可转债是可以按照指定的转股价和转换比率转换为股票的一种债券，它包含多种权利：转股权、赎回权以及回售权。转股价的向下修正条款是中国独有的条款。当股票价格持续低于转股价时，该条款允许发行公司适当调整转股价，保证合理的转股价格，以保护债券持有人的利益。因为被修正的转股价会影响其他可转债权利的行使，所以在定价过程中需要考虑各个条款的触发条款以及条款之间的相互联系。因此，向下修正条款的存在大大提高了可转债定价难度。

可转债是同时具有债券特征和股票特征的复合性债券，研究可转债定价主要有两种方法：结构模型和简化模型。这两种方法的主要区别在于模型基础变量不同，结构模型以公司价值为模型基础变量，而简化模型采用股票价格作为模型基础变量。

结构模型采用Black-Scholes-Merton的分析框架，将公司信用风险假设为内生变量。Ingersoll^[1-2]和Brennan等^[3]采用随机变化的企业价值为主要变量，考虑了企业违约的可能性。Brennan等^[4]利用Vasicek利率模型研究随机利率风险对可转债定价的影响，发现随机变化的利率风险对可转债定价影响较小。

结构模型的逻辑比较清楚，认为可转债是公司价值和时间的函数，但是公司价值是比较难以观测的变量，且该模型还假设了可转债是唯一的债务类型。这些假设导致理论和实际存在一些分歧，因此后续研究采用了简化模型来考虑可转债定价问题。

简化模型认为信用风险是外生变量，以股票价格为定价基础变量简化了可转债到期收益结构和违约风险的计算。McConnell等^[5]采用Brennan等的模型^[4]，利用有限差分法分析了流动收益期权票据的定价问题，发现可转债发行公司股票价格上涨会导致收益率下降，进而会提高模型价格。Tsiveriotis等^[6]认为利率随机波动对可转债定价的影响较小，而信用风险是主要影响因素。他们把可转债分为现金部分和股权部分，认为只有现金部分受到信用风险的影响，而股权部分没有违约风险。他们的研究发现可转债价值随着信用利差的降低而减少。以Tsiveriotis等的研究为基础，后续多个研究分析了对信用风险的不同测量方法对可转债定价的影响^[7-11]。

中国的可转债市场发展较晚，2000年以后才开始逐步发展。早期可转债定价研究主要是关于定价模型的介绍和适用性研究^[12-15]。随着可转债市场的增长，许多研究引用大样本来分析可转债定价问题。赖其男等^[16]使用Tsiveriotis等的模型^[6]系统地分析了30只可转债的下属条款和可转债定价问题，发现该模型能够提供较好的模型价格，并且市场存在“溢价”。杨立洪等^[17]以24只可转债为样本，利用二叉树方法分析了可转债定价问题，发现股票市场有效性可能会影响模型定价结果。以往的研究采用多种模型给可转债进行理论定价，但是均没有考虑向下修正条款对定价的影响。刘大巍等^[18]利用最小二乘Monte-Carlo方法，分析了部分可转债定价问题，建议考虑向下修正条款以提高可转债定价准确度。

基于前人的研究，本文进一步分析向下修正条款对可转债定价的影响。研究样本包括63只2007-2015年间发行的可转债。本文结合向下修正条款和Tsiveriotis等的模型，利用大样本分析定价问题，并通过面板回归分析进一步研究了可转债定价误差的影响因素。本研究将有助于可转债发行公司和可转债投资人理解和分析可转债理论定价。

1 模型选择和变量处理 1.1 股票价格模拟

模型假设股票价格服从几何Brown运动。根据Ito公式和无套利原则，股票价格可以写为式(1)的离散形式，

$ {S_{{t_i} + 1}} = {S_{{t_i}}} \cdot {\rm{exp}}\left[{\left( {{\mu _{{t_i}}}-\frac{{\sigma _{{t_i}}^2}}{2}} \right) \cdot \Delta {t_i} + {\sigma _{{t_i}}}\varepsilon \sqrt {\Delta {t_i}} } \right]. $

