旋转超声加工技术在硬脆难加工材料领域表现出特殊的优势，超声频机械振动可有效地减小切削力，降低工件表面/亚表面损伤[1]。为进一步提高脆性材料的加工效率和加工质量，需要更加精确地控制旋转超声加工系统的振幅和频率等输出参数。超磁致伸缩材料(giant magnetostrictive material, GMM)具有磁致伸缩系数大、功率容量高、响应速度快等优点，可实现大振幅超声振动输出[2-3]；但GMM的非线性导致对换能器输出振幅的准确预测和控制十分困难，这限制了旋转超声振动加工的加工精度。因此，建立超磁致伸缩超声换能器的输出振幅模型具有重要意义。
GMM被广泛应用于海洋探测与开发技术、微位移驱动、减振与防振、机器人及医疗等领域，但在旋转超声振动加工设备中的应用未见报道[4-5]。现有应用领域对换能器输出位移的准确性有较高的要求，故现有研究大多关注超磁致伸缩换能器在中、低频条件下的输出位移特性，关于换能器在超声频激励条件下的输出振幅模型的研究尚不完善。对旋转超声振动加工而言，换能器输出振动的幅值是系统控制和调节的关键，因此需对现有理论模型进行修正。
目前普遍使用的GMM输出应变模型可分为基于磁畴理论的机理模型和等效电路模型两类[6-9]。基于换能器的等效电路可得到输出位移与激励电流之间的等效线性模型，易于实现换能器输出位移的补偿与控制，因此该方法被广泛应用于换能器振动特性的分析。Calkins通过实验研究了超磁致伸缩换能器在不同工作频率下的振动特性和机电能量转换效率，实验结果表明：在谐振状态下，换能器产生的超声振幅最大，然而换能器的涡流损耗同样也达到最大值，机电能量转换效率并非最高[10]。孙波等采用导纳圆法得到换能器的谐振频率、谐振带宽等参数[11]。Woollett建立超声换能器的集中参数等效电路模型，并采用有效耦合系数建立机械振动与激励电信号之间的关系[12]。Wakiwaka等建立了超磁致伸缩换能器的等效电路模型，通过阻抗分析辨识模型参数，建立了位移-电流灵敏度的数学模型[7]。
本文基于超磁致伸缩超声换能器的等效电路提出其输出振幅模型，并通过阻抗分析辨识超声换能器的机械等效质量、刚度和阻尼等参数，从而确定输出振幅模型。为提高振幅模型的准确性，实验测量了换能器在不同频率和电压激励下的输出振幅，建立机电转换系数与频率的关系曲线，进一步建立适用于不同频率和电压的较为准确的振幅模型，并通过实验进行了验证。
1 机电转换系数的理论模型图 1a为超磁致伸缩换能器的结构图，结构参数如表 1所示。后盖板的材料为45#钢，输出盖采用铝，后盖板的声阻抗远大于输出盖，振动能量向输出盖传递。换能器可以等效为一端固定的单自由度弹簧质量阻尼系统，如图 1b所示。
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| 图 1 超磁致伸缩换能器结构及等效振动系统 |
| 材料 | 参数 | 数值 | |
| GMM | Tb0.3Dy0.7Fe1.92 | 长度/mm | 16 |
| 直径/mm | 13 | ||
| 叠片厚度/mm | 1 | ||
| 输出盖 | 铝 | 质量/kg | 0.04 |
| 变幅杆 | 45#钢 | 质量/kg | 0.2 |
将振动系统的质量、刚度和阻尼分别等效为电感、电容和电阻，建立如图 2所示的等效电路模型。等效电路模型由电学支路和机械支路两部分组成，机械支路和电学支路之间的能量转换可以表示为线性方程，如式(1) 所示，并由转换系数Tem和Tme表征机电能量转换。
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| 图 2 超磁致伸缩换能器的等效电路模型 |
| $ \left\{ \begin{array}{l} U = {Z_{\rm{e}}}i + {T_{{\rm{em}}}}v, \\ F = {T_{{\rm{me}}}}i, \\ F = {Z_{\rm{m}}}v + {F_{\rm{L}}}. \end{array} \right. $ | (1) |
