近年来，随着房地产交易计税价格评估工作的深入开展，对用于房地产税基评估的批量评估方法研究和应用在中国得到了长足的进步和发展，关于批量评估模型方面的研究逐渐增多^[1-4]。而事实上，由于批量评估针对大批量的房地产，异质性往往非常强，因此评估模型只能应用于相似的房地产分组。如何快速有效地进行房地产分组已成为批量评估过程中首先需要解决的问题，而目前这方面的研究尚比较缺乏。

对大批量的房地产分组的过程实际上就是将类似程度较高的房地产划分为相同组别的过程，这就需要对不同房地产之间的类似程度科学度量。

中国的学者在类似的研究中，已经对贴近度理论应用于房地产估价中可比案例选取进行了探讨，张协奎^[5]首次将模糊数学思想引用到市场比较法中，运用模糊模式识别模型选取可比实例。随后，文[6-7]进行了优化，考虑了特征因素的权重差异，进一步提高了模型精度。黄海等^[8]则结合了地理信息系统(geographic information system，GIS)技术，在采用GIS技术建立数据库和可比案例初选后，再进行贴近度的计算，从而提高了可比案例选择的精度及该方法的可应用性。

上述研究探讨了模糊数学应用于房地产个案评估中的可能性和效果，但较少涉及批量评估领域及计算机自动估价。在此研究基础上，本文采用模糊数学贴近度理论来度量房地产类似程度，应用于房地产分组过程中，用于提升房地产分组精度及批量评估精度，并对其实际应用进行深入研究。

1 批量评估与房地产分组

根据国际估价官协会(International Association of Assessing Officers, IAAO)于2013年修订的《批量评估准则》^[9]，批量评估(mass appraisal，MA)是指利用共同的数据、标准化的方法和统计检验技术评估一组财产于确定日期价值的过程。批量评估一般按以下步骤进行^[10-12]。

1.1 待估房地产分类

探寻价格形成机制，把价格影响因素一致的房地产分为一类，按照房地产用途、功能和业态逐级分类，直至该类别房地产供求因素基本一致。中国房地产一级和二级分类主要从用途角度区分。

1.2 房地产分区

考虑区位因素，对不同用途房地产进行区位划分^[13-16]，根据不同用途房地产的区位分布特点进行分区。一般来说，应至少区分住宅、商业、办公、工业4种用途，分别根据其集聚特点进行房地产分区。不同物业类型的集聚特点存在一定的差异，因此分区应在分类完成后进行。

1.3 房地产分组

在完成房地产分类和分区后，同一分区同一类型的房地产还具有不同的品质档次，它们的市场供求关系还未一致，通过房地产分组，将品质档次一致的房地产分为一组，则组内房地产具有了类似的供求关系，它们的市场价值或市场租金水平也具有了一定的关联关系。这是根据经济学中的替代原理得出的结论，即功用相似的商品存在替代性，而其价格或价值也趋同^[17-20]。那么同组的房地产遵循相同的供求关系及定价机制，就可以采用相同的测算模型和参数。

1.4 分组建立估价模型及价格系数

同组房地产相似性较强，可以采用相同估价模型和相关参数。在组内确定标准房地产，建立其他房地产与标准房地产之间的价格关系系数。

价格关系系数是不同房地产因其属性差异带来的价格差异的体现。举例来说，同一住宅小区或同一办公项目，不同楼栋、不同楼层、不同面积、不同景观的房地产价格存在一定的差异，而这些差异往往可以通过统计分析方法(如多元回归)和估价经验确定。

1.5 评估标准房价格及所有房地产价格

根据标准房地产的特点，选用适用的估价方法进行估价，再用标准房地产价格乘以其他房产的价格系数，确定其他房地产的市场价值或市场租金。

从上述批量评估的过程来看，房地产分组是其中的重要环节，也是批量评估模型能否精确评估的重要前提。批量评估的基本思路是把大批量的房地产根据其用途、区位、品质、档次等特征进行分组，在同组内房地产之间具有相似性，可以采用相同的估价方法和估价参数，从而化整为零，实现快速、准确的大批量房地产评估。

