基于高阶有限域定义的多元LDPC(nonbinary LDPC，NB-LDPC)码最早是由Davey等[1]于1998年首次提出的。NB-LDPC码具有编码增益大、抗突发错误能力强、易于同高阶调制相结合等优点。与相同码长码率的Turbo码和二元LDPC码相比，中短码长下的NB-LDPC码能够提供更高的传输可靠度。与此同时，通过使用NB-LDPC码可以提高首次传输成功概率，进而减少重传次数、降低系统的整体传输时延。因此，NB-LDPC码是一种满足低时延高可靠要求的信道编码方案，适用于第五代移动通信系统(5G)中的超低时延高可靠场景。
当前NB-LDPC码的构造方法主要分为2大类：基于计算机搜索的构造和基于代数理论的构造。基于计算机搜索的构造是利用计算机对NB-LDPC码的相关参数进行优化，进而搜索得到具有较好性能的码，常用的优化参数主要有围长、环分布、译码门限、陷阱集等。最早提出的NB-LDPC码是随机结构的[1]，但这种随机结构的NB-LDPC码很难被实现和应用。Poulliat等[2]利用高阶域元素的二进制镜像对非零域元素进行了优化，得到了一类列重为2且性能较好的NB-LDPC码。Divsalar等[3]通过基模图也构造了一类性能优异的结构化NB-LDPC码，同时对该类码的重量枚举、译码门限等特性进行了分析。此外，Bai等[4]基于多元域上的重复累加结构提出了一类易于编码的多元重复累加码。基于代数理论的构造是利用代数工具直接设计具有较好特性(如没有四环等特性)的码。文[5-8]将二元LDPC码代数构造推广到NB-LDPC码，并基于有限几何、Euclid几何和有限域等代数工具构造了几类结构化的NB-LDPC码。NB-LDPC码的具体代数构造方法可以参阅文[9]。
目前，已有众多学者对面向5G超低时延高可靠场景的信道编码方案进行了深入的研究。文[10-11]对短码长下的LDPC码、NB-LDPC码、Polar码、Turbo码和咬尾卷积码进行了性能和实现复杂度方面的综合比较，并基于比较结果给出了不同信息长度区间下的最优编码方案。文[12-14]利用有限长信息理论研究了短包通信场景下的帧结构、时频资源分配和反馈传输机制等问题，同时给出了优化的传输方案和相应的理论性能界。
速率兼容NB-LDPC(rate-compatible NB-LDPC，RC-NB-LDPC)码是一组信息位长度相同、码率不同的NB-LDPC码，该组码在各个码率上都有较好的性能，并且能够使用同一套编译码器实现。采用RC-NB-LDPC码的通信系统可以根据当前信道状况调整码率，进而在满足传输可靠度的前提下提高传输效率。此外，RC-NB-LDPC码还可以被用于混合自动重传请求等递增冗余系统中。
打孔和缩短是构造速率兼容码的主要方法。基于打孔的构造过程是：先构造一个低码率的母码，然后打掉母码码字的一些符号位(即被打掉的符号位不在信道上传输)，进而得到高码率的码。缩短是通过减少母码的信息长度来降低码率的，在实际的传输中，发送端在缩短的位置填充已知的信息，接收端将这些缩短的位置的可靠度设置为最大。文[15]通过结合基模图设计和结构化打孔的方法构造了RC-NB-LDPC码，该码易于实现并且具有较好的性能。文[16]利用比特缩短的方法构造了RC-NB-LDPC码，通过优化的缩短模式保证了所构造的码具有较好的性能。扩展是另一种构造速率兼容码的有效方法，其过程是先构造一个高码率的母码，然后基于当前母码的码字产生新的校验符号，进而获得低码率的码。文[17]通过乘性重复的方法构造了一类结构简单且译码复杂度较低的RC-NB-LDPC码，但所得到码的码率间隔较大。文[18]将二元Kite码拓展到多元的情况，所得到的多元Kite码性能在很大的码率范围内都优于二元Kite码。
本文基于改进的扩展方法构造了RC-NB-LDPC码，其过程也是先构造一个高码率母码，然后再通过增加检验符号降低码率。但与传统扩展方法的区别在于：新的校验符号不仅与母码的码字有关，还与当前已有的其他校验符号有关。同时，本文还采用代数方法整体设计码的校验矩阵，进而降低设计复杂度。构造过程主要包括掩模矩阵和基矩阵的优化。最终得到的RC-NB-LDPC码具有易于编译码器硬件实现的准循环结构。仿真结果表明，所构造的码在较大的码率范围内都能够获得较好的瀑布区和平层区性能。
1 NB-LDPC码的代数构造NB-LDPC码的代数构造涉及基矩阵和掩模矩阵的设计、叠加操作和掩模操作等关键步骤。
可以利用有限域理论来设计基矩阵。假设GF(q)是包含q个元素的有限域，α为GF(q)的一个本原元，GF(q)中的所有元素都可以表示为α幂次的形式即α-∞, α0, α1, …, αq-2，其中α-∞=0，α0=1。S1={α0i, α1i, …, αM-1i}和S2={α0j, α1j, …, αN-1j}是GF(q)的2个任意子集，其中im, jn∈{0, 1, …, q-2}，0≤m＜M, 0≤n＜N。根据S1和S2可以构造一个GF(q)上大小为M×N维的有限域矩阵：
| $ \mathit{\boldsymbol{B}}{\rm{ = [}}{\mathit{\alpha }^{{\mathit{b}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}}}{{\rm{]}}_{{\rm{0}} \le \mathit{m < M}{\rm{, 0}} \le \mathit{n < N}}}{\rm{.}} $ | (1) |
