非凝性气体的存在对蒸汽冷凝具有重要影响，会增加传热热阻，从而减小冷凝传热系数。Othmer等最早研究了蒸汽在等温冷凝表面的冷凝^[1]，通过实验研究了温度、空气的质量分数等对蒸汽冷凝速率的影响，发现当引入0.5%质量分数的空气时，蒸汽冷凝传热大幅减小，传热系数减小了一半。Al-Diwany等^[2]和Rose^[3]测量了竖直平面上蒸汽液膜冷凝的传热，非凝性气体选用空气、氮气和氦气等，实验显示非凝性气体种类的不同对冷凝传热系数的影响不同。Minkowycz等^[4]和Huhtiniemi等^[5]研究了蒸汽在水平表面的冷凝，实验表明当非凝性气体的质量分数从24%到87%变化时，冷凝传热系数从0.6 kW/(m²·K)降到0.1 kW/(m²·K)；当非凝性气体质量分数为0时，冷凝传热系数达到最大值，为6.2 kW/(m²·K)。理论方面，Oh等^[6]分析了存在非凝性气体时竖直管道内的蒸汽冷凝，提出了相应的计算模型。Dehbi^[7]为研究入口非凝性气体质量分数、总压和气体入口速度等因素对蒸汽冷凝的影响，提出了传热传质类比模型。Lee等^[8]分析了冷凝实验中氮气和蒸汽与液膜界面处的气体界面应力的影响。Maheshwari等^[9]则在建立模型时考虑了冷凝液膜的粗糙度和热阻等因素。

基于以上研究，本文分析了竖直管道内的强迫循环下蒸汽冷凝情况，建立了传热传质类比模型。本文模型计算主要通过Fortran语言实现。该模型在Nusselt理论的基础上，考虑了气液界面处的气体界面应力的影响，主要包括液膜冷凝模型和界面传热传质模型，并考虑抽吸和液膜粗糙度的影响。通过模型计算，本文着重研究了非凝性气体的种类、质量分数和入口温度等因素的影响，并将计算结果与实验数据进行了对比。

1 液膜冷凝模型

当蒸汽和非凝性气体组成的混合气体进入竖直管道内时，管道壁面温度低于蒸汽的饱和温度，在内壁表面蒸汽发生冷凝，进而释放的热量通过壁面传递出去。随着蒸汽不断冷凝，冷凝液体在内壁面聚集形成一层环状液膜，且液膜在自身重力、壁面摩擦力和混合气体的界面应力作用下以一定的速度竖直向下流动，而液膜的厚度沿着管道轴向向下逐渐增加。在管道的径向方向上，由于蒸汽在壁面冷凝导致蒸汽不断向壁面附近迁移，壁面附近由于蒸汽冷凝而致使其质量分数减小而非凝性气体质量分数逐渐增加，非凝性气体不断从壁面处向管道中心处迁移。蒸汽和非凝性气体的动态变化过程最终的结果是壁面形成冷凝液膜，液膜外则形成一层非凝性气体膜。

显然，竖直管道内蒸汽冷凝过程涉及了传热和传质过程。基于Nusselt理论，得到如下假设：

1) 冷凝液膜在径向上的速度可忽略不计；

2) 冷凝液膜的物性在径向上保持一致；

3) 径向上总压强保持一致，y=0时壁面上的液膜沿轴向速度可忽略不计；

4) 蒸汽和非凝性气体均不可压缩。

图 1中：x和y分别表示管道轴向和径向，u为液膜沿轴向速度，τ_f为液体对控制体的摩擦应力，τ_g为蒸汽/非凝性气体边界层对控制体的界面应力，g表示重力加速度，δ为液膜厚度。

在液膜内取一控制体，根据其受力平衡可知，

$ {\tau _{\text{g}}} + \left( {{\rho _{\text{f}}}-{\rho _{\text{s}}}} \right)g\Delta y-{\tau _{\text{f}}} = 0. $

(1)