2 基于模糊数学的房地产分组思路与模型 2.1 应用思路

模糊数学是研究和处理模糊性现象的一门数学分支，这里的模糊性则指的是客观事物或现象类属的不清晰性和非确定性。模糊数学以“模糊集合论”为基础，提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。而房地产分组的目标就是寻找具有较强相似性的房地产，将其归为一组，也就是需要衡量两套房地产的相似度，是两套房地产在多个固有属性方面相似程度的一种综合。这里的相似程度，带有一定的模糊性，因此房地产分组可分解为相似度衡量，而相似度从本质上来讲也是人们对一种模糊系统的认识过程。可见，模糊数学思想与房地产分组实质具有统一性，这也决定了在房地产分组中应用模糊数学技术的可行性和科学性。

根据上述分析，房地产分组的过程就转换为房地产相似度的测量，对于相似程度较高的房地产即可归为一组。而房地产分组是在房地产分类、分区工作完成后进行的，测度相似度时则需主要考虑导致相同房地产类型、同一分区内的房地产品质差异的指标，然后对指标进行量化，选用合适的方法来确定相似度，即基本测算思路为：确立属性指标→确定指标值→计算相似度，具体如图 1所示。

2.2 房地产属性指标的隶属度计算

1) 模糊子集与隶属函数。

在精确数学的概念中，集合A可由其特征函数确定，使得一个元素x要么属于A，要么不属于A。也就是说，它可以确切地以数量化形式描述非此即彼的现象。然而，现实中的很多问题并非如此，还可能存在中间状态。

假设在论域W中存在映射A：W→[0, 1]，x→A(x)∈[0, 1]，则确定了一个W上的模糊子集A。

对于普通集合A，可以理解为某个论域W上的一个子集。为了描述论域W中任一元素w是否属于集合A，通常可以用0或1标志，即用0表示w不属于A而用1表示属于A，从而得到了W上的一个二值函数χA(x)，它表征了W的元素x对普通集合的从属关系，通常称为A的特征函数。

对于模糊子集A，需要借助于隶属函数来描述元素x对W上的一个模糊集合的隶属关系。由于这种关系的不分明性，因此从区间[0, 1]中所取的某个数值代替0、1这两个值来描述，表示元素隶属于模糊集的程度。这里的A(x)称为A的隶属函数，表示x对A(x)的隶属程度，而使A(x_i)= 0.5的点x_i称为A的过渡点，此时该点最具模糊性。

由于模糊子集A是由隶属函数A(x)唯一确定的，因此可以把模糊子集A与隶属函数A(x)看成等同的。隶属度反映了论域W中的元素属于其模糊子集A的程度，在[0, 1]闭区间内可连续取值。隶属程度的思想是模糊数学的基本思想，模糊子集简称为模糊集，而隶属程度则简称为隶属度。

2) 基于房地产属性指标的隶属度计算。

隶属函数反映在房地产估价上：当特性因素选定以后，待估房地产某些元素隶属于某种特性的数量表示。在房地产分组时，隶属函数的确定方法具体如下。

假设某片区内存在n套房地产实体：P₁，P₂，…，P_n，且对应于每一套房产P_i均存在m个固有属性，据此可确定房地产固有属性集U(P_i，X_m)，其中X_m为房地产的具体属性。再构造房地产特征评价集合V，用以反映具体属性指标的优劣程度；由此得到U和V这2个非空集合的直积：

$ U \times V = \left\{ {\left\langle {u, v} \right\rangle |u \in U, v \in V} \right\}. $

(1)

其中u和v分别为集合U和V的元素。该式中的一个模糊子集R被称为U到V的模糊关系，也称为二元模糊关系，其特征可由如下隶属函数来加以描述：

$ {\mu _R} = U \times V \to \left[{0, 1} \right]. $

(2)

μ_R表示序偶〈u, v〉的隶属程度。对于每个单项房地产属性指标而言，均需要确定其相应的隶属函数来反映该指标值的优劣程度。换句话说，集合内n套房地产中的每一套都有m项待评价的单项指标及其概率分布，而这个概率分布实际上就是该指标的隶属函数。

