基于次摆线轨迹的铣削层厚度模型
关立文 1 , 赵肖 2 , 王立平 1     
1. 清华大学 机械工程系, 北京 100084;
2. 电子科技大学 机械电子工程学院, 成都 611731
摘要:铣削层厚度模型很大程度上影响着铣削加工瞬时铣削力计算精度,在每齿进给量较小情况下能较好地反映铣削层厚度的瞬时变化,但在每齿进给量较大情况下铣削层厚度计算精度不足。该文分析铣削刃随刀具旋转和工件进给的运动规律,建立铣削刀具次摆线轨迹模型,给出铣削起始角和终止角,提出一种基于次摆线轨迹的铣削层厚度模型。通过与现有圆弧模型和等效均匀厚度模型对比,结果表明:该模型在不同每齿进给量下均能保证较高准确性。
关键词铣削层厚度模型    次摆线    刀具轨迹    
Milling-layer thickness model based on a trochoid trajectory
GUAN Liwen1, Zhao Xiao2, WANG Liping1     
1. Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2. School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China
Abstract: The milling-layer thickness model greatly affects the prediction accuracy of instantaneous milling forces. Current milling layer thickness models can accurately predict the instantaneous change in the milling layer thickness foe small feed rates per tooth, but are less accurate with large feed rates per tooth. The study analyzes the milling blade movement pattern as the tool rotates and the work-piece feeds in to the tool. The model predicts the trochoid trajectory and the milling start and end angles. The milling-layer thickness model is then based on the trochoid trajectory. Trochoid trajectory model is more accurate for both large and small feed rates per tooth than the circle model and the equivalent uniform thickness model.
Key words: milling-layer thickness model     trochoid     tool trajectory    

数控铣削加工过程是刀具旋转和平移运动的复合运动,每个刀齿对工件进行断续铣削,并产生变厚度切屑来实现工件上多余材料的去除[1]。瞬时未变形铣削层厚度模型是铣削力和加工表面质量准确预测的重要影响因素,对于提高数控铣削加工效率和加工稳定性,保证加工精度具有重要作用。

目前典型铣削层厚度模型有圆弧模型和等效均匀厚度模型。Martellott等[2-3]利用简化的圆弧线建立了铣削层厚度的圆弧模型。该模型考虑了刀具旋转运动,没有考虑刀具进给运动,适用于刀具每齿进给量很小且刀具直径较大的情况。在铣削宽度远大于铣削层厚度时,臼井英治[4]指出,在接近铣削加工端部以外的大部分区域属于平面塑性流动状态(二元铣削状态)。在刀具径向切深大于刀具半径情况下,Özel等[5]提出采用面积等效原理的均匀厚度模型,近似模拟铣削过程中径向铣削深度随转角变化的变厚度模型,建立刀具和工件间仅有平移运动的仿真模型。

针对现有铣削层厚度模型在每齿进给量较小情况下能较好地反映铣削层厚度瞬时变化,但在每齿进给量较大情况下,存在铣削层厚度计算精度不足等局限性,本文提出了基于次摆线轨迹的铣削加工铣削层厚度模型,在不同每齿进给量情况下都具有较高精度,对于铣削加工过程仿真具有重要作用。

1 铣削刀具次摆线轨迹

铣刀在铣削加工时,刀具绕其自身轴线旋转,同时做进给平移运动,可以看成铣刀以半径为ρ的基圆在一条水平基线上作纯滚动,其中基圆半径ρ

$ \rho = Z{f_{\rm{z}}}/2\pi = {v_{\rm{f}}}/\omega . $ (1)

其中:Z为铣刀齿数,fz为每齿进给量,vf为工件进给速度,ω为刀具绕自身轴线旋转角速度。

设铣刀半径为r,以进给方向为x轴,垂直于刀具轴线及进给方向且背向工件外表面为y轴,建立坐标系xOy,则铣刀铣削刃上一点(x, y)在铣削加工过程中的轨迹方程为

$ \left\{ \begin{gathered} x = \rho \theta + r\sin \left( {\theta + {\varphi _0}} \right), \hfill \\ y = r\cos \left( {\theta + {\varphi _0}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (2)

其中:θ为铣刀转角,φ0为初始相位角。

该点的运动轨迹(见图 1)为:

