市交易模式下交易者的报价行为和风险规避策略，从理论上分析集市型水权交易的有效性，并给出实践建议。

1 模型构建 1.1 交易规则

集市型水权交易是多人共同进行水权交易的一种方式，主要基于智能市场技术，通过计算机模型进行市场操作^[23]，在资源管理领域具有广泛的应用^[24]。在集市型水权交易中，买卖双方背对背地提交交易申请，并在集市中进行统一的撮合交易确定成交价格。集市型水权交易机制，较面对面的直接交易或者现场喊价模式，提高了交易的灵活性，减小了交易成本^[25-26]。

集市型水权交易以最大成交量原则与最小成本原则来对集市中的水权交易进行定价和交易匹配。水权交易的参与者提交交易申请后，集市算法在价格约束与水量约束下，搜寻最大交易量以及其对应的边际卖家与边际买家，以两者的平均价格为最终成交价格。

1.2 交易模型

通过分析集市型水权交易的具体交易原则和交易机制建立数学模型。

目标函数：

${\rm{max}}s.{\rm{ }}$

(1)

其中s代表边际买家的排序。根据集市型水权交易成交原则，模型以集市中实现交易的水量最大为目标函数。通过最大化交易成功的边际买家的排序，表征交易水量最大目标。

约束条件：

价格约束为

${X_t} \le {Y_s}.$

(2)

水量约束为

$\sum\limits_{i = 1}^t {{\alpha _i}} \ge \sum\limits_{j = 1}^s {{\beta _j}} .$

(3)

整数约束为

$i = 0,1, \ldots ,m;j = 0,1, \ldots ,n.$

(4)

排序约束为

$\begin{array}{l} {X_1} \le {X_2} \le \cdots \le {X_t} \le \cdots \le {X_m},\\ {Y_1} \ge {Y_2} \ge \cdots \ge {Y_s} \ge \cdots \ge {Y_n}. \end{array}$

(5)

其中：X_i和α_i分别表示卖家i的报价和水量; Y_j和β_j分别表示买家j的报价和水量；m和n分别表示市场中卖家和买家的数量；t和s分别表示成功交易的边际卖家和边际买家对应的排序。

在该交易机制下，集市型水权交易的成交价格为边际卖家与边际买家的算术平均价格，即

${Y_c} = \frac{{{X_t} + {Y_s}}}{2}.$

1.3 应用举例

下面举例对集市型算法进行说明，假设集市中买卖双方的交易数据如表 1所示。

集市型算法的撮合过程如下：

1) 将集市中所有卖家的出价按升序排列，所有买家的出价按降序排列。

2) 依次计算集市中累积的买水量和卖水量。

3) 当累积水量接近，且临界线处买家出价大于卖家出价，将临界线处买卖双方，即边际卖家与边际买家出价的平均价格作为市场均衡价格。

在表 1的集市中，出价最低的前6个买家与出价最高的前5个卖家即为达成交易的双方，此时取边际买家与边际卖家的平均价格，即0.215元/m³作为集市的成交价格，成交水量为182.5万m³。

集市型水权交易算法，实现了交易的集中化，最大限度的挖掘了市场上存在的潜在交易者，实现了交易量的最大化。

2 模型分析

信息的透明度是市场交易的一个重要特征，对于市场均衡的结果以及市场参与者的策略性行为产生影响^[27]。中国的水市场尚不发育，水资源管理体制的不完善导致水交易市场信息透明度不足。分析集市型水权交易机制下不确定信息对交易者行为的影响，有利于从理论上分析集市型交易在中国水市场不发育情况下的实践有效性。

2.1 交易风险与报价

集市型水权交易定价算法的基本约束为价格约束与水量约束。根据其定价过程中的排序原则可以看出，对于买家而言其报价越高其交易成功的概率也就越高，若其报价低于卖家的边际价格，则意味着本次交易失败。因此，对于买家而言，不同的报价水平代表了其面临的风险和收益的相对大小。在市场中，买家往往面临风险和收益的选择，需要根据市场的信息确定合理的报价水平，实现交易者综合收益的最大化。