其中：U为电压，i为电流，F为驱动力，Ze为电阻抗，v为振动速度，Zm为机械阻抗，FL为力负载(无负载时FL=0)。
由图 2可得到超磁致伸缩换能器的等效机械阻抗，
| $ {Z_{\rm{m}}} = {R_{\rm{m}}} + {\rm{j}}\omega {L_{\rm{m}}} + \frac{1}{{{\rm{j}}\omega {C_{\rm{m}}}}}. $ | (2) |
其中：机械等效电感Lm、电容Cm和电阻Rm分别由等效质量m、刚度k和阻抗c计算得到，如式(3) 所示。
| $ \left\{ \begin{array}{l} {L_{\rm{m}}} = m, \\ {C_{\rm{m}}} = \frac{1}{k}, \\ {R_{\rm{m}}} = c. \end{array} \right. $ | (3) |
由式(1)—(3) 可得到不同驱动电压幅值和频率下的机电转换系数，
| $ {T_{{\rm{me}}}} = \frac{A}{{{I_{\rm{m}}}}}\omega \sqrt {{c^2} + {{\left( {\omega m-\frac{k}{\omega }} \right)}^2}} . $ | (4) |
其中：Im为电流幅值，A为振幅，ω为频率。Lm、Cm和Rm为超声换能器的固有特性，可通过阻抗分析计算得到。因此，通过实验测定超声换能器在不同幅值和频率正弦信号激励下的输出振幅，即可计算得到机电转换系数随频率和电流幅值的变化规律。
2 输出振幅模型 2.1 输出振幅由式(4) 可得到换能器输出振幅模型，
| $ A = \frac{{{T_{{\rm{me}}}}{I_{\rm{m}}}}}{{\omega \sqrt {{c^2} + {{\left( {\omega m-\frac{k}{\omega }} \right)}^2}} }}. $ | (5) |
由式(5) 可知：换能器的输出振幅与激励电流幅值成正比，其斜率由机电转换系数和激励频率决定。
2.2 模型参数辨识将超声换能器的机械阻抗等效到电学支路，通过串联电容Ce补偿，使超声换能器在谐振状态下为纯阻性，则可得到超磁致伸缩超声换能器在谐振频率附近的阻抗圆方程[5]，
| $ {\left( {R-{R_{\rm{e}}}-\frac{{T_{{\rm{me}}}^2}}{{2{R_{\rm{m}}}}}} \right)^2} + {X^2} = {\left( {\frac{{T_{{\rm{me}}}^2}}{{2{R_{\rm{m}}}}}} \right)^2}. $ | (6) |
其中：R和X分别为超声换能器的总电阻和总电抗，Re为励磁线圈的电阻。
超声换能器总阻抗在谐振频率附近为R-X复平面上的圆，阻抗圆与虚轴的交点即为谐振点，而半功率点为阻抗圆上与谐振频率点相距±90°的位置。利用阻抗分析仪测量超磁致伸缩换能器在18 500~20 500 Hz频率范围内的总阻抗，绘制如图 3所示的阻抗圆曲线。作图得到超磁致伸缩换能器的谐振频率、半功率频率和阻抗圆直径等参数，如表 2所示。结果表明：1) 在机械谐振频率附近，换能器总阻抗曲线为R-X复平面内的圆，验证了等效电路模型和阻抗圆方程的正确性；2) 阻抗圆关于虚轴对称，验证了补偿电容Ce的合理性。
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| 图 3 超磁致伸缩换能器的阻抗圆曲线 |
由表 1可知，假设超磁致伸缩换能器的等效质量m=0.24 kg。基于表 2所示的阻抗分析结果，通过式(7)—(9)[7]计算得到超声换能器的等效刚度、阻抗和机电转换系数，下标“s”表示谐振状态。通过式(3) 计算得到超声换能器的机械等效电感、电容和电阻。结果如表 3所示。