图 1 摆线、次摆线和内摆线轨迹的成形原理[6]

1) 当r=ρ时,轨迹为摆线(cycloid);

2) 当r < ρ时,轨迹为内摆线(curtate cycloid);

3) 当r>ρ时,轨迹为次摆线(trochoid)。

ρ=Zfz/2π < 1,铣刀半径r>ρ,因此,铣刀铣削刃上点实际运动轨迹是次摆线[7](见图 2)。

图 2 铣刀某一铣削刃刀尖点轨迹

2 铣削起始角和铣削终止角

相邻两铣削刃的轨迹形成铣削层,这决定铣削加工工件表面质量[8]。对于齿数为Z的铣刀,相邻刀齿间的齿间角φc为2π/Z,相邻铣削刃轨迹如图 3所示,其中实线表示前一铣削刃轨迹,虚线表示当前铣削刃轨迹,假设t为0时刻,前一铣削刃刚好切出工件,则后一铣削刃相位角落后前一铣削刃2π/Z

图 3 铣削加工相邻铣削刃轨迹

根据式(2)可以得到铣刀在时刻ti个(i=1, 2, …,Z)铣削刃的轨迹方程:

$ \left\{ \begin{gathered} x = r\sin \left\{ {\omega \left[{t-\left( {i-1} \right){\varphi _{\rm{c}}}/\omega } \right] + \left( {i - 1} \right){\varphi _{\rm{c}}} + {\varphi _0}} \right\} + \hfill \\ {v_{\rm{f}}}\left[{t-\left( {i-1} \right){\varphi _{\rm{c}}}/\omega } \right], \hfill \\ y = r\cos \left\{ {\omega \left[{t-\left( {i-1} \right){\varphi _{\rm{c}}}/\omega } \right] + \left( {i -1} \right){\varphi _{\rm{c}}} + {\varphi _0}} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} \right. $ (3)

其中:n为刀具转速,单位为r/min。vf表示如下:

$ {v_{\rm{f}}} = {f_{\rm{z}}}Zn = {f_{\rm{z}}}Z\frac{{60\omega }}{{2\pi }}. $ (4)

加工区域如图 4a所示,从坐标系xO1yy轴正半轴开始,刀具转过角度θin时刀齿在B1点切入工件,当前刀齿开始铣削工件,θin称为铣削起始角;如图 4b所示,当刀具转过角度θout时,刀齿在A点切出工件,θout称为为铣削终止角。

图 4 铣削起始角和铣削终止角

$ {\theta _{{\rm{in}}}} = \pi- \arccos \left[{\left( {r-{a_{\rm{e}}}} \right)/r} \right]. $ (5)

其中:ae为铣削深度,单位为mm。

图 4所示,在A点下方形成一个小残留区域,该区域是决定工件表面加工质量的重要因素[9-10]。令δθ=θout-π为A点与刀轴的连线和y轴负半轴夹角,在不同每齿进给量下对铣削终止角产生影响。

在不同主轴转速n和每齿进给量fz工艺参数下,采用数值迭代法计算铣削终止角,得到主轴转速和每齿进给量对δθ的影响云图如图 5所示。

图 5 δθnfz变化情况

在每齿进给量变化较大时,δθ都很小,对铣削终止角影响可以忽略不计,因此θout按180°计算。

3 基于次摆线的铣削层厚度模型

铣削层厚度为当前刀具轨迹上的一点沿着刀具进给方向与已加工工件表面之间的距离[11]

基于次摆线轨迹的铣削层厚度几何模型如图 6所示,右侧虚曲线为当前铣削刃轨迹,左侧实曲线为前一铣削刃轨迹,阴影部分为铣削层。

图 6 铣削层厚度模型

图 6参考坐标系xOy内,当前铣削刃刀尖位于C点时,C点与坐标原点O1的连线与前一铣削刃轨迹相交于D点,此时当前铣削刃刀尖的铣削中心角为θ′,只要确定此时刻D点坐标,便可求得此时刻当前铣削刃上该点的瞬时未变形铣削层厚度hc

$ {h_{\rm{c}}} = r-{l_{D{O_1}}} = r-\sqrt {{{\left( {{x_D}-{x_{{O_1}}}} \right)}^2} + {{\left( {{y_D} - {y_{{O_1}}}} \right)}^2}} . $ (6)

