飞轮是卫星、飞船和空间站等航天器进行高精度姿态调整或能量储存最常见的惯性执行机构之一。传统惯性执行机构的转子采用机械轴承作为支承部件，由于存在接触摩擦和不平衡振动，同时轴承的润滑还会带来黏滞力矩、力矩扰动和静摩擦等不利因素^[1]，直接影响机构的运行精度、稳定性和运行寿命。而采用磁轴承支承，不仅无接触摩擦，无需润滑，还可通过主动振动控制有效抑制转子不平衡振动，与机械轴承相比输出力矩精度可提高1~2个数量级^[2]。

高速磁悬浮飞轮的同频周期振动主要来自转子质量不平衡和位移传感器测量基准面的形位误差。如何对磁悬浮飞轮系统进行主动振动控制，抑制相关同频周期扰动，是磁悬浮飞轮应用于航天器高精度姿态调整控制的关键^[3]。针对系统同频周期振动问题，主要有2种解决方法^[4]：一种称为力自由控制(force free control)，通过产生一个和转子位移振动信号同相位、同幅值的补偿信号，消除转子对同频振动的响应；另一种采用自适应前馈补偿的方法，通过对同频振动量的估计使得设定的目标函数收敛，提高转子的运行精度。由于在磁悬浮飞轮系统中，希望尽量减小转子传递到基座上的振动，同时避免出现过大的控制电流引起功耗的增加和功放的饱和，通常采用力自由控制方法。

在力自由控制方法中，Haberman等^[5]通过在控制器反馈回路中添加陷波器，滤除控制信号中的同频成分，消除了磁轴承同频控制电流；Herzog等^[6]通过开环控制的方法对磁轴承同频电流进行控制，实现了大转速范围的转子力自由控制；Shi等^[7]应用LMS(least mean square)算法将磁轴承不平衡位移和不平衡控制电流滤除，实现了自适应不平衡控制；黄晓蔚等^[8]通过在功放信号输入端加入适当的电压矢量，抵消了转子的不平衡效应，从而使得转子实现自动平衡。有研究将不平衡响应引入控制模型，设计增益调度H_∞控制器，在保证系统稳定性的前提下实现了不平衡同步滤波^[9-12]。以上对磁轴承力自由控制的研究仅局限于应用到转子的径向端，并没有考虑到当转子的轴向受同频干扰力影响时，能否将力自由控制拓展到对转子轴向端的控制。

本文详细分析了位移传感器的轴向位移测量基准面与飞轮转子旋转轴线之间可能存在的形位误差，为更有效地消除转子轴向的同频振动力并抑制基座振动，在磁轴承传统仅有径向力自由控制方法的基础上，提出了基于轴向力自由的不平衡控制方法，并通过实验验证了其有效性。

1 磁悬浮飞轮结构与磁轴承工作原理

磁悬浮飞轮系统结构如图 1所示，主要由以下几部分组成。

1) 转子组件。主要包括飞轮轮体、驱动电机转子组件和磁轴承转子。

2) 壳体组件。由密封罩和基座组成，具有安全保护、散热和密封等作用。

3) 磁轴承系统。包括径向和轴向磁轴承定子组件，对转子实现五自由度的稳定悬浮控制，控制系统由位移传感器、控制器和功率放大器等组成。

4) 驱动电机系统。电机采用六对极、三相无刷无铁芯稀土永磁直流电机，转子磁轭在电机定子外侧，外转子式结构。

5) 其他附加结构，例如锁紧机构、框架及其伺服机构等。

主动磁轴承的电磁力可表示为

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f_{\rm{x}}} = {f_ + }-{f_-} = \\ \frac{1}{4}{\mu _0}{n^2}{A_{\rm{a}}}\left( {\frac{{{{\left( {{i_0} + {i_{\rm{x}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{s_0}-x} \right)}^2}}} - \frac{{{{\left( {{i_0} - {i_{\rm{x}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{s_0} + x} \right)}^2}}}} \right)\cos \alpha . \end{array} $

(1)