对于数值居中则评价越好的指标(如高层住宅的楼层)而言，隶属函数采用中间型梯形分布函数。

将m项指标的各等级临界值表示为

$ \mathit{\boldsymbol{B}} = {\left( {{b_{ij}}} \right)_{m \times n}}. $

则即可计算得出每套待评价房地产各项属性指标的隶属值矩阵：

$ \begin{gathered} \mathit{\boldsymbol{F}} = {\left( {{f_{ij}}} \right)_{m \times n}}, \hfill \\ \mathit{\boldsymbol{F}} = {\mu _R} \cdot \mathit{\boldsymbol{B}}. \hfill \\ \end{gathered} $

(3)

其中b_ij和f_ij分别为矩阵B和F在i行j列的取值。隶属函数μ_R应根据各属性指标的具体特征，择优选取一种函数形式。在运用式(3)所计算出的隶属值矩阵F中，每个元素的取值均在[0, 1]范围内，而n套房地产的属性隶属向量则分别为F₁，F₂，…，F_n。

2.3 房地产贴近度计算

模糊贴近度的计算公式较多，一般采用如下的最大值最小值贴近度^[21]：

$ \sigma \left( {C, D} \right) = \frac{{\sum {\min \left[{{U_C}\left( u \right), {U_D}\left( u \right)} \right]} }}{{\max \left[{{U_C}\left( u \right), {U_D}\left( u \right)} \right]}}. $

(4)

其中：σ(C, D)表示模糊集C和D的贴近度，U_C(u)和U_D(u)分别为C和D的固有属性集的隶属度。由于房地产固有属性众多，且每个属性对房地产相似性的影响程度和重要性也有所不同，在贴近度计算中应对不同属性的隶属度值赋予相应的权重，以反映各属性异同程度在房地产置业选择的可替代性中的影响。这里的隶属度权重通常是由评估师等业内人士根据历史数据和统计数据进行综合判断而得到，对房地产相似程度的判断具有重要影响，进而最终影响到房地产分组的可靠性与准确性。

对于片区内n套房地产的属性隶属度向量F₁，F₂，…，F_n，将向量内每一个属性的隶属度值分别乘以对应的权重值，可得到片区内房地产的属性隶属矩阵，计算方式如下所示：

$ \mathit{\boldsymbol{F}} = \left[\begin{gathered} \left\langle {{f_{11}}, {\omega _1}} \right\rangle \left\langle {{f_{12}}, {\omega _2}} \right\rangle \;\; \cdots \;\;\left\langle {{f_{1m}}, {\omega _m}} \right\rangle \hfill \\ \;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \hfill \\ \left\langle {{f_{n1}}, {\omega _1}} \right\rangle \left\langle {{f_{n2}}, {\omega _2}} \right\rangle \;\; \cdots \;\;\left\langle {{f_{nm}}, {\omega _m}} \right\rangle \hfill \\ \end{gathered} \right]. $

(5)

其中：f_nm表示第n套房地产的第m个属性的隶属度值，ω_m表示第m个属性所占的权重值。

以式(5)中的两两行向量为计算基础，运用式(4)进行最大值最小值贴近度计算，即可得到片区内任意两套房地产之间的贴近度值，即房地产相似度。

3 实证研究

以某市某片区普通住宅为例，进行房地产相似度测算和房地产分组的实证研究。

由于隶属度的计算是以房地产属性为基础进行的，因此首先应根据片区内房地产的特点进行隶属函数的特征变量选择。因为分区已经考虑了区域因素，根据普通住宅估价理论的要求，此处不需再考虑区域因素，选取小区档次、主力户型、物业管理、小区环境、楼龄、房地产面积、朝向、楼层等个别因素进行住宅房地产隶属度的计算。在确定了相应指标之后，对于每个单项房地产属性指标，还需要确定其相应的隶属函数来反映该指标值的优劣程度，进而计算得到其隶属度值。

具体来说，对于数值越大则评价越好的属性指标，采用升半梯形分布函数来量化其隶属度，如小区档次、主力户型等；对于数值越小则评价越好的指标，采用降半梯形分布函数来量化其隶属度，如容积率、楼龄等；对于数值与评价遵循先升后降或者先降后升的指标，采用中间型梯形分布函数来量化其隶属度，如楼层等。

以小区档次指标举例说明，其他指标处理方式类似。小区档次主要通过楼盘交易均价来进行隶属函数的量化。隶属函数采用升半梯形函数，以17 000元/m²为该区域内的最低楼盘均价，以41 000元/m²为该片区内的最高楼盘均价，具体的隶属函数如下所示：