(1)

其中：S是股票价格，μ是3个月股票滚动平均收益率，σ是3个月股票收益率标准差，ε是从标准正态分布中随机抽取的值，Δt是两个相邻点的时间差。

1.2 Tsiveriotis等的模型^[6]

Tsiveriotis等的模型把可转债价值(u)分解为现金部分(v)和股权部分(u-v)。该模型认为这两部分受到不同的信用风险的影响。现金部分受到时间和信用风险的影响，需要利用无风险利率和信用利差进行贴现；股权部分不受信用风险的影响，只需用无风险利率进行贴现。该模型假设可转债和现金部分均是股票价格和时间的函数。因此，关于可转债价值的模型可以描述为式(2)，其中关于现金部分的模型为式(3)。

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \frac{{{\sigma ^2}{S^2}}}{2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {S^2}}} + rS\frac{{\partial u}}{{\partial S}} - r\left( {u - v} \right) - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;(r + {r_{\rm{c}}})v + f\left( t \right) = 0. \end{array} $

(2)

$ \frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \frac{{{\sigma ^2}{S^2}}}{2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {S^2}}} + rS\frac{{\partial u}}{{\partial S}} - (r + {r_{\rm{c}}})v + f\left( t \right) = 0. $

(3)

其中：r_c为信用利差，是市场平均公司债到期收益率和国债到期收益率的差；r为无风险利率，本文利用了3个月上海银行间同业拆放利率。f(t)为未来息票总额的时间函数，δ是Dirac δ函数。这两个函数的计算公式分别为：

$ \begin{array}{l} f\left( t \right) = f\left( {u, S, t} \right) = \sum\limits_i {{C_i}\delta \left( {t - {t_i}} \right)} {\rm{.}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }}\delta \left( {t - {t_i}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \;\;\;\;t = {t_i};\\ 0, \;\;\;\;其他. \end{array} \right. \end{array} $

其中C是息票支付。根据可转债的转股条件，模型的终端约束为：

$ \begin{array}{l} u\left( {S, T} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \kappa S, \;\;\;\;\;S \ge B/\kappa ;\\ B, \;\;\;\;\;\;\;\;其他. \end{array} \right.\\ v\left( {S, T} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \;\;\;\;\;\;\;\;S \ge B/\kappa ;\\ B, \;\;\;\;\;\;\;\;其他. \end{array} \right. \end{array} $

其中：κ为转股比率，B为债券价值，T为到期时间。根据可转债的赎回条款和回售条款，模型的上端和下端临界约束分别为：

$ \begin{array}{l} u \ge \kappa S, \;\;\;t \in [{t_{{\rm{conv}}}}, T];\\ \;\;\;v = 0\;当\;u \le \kappa S;\\ u \ge {B_{{\rm{put}}}}, \;\;{\rm{ }}t \in [{t_{{\rm{put}}}}, T]. \end{array} $

其中：t_conv是可转股期的开始日，B_tup是可回售价格，t_put是可回售期的开始日。

1.3 附属条款变量的计算

可转债持有的附属条款中，赎回条款、回售条款和向下修正条款均为路径依赖条款。这些条款的相关变量有：触发条款价格水平、条款触发日数、条款观测期。当股价达到各个条款的临界价格时，开始计算条款触发日数。在观测期内，累计触发日数达到条款触发日数，则模型进行变量调整，计算出考虑所有条款的可转债模型价格。为了分析向下修正条款对模型定价的影响，本文还计算了仅考虑赎回条款、回售条款以及转股条款的模型价格。

1.4 可转债模型价格的计算步骤

步骤1  利用几何Brown运动模型对股票价格进行模拟，模拟路径有800个，每个路径上有400个时间点。

步骤2  模型根据各个下属条款的触发条件进行调整。当股价满足触发条件时，模型会修正转股价，向下修正条款修正周期为一年。根据调整转股价和股票价格路径，模型对赎回条款和回售条款进行调整，并分别考虑投资者和债券发行公司的赎回权和回售权的行使，调整周期均为每票息年。