假设某一买家出价为Y，其对于市场上边际卖家的报价具有一定的信念Φ，即边际卖家可能的报价为X~U(a, b)，此时买家对于交易成功用水的效益为k，由此可以得买家在交易中的综合收益：

$\begin{array}{l} {E_Y}\left( U \right) = \int_a^Y {\left( {k - \frac{{X + Y}}{2}} \right)} \frac{1}{{b - a}}{\rm{d}}X = \\ \left( {k - \frac{Y}{2}} \right)\frac{{Y - a}}{{b - a}} - \frac{{{Y^2} - {a^2}}}{{4\left( {b - a} \right)}}. \end{array}$

(6)

此时有a≤Y≤b，交易者的用水效益k≥Y。

在不确定信息的条件下，集市的参与者的行为决策主要有2个相反的倾向：1) 增加报价，以降低由于不确定信息而带来的交易失败的风险；2) 降低报价，压低均衡价格，增加个人在集市交易中的潜在收益。由于2种倾向存在矛盾，集市的参与者往往会选择一个中间的报价水平，以期达到综合效用的最大化。对式 (6) 中的买家综合收益求最大化条件可以得到最优策略为$\hat Y = \frac{{2k + a}}{3}$，此时得到的最大综合收益为$U = \frac{{{{\left( {k - a} \right)}^2}}}{{3\left( {b - a} \right)}}$。

集市中买家的最优报价策略主要取决于对于边际卖家报价信念的下限以及个人的用水效率：1) 信念Φ的区间下限越高，表示该信念的确定性越高，买家面临的风险水平也就越低，随着信念水平的下限向上收敛为一个点时，此时买家将不再承担风险，面临一个确定信息的决策；2) 随着用水效率的提高，买家在交易失败时面临的损失会增加，其对于风险的厌恶程度相应提高，因此，当用水的效率足够高时，买家会选择将信念区间的上限作为自己的报价。

2.2 买家“拆单”报价的策略性行为

“拆单”策略是在股票市场连续交易的条件下，为应对股价变动带来的市场冲击成本而采取的优化变现策略^[28-29]。而集合交易机制下由于竞价时间较短且不存在股价随时间的波动，针对股票市场中集合竞价的“拆单”报价行为研究相对较少。在资源市场中，引入“拆单”报价的策略，分析其有效性，对于研究市场机理具有十分重要的意义。

集市型水权交易采用边际买卖双方的平均报价作为成交价格，因此，集市中买家可以采取“拆单”的策略性行为，通过提交2个或多个报价和水量不同的订单参与集市，以期提高自己在集市中的综合收益。

假设买家对于边际卖家的报价存在一个信念为X~U(a, b)，对于买家而言，可以选择2个不同水平的报价订单，其报价的水平为Y₁、Y₂，且满足Y₁≤Y₂，相应的2个不同报价水平下对应的订单的申请水量为β₁、β₂，满足β₁+β₂=1。买家交易成功一单位水的收益为k，假设收益与交易成功的水量为线性关系，此时分析买家的综合收益，得到买家的最佳策略组合。

1) 若b≤Y₁，此时买家的交易完全没有风险，只需尽可能地压低交易的成交价格。因此，当b≤Y₁时，为使收益最大化，则有${{\hat Y}_1} = {{\hat Y}_2} = b$，此时收益为$U = \frac{{X + b}}{2}$，平均收益为$U = k - \frac{b}{2} - \frac{{a + b}}{4}$。

2) 若a＜Y₁＜b≤Y₂，则此时收益函数为

$\begin{array}{l} U = \left( {k - \frac{{X + {Y_1}}}{2}} \right){I_{X \le {Y_1}}} + \\ \left( {k - \frac{{X + {Y_2}}}{2}} \right){\beta _2}{I_{{Y_1}X \le b}}. \end{array}$

(7)