| 等效刚度k/(kg·s-2) | 3.633×109 |
| 等效阻抗c/(kg·s-1) | 51.245 |
| 机电转换系数Tme | 50.25 |
| 等效电感Lm/H | 0.24 |
| 等效电容Cm/nF | 0.275 3 |
| 等效电阻Rm/Ω | 51.245 |
| $ k = m\omega _{\rm{s}}^{^2} = 4{\pi ^2}f_{\rm{s}}^{^2}m, $ | (7) |
| $ c = 2m\pi ({f_2}-{f_1}), $ | (8) |
| $ {T_{{\rm{me}}}} = \sqrt {|{Z_{{\rm{mot}}}}|{\cdot}c} . $ | (9) |
因此，换能器的输出振幅模型可表示为
| $ A = \frac{{50.25{I_{\rm{m}}}}}{{\omega \sqrt {2626 + {{\left( {0.24\omega-\frac{{3.633 \times {{10}^9}}}{\omega }} \right)}^2}} }}. $ | (10) |
基于等效电路模型得到的机电转换系数为常数，忽略了机电转换系数随激励电流幅值和频率的变化，因此需进一步研究超声换能器机电转换系数的变化规律，以得到更为精确的振幅模型。
3 机电转换系数的实验测定 3.1 实验设计为研究驱动电压幅值和频率对换能器机电转换系数的影响，通过实验得到多种频率和电压幅值驱动下超磁致伸缩换能器的输出振幅。图 4为实验装置。采用高速双极性电源(BP4610) 产生不同频率的电压序列，电压序列由10种幅值的正弦信号组成，每种幅值的激励时间为0.1 s。改变正弦信号的频率，得到不同频率下输出振幅与驱动电压幅值的关系曲线。采用激光位移传感器(LK-H008，KEYENCE)测量变幅杆输出端面的位置变化，采样频率为392 kHz。利用示波器(MDO3014，Tektronix)实时测量换能器两端的电压和电流信号，采样频率为500 kHz。
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| 图 4 振动实验装置 |
3.2 机电转换系数
通过测量得到的输出振幅与激励电压的关系曲线，基于表 3所示的换能器等效参数，利用式(4) 得到不同频率和电压幅值激励下的机电转换系数，并绘制不同激励频率下的机电转换系数与电压幅值的关系曲线，如图 5所示。图 5表明：在相同频率、不同幅值的电压信号激励下，机电转换系数几乎不变，这说明在一定驱动电压范围内，超磁致伸缩材料工作于磁致伸缩曲线的近线性段，换能器的机电转换系数与电压幅值无关。激励频率对机电转换系数的影响很大，因此为分析机电转换系数随频率的变化规律，采用式(11) 计算换能器在相同频率、不同幅值正弦电压激励下的平均机电转换系数。
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| 图 5 不同激励频率下机电转换系数与电压幅值的关系 |
| $ T_{{\rm{me}}}^{'} = \sum\limits_{i = 1}^{n = 10} {{T_{{\rm{me}}i}}} . $ | (11) |
其中：Tme′为机电转换系数的平均值，Tmei为激励电压幅值Ui下的机电转换系数。
换能器的输出振幅模型可修正为
| $ A = \frac{{T_{{\rm{me}}}^{'}{I_{\rm{m}}}}}{{\omega \sqrt {2626 + {{\left( {0.24\omega-\frac{{3.633 \times {{10}^9}}}{\omega }} \right)}^2}} }}. $ | (12) |