其中：ρ_f为液体密度，ρ_s为蒸汽密度。在计算冷凝液膜厚度时，液膜流动假设均为层流，

$ \Delta y = \delta-y. $

(2)

根据Newton内摩擦定律，液体对控制体的摩擦应力τ_f为

$ {\tau _{\text{f}}} = {\mu _{\text{f}}}\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}y}}. $

(3)

其中：u为液膜内径向上的速度，μ_f为液膜动力黏度。联立方程(1)—(3)，可得液膜内沿径向分布的速度u为

$ u\left( y \right) = \frac{{\left( {{\rho _{\text{f}}}-{\rho _{\text{s}}}} \right)g}}{{{\mu _{\text{f}}}}}\left( {\delta y-\frac{1}{2}{y^2}} \right) + \frac{{{\tau _{\text{g}}}}}{{{\mu _{\text{f}}}}}y. $

(4)

气液界面处应力项τ_g为

$ {\tau _{\text{g}}} = f\frac{{{\rho _{\text{g}}}}}{2}{v^2}. $

(5)

其中：v为蒸汽与非凝性气体混合气体在管道中心轴向上的速度，ρ_g为蒸汽与非凝性气体混合气体密度，f为摩擦系数。冷凝液的质量流量Γ_c为

$ {\mathit{\Gamma} _{\text{c}}}\left( x \right) = \int_0^{\delta \left( x \right)} {2{\pi }} u\left( y \right){\rho _{\text{f}}}\left( {R-y} \right){\text{dy}}{\text{.}} $

(6)

其中，R为管道半径。将方程(4) 和(5) 带入方程(6) 中，可以得到冷凝液的质量流量为

$ \begin{gathered} {\mathit{\Gamma} _{\text{c}}} = \frac{{2{\pi }g{\rho _{\text{f}}}\left( {{\rho _{\text{f}}}-{\rho _{\text{s}}}} \right)}}{{{\mu _{\text{f}}}}}\left( {\frac{{R{\delta ^3}}}{3}-\frac{{5{\delta ^4}}}{{24}}} \right) + \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{{2{\pi }{\rho _{\text{f}}}{\tau _{\text{g}}}}}{{{\mu _{\text{f}}}}}\left( {\frac{{R{\delta ^2}}}{2}-\frac{{{\delta ^3}}}{3}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

(7)

2 气液界面传热传质模型 2.1 界面传热模型

冷凝液和混合气体界面处的传热主要包括蒸汽冷凝释放的潜热和对流传递的混合气体显热。根据界面处的热量守恒可知，总传热量Q为

$ Q = {\mathit{\Gamma} _{\text{c}}} \cdot {H_{{\text{fg}}}} + {h_{\text{g}}}\left( {{T_{\text{b}}}-{T_{\text{i}}}} \right)A. $

(8)

其中：H_fg为基于界面处温度T_i对应的蒸汽汽化潜热，而界面温度T_i未知，需要在模型推导过程中求解；h_g为混合气体对流传热系数; T_b为管道中心处混合气体的温度; A为气液界面接触面积。由于液膜厚度要远远小于管道直径，因而在计算中换热面积A直接取管道内表面积。

液膜的径向运动忽略不计，因而由于该作用导致的热量损失被忽略。蒸汽和非凝性气体混合气体与冷凝液膜间的热量交换可以写成

$ Q = {h_{\text{f}}}\left( {{T_{\text{i}}}-{T_{\text{w}}}} \right)A. $

(9)

其中：h_f为液相对流传热系数，T_w为冷凝壁面温度。联立方程(8) 和(9) 可得

$ {h_{\text{f}}}\left( {{T_{\text{i}}}-{T_{\text{w}}}} \right) = \frac{{{\mathit{\Gamma} _{\text{c}}} \cdot {H_{{\text{fg}}}}}}{A} + {h_{\text{g}}}\left( {{T_{\text{b}}}-{T_{\text{i}}}} \right). $

(10)

