第五代移动通信(5G)中研究的终端直通(device-to-device，D2D)通信技术主要是指在蜂窝网络控制下终端与终端之间直接通信^[1]。由于传输数据不需要经过基站路由转发，D2D通信在提升吞吐量、降低端到端时延等方面有很大优势^[2]。在D2D通信中，直通用户能重用蜂窝用户的资源，进一步提升系统容量。鉴于上述优势，D2D通信已成为5G中的关键技术，得到了学术界和工业界的广泛关注^[3]。

在D2D通信中，虽然重用时频资源能提升系统容量，但随之而来的干扰问题却会严重影响通信质量。资源分配影响干扰程度，进而影响通信性能。因此，资源分配已成为D2D通信中的关键挑战^[3]。同时，在5G时代，时延服务质量(quality-of-service, QoS)保证是众多应用场景(如车联网、工业控制等^[4])中的关键需求。D2D通信由于能降低端到端时延，被认为是能提供时延QoS保证的关键技术^[4]。因此，在D2D通信中进行资源分配时，考虑用户的时延QoS需求是非常重要的。由于无线信道具有时变特性，确定性的时延保证是很难提供的。对此，文[5]提出了有效容量理论来为用户提供统计QoS保证。对于一个服务过程，其有效容量定义为满足统计QoS需求的最大恒定业务到达率。有效容量理论能够刻画用户不同的统计QoS需求，得到了学术界的广泛认可^[6]。

D2D通信中基于统计QoS保证的资源分配研究最近开始引起学术界的关注^[7-10]。文[7]研究了一条全双工D2D通信链路，以最大化有效容量为目标提出了最优的功率控制算法。文[8]研究了由具有相同QoS需求的一个蜂窝用户和一对直通用户组成的单元，以最大化该单元的有效容量为目标提出了有效的功率控制算法。文[9]研究了一个蜂窝用户和一对直通用户以不同QoS需求共享资源的场景，提出了有效的功率控制算法，在保证直通用户最小有效容量需求的同时，最大化蜂窝用户的有效容量。文[7-9]的共同不足是不能应用到多对直通用户重用同一资源的场景，因而其提出的功率控制算法十分局限^[3]。文[10]研究了多对直通用户共享资源的场景，以最大化带QoS保证的系统吞吐量为目标，提出了有效的资源分配算法。但为了简化问题，文[10]没有考虑蜂窝用户的存在。同时，文[7-10]的一个共同不足是他们研究的都是单载波系统，因而其提出的功率控制算法不能用于多载波系统。考虑到正交频分多址接入(orthogonal frequency division multiple access，OFDMA)已广泛应用到4G网络中，并且很可能被5G网络采用，因此为OFDMA系统中的D2D通信提供统计QoS保证是非常有意义的^[11]。

为了解决上述问题，本文研究了OFDMA蜂窝网络中的D2D通信。考虑多个蜂窝用户和多对直通用户以不同的统计QoS需求共享多个子信道，在保证蜂窝用户的干扰门限要求下，提出了有效的资源分配算法以最大化带QoS保证的系统吞吐量。通过Lagrange方法求解原始优化问题。为了求解对偶函数，提出了交替式优化算法和渐进凸近似算法。仿真表明，本文所提方案能有效提升系统性能。

1 系统模型

本文考虑一个基于OFDMA的蜂窝小区，如图 1所示。该小区由1个基站、C个蜂窝用户、D对直通用户和K个正交子信道组成。用B表示每个子信道的带宽。本文假设直通用户重用蜂窝用户的上行传输资源。因此，本文考虑的蜂窝用户都是上行用户。为了表示方便，用$\mathcal{C}$={0, 1, …, C-1}、$\mathcal{D}$={C, C+1, …, C+D-1}分别表示蜂窝通信链路和直接通信链路的集合，用$\mathcal{K}$={0, 1, …, K-1}表示所有可用的子信道集合。