其中：i₀为偏置电流，s₀为单边气隙长度，x为转子位移偏移量，α为电磁铁与x轴之间的夹角，μ₀为真空磁导率，n为线圈匝数，A_a为磁轴承磁极面积。

因为x≪s₀，经过线性化，可以得到关系式

$ {f_{\rm{x}}} = \frac{{4k{i_0}}}{{s_0^2}}\left( {\cos \alpha } \right){i_{\rm{x}}} + \frac{{4ki_0^2}}{{s_0^3}}\left( {\cos \alpha } \right)x = {k_{\rm{i}}}{i_{\rm{x}}}-{k_{\rm{s}}}x. $

(2)

其中：k_i和k_s分别为力/电流系数、力/位移系数。

2 磁轴承力自由控制原理

力自由控制的基本思想是通过抵消或滤波的方法，减小或消除传感器检测到的位移信号中的不平衡振动分量，从而控制器不产生相应的控制信号，最终使得转子绕其惯性主轴旋转，基座振动将大大减弱。力自由不平衡控制，有利于减小轴承的同频反作用力、系统的控制能量并减轻控制环节的负担。

设转子惯性主轴在磁轴承A、B处的质心位移为q_Ib=[x_A x_B y_A y_B]^T，转子几何轴在磁轴承A、B处的几何中心位移为q_Gb=[X_A X_B Y_A Y_B]^T，不平衡量对转子在轴承处位移量的干扰为Θ_b=[Θ_AX Θ_BX Θ_AY Θ_BY]^T，则有

$ {\pmb{q}_{{\rm{Gb}}}} = {\pmb{q}_{{\rm{Ib}}}} + {\mathit{\pmb{\Theta}}}_{\rm{b}}. $

(3)

由式(2) 和(3) 可知，轴承力中的位移刚度力与电流刚度力均含有不平衡振动量，且电流刚度力中的不平衡振动量是由于位移的不平衡振动量引入的。若将控制电流中的转速同频量进行滤波处理，则控制器对同步振动信号不响应，将实现转子的力自由控制，使得系统的基座振动大大减弱。

在自适应通用陷波器的基础上实现磁轴承力自由不平衡控制^[4]的基本原理如图 2所示，图中以X_A通道为例，N_f为凹陷反馈环节，中心频率随着转速变化而变化，反馈系数ε决定陷波器N(s)的收敛速度和中心陷波带宽，T为陷波器参数矩阵。

设ω(t)为凹陷滤波器N_f的输入，c(t)为凹陷滤波器N_f的输出，则有

$ c\left( t \right) = \left[{\sin {\omega _{\rm{R}}}t\;\;\;\cos {\omega _{\rm{R}}}t} \right]\pmb{T}\left[\begin{array}{l} \int {\sin {\omega _{\rm{R}}}t\omega \left( t \right){\rm{d}}t} \\ \int {\cos {\omega _{\rm{R}}}t\omega \left( t \right){\rm{d}}t} \end{array} \right]. $

(4)

其中T为由实系数元素T_R和T_J组成的矩阵，具体表达形式为

$ \pmb{T} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{\rm{R}}}}&{-{T_{\rm{J}}}}\\ {{T_{\rm{J}}}}&{{T_{\rm{R}}}} \end{array}} \right]. $

(5)

其中c和ω满足以下微分方程：

$ \ddot c\left( t \right) + {\omega _{\rm{R}}}^2c\left( t \right) = {T_{\rm{R}}}\dot \omega \left( t \right)-{\omega _{\rm{R}}}{T_{\rm{J}}}\omega \left( t \right), $

(6)

则凹陷反馈环节的传递函数为

$ {N_{\rm{f}}}\left( s \right) = \frac{{c\left( s \right)}}{{\omega \left( s \right)}} = \frac{{s{T_{\rm{R}}}-{\omega _{\rm{R}}}{T_{\rm{J}}}}}{{{s^2} + {\omega _{\rm{R}}}^2}}. $

(7)

N(s)的传递函数可以表示为

$ N\left( s \right) = \frac{{s + {\omega _{\rm{R}}}^2}}{{{s^2} + {\omega _{\rm{R}}}^2 + \varepsilon \left( {{T_{\rm{R}}}s-{\omega _{\rm{R}}}{T_{\rm{J}}}} \right)}}. $

(8)