此时在Y₁、Y₂的组合水平下，买家的期望收益为

$\begin{array}{l} {E_{{Y_1},{Y_2}}}\left( U \right) = \int_a^{{Y_1}} {\left( {k - \frac{{X + {Y_1}}}{2}} \right)} \frac{1}{{b - a}}{\rm{d}}X + \\ \int_{{Y_1}}^b {\left( {k - \frac{{X + {Y_2}}}{2}} \right)} {\beta _2}\frac{1}{{b - a}}{\rm{d}}X. \end{array}$

(8)

在a＜Y₁＜b≤Y₂的情况下，最大化买家的期望收益可以得到买家的最优出价策略组合为

$\left( {{{\hat Y}_1} = \frac{{2k{{\hat \beta }_1} + a + b{{\hat \beta }_2}}}{{3 - {{\hat \beta }_2}}},{Y_2} = b,{{\hat \beta }_2},{{\hat \beta }_1}} \right).$

3) 若a＜Y₁≤Y₂＜b，则此时的收益函数为

$\begin{array}{l} U = \left( {k - \frac{{X + {Y_1}}}{2}} \right){I_{X{Y_1}}} + \\ \left( {k - \frac{{X + {Y_2}}}{2}} \right){\beta _2}{I_{{Y_1}X \le {Y_2}}}. \end{array}$

(9)

此时在Y₁、Y₂的组合水平下，买家的期望收益为

$\begin{array}{l} {E_{{Y_1},{Y_2}}}\left( U \right) = \int_a^{{Y_1}} {\left( {k - \frac{{X + {Y_1}}}{2}} \right)} \frac{1}{{b - a}}{\rm{d}}X + \\ \quad \quad \int_{{Y_1}}^{{Y_2}} {\left( {k - \frac{{X + {Y_2}}}{2}} \right)} {\beta _2}\frac{1}{{b - a}}{\rm{d}}X. \end{array}$

(10)

最大化买家的综合收益可以得到如下结果：

a) 若4k+a≤5b，买家最优策略组合为

$\begin{array}{l} \left( {{{\hat Y}_1} = \frac{{4k{{\hat \beta }_2} - 6k - 3a}}{{4{{\hat \beta }_2} - 9}}} \right.\\ \left. {{{\hat Y}_2} = \frac{{4k{{\hat \beta }_2} - 8k - a}}{{4{{\hat \beta }_2} - 9}},{{\hat \beta }_2},{{\hat \beta }_1}} \right). \end{array}$

b) 若4k+a＞5b且2k+a≤3b，${{\hat Y}_1} = {{\hat Y}_2} = \frac{{2k + a}}{3}$，此时买家选择不“拆单”。

c) 若2k+a＞3b，${{\hat Y}_1} = {{\hat Y}_2} = b$，买家不“拆单”。

在上述“拆单”的报价选择中，均满足β₂→1和β₁→0，即选择一个小额的低报价订单和一个大额的高报价订单。在整体订单参与报价的过程中，买家具有降低报价以降低成交价格和提高报价降低交易风险的2种相反方向的激励，因此买家不得不选择一个中间的报价来实现个人收益的最大化。然而买家通过“拆单”行为成功地解决了之前的矛盾，实现了2个目标的分离，即选择小额的低报价订单来压低成交价格，同时选择大额的高报价订单来降低交易风险。买家通过“拆单”的策略实现了个人收益的最大化。

2.3 信息披露增加的影响

在集市型水权交易中，具有相同或相似利益趋同的买家或卖家之间往往会联合，并形成一定的交易团体，交易团体的形成往往对交易结果产生重要的影响。假设在买家团体内部存在一定的信息披露，而集市型水权交易系统在开市之前可以随时更改交易的信息。由此在卖家报价不确定信息下，不同的买家之间的相互博弈可以形成一个相对稳定的均衡结果，探寻不同买家在该情形下的报价策略，对于不确定信息下买家的策略性行为所反映的市场的微观结构具有一定的意义。

假设买方市场中用水效益分别为k₁和k₂的2个买家的报价分别为Y₁、Y₂，2个买家所获取的关于边际卖家的信息是一致的，即X~U(a, b)，且对于了解到的关于彼此的信息是完全对称的。在单独决策的情况下，买家1与买家2的最优出价策略为