用Tx_i和Rx_i分别表示通信链路i∈$\mathcal{C}$∪$\mathcal{D}$的发端和收端。用h_ij^k表示在子信道k上，Tx_i到Rx_j的信道功率增益。假设信道变化服从块衰落模型，即信道功率增益在一个时隙内保持不变，在不同时隙间独立变化。假设一个时隙长为T。用$\mathcal{H}$={h_ij^k, ∀i, j∈$\mathcal{C}$∪$\mathcal{D}$, ∀k∈$\mathcal{K}$}表示所有通信链路和干扰链路的信道状态信息(channel state information，CSI)，假设基站能获得全部CSI。

在给定$\mathcal{H}$的情况下，假设部分子信道被分配给蜂窝用户，记这些子信道集合为${{\mathcal{K}}_{C}}\left( \mathcal{K} \right)$。这些子信道能被直通用户重用的条件是直通用户对蜂窝用户产生的干扰不能超过给定的干扰门限值。在实际应用中，可以通过调整该干扰门限值来调节对蜂窝用户的保护程度。本文关注直通用户的资源优化，因此蜂窝用户的资源分配不在本文考虑范围内。

用P_i^k($\mathcal{H}$)表示$\mathcal{H}$下，直通用户Tx_i在子信道k上的发送功率。用P($\mathcal{H}$)={P_i^k($\mathcal{H}$), ∀i∈$\mathcal{D}$, ∀k∈$\mathcal{K}$}表示$\mathcal{H}$下，所有直通用户对的发端在所有子信道上的发送功率集合。给定$\mathcal{H}$和发送功率P($\mathcal{H}$)后，直接通信链路i∈$\mathcal{D}$在一个时隙内的最大发送数据量可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right) = }\\ {\sum\limits_{k \in {\cal K}} {TB\;1{\rm{b}}\left( {1 + \frac{{P_i^k\left( {\cal H} \right)h_{ii}^k}}{{\sigma _k^2+\sum\limits_{j \in {\cal D},j \ne i} {P_j^k\left( {\cal H} \right)h_{ij}^k} + \delta _i^k\left( {\cal H} \right)}}} \right)} ,}\\ {\forall i \in {\cal D}.} \end{array} $

(1)

其中：σ_k²表示子信道k上的噪声功率；δ_i^k($\mathcal{H}$)表示蜂窝用户在子信道k上对直通用户Rx_i的干扰，注意δ_i^k($\mathcal{H}$)只在子信道k∈ $ {{\mathcal{K}}_{C}}\left( \mathcal{H} \right)$上为正，即δ_i^k($\mathcal{H}$)=0, ∀k∈$\mathcal{K}$/ $ {{\mathcal{K}}_{C}}\left( \mathcal{H} \right)$。

图 1中，每个发端用户处有一个队列来存储待发送业务。用λ_i表示直通用户Tx_i的业务到达率，令λ={λ_i, ∀i∈$\mathcal{D}$}。由于业务到达率的调整频率一般都远远慢于信道的变化频率，因此本文假设λ在通信开始前给定，$\mathcal{H}$之后不随变化。

2 统计QoS保证

本文用如下的队列门限超出概率限制来刻画统计QoS保证：

$ \Pr \left\{ {{Q_i} \ge Q_i^{{\rm{th}}}} \right\} \le \rho _i^{{\rm{th}}},\forall i \in {\cal D}. $

(2)

其中：Q_i表示Tx_i的稳态队长，Q_i^th表示给定的队列门限值，ρ_i^th表示允许的最大队列门限超出概率。根据大偏差理论^[12]，当队列的到达和服务过程是平稳的且各态历经的，式(2)中的概率可以近似如下：

$ \Pr \left\{ {{Q_i} \ge Q_i^{{\rm{th}}}} \right\} \approx {{\rm{e}}^{ - {\theta _i}Q_i^{{\rm{th}}}}},\forall i \in {\cal D}. $

(3)

其中θ_i(θ_i＞0)称为QoS指数，用于表示队列分布的指数衰减率。θ_i被用于表征QoS需求程度^[6]，θ_i越大，衰减速率越快，表明系统可以提供越紧的QoS保证。

对于任意一个服务过程，其有效容量定义为满足统计QoS需求的最大恒定业务到达率^[6]。对于通信链路i∈$\mathcal{D}$上的服务过程R_i(P($\mathcal{H}$))，给定QoS指数θ_i时，其有效容量为^[6]