令s=jω，考虑N(s)的频率特性，由式(8) 可知，当ε≠0时有

$ \left\{ \begin{array}{l} N\left( {j\omega } \right) = 0, \omega = {\omega _{\rm{R}}};\\ N\left( {j\omega } \right) \approx 0, \omega \in \left( {0, {\omega _{\rm{R}}}-\Delta \omega } \right) \cup \left( {{\omega _{\rm{R}}} + \Delta \omega, \infty } \right);\\ N\left( {j\omega } \right) = 1, \omega \in \left( {{\omega _{\rm{R}}}-\Delta \omega, {\omega _{\rm{R}}} + \Delta \omega } \right). \end{array} \right. $

(9)

当ε≠0时，N_f的输出将趋近于输出X_A中频率为ω_R的分量。N_f的输出c即为图 2中Θ_c，设X_A中频率为ω_R的分量是Θ_AX，当t→∞，N_f的输出Θ_c(t)→Θ_AX(t)。

凹陷反馈环节N_f的输出Θ_c(t)为

$ {\Theta _{\rm{c}}}\left( t \right){r_{{\rm{c1}}}}\cos {\omega _{\rm{R}}}t + {r_{{\rm{c2}}}}\sin {\omega _{\rm{R}}}t. $

(10)

由式(10) 可知，反馈环节收敛之后N_f积分器的输出值即为转子位移信号中同频量的正余弦分量的幅值，这就实现了对位移信号中不平衡量的辨识，只要整个闭环系统实现渐进稳定，N(s)的输出信号中将不会存在与转速同频信号的成分。

3 轴向传感器测量面形位误差分析

主动磁轴承利用主动电磁力使转子处于悬浮状态，都是利用位移传感器的测量信号实现反馈控制，因此传感器信号的质量直接影响磁轴承系统的性能。对于小探头传感器，可能存在的由几何误差引起的不需要的信号成分，需要通过附加控制算法对其进行补偿。虽然飞轮转子装配之前在动平衡机上进行了离线动平衡，但是受限于平衡精度，转子依然存在残余不平衡。转子不平衡和位移传感器测量面的形位误差可能会导致轴向位移传感器的测量信号中存在同频干扰量，在转子轴向产生较大的振动，影响系统的运行精度。

对于外转子式飞轮结构，其转子轴向位移信号不能直接测量获得，只能通过在转子两端各安装4个位移传感器探头，对差分结构的传感器进行信号解算得到。因飞轮转子表面由于机械加工不可避免的存在形位误差，轴向位移测量面与转子旋转轴之间垂直度不能完全得到保证，理想与实际的几何关系如图 3和4所示。

图 5和6为差动传感器和转子位移测量面的位置，设转子的径向位移为r，轴向位移为h，轴向位移传感器A和B布置为差分结构，转子轴向位移测量面与水平方向夹角分别为α₁和α₂，角度以水平方向为基准，逆时针为正，顺时针为负。根据转子轴向位移测量面形位误差结构的不同，不失其一般性，可以分为2种情况讨论。

1) 当α₁>0，α₂ < 0时。

轴向传感器A信号为z_A=hcosα₁-rsinα₁，轴向传感器B信号为

z_B=-hcosα₂-rsinα₂.

最终输出的轴向传感器信号为

$ z = \frac{{\pmb{h}\cos {\alpha _1}-\pmb{r}\sin {\alpha _1}-\left( {\pmb{h}\cos {\alpha _2}-\pmb{r}\sin {\alpha _2}} \right)}}{2}. $

(11)

由式(11) 可知，若|α₁|=|α₂|，则通过差分结构，轴向位移传感器消除了径向耦合干扰项，实测位移信号只包含轴向位移分量；若|α₁|≠|α₂|，则轴向传感器中除了轴向位移分量，还包含有径向耦合干扰量，转子的径向不平衡响应会影响转子轴向的控制。

2) 当α₁>0，α₂>0时。

轴向传感器A信号为z_A=hcosα₁-rsinα₁，轴向传感器B信号为z_B=-hcosα₂+rsinα₂。

最终得到的轴向传感器信号为

$ z = \frac{{\pmb{h}\cos {\alpha _1}-\pmb{r}\sin {\alpha _1}-\left( {\pmb{h}\cos {\alpha _2}\pmb{ + r}\sin {\alpha _2}} \right)}}{2}. $

(12)

由式(12) 可知，当转子轴向位移测量面因形位误差使得α₁>0且α₂>0，此时最终的轴向位移传感器信号总含有径向耦合干扰量，转子的径向不平衡响应会始终影响转子轴向的控制。