${Y_1} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{a + 2{k_1}}}{3},} & {{\rm{if}}\frac{{a + 2{k_1}}}{3} ＜b;\,}\\ {b,} & {{\rm{if}}\frac{{a + 2{k_1}}}{3} \ge b.} \end{array}} \right.$

(11)

${Y_2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{a + 2{k_2}}}{3},} & {{\rm{if}}\frac{{a + 2{k_2}}}{3}＜b;\,}\\ {b,} & {{\rm{if}}\frac{{a + 2{k_2}}}{3} \ge b.} \end{array}} \right.$

(12)

此时，在考虑对方报价的基础上，交易的买家可以自由调整自己的报价，由此形成动态的均衡结果：

1) 当2个买家的用水效益都足够高时，即$\frac{{a + 2{k_1}}}{3} > b$且$\frac{{a + 2{k_2}}}{3} > b$时，博弈双方均会选择零风险的报价策略，即联合决策的策略结果为 (b, b)。

2) 若某一买家的用水效益不足以使其选择零风险的交易策略，此时不妨设买家1选择在区间[a, b]中的报价，即$\frac{{a + 2{k_1}}}{3}＜b$。此时买家2则根据买家1的报价水平，最大化个人的综合收益，选择自己的报价水平。若k₂＜k₁，则买家2的报价为$Y_2^1 = \frac{{a + 2{k_2}}}{3}$；若k₂≥k₁，买家2的报价为$Y_2^1 = \frac{{{Y_1} + 2{k_2}}}{3}$。然后，买家1通过买家2的报价水平，重新选择自己的报价，进行多轮重复。可以得到，最后2个买家将会形成一个稳定的均衡结果：当k₁＜k₂时，在一定的参数范围内，${Y_1} = \frac{{a + 2{k_1}}}{3},{Y_2} = \frac{{{Y_1} + 2{k_2}}}{3} = \frac{{a + 2{k_1} + 6{k_2}}}{9}$。

通过分析上面稳定的均衡结果可以看出，相比买方单独报价的情况，增加买方集合内部信息的披露，对于用水效益较低的买家而言无明显影响，而将用水效益较大的买家的报价明显提高。分析这一现象产生的原因，是由于用水效益较低的买家无法选择高报价，因此不得不承担风险，试图以较低的均衡价格买到水，而对于用水效益较高的买家而言，由于存在低效率买家为其压低成交价格，其会选择较高的报价以期降低交易的风险。

根据集市型交易下的策略分析可以看出，买方信息披露的增加会在一定程度上提升高用水效益买家的报价，使其选择的报价水平更加接近其对于水权的真实估价。类比可知，此规律对于卖方而言亦成立。因此在集市型水权的定价机制中，在一定的信息披露的条件下，可以形成买卖双方的报价水平均接近于个人对于水权的真实估价，这表明了集市型水权交易算法价格发现机制的高效性。

3 结论

本文通过建立集市型水权交易的数学模型，基于交易风险和收益平衡，计算市场中交易者的综合收益，得出了集市型交易模式下参与者的最优报价策略, 给出了报价策略与用水效益及预期报价的函数关系；通过对比拆分订单报价的策略性行为对于交易者综合收益的影响，分析了该报价行为的可行性和合理性，发现“拆单”可以有效利用市场机制，实现个人收益最大化；通过分析在信息披露增加的情况下交易者的行为选择，得出了增加信息披露有利于交易者报价更接近于其对于水权的真实评价的结论。

通过对集市型水权交易模型下的报价行为研究，发现集市型水权交易算法具有较好的价格发现机制，且能实现交易者收益的最大化。集市型算法对于多用户、高频次的水权交易具有较好的适用性。

中国水权市场的培育尚处于起步阶段，水权配置、管理和取用水等信息的社会透明度不高，影响水市场的活跃性。提高水权和水资源管理信息的透明度，对中国水权市场的建设具有积极意义。