$ {C_i}\left( {{\theta _i}} \right) = - \frac{1}{{{\theta _i}}}\ln \left( {{E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{ - {\theta _i}{R_i}\left( {\mathit{\boldsymbol{P}}\left( {\cal H} \right)} \right)}}} \right\}} \right),\forall i \in {\cal D}. $

(4)

其中${{\mathit{E}}_{\mathcal{H}}}${·}表示对$\mathcal{H}$求期望。结合式(2)—(4)可知，对于一个服务过程，为了满足式(2)给出的统计QoS需求，要求其有效容量必须大于给定的业务到达率，即

$ {C_i}\left( {{\theta _i}} \right) \ge {\lambda _i},\forall i \in {\cal D}. $

(5)

其中θ_i=-lnρ_i^th/Q_i^th。

对于一个没有缓存空间限制的稳定队列，其平均业务到达率等于平均服务率。因此$\sum\limits_{i\in \mathcal{D}}{{{\lambda }_{i}}}$可视为带QoS保证的系统吞吐量，其中统计QoS保证由式(2)给出。

3 问题建模

本文的目标是通过有效的资源分配即业务到达率调整和功率控制，以最大化带QoS保证的系统吞吐量。相应的数学问题P1可表示为

$ \mathop {\max }\limits_{\mathit{\boldsymbol{\lambda }},\mathit{\boldsymbol{P}}\left( {\cal H} \right)} \sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\lambda _i}} ; $

(6a)

$ {\text{s.t.}}\;\;\;\Pr \left\{ {{Q_i} \ge Q_i^{{\rm{th}}}} \right\} \le \rho _i^{{\rm{th}}},\forall i \in {\cal D}; $

(6b)

$ {\lambda _i} \ge 0,\forall i \in {\cal D}; $

(6c)

$ \sum\limits_{i \in {\cal D}} {P_i^k\left( {\cal H} \right)h_{i0}^k} \le I_k^{{\rm{th}}}\left( {\cal H} \right),\forall k \in {{\cal K}_C}\left( {\cal H} \right),\forall {\cal H}; $

(6d)

$ P_i^k\left( {\cal H} \right) \ge 0,\forall i \in {\cal D},\forall k \in {\cal K},\forall {\cal H}; $

(6e)

$ \sum\limits_{k \in {\cal K}} {P_i^k\left( {\cal H} \right)} \le P_i^{\max },\forall i \in {\cal D},\forall {\cal H}. $

(6f)

其中式(6d)表示在子信道k∈$ {{\mathcal{K}}_{C}}\left( \mathcal{H} \right)$上，直通用户对蜂窝用户的干扰不能超过门限值I_k^th($\mathcal{H}$)，P_i^max表示直通用户Tx_i的最大发送功率。

由节2可知，式(6b)表示的统计QoS保证可以等价为式(5)表示的有效容量限制。同时，将式(4)代入式(5)，可以进行如下等价变换：

$ \begin{array}{l} {C_i}\left( \theta \right) = - \frac{1}{{{\theta _i}}}\ln \left( {{E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{ - {\theta _i}{R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)}}} \right\}} \right) \ge {\lambda _i}\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{ - {\theta _i}{R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)}}} \right\} \le {{\rm{e}}^{ - {\theta _i}{\lambda _i}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{{\theta _i}\left( {{\lambda _i} - {R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)} \right)}}} \right\} \le 1. \end{array} $

(7)

于是问题P1可以等价转换为如下问题P2：

$ \mathop {\max }\limits_{\lambda ,P\left( {\cal H} \right)} \;\;\sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\lambda _i}} ; $

(8a)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\text{s.t.}}\;\;{E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{{\theta _i}\left( {{\lambda _i} - {R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)} \right)}}} \right\} \le 1.\;\;\forall i \in {\cal D};}\\ {式\left( {6c} \right) - \left( {6f} \right)成立.} \end{array} $

(8b)