此时，定义h_c为冷凝传热系数，用来衡量在非凝性气体存在的条件下蒸汽冷凝导致的热量传递的大小，即

$ {h_{\text{c}}} = \frac{{{\mathit{\Gamma} _{\text{c}}} \cdot {H_{{\text{fg}}}}}}{{\left( {{T_{\text{i}}}-{T_{\text{w}}}} \right)A}}. $

(11)

气液界面处到壁面总的传热系数h_tot为

$ {h_{{\text{tot}}}} = \frac{Q}{{A\left( {{T_{\text{b}}}-{T_{\text{w}}}} \right)}}. $

(12)

联立方程(10)—(12) 可得

$ \frac{1}{{{h_{{\text{tot}}}}}} = \frac{1}{{{h_{\text{g}}} + {h_{\text{c}}}}} + \frac{1}{{{h_{\text{f}}}}}. $

(13)

显然，在含有非凝性气体的竖直管道内，蒸汽冷凝传热过程中总传热热阻包括了冷凝传热热阻、混合气体界面传热热阻和液膜传热热阻3部分。根据Fourier导热定律，液膜对流传热系数h_f为

$ {h_{\text{f}}} = \frac{{{k_1}}}{\delta }. $

(14)

其中，k₁为液膜导热系数。考虑到液膜和混合气体界面处的波动效应对传热的增强效应，需对式(14) 进行修正，修正因子β采用MacAdams^[10]提出的计算方法，通常取1.28。根据Nusselt理论，混合气体的对流换热系数h_g定义为

$ {h_{\text{g}}} = Nu\frac{{{k_{\text{g}}}}}{d}. $

(15)

其中，k_g为混合气体导热系数。对流换热过程中的Nusselt数Nu由Reynolds数Re决定，d为管道的水力学当量直径。因而，当Re < 2 300时，冷凝液体为层流流动，Nusselt数Nu=3.658；根据传热传质类比分析，此时Sherwood数Sh=3.658。

当2 300 < Re < 5×10⁶，0.5 < Pr < 10⁶时，冷凝液体为紊流流动^[10]，此时：

$ Nu = \frac{{\left( {f/2} \right)\left( {\operatorname{\mathit{Re}}-1000} \right)\mathit{\Pr} }}{{1 + 12.7{{\left( {f/2} \right)}^{0.5}}\left( {{{\mathit{\Pr} }^{2/3}}-1} \right)}}, $

(16)

$ Sh = \frac{{\left( {f/2} \right)\left( {Re - 1000} \right)Sc}}{{1 + 12.7{{\left( {f/2} \right)}^{0.5}}\left( {S{c^{2/3}} - 1} \right)}}. $

(17)

其中：f为摩擦系数，Sc为Schmidt数，Pr为Prandtl数。此时，在计算气液界面处的传热时必须考虑液膜粗糙度的影响。实验证明，液膜的粗糙度能够强化界面传热，引入修正因子a和b^[11]，即：

$ N{u_{\text{r}}} = a \cdot Nu, $

(18)

$ a = {\left( {\frac{{{f_{\text{r}}}}}{f}} \right)^{0.68{{\mathit{\Pr }}^{0.215}}}}; $

(19)

$ S{h_{\text{r}}} = b \cdot Sh, $

(20)

$ b = {\left( {\frac{{{f_{\text{r}}}}}{f}} \right)^{0.68S{c^{0.215}}}}. $

(21)

其中，下标r表示考虑液膜粗糙度，例如f_r为考虑液膜粗糙度后的摩擦系数，f则为未考虑液膜粗糙度的摩擦系数。

2.2 界面传质模型

在冷凝过程中，蒸汽的冷凝速率主要依赖于蒸汽在冷凝壁面扩散的速度。然而，非凝性气体的存在使蒸汽的扩散变得复杂。在传质过程中，不仅涉及了蒸汽的扩散，还包括了非凝性气体的扩散。因此，气液界面处的蒸汽和非凝性气体的扩散方程^[12]为：

$ {\dot m''_{\text{c}}} =-\rho D\frac{{\partial {w_{\text{s}}}}}{{\partial y}} + \rho v{w_{\text{s}}}, $

(22)