步骤3  考虑修改的转股价和模拟的股票价格，计算出到期投资者收益，如果有需要则考虑可转债的赎回价格和回售价格。根据Tsiveriotis等的模型，计算出考虑向下修正条款的可转债模型价格。

步骤4  重复步骤2和3，但不考虑向下修正条款，计算出没有考虑向下修正条款的模型价格。表 1所示为当观测点为6 454时定价模型参数和附属条款相关变量的统计描述。

2 可转债定价误差分析

本文从两方面分析可转债定价误差：1)本文计算出考虑向下修正条款的模型定价误差和未考虑向下修正条款的模型定价误差，研究向下修正条款对可转债定价影响。2)通过面板回归进一步分析影响定价误差的重要因素。研究样本包括2007至2015年间发行的可转债，共61只。采用的模型定价误差(MD)的计算公式为

$ {\rm{MD}}=\frac{市场价格 - 模型价格}{市场价格}. $

MD能够提供模型定价误差的大小和方向。当MD为正时，市场价格高于模型价格，模型存在低估误差；当MD为负，模型价格高于市场价格，模型存在高估误差。表 2是样本模型定价误差的t检验结果。

表 2表明，考虑向下修正条款和未考虑向下修正条款的MD均显著为正，并且两者之间的差(MDDif)显著为负。这说明可转债市场中存在显著的市场“溢价”，即市场价格显著高于模型价格，并且考虑向下修正条款后模型定价误差显著降低，平均误差从0.112降低到0.109。这是因为向下修正条款维护债券持有者的权益，在理论上会提高可转债的价格。因此，考虑向下修正条款后，模型价格更贴近于市场价格，能够给投资者提供更准确的定价。

为了进一步分析可转债定价误差的影响因素，下面利用面板回归分析了影响可转债定价的主要因素。面板回归的被解释变量为MD，解释变量包括上述分析中的股票价格的对数值(lnS)、转股比率(ConvRt)、转债溢价率(Premium)、到期剩余时间(YrMat)、股票波动率(Vol)。其中，转债溢价率的计算公式为

$ 转债溢价率=\frac{转债价格}{股票价格 \times 面值/转股价格}-1. $

为了分析可转债期权价值对定价误差的影响，模型包括了表示期权实值和在值或虚值状态的价值状态虚拟变量Moneyness。当股票价格大于转股价格时，可转债为实值状态，则Moneyness=1；当股票价格等于或小于转股价格时，可转债为在值或虚值状态，则Moneyness=0。为了控制市场状态，模型增加了表示市场状态的虚拟变量Timing，当债券交易日在2007-2009年间时Timing=1，而当交易日在2010-2015年间时Timing=0。并且，为了分析牛市股票波动率的影响，回归模型还增加了股票波动率和市场状态的交叉项(Vol×Timing)。由于转债溢价率的计算中包括股票价格和转股价格，为了控制共线性问题把这些变量分开，因此本文建立两个不同模型进行面板回归分析。

由于模型在5%的显著性水平上拒绝了Hausman检验，因此采用了固定效应面板回归，控制了市盈率(PE)和债券发行量的固定效应(IssVol)。为了控制异方差性，模型按照债券代码进行了标准误差聚类调整。模型具体公式如下：

$ \begin{array}{l} {\rm{M}}{{\rm{D}}_{i, t}} = {\alpha _0} + {\beta _1}{\rm{ln}}{\mathit{S}_{i, t}} + {\beta _2}{\rm{ConvRt}}_{i, t} + {\rm{ }}\\ {\beta _3}{\rm{Moneynes}}{{\rm{s}}_{i, t}} + {\beta _4}{\rm{Vo}}{{\rm{l}}_{i, t}} + {\beta _5}{\rm{Vo}}{{\rm{l}}_{i, t}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{Timin}}{{\rm{g}}_t} + {\beta _6}{\rm{YrMa}}{{\rm{t}}_{i, t}} + \\ \;\;{\beta _7}{\rm{Timin}}{{\rm{g}}_t} + {\rm{P}}{{\rm{E}}_i} + {\rm{IssVo}}{{\rm{l}}_i} + {\varepsilon _{i, t}}, \end{array} $