由于通信链路间存在干扰，R_i(P($\mathcal{H}$))是典型的非凹函数^[13]，因此优化问题是非凸的。但是，文[14]证明了当随机变量的累积分布函数(cumulative distribution function，CDF)连续时，P2这种非凸函数出现在期望内的优化问题的对偶间隙为零。在P2中，随机变量为$\mathcal{H}$。对于所有实际的衰落信道如Rayleigh衰落、Rician衰落等，$\mathcal{H}$的CDF都是连续的，因此P2具有零对偶间隙，可以采用Lagrange方法等效求解。

用$ \overline{\mu }$={μ_i, ∀i∈$\mathcal{D}$}表示与式(8b)相对应的对偶变量，可以将P2的部分Lagrange函数写为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\cal L}\left( {\lambda ,P\left( {\cal H} \right),\bar \mu } \right) = }\\ {\sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\lambda _i}} + \sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\mu _i}\left( {1 - {E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{{\theta _i}\left( {{\lambda _i} - {R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)} \right)}}} \right\}} \right)} .} \end{array} $

(9)

给定$ \overline{\mu }$后，记相应的对偶函数为g($ \overline{\mu }$)，g($ \overline{\mu }$)定义为下述优化问题P3($ \overline{\mu }$)的最优目标函数值：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max }\limits_{\lambda ,P\left( {\cal H} \right)} \;\;{\cal L}\left( {\lambda ,P\left( {\cal H} \right),\bar \mu } \right)}\\ {{\text{s.t.}}\;\;式\left( {6{\rm{c}}} \right) - \left( {6{\rm{f}}} \right)成立.} \end{array} $

(10)

相应的对偶问题P4为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max }\limits_\mu \;\;\;\;g\left( {\bar \mu } \right),} \\ {{\text{s.t.}}\;\;\bar \mu \succcurlyeq 0.} \end{array} $

(11)

当存在μ_i=0时，由式(9)和P3($ \overline{\mu }$)可知，λ_i和g($ \overline{\mu }$)的值将取正无穷，此时g($ \overline{\mu }$)是一个无意义的上界^[15]。因此在下文中，假设$ \overline{\mu }$中各元素均为正，即μ_i＞0, ∀i∈$\mathcal{D}$。

虽然P2具有零对偶间隙，但这并不意味着P2可以很容易的通过Lagrange方法求解。事实上，由于R_i(P($\mathcal{H}$))是非凹函数，问题P3($ \overline{\mu }$)的求解仍然十分困难。因此，本文先提出有效的算法来求解P3($ \overline{\mu }$)，然后通过次梯度算法求解P4。

4 问题求解 4.1 通过交替式优化算法求解P3($ \overline{\mu }$)

因为同时优化λ和P($\mathcal{H}$)十分困难，本文采用交替式优化算法^[16]来求解P3($ \overline{\mu }$)，其核心思想是固定λ或P($\mathcal{H}$)，然后只对另一个变量进行优化。

1) 给定业务到达率时，进行功率控制。

设λ表示任意给定的业务到达率。通过交换式(9)中求期望与求和的顺序，可将式(9)重写为

$ \begin{array}{l} {\cal L}\left( {\lambda ,P\left( {\cal H} \right),\bar \mu } \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\lambda _i}} + \sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\mu _i}} - \sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\mu _i}{E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{{\theta _i}\left( {{\lambda _i} - {R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)} \right)}}} \right\}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\; = \sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\lambda _i}} + \sum\limits_{i \in {\cal D}} {{\mu _i} - {E_{\cal H}}\left\{ {f\left( {\lambda ,P\left( {\cal H} \right)} \right)} \right\}} . \end{array} $

(12)

其中$f\left( \lambda, P\left( \mathcal{H} \right) \right)\triangleq \sum\limits_{i\in \mathcal{D}}{{{\mu }_{i}}{{\rm{e}}^{{{\theta }_{i}}\left( {{\lambda }_{i}}-{{R}_{i}}\left( P\left( \mathcal{H} \right) \right) \right)}}}$，期望${{\mathit{E}}_{\mathcal{H}}}${·}可以通过Monte Carlo方法近似。