$ {\dot m''_{{\text{nc}}}} =-\rho D\frac{{\partial {w_{{\text{nc}}}}}}{{\partial y}} + \rho v{w_{{\text{nc}}}}. $

(23)

其中：${\dot m''_{\text{c}}} $为蒸汽冷凝流量，${\dot m''_{\text{nc}}} $为非凝性气体扩散流量，ρ为蒸汽与非凝性气体混合气体密度，v为气体径向速度，w_s和w_nc分别为蒸汽和非凝性气体的质量分数。D为气体扩散系数^[13]，

$ D = c \cdot \frac{{{{\left( {M_{\text{s}}^{-1} + M_{{\text{nc}}}^{-1}} \right)}^{0.5}}{T^{1.75}}}}{{p{{\left( {\varepsilon _{\text{s}}^{1/3} + \varepsilon _{{\text{nc}}}^{1/3}} \right)}^2}}}. $

(24)

其中：M_s和M_nc分别为蒸汽与非凝性气体的摩尔质量；T为温度；p为总压强；ε_s和ε_nc分别为蒸汽和非凝性气体的原子扩散体积；c为常数，且c= 0.010 132 5。

不考虑非凝性气体在冷凝液中的溶解，非凝性气体扩散不能直接通过液膜，因此非凝性气体的扩散量为零，即

$ \rho v{w_{{\text{nc}}}}-\rho D\frac{{\partial {w_{{\text{nc}}}}}}{{\partial y}} = 0. $

(25)

根据界面处的质量守恒，界面处的传质过程方程为

$ \dot m'' = {\dot m''_{\text{c}}} + {\dot m''_{{\text{nc}}}} = \rho v. $

(26)

联立方程(22)、(23) 和(25)，可以得到蒸汽的冷凝速率为

$ {\dot m''_{\text{c}}} = \frac{1}{{\left( {{w_{\text{s}}}-1} \right)}}\rho D\frac{{\partial {w_{\text{s}}}}}{{\partial y}} = {h_m}\frac{{{w_{{\text{s, b}}}}-{w_{{\text{s, w}}}}}}{{1-{w_{{\text{s, w}}}}}}. $

(27)

其中：h_m为蒸汽传质系数，w_{s, b}和w_{s, w}分别为管道中心和冷凝壁面附近的蒸汽质量分数。Sherwood数Sh的计算公式为

$ Sh = \frac{{{h_m}d}}{D}. $

(28)

其中，d为管道直径。将方程(27) 带入方程(28) 中，得到

$ Sh = \frac{{{{\dot m''}_{\text{c}}}d}}{D} \cdot \frac{{1-{w_{{\text{s, w}}}}}}{{{w_{{\text{s, b}}}}-{w_{{\text{s, w}}}}}}. $

(29)

此时，当冷凝作用较大时，冷凝液膜附近将会发生抽吸现象。抽吸作用对界面处的传热传质过程具有强化作用。为考虑抽吸作用对传热传质的强化作用，引入抽吸因子B^[14]，即：

$ B = \frac{{{{\dot m''}_{\text{c}}}}}{{{G_\infty }S{t_B}}}, $

(30)

$ \frac{{S{t_B}}}{{St}} = \frac{{\ln \left( {1 + B} \right)}}{B}. $

(31)

其中：G_∞为管道中心蒸汽的质量流量，St为不考虑抽吸作用时的Stanton数，St为考虑抽吸作用时的Stanton数。

$ St = \frac{{Nu}}{{\operatorname{\mathit{Re}} \cdot \mathit{Pr} }}. $

(32)

2.3 混合气体物性

非凝性气体在蒸汽混合气体中的质量分数为计算模型中的重要参数。根据Dalton理想气体分压理论，非凝性气体的质量分数为

$ {w_{{\text{nc}}}} = \frac{{{p_{{\text{tot}}}}-{p_{\text{s}}}}}{{{p_{{\text{tot}}}}-{p_{\text{s}}}\left( {1-\frac{{{M_{\text{s}}}}}{{{M_{{\text{nc}}}}}}} \right)}}. $