其中αm, nb=αmi-αnj。矩阵B即为基矩阵。
叠加操作是将基矩阵B中的零元素替换成大小为(q-1)×(q-1)维的全零矩阵，将非零元素αm, nb替换成大小为(q-1)×(q-1)维且循环系数为bm, n的循环置换矩阵。经过叠加操作可以得到一个二元矩阵阵列：
| $ {\mathit{\boldsymbol{H}}_{\rm{b}}}{\rm{ = [}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{{\rm{]}}_{{\rm{0}} \le \mathit{m < M}{\rm{, 0}} \le \mathit{n < N}}}{\rm{.}} $ | (2) |
其中Pm, n为全零矩阵或循环置换矩阵。
为了提高码的性能，往往需要根据掩模矩阵Z对Hb进行掩模操作，掩模矩阵Z =[zm, n]0≤m＜M, 0≤n＜N是一个二元矩阵，可以通过计算机优化搜索或代数理论设计的方法得到。二元矩阵阵列Hb经过掩模操作后可以得到矩阵阵列：
| $ {\mathit{\boldsymbol{H}}_{{\rm{b, mask}}}}{\rm{ = }}\mathit{\boldsymbol{Z}} \otimes \mathit{\boldsymbol{B}}{\rm{ = [}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}\;{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{{\rm{]}}_{{\rm{0}} \le \mathit{m < M}{\rm{, 0}} \le \mathit{n < N}}}{\rm{.}} $ | (3) |
其中
| $ {\mathit{\boldsymbol{z}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}\;{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{\rm{, }}\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{\rm{ = 1;}}\\ {\bf{0}}{\rm{, }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{\rm{ = 0}}{\rm{.}} \end{array} \right. $ | (4) |
假设要构造的NB-LDPC码所基于的有限域为GF(
假设要构造的RC-NB-LDPC码的码率集合为{R1, R2, …, RJ}，R1＞R2＞…＞RJ。所基于的有限域为GF(
图 1展示了所构造的RC-NB-LDPC码的校验矩阵结构，其中着色方框表示多元域上循环置换矩阵，空白方框表示全零矩阵。可以看到，最低码率码的校验符号不仅与最高码率码的码字有关，还与中间码率码的校验符号有关；并且不同码率码的校验矩阵具有嵌套结构，即高码率码的校验矩阵包含在低码率码的校验矩阵中。本文将采用代数方法整体设计码的校验矩阵。
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| 图 1 RC-NB-LDPC码的校验矩阵结构 |
2.2 掩模矩阵的设计
首先设计掩模矩阵，假设大小为Mj×Nj维的矩阵Zj是码率Rj对应的掩模矩阵，j∈{1, 2, …, J}。图 2展示了掩模矩阵Z1, Z2, …, ZJ的结构，其中s2, s3, …, sJ表示二元向量，可以看出针对不同码率的掩模矩阵也具有嵌套结构。
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| 图 2 掩模矩阵结构 |
首先选定对应于最高码率的掩模矩阵Z1，然后逐行选取向量s2, s3, …, sJ，进而完成掩模矩阵Z2, Z3, …, ZJ的设计。可以在一个给定的集合中选取最优的sj，选取准则是使掩模矩阵Zj具有最优的译码门限值，掩模矩阵的译码门限值是由多元域上的基模图外信息转移(nonbinary protograph-based extrinsic information transfer，NB-PEXIT)[19]工具计算得到的。
图 3的算法1描述了掩模矩阵的具体设计流程。
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| 图 3 算法1 |
3.3 基矩阵的设计
在NB-LDPC码的代数构造过程中，基矩阵是基于给定有限域的2个任意子集设计的，并且基矩阵的设计和掩模操作是分开进行的。本文将结合掩模操作对RC-NB-LDPC码的基矩阵进行优化设计。
假设大小为Mj×Nj维的矩阵Bj是对应码率Rj的基矩阵，其中j∈{1, 2, …, J}。令α为有限域GF(q)的本原元，S1是GF(q)不包含零元素的子集，S2是包含NJ个元素的GF(q)的任意子集，根据S1和S2可以构造一个GF(q)上大小为(q-1)×NJ维的有限域矩阵：