根据对偶分解算法^[17]，P3($ \overline{\mu }$)可以分解为一系列具有同样结构的独立子问题，每个子问题对应一个$\mathcal{H}$。因此给定$\mathcal{H}$后，相应的最优功率控制结果为下述子问题P5($\mathcal{H}$, λ)的最优解

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{P\left( {\cal H} \right)} \ \ \ f\left( {\lambda ,P\left( {\cal H} \right)} \right);}\\ {{\rm{s}}{\rm{.}}\;{\rm{t}}{\rm{.}}\;\;\;\sum\limits_{i \in {\cal D}} {P_i^k\left( {\cal H} \right)h_{i0}^k} \le I_k^{{\rm{th}}}\left( {\cal H} \right),\forall k \in {{\cal K}_C}\left( {\cal H} \right);}\\ {P_i^k\left( {\cal H} \right) \ge 0,\;\forall i \in {\cal D},\;\forall k \in {\cal K};}\\ {\sum\limits_{k \in {\cal K}} {P_i^k\left( {\cal H} \right) \le P_i^{\max }} ,\forall i \in {\cal D}.} \end{array} $

(13)

考虑到f(λ, P($\mathcal{H}$))中包含非凹函数R_i(P($\mathcal{H}$))，因此优化问题P5($\mathcal{H}$, λ)是非凸的。本文将在节4.2中通过渐进凸近似算法求解P5($\mathcal{H}$, λ)。

2) 给定功率控制结果时，调整业务到达率λ。

用{P(${{\mathcal{H}}_{n}}$), ∀n∈$\mathcal{N}$}表示与N个CSI相对应的功率控制结果，其中$\mathcal{N}$={0, 1, …, N-1}。通过Monte Carlo方法，可得如下近似：

$ {E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{- {\theta _i}{R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)}}} \right\} \approx \frac{1}{N}\sum\limits_{n \in {\cal N}} {{{\rm{e}}^{ - {\theta _i}{R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)}}} . $

(14)

将式(9)中的Lagrange函数对λ_i求导可得

$ \frac{{{\rm{d}}{\cal L}\left( {\lambda ,P\left( {\cal H} \right),\bar \mu } \right)}}{{{\rm{d}}{\lambda _i}}} = 1 - {{\rm{e}}^{{\theta _i}{\lambda _i}}}{\theta _i}{\mu _i}{E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{ - {\theta _i}{R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right)}}} \right\}. $

(15)

因为θ_i, μ_i和${{\mathit{E}}_{\mathcal{H}}}${e^{-θ_iR_i(P($\mathcal{H}$))}}都为正数，所以易得$\frac{{\rm{d}}\mathcal{L}\left( \lambda, P\left( \mathcal{H} \right), \mu \right)}{\rm{d}{{\lambda }_{\mathit{i}}}}$随λ_i是单调递减的。因此在给定功率控制结果{P(${{\mathcal{H}}_{\mathit{n}}}$), ∀n∈$\mathcal{N}$}的情况下，能最大化Lagrange函数的最优业务到达率${{\widetilde{\lambda }}^{*}}\rm{=}\left\{ \widetilde{\lambda }_{\mathit{i}}^{*}, \forall \mathit{i}\in \mathcal{D} \right\}$为

$ \tilde \lambda _i^ * = {\left[ {{{\tilde \lambda }_i}} \right]^ + },\forall i \in {\cal D}. $

(16)

其中${{\widetilde{\lambda }}_{i}}=-\frac{1}{{{\theta }_{i}}}{\rm{ln}}\left( {{E}_{\mathcal{H}}}\left\{ {{\rm{e}}^{-{{\theta }_{i}}{{R}_{i}}\left( P\left( \mathcal{H} \right) \right)}} \right\} \right)-\frac{1}{{{\theta }_{i}}}{\rm{ln}}\left( {{\theta }_{i}}{{\mu }_{i}} \right)$为满足$\frac{{\rm{d}}\mathcal{L}\left( \lambda, P\left( \mathcal{H} \right), \overline{\mu } \right)}{\rm{d}{{\lambda }_{\mathit{i}}}}\left| _{{{\lambda }_{\mathit{i}}}={{\widetilde{\lambda }}_{i}}}=0 \right.$的点，[·]⁺=max(·，0)。