(33)

其中：p_tot为系统总压强，p_s为饱和蒸汽分压，M为气体分子摩尔质量。下标nc和s分别表示非凝性气体和蒸汽。

混合气体的其他物性参数，动力黏度μ、密度ρ、定压比热容C_p和导热系数k等计算公式分别为：

$ \rho = {\rho _{{\text{nc}}}} + {\rho _{\text{s}}}, $

(34)

$ {C_p} = \left( {1-{w_{{\text{nc}}}}} \right){C_{p, {\text{s}}}} + {w_{{\text{nc}}}}{C_{p, {\text{nc}}}}, $

(35)

$ \mu = \frac{{{x_{{\text{nc}}}}{\mu _{{\text{nc}}}}}}{{{x_{{\text{nc}}}} + {x_{\text{s}}}{\mathit{\Phi} _1}}} + \frac{{{x_{\text{s}}}{\mu _{\text{s}}}}}{{{x_{\text{s}}} + {x_{{\text{nc}}}}{\mathit{\Phi} _2}}}, $

(36)

$ k = \frac{{{x_{{\text{nc}}}}{k_{{\text{nc}}}}}}{{{x_{{\text{nc}}}} + {x_{\text{s}}}{\mathit{\Phi} _1}}} + \frac{{{x_{\text{s}}}{k_{\text{s}}}}}{{{x_{\text{s}}} + {x_{{\text{nc}}}}{\mathit{\Phi} _2}}}. $

(37)

其中：x_nc和x_s分别为非凝性气体和蒸汽的摩尔体积分数，Φ₁和Φ₂分别是与非凝性气体和蒸汽的摩尔质量、动力黏度相关的参数。

$ {\mathit{\Phi} _1} = \frac{{{{\left( {1 + {{\left( {\frac{{{\mu _{{\text{nc}}}}}}{{{\mu _{\text{s}}}}}} \right)}^{0.5}}{{\left( {\frac{{{M_{\text{s}}}}}{{{M_{{\text{nc}}}}}}} \right)}^{0.25}}} \right)}^2}}}{{2\sqrt 2 {{\left( {1 + \frac{{{M_{{\text{nc}}}}}}{{{M_{\text{s}}}}}} \right)}^{0.5}}}}, $

(38)

$ {\mathit{\Phi} _2} = {\mathit{\Phi} _1}\left( {\frac{{{\mu _{\text{s}}}}}{{{\mu _{{\text{nc}}}}}}} \right)\left( {\frac{{{M_{{\text{nc}}}}}}{{{M_{\text{s}}}}}} \right). $

(39)

3 计算及结果分析 3.1 实验数据来源及计算参数设定

本文采用美国麻省理工学院(MIT)的竖直管道内强迫循环条件下的蒸汽冷凝实验数据^[11]来验证模型。该实验装置主要包括蒸汽和非凝性气体回路、冷凝实验段和冷凝回路。冷凝实验段为气体发生回路的主要组成部分，包括竖直不锈钢内管和外套管，冷凝过程主要发生在内套管的内表面。冷凝管的有效长度为2.54 m，外套管内径为50.8 mm，内套管内径为46 mm。

实验过程中，蒸汽和非凝性气体的混合气体以一定的温度和速度进入竖直内套管，向下流动，冷凝水自下而上在内套管外流动，将热量从内套管带走，进而蒸汽在内套管内表面发生冷凝。该实验主要选用空气和氮气作为非凝性气体，具体实验参数如表 1所示。

3.2 计算数据对比与讨论

图 2给出了当非凝性气体为空气时，不同入口空气质量分数和入口温度下沿管道轴向的传热系数的计算结果。入口温度从100 ℃至140 ℃变化，空气质量分数在8.73%至24.25%变化。可以看到，模型计算结果与实验数据符合较好。同时可知，沿管道轴向方向上，冷凝传热系数逐渐减小，在1.0 m附近位置处冷凝传热系数减至最小(约为0.02 kW/(m²·K))，此后基本保持不变。此时，可认为是由于蒸汽完全冷凝，导致管道中只剩下非凝性气体，而非凝性气体引起的对流换热很少，基本可以忽略。