图 6为换能器平均机电转换系数与激励频率的关系曲线。随着激励频率的增大，平均机电转换系数先减小后增大，在谐振频率点取得极小值。谐振状态下换能器的实际机电转换系数与阻抗分析结果较为接近。其原因为：1) 在谐振状态下，换能器的涡流损耗达到最大[10]，降低了机电能量转换效率。并且，在谐振状态下，换能器的机械阻抗最小，较小的驱动力即可使换能器输出较大的振幅，因此机电转换系数在谐振频率点取得极小值。2) 换能器的机械品质因数很大，阻抗圆一周内的频率变化很小，在阻抗圆方程推导过程中假设谐振频率点的电阻抗为阻抗圆上任意点的电阻抗，并采用谐振频率点的阻抗圆直径计算机电转换系数，因此基于阻抗圆曲线得到的机电转换系数只与换能器谐振状态下的真实值相近，而无法准确表征换能器在非谐振状态下的振动性能。
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| 图 6 平均机电转换系数与激励频率的关系 |
4 振幅模型对比分析
基于式(10) 所示的换能器输出振幅模型，得到谐振状态下换能器输出振幅与激励电流幅值的关系曲线，如图 7所示。实验结果与振幅模型预测结果基本一致，验证了换能器振幅模型的正确性。当激励频率等于换能器谐振频率时，由阻抗分析确定的振幅模型能较准确地预测换能器的输出振幅。由图 6可知：在非谐振状态下，换能器的机电转换系数变化很大，若仍以阻抗分析得到的机电转换系数建立换能器的输出振幅模型，则无法准确得到换能器的实际振幅。
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| 图 7 激励频率为fs =19 591 Hz下输出振幅理论曲线与实验结果对比 |
为验证机电转换系数与激励频率之间关系的正确性，提高输出振幅模型的准确性，在图 6中的验证频率点通过插值法得到换能器在多种频率条件下的机电转换系数，如表 4所示。分别以阻抗分析和插值得到的机电转换系数作为输入，由式(5) 得到换能器的输出振幅模型，建立振幅与激励电流幅值的关系曲线，并通过实验得到相应频率下换能器实际输出振幅与电流幅值的关系曲线，如图 8所示。
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| 图 8 不同激励频率下的振幅-电流关系曲线 |
图 8为4种频率激励下换能器的输出振幅与激励电流幅值的关系曲线。图 8结果表明：1) 换能器的实际输出振幅与激励电流幅值成线性关系，表明了基于等效电路建立的线性振幅模型是合理的。2) 在非谐振状态下，基于阻抗分析结果得到的振幅-电流曲线与真实值相差较大，其原因为：不同激励频率下，换能器的机电转换系数变化较大，基于阻抗圆曲线得到的机电转换系数与换能器非谐振状态下的真实值不一致。3) 以插值得到的机电转换系数作为输入，可得到较准确的输出振幅模型，可以预测任意频率激励下换能器输出振幅随激励电流幅值的变化。
5 结论本文提出了换能器的输出振幅模型，并通过阻抗分析辨识出模型中的未知参数。通过实验得到不同电压幅值和频率激励下换能器的机电转换系数，基于机电转换系数与频率的关系曲线，建立了较准确的输出振幅模型，并得到了如下结论：
1) 为提高振幅模型在不同频率和电压条件下的精度，需考虑机电转换系数在不同激励频率条件下的非定常特性。
2) 随着驱动频率的增大，换能器的平均机电转换系数先减小后增大，在谐振频率点取得极小值。阻抗分析可得到换能器在谐振状态下的机电转换系数，因此基于阻抗分析建立的输出振幅模型与换能器谐振状态下的真实值较为接近，而与非谐振条件下真实值相差很大。
3) 基于机电转换系数与频率关系曲线，采用插值法得到不同频率激励下换能器的机电转换系数，提高了振幅模型在不同频率条件下的适用性。模型预测结果与实验结果较为接近，验证了机电转换系数与频率之间关系的正确性及由此建立的振幅模型的准确性。
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