3) 基于交替式优化的迭代算法。

基于上述分析，本文提出的求解P3($ \overline{\mu }$)的算法流程如下：

步骤1  初始化：业务到达率初值λ⁽⁰⁾，迭代序号v=0，最大迭代次数v^max。

步骤2  功率控制：遍历N个CSI，给定λ^(v)和${{\mathcal{H}}_{\mathit{n}}}$后，求解P5(${{\mathcal{H}}_{\mathit{n}}}$, λ^(v))，得到功率控制结果P(${{\mathcal{H}}_{\mathit{n}}}$)^(v)。

步骤3  调整业务到达率：给定N个CSI下的功率控制结果{P(${{\mathcal{H}}_{\mathit{n}}}$)^(v), ∀n∈$\mathcal{N}$}后，通过式(16)求得最优的业务到达率λ^(v+1)。

步骤4  计算P3($ \overline{\mu }$)的目标函数值g($ \overline{\mu }$)^(v)= (λ^(v), P($\mathcal{H}$)^(v), $ \overline{\mu }$)。

步骤5  如果g($ \overline{\mu }$)^(v)收敛或者v=v^max，则停止迭代，输出λ^(v)和{P(${{\mathcal{H}}_{\mathit{n}}}$)^(v), ∀n∈$\mathcal{N}$}作为P3($ \overline{\mu }$)的求解结果；否则，更新v=v+1，转步骤2。

4.2 通过渐进凸近似算法求解P5($\mathcal{H}$, λ)

本小节通过渐进凸近似算法求解P5($\mathcal{H}$, λ)。为了将P5($\mathcal{H}$, λ)转换为一个凸优化问题，本文采用文[18]提出的如下引理。

引理1  对于任意给定的z≥0和$\overline{z}$≥0，有下式成立

$ \ln \left( {1 + z} \right) \ge \alpha \ln \left( z \right) + \beta . $

(17)

其中近似系数α和β定义如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac{{\bar z}}{{1 + \bar z}},\\ \beta = \ln \left( {1 + \bar z} \right) - \frac{{\bar z}}{{1 + \bar z}}\ln \left( {\bar z} \right). \end{array} \right. $

(18)

不等式(17)在z=$\overline{z}$时取得等号。

基于引理1和等价变换$\widetilde{P}_{i}^{k}\left( \mathcal{H} \right)=\ln P_{i}^{k}\left( \mathcal{H} \right)$，对R_i(P($\mathcal{H}$))做如下松弛：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{R_i}\left( {P\left( {\cal H} \right)} \right) \ge }\\ {\sum\limits_{k \in {\cal K}} {\frac{{TB}}{{\ln 2}}\left[ {\alpha _i^k\ln \left( {\frac{{P_i^k\left( {\cal H} \right)h_{ii}^k}}{{\sigma _k^2 + \sum\limits_{j \in {\cal D},j \ne i} {P_j^k\left( {\cal H} \right)h_{ji}^k} + \delta _i^k\left( {\cal H} \right)}}} \right) + \beta _i^k} \right]} = }\\ {\sum\limits_{k \in {\cal K}} {\frac{{TB}}{{\ln 2}}\left[ {\alpha _i^k\ln h_{ii}^k + \alpha _i^k\tilde P_i^k\left( {\cal H} \right) - } \right.} }\\ {\left. {a_i^k\ln \left( {\sigma _k^2 + \sum\limits_{j \in {\cal D},j \ne i} {{{\rm{e}}^{\tilde P_j^k\left( {\cal H} \right)}}h_{ji}^k} + \delta _i^k\left( {\cal H} \right)} \right) + \beta _i^k} \right] \buildrel \Delta \over = }\\ {{{\tilde R}_i}\left( {\tilde P\left( {\cal H} \right),{w_i}} \right).} \end{array} $

(19)

其中：$\widetilde{P}(\mathcal{H})$={$\widetilde{P}_{i}^{k}\left( \mathcal{H} \right)$, ∀i∈$\mathcal{D}$, ∀k∈$\mathcal{K}$}表示等价变换后的功率；w_i={α_i^k, β_i^k, ∀k∈$\mathcal{K}$}表示通信链路i∈$\mathcal{D}$的近似系数，令w={w_i, ∀i∈$\mathcal{D}$}。