图 6中当前铣削刃刀尖的铣削时刻为t,前一铣削刃刀尖经过D点时刻的时间为t′,有

$ t' = t + \frac{{\Delta \theta }}{\omega }-\frac{{{\varphi _{\rm{c}}}}}{\omega }. $ (7)

在文[12]中,借助Taylor级数展开,获得中心角相位差:

$ \Delta \theta = \frac{{{f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}{{2\pi r + Z{f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}. $ (8)

联立式(3)、(6)和(7)可以得到全宽槽铣加工基于次摆线铣轨迹削层厚度:

$ \begin{gathered} {h_{\rm{c}}} = r- \left\{ {{r^2} + {{\left[{{{\left( {\frac{{Z{f_{\rm{Z}}}}}{{60}}} \right)}^2}\left( {\frac{1}{Z}-\frac{{{f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}{{2\pi r + Z{f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}} \right)} \right]}^2}} \right. - \hfill \\ {\left. {2\left[{\frac{{Z{f_{\rm{Z}}}}}{{60}}r\sin \left( {\theta + \frac{{2\pi {f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}{{2\pi r + Z{f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}} \right)\left( {\frac{1}{Z}-\frac{{{f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}{{2\pi r + Z{f_{\rm{Z}}}\cos \theta }}} \right)} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}}. \hfill \\ \end{gathered} $ (9)

从式(8)可知,铣削层厚度主要和每齿进给量和铣刀半径相关,在不同每齿进给量和刀具半径条件下,铣削层厚度随铣削中心角θ(0°~180°)变化情况如图 7a7b所示。可以看出,在基于次摆线刀具轨迹的铣削层厚度模型中,每齿进给量对铣削层厚度影响较为明显,而仅在刀具半径变化时铣削层厚度的差值变化不大,其对铣削层厚度影响较小,可以作为次要影响因素进行处理。从图 7a7b可以看出,在基于次摆线刀具轨迹的铣削层厚度模型中,每齿进给量对铣削层厚度影响较为明显,而刀具半径变化时铣削层厚度曲线较集中,对铣削层厚度影响较小,可以作为次要影响因素进行处理。

图 7 不同fzr下铣削层厚度变化

4 3种铣削层厚度模型比较

在不同的每齿进给量条件下对基于次摆线轨迹的铣削层厚度模型、圆弧模型和等效均匀厚度模型进行铣削层厚度比较结果见图 8,并与Advantedge FEM软件仿真结果的误差(见图 9)和误差率(见图 10)进行比较;等效均匀厚度模型与基于次摆线轨迹厚度模型和仿真值比较的误差随每齿进给量的分布如图 11a所示,圆弧模型与基于次摆线轨迹厚度模型和仿真值比较的误差率分布如图 11b所示。

图 8 不同每齿进给量fz下3种铣削层厚度模型比较

图 9 不同每齿进给量下3种模型铣削层厚度误差比较

图 10 不同每齿进给量下3种模型铣削层厚度误差率分布

图 11 等效均匀模型及圆弧模型与次摆线模型比较

由此可知,次摆线厚度模型更符合铣削加工特点:

1) 随着每齿进给量增加,等效均匀厚度模型及圆弧刀具轨迹模型与次摆线模型厚度偏差增大;圆弧刀具轨迹模型计算铣削层厚度时受每齿进给量影响较大,在刀具切入和切出工件部分误差最大;

2) 如图 8所示,次摆线厚度模型最大值不在刀具空间位置角为90°位置,且随每齿进给量增大其厚度最大值对应铣削中心角减小;而圆弧轨迹模型厚度最大值保持在90°位置,忽略了刀具进给运动影响;

3) 次摆线厚度模型在0°~180°范围内不再保持对称趋势,随着刀具进给量增加不对称性加剧,而圆弧模型依然保持对称趋势。

5 结论

本文分析了刀具次摆线复合运动规律,给出了基于次摆线轨迹的铣削层厚度计算模型,能真实反映数控铣削加工中切屑动态形成过程,建立了其轨迹方程,给出了铣削起始角和铣削终止角计算方法。通过与现有铣削层厚度模型在不同的每齿进给量下铣削计算值与仿真值比较,验证了该模型在较宽每齿进给量范围内,仍保证了较高的准确性。

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