(4)

$ \begin{array}{l} {\rm{M}}{{\rm{D}}_{i, t}} = {\alpha _0} + {\beta _1}{\rm{Premiu}}{{\rm{m}}_{i, t}} + {\beta _2}{\rm{Moneynes}}{{\rm{s}}_{i, t}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\beta _3}{\rm{Vo}}{{\rm{l}}_{i, t}} + {\beta _4}{\rm{Vo}}{{\rm{l}}_{i, t}} \times {\rm{Timin}}{{\rm{g}}_t} + {\rm{ }}\\ {\beta _5}{\rm{YrMa}}{{\rm{t}}_{i, t}} + {\beta _6}{\rm{Timin}}{{\rm{g}}_t} + {\rm{P}}{{\rm{E}}_i} + {\rm{IssVo}}{{\rm{l}}_i} + {\varepsilon _{i, t}}. \end{array} $

(5)

表 3是面板回归结果。由于可转债具有显著的市场“溢价”，能够降低定价误差MD影响的渠道有两种：1)提高模型价格可以降低定价误差。回归模型中部分解释变量为可转债定价模型参数，如股票波动率和股价等。这些因素的变化可以提高可转债内含的期权价值，从而提高模型价格且降低定价误差。2)降低市场价格可以降低定价误差。可转债溢价率和市场状态可以反映对可转债的市场需求，提高或降低市场价格会影响可转债定价误差。

在表 3中，股票价格和转股比率的回归系数显著为负。当可转债具有高股价或转股比例时，其内含股票期权价值高，模型能够准确捕捉到期权价值，减少了定价误差。转债溢价率回归系数显著为正。这是因为高转债溢价率代表可转债市场溢出模型价格程度，高溢价率反映市场价格高，提高了定价误差。在两个回归模型中，价值状态均显著为负。当可转债处于实值状态时投资者的转股可能性较大，可转债内置期权的价值高时，模型能够较准确地捕捉期权价值，提高模型价格，降低定价误差。

模型有两个波动率变量：1)牛市股票波动率，2)整个样本期间的股票波动率。回归结果中只有牛市股票波动率系数显著为负，而总样本期间的股票波动率系数为正且不显著。这是因为牛市往往具有较高股票波动率且可转债在牛市更具有股票期权特征，因此高波动率提高了模型定价，进而降低了定价误差。在熊市，可转债表现出债券特征，而债券定价往往对股票波动率不敏感，因此总样本期间的股票波动率的系数变化不显著。到期收益率的系数显著为正，这是由于当可转债交易日接近到期日时，投资者利用可转债炒作的可能性降低，溢价减少，进而减少了模型的定价误差。

最后，市场状态变量的系数显著为正。当可转债交易日在2007-2009年间，中国股市具有高波动率，投资者具有乐观的未来股票价格预测。在此期间，投资者和企业倾向于把可转债作为投资和融资工具，增加了市场需求。因此，可转债市场价格上涨，提高了定价误差。

3 结论

本文分析了向下修正条款对中国可转债定价的影响和影响定价误差的因素。研究发现中国可转债市场存在明显的“可转债溢价”，与以往文献^[16-18]一致。引入向下修正条款后，可转债定价误差显著下降。研究进一步分析定价误差的主要影响因素发现：

1) 具有较高的转股比率、价值状态和牛市股票波动率的可转债定价准确度高。当这些变量值较高时，可转债持有人更倾向于行使转股权，可转债的内置期权价值增加。由于模型能够准确地给内置期权价值进行定价，因而模型价格能够更准确地捕捉市场价格，从而降低了模型定价误差。

2) 到期剩余时间与定价误差存在正向关系。随着到期日的迫近，可转债作为证券被投机的机会逐渐减少，降低了溢价的空间。

3) 牛市可以拉升对可转债的需求，提升市场价格，进而扩大可转债溢价，导致定价误差升高。