从图 2中可知，非凝性气体的质量分数是影响冷凝传热的重要因素。当空气的入口质量分数从8.73%变化至18.53%时，管道内各个位置的冷凝传热系数均逐渐减小。以入口处为例，冷凝传热系数从4.8 kW/(m²·K)减小至2.5 kW/(m²·K)。蒸汽在壁面冷凝导致非凝性气体在冷凝液膜附近聚集，逐渐形成一层非凝性气体膜，阻碍蒸汽到达冷壁面，形成较大的传热热阻。因而，当空气质量分数增加时，管道各处的传热下降，传热系数减小。同时可以看出，沿着管道轴向，冷凝传热系数逐渐下降。这是因为在入口处蒸汽和非凝性气体温度最高，与冷却回路的传热温差最大，且此时蒸汽的质量分数最大，传热量和传热系数最大；而随着混合气体的继续前进，温度逐渐降低，蒸汽逐渐冷凝为液体，导致蒸汽质量分数逐渐下降，空气质量分数逐渐增加，空气对冷凝传热的热阻逐渐增加，传热量和传热系数逐渐减小。

针对实验工况，本文还采用Uchida模型^[15]和Kataoka模型^[16]分别进行了计算。以氦气为例，针对不同的入口温度(100 ℃，120 ℃和140 ℃)的计算结果如图 3所示。Uchida模型和Kataoka模型计算结果相对于MIT实验数据在100 ℃和120 ℃时计算误差较大，而入口温度为140 ℃时，计算误差相对减小，且计算过程中Kataoka模型的计算值总是大于Uchida模型和本文模型。总体而言，本文模型的计算精度较好，计算结果与实验数据吻合较好。本文模型计算结果中仍存在误差较大点，特别是在管道入口处的冷凝传热系数误差相对较大。如图 3c所示。对于管道入口位置到1.1 m位置的冷凝传热系数，Uchida模型的计算值与实验值符合得更好，精度要优于本文模型和Kataoka模型。

模型计算结果表明，非凝性气体的种类不同时，蒸汽冷凝传热系数也会不同。图 4给出了在入口温度为100 ℃时，非凝性气体分别为空气、氮气和氩气时冷凝传热系数的变化曲线。在相同的入口质量分数等条件下，冷凝传热系数变化为h_argon>h_air>h_helium，造成这样的原因主要是由于各种气体的相对分子质量不同导致其分布、传热物性和传质物性等均有较大差异。

图 2所示的计算值与实验数据的对比表明，本文模型的计算精度整体而言较好，能够较好地计算非凝性气体存在时的竖直管道内蒸汽冷凝传热系数。非凝性气体对竖直管道内蒸汽冷凝过程具有重要影响，入口温度、非凝性气体的质量分数和种类是影响冷凝传热的重要因素。本文模型的计算结果能够较好地预测不同条件下的蒸汽冷凝传热。

4 结论

本文基于Nusselt理论建立了传热传质类比模型，研究了竖直管道内强迫循环下非凝性气体对蒸汽冷凝的影响。通过计算结果与实验数据的对比，模型得到了验证。非凝性气体的种类、质量分数和入口温度等均是影响蒸汽冷凝的重要因素。非凝性气体为空气时，当空气入口质量分数由8.73%增至18.53%时，入口处冷凝传热系数由4.8 kW/(m²·K)减至2.5 kW/(m²·K)，计算误差均较小。最大误差点出现在空气质量分数为18.11%、入口温度为140 ℃条件下，在轴向1.0 m位置处，误差约为22.5%。非凝性气体为氦气时，入口温度由100 ℃变化至140 ℃，冷凝传热系数沿管道轴向逐渐减小，本文模型计算结果与文^[11]的实验结果符合较好，且与同等条件下的Uchida模型和Kataoka模型计算结果相比较表明，本文模型计算精度较高。