由于磁悬浮飞轮转子采用了较高的机械加工精度等级，实际系统中转子轴向位移测量面与水平面之间的夹角幅值已经在很小的范围内，通常情况下对于式(11) 和(12) 中的α₁和α₂，有|α₁| < 1°，|α₂| < 1°，但这样量级的微小形位误差依然会导致额外的转子轴向振动。转子不可避免的存在不平衡量，当转子径向使用力自由不平衡控制时，会使得转子绕惯性主轴旋转，产生相应的不平衡径向位移响应。轴向的位移传感器采用差分结构，其结构精度往往不能使得轴向和径向的位移信号的测量完全解耦，当轴向位移测量基准面与转子旋转轴线之间的垂直度精度在一定范围内时，最终测得的轴向位移信号由2部分组成，即轴向位移信号分量和耦合径向位移分量。受耦合径向不平衡位移响应的影响，转子轴向会出现振荡，它的振幅的大小由转子不平衡量和结构精度共同决定。

在转子的轴向同时加上不平衡控制，使得磁悬浮转子实现五自由度的力自由控制，不仅转子径向将绕惯性主轴旋转，磁轴承轴向控制器也不会对转速同频量响应，最终同频轴向力也不会传递到基座上，从而真正实现各个控制自由度上的“力自由”。

4 实验结果

为了检验磁轴承轴向力自由不平衡控制对基座振动的抑制效果，如图 7所示，在实验室研制的高速磁悬浮航天飞轮上进行相关实验，飞轮设计最高转速500 Hz，其主要结构参数如表 1所示。

为了验证本文提出的不平衡控制方法对基座振动的抑制效果，采用振动测试仪器测量磁悬浮高速航天飞轮基座的振动烈度，测试设备为振动分析仪VA-12(vibration analyzer VA-12)。根据采用的不平衡控制方法，分为以下3种不同的情况分别进行实验。

1) 在控制器中关闭不平衡控制，仅在普通PID控制下使转子处于稳定悬浮状态，测量飞轮转子升速过程中的基座振动。

2) 在控制器中只开启转子径向端的不平衡控制，使转子稳定悬浮，测量飞轮转子升速过程中基座振动。

3) 在控制器中同时开启转子径向端和轴向端的力自由控制，测量飞轮转子升速过程中的基座振动。

图 8为飞轮转速为30 Hz时，启动径向不平衡补偿控制前、后飞轮基座径向振动频谱图，由图可知，径向不平衡控制算法启动前基座的径向同频振动量较大，并且随着转速的上升振动不断增大，严重影响系统的运行精度，必须通过磁轴承系统对其进行抑制。开启径向不平衡控制后，几乎完全消除了基座的径向同频振动，振动抑制效果显著。

在转子的径向端启动力自由不平衡控制之后，继续提高转速，当转速达到50 Hz时，基座的轴向同频振动幅值会显著增大，在轴向出现较大的振荡，需要在轴向同时启动不平衡算法。图 9为飞轮转速为50 Hz时，启动轴向不平衡补偿控制前、后飞轮基座轴向振动频谱图，由图可知，轴向力自由控制对基座轴向同频振动的抑制效果明显，轴向同频振动幅值降低了约50%，在转子轴向实现了力自由控制状态。

综上所述，实验结果证明同时开启轴向和径向对基座轴承振动的同频分量抑制效果明显，大大提高了系统的平稳性，实现了“超静”运行。

5 结论

高速磁悬浮飞轮是一个典型的机电耦合系统，基座的同频振动幅值由转子自身的不平衡质量大小和位移传感器测量面的形位误差同时决定。转子轴向基准面与旋转轴线之间的垂直度精度在一定范围内时，由于磁轴承自带位移监测系统且支承特性主动可控，可以对形位误差导致的振动进行补偿，进一步抑制基座振动。通过实验比较了不开启平衡控制、仅开启径向不平衡控制和同时开启径向、轴向不平衡控制3种情况，验证了同时在转子各自由度开启力自由控制能更有效地减小基座振动。同时，也证明了在承担重力方向同样也能实现力自由控制，与磁轴承仅有径向力自由不平衡控制方法相比，拓宽了不平衡力自由控制方法的应用领域，取得了较好的振动控制效果。