文[15]证明了log-sum-exp是凸函数，所以${{\widetilde{R}}_{i}}\left( \widetilde{P}\left( \mathcal{H} \right), {{w}_{i}} \right)$是线性函数和凹函数的和，进而可得${{\widetilde{R}}_{i}}\left( \widetilde{P}\left( \mathcal{H} \right), {{w}_{i}} \right)$是凹函数。基于上述松弛，可将P5($\mathcal{H}$, λ)转化为如下的新问题P6(w)：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\mathit{\boldsymbol{\tilde P}}\left( {\cal H} \right)} \;\;\tilde f\left( {\lambda ,\tilde P\left( {\cal H} \right),w} \right);}\\ {{\rm{s}}{\rm{.}}\;{\rm{t}}{\rm{.}}\;\;\;\sum\limits_{i \in {\cal D}} {{{\rm{e}}^{\tilde P_i^k\left( {\cal H} \right)}}h_{i0}^k} \le I_k^{{\rm{th}}}\left( {\cal H} \right),\forall k \in {{\cal K}_C}\left( {\cal H} \right);}\\ {\sum\limits_{k \in {\cal K}} {{{\rm{e}}^{\tilde P_i^k\left( {\cal H} \right)}}} \le P_i^{\max },\forall i \in {\cal D}.} \end{array} $

(20)

其中$\widetilde{f}\left( \lambda, \widetilde{P}\left( \mathcal{H} \right), w \right)\triangleq \sum\limits_{i\in \mathcal{D}}{{{\mu }_{i}}{{\rm{e}}^{{{\theta }_{i}}\left( {{\lambda }_{i}}-{{\widetilde{R}}_{i}}\left( \widetilde{P}\left( \mathcal{H} \right), {{w}_{i}} \right) \right)}}}$。

因为${{\widetilde{R}}_{i}}\left( \widetilde{P}\left( \mathcal{H} \right), {{w}_{i}} \right)$是凹函数，所以易得$\widetilde{f}\left( \lambda, \widetilde{P}\left( \mathcal{H} \right), w \right)$为凸函数，进而可证优化问题P6(w)是凸的。P6(w)可以通过内点法^[15]等算法求解。

求解完P6(w)后，可用新得到的功率控制结果更新近似系数以获得更准确的近似^[18]。基于上述分析，本文提出的求解P5($\mathcal{H}$, λ)的算法流程如下：

步骤1  初始化：近似系数初值w⁽⁰⁾，迭代序号y=0，最大迭代次数y^max。

步骤2  功率控制：给定近似系数w^(y)后，求解P6(w^(y))，记最优解为$\widetilde{P}{{\left( \mathcal{H} \right)}^{\left( y \right)}}$，通过逆变换$P_{i}^{k}{{\left( \mathcal{H} \right)}^{\left( y \right)}}={{\rm{e}}^{\widetilde{P}_{i}^{k}{{\left( \mathcal{H} \right)}^{\left( y \right)}}}}$得到功率控制结果P($\mathcal{H}$)^(y)。

步骤3  更新近似系数：由P($\mathcal{H}$)^(y)计算出通信链路i(i∈$\mathcal{D}$)在子信道k(k∈$\mathcal{K}$)上的信干噪比，记为$\overline{z}$，按式(18)计算得更新后的近似系数α_i^k(y+1)和β_i^k(y+1)。

步骤4  计算P5($\mathcal{H}$, λ)的目标函数值f(λ, P($\mathcal{H}$)^(y))。

步骤5  如果f(λ, P($\mathcal{H}$)^(y))收敛或者y=y^max，则停止迭代，输出P($\mathcal{H}$)^(y)作为的P5($\mathcal{H}$, λ)求解结果；否则，更新y=y+1，转步骤2。