$ u\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 17000; \hfill \\ \frac{{x-17000}}{{24000}}, \;\;\;41000 < x < 41000; \hfill \\ 1, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \geqslant 41000. \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(6)

其中：u(x)为隶属度，x为属性指标(此处为建筑面积单价)的值。

以上述隶属函数为计算依据，对该片区内共计3 901套房地产进行属性隶属度的量化，得到每套房地产的8个隶属度值，部分量化结果如表 1所示。

在表 1隶属度量化的基础上，综合运用式(4)和(5)即可计算出该片区内每两套房地产之间的贴近度。这里以房屋编号为293153(简称I)、244418(简称J)和262349(简称K)的3套房地产为例进行说明。

为简化计算，此处假设各个固有属性在贴近度计算中的权重相同，则具体计算过程为：

$ \begin{gathered} \sum {\min \left[{{U_{\rm{I}}}\left( u \right), {U_{\rm{J}}}\left( u \right)} \right] = 0.23 + 0.29 + 0.51 + } \hfill \\ 0.59 + 0.15 + 0.59 + 0.31 + 0.57 = 3.24; \hfill \\ \sum {\max \left[{{U_{\rm{I}}}\left( u \right), {U_{\rm{J}}}\left( u \right)} \right] = 0.70 + 0.62 + 0.57 + } \hfill \\ 0.83 + 0.23 + 0.60 + 0.45 + 0.71 = 4.71; \hfill \\ {\sigma _{{\rm{IJ}}}} = {\sigma _{{\rm{JI}}}} = \frac{{3.24}}{{4.71}} = 0.6879; \hfill \\ \sum {\min \left[{{U_{\rm{I}}}\left( u \right), {U_{\rm{K}}}\left( u \right)} \right]} = 0.23 + 0.29 + 0.39 + \hfill \\ 0.59 + 0.15 + 0.60 + 0.16 + 0.44 = 2.85; \hfill \\ \sum {\max \left[{{U_{\rm{I}}}\left( u \right), {U_{\rm{K}}}\left( u \right)} \right]} = 0.23 + 0.39 + 0.51 + \hfill \\ 0.62 + 0.15 + 0.67 + 0.31 + 0.57 = 3.45; \hfill \\ {\sigma _{{\rm{IK}}}} = {\sigma _{{\rm{KI}}}} = \frac{{2.85}}{{3.45}} = 0.8261; \hfill \\ \sum {\min \left[{{U_{\rm{J}}}\left( u \right), {U_{\rm{K}}}\left( u \right)} \right]} = 0.23 + 0.39 + 0.39 + \hfill \\ 0.62 + 0.15 + 0.59 + 0.16 + 0.44 = 2.97; \hfill \\ \sum {\max \left[{{U_{\rm{J}}}\left( u \right), {U_{\rm{K}}}\left( u \right)} \right]} = 0.70 + 0.62 + 0.57 + \hfill \\ 0.83 + 0.23 + 0.67 + 0.45 + 0.71 = 4.78; \hfill \\ {\sigma _{{\rm{JK}}}} = {\sigma _{{\rm{KJ}}}} = \frac{{2.97}}{{4.78}} = 0.6214. \hfill \\ \end{gathered} $

以此类推，可计算得到该片区内全部房地产两两之间的贴近度值，即相似度值。在房地产估价标准要求可比实例的综合修正小于20%，可以认为可比实例间的相似度在80%以上是可接受的。那么，对于相似度大于0.8的房地产则可归为一组，即房产X和Z为一组，房产Y则需划至其他组。同理，对需要分组的房产进行统一运算其贴进度，将贴进度大于0.8的房产分为一组，即可快速完成房地产分组，为后续的批量评估奠定基础。

4 结论

批量评估因其评估对象数量庞大，更新频率高等要求，需要对所有待估房地产进行分类、分区及分组，针对每个分区确定适当的估价方法和估价参数, 所以房地产分组是所有估价过程的先导性工作。快速、准确的分组是影响估价精度和估价效率的重要因素。本文通过引进模糊数学的相似度测算模型较好地解决了这一问题，既符合了房地产价值分析具有一定的模糊性，同时也具有定量分析的科学性特点。可以快速对同区域同类型房地产进行相似度的测算，并进行房地产分组，具有良好的实践应用前景。