4.3 通过次梯度算法求解P4

在求解完P3$ \overline{\mu }$后，可通过次梯度算法求解对偶问题P4，即对偶变量$ \overline{\mu }$可通过如下方式更新：

$ \mu _i^{\left( {l + 1} \right)} = {\left[ {\mu _i^{\left( l \right)} + s\left( {{E_{\cal H}}\left\{ {{{\rm{e}}^{{\theta _i}\left( {{\lambda _i} - {R_i}\left( {\mathit{\boldsymbol{P}}\left( {\cal H} \right)} \right)} \right)}}} \right\} - 1} \right)} \right]^ + }. $

(21)

其中：l表示迭代序号，s表示足够小的步长。

5 仿真分析

本章通过仿真来验证所提算法的有效性。考虑一个半径为500 m的圆形小区，基站位于圆心，蜂窝用户和直通用户对发端随机分布于小区。直通用户对收端随机分布于以其相应发端为圆心、半径为100 m的圆内。如节2所述，用θ_i来刻画通信链路i∈$\mathcal{D}$的统计QoS需求。为了仿真简便，假设所有直通用户具有相同的统计QoS需求和最大发送功率，分别用θ和P^max表示。每个时隙初，所有子信道随机分配给蜂窝用户，即$ {{\mathcal{K}}_{C}}\left( \mathcal{H} \right)$=$\mathcal{K}$, ∀$\mathcal{H}$，同时各子信道上的干扰门限值相同，即I_k^th($\mathcal{H}$)=I^th, ∀k∈$\mathcal{K}$, ∀$\mathcal{H}$。其余参数取值为：C=D=30，K=5，B=0.5 MHz，T=1 ms，P^max=23 dBm，噪声功率谱密度为-174 dBm/Hz，用户与基站间的路损数值为15.3+37.6 lg d，用户与用户间的路损数值为28+40 lg d，其中：d表示距离，单位为m；路损单位为dB。阴影衰落的标准差为7 dB，快衰落考虑均值为1的Rayleigh衰落。

本文选取带QoS保证的系统吞吐量$\sum\limits_{i\in \mathcal{D}}{{{\lambda }_{i}}}$作为性能指标。为了获得平均性能，本文仿真了100个随机产生的拓扑，每个拓扑仿真10⁴个时隙。为了比较性能，选取下面2个对比方案：

1) 和速率最大方案：给定$\mathcal{H}$后，P($\mathcal{H}$)通过最大化和速率$\sum\limits_{i\in \mathcal{D}}{{{R}_{i}}\left( P\left( \mathcal{H} \right) \right)}$求得。对于通信链路i∈$\mathcal{D}$，给定后θ_i，λ_i调整为R_i(P($\mathcal{H}$))的有效容量，即λ_i=C_i(θ_i)。

2) 最大功率发送方案：各直通用户对的发端都以最大功率发送，功率在所有子信道上均分，可以通过同比例减小子信道k∈$ {{\mathcal{K}}_{C}}\left( \mathcal{H} \right)$上的发送功率来保证式(6d)中的干扰门限一定满足。业务到达率的调整方式同方案1。

图 2显示了QoS指数θ对系统吞吐量的影响，其中I^th=-90 dBm。当θ变大时，对应的QoS需求变紧，因此系统吞吐量随θ单调递减。可以发现本文所提方案始终具有最优性能，且性能优势随θ的变大而愈加明显。例如相比和速率最大方案，本文所提方案在θ为10^-3和10^-2.4时能将性能分别提升51%和115%。

图 3显示了系统吞吐量随干扰门限值I^th的变化情况。当I^th很小时，对蜂窝用户的保护程度很高，此时要求直通用户发送功率很小，因此吞吐量很低。随着I^th变大，对蜂窝用户的保护程度减弱，允许直通用户以更大的功率发送，因此吞吐量随之上升并逐渐饱和。同样可以发现所提方案始终能达到最大的系统吞吐量。

6 结论

本文研究了OFDMA蜂窝网络中的D2D通信，在保证蜂窝用户的干扰门限要求下，以最大化带统计QoS保证的系统吞吐量为目标，提出了有效的资源分配算法。通过Lagrange方法求解原始优化问题。为了求解对偶函数，提出了交替式优化算法和渐进凸近似算法。仿真表明本文所提方案能有效提升系统性能。