| $ \mathit{\boldsymbol{C}}{\rm{ = [}}{\mathit{\alpha }^{{\mathit{c}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}}}{{\rm{]}}_{{\rm{0}} \le \mathit{m < q}{\rm{ - 1, 0}} \le \mathit{n < }{\mathit{N}_\mathit{J}}}}{\rm{.}} $ | (5) |
其中αm, nc=αmi-αnj。矩阵C为循环系数矩阵。
通过叠加操作，可以根据一个给定的基矩阵得到一个二元矩阵阵列。利用文[20]中的方法可以计算出二元矩阵阵列中不同长度环的数目，定义以下基于环数目的度量μ：
| $ \mathit{\mu }{\rm{ = }}{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{4}}}{\mathit{p}_{\rm{4}}}{\rm{ + }}{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{6}}}{\mathit{p}_{\rm{6}}}{\rm{ + }}{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{8}}}{\mathit{p}_{\rm{8}}}{\rm{.}} $ | (6) |
其中：v4、v6、v8分别是二元矩阵阵列中长度为4、6、8的环的数目，p4、p6、p8分别是对应v4、v6、v8的权值。
本文以度量μ为比较参数，并基于已经得到的循环系数矩阵C和掩模矩阵ZJ设计对应最低码率的基矩阵BJ，然后再选取BJ的前Mj×Nj维做为对应码率Rj的基矩阵Bj。
BJ的设计是逐行进行的，即根据已经确定的前(m-1)行构造第m行。BJ的第m行是从循环系数矩阵C的前(q-1)行中选取的。在BJ的第m行选取过程中，首先根据C的第u行C (u, ：)和掩模矩阵ZJ的第m行ZJ(m, ：)构造向量bm：
| $ {\mathit{\boldsymbol{b}}_\mathit{m}}{\rm{ = }}{\mathit{\boldsymbol{Z}}_\mathit{J}}\left( {\mathit{m}{\rm{, }}:} \right) \otimes \mathit{\boldsymbol{C}}\left( {\mathit{u}{\rm{, }} : } \right){\rm{ = [}}{\mathit{\boldsymbol{z}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}\;{\mathit{\alpha }^{{\mathit{c}_{\mathit{u}{\rm{, }}\mathit{n}}}}}{{\rm{]}}_{{\rm{0}} \le \mathit{n < }{\mathit{N}_\mathit{J}}}}{\rm{;}} $ | (7) |
| $ {\mathit{\boldsymbol{z}}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}\;{\mathit{\alpha }^{{\mathit{c}_{\mathit{u}{\rm{, }}\mathit{n}}}}}{\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\alpha }^{{\mathit{c}_{\mathit{u}{\rm{, }}\mathit{n}}}}}{\rm{, }}\;\;\;\;\;{\mathit{z}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{\rm{ = 1;}}\\ \;{\rm{0, }}\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{z}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{\rm{ = 0}} \end{array} \right.{\rm{.}} $ | (8) |
然后构造过渡矩阵Bbuff：
| $ {\mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{buff}}}}{\left[\begin{array}{l} \;\;\mathit{\boldsymbol{B}}\left( {{\rm{1, }} : } \right)\\ \;\mathit{\boldsymbol{B}}\left( {{\rm{2, }} : } \right)\\ \;\;\;\;\;\; \vdots \\ \mathit{\boldsymbol{B}}\left( {\mathit{m-}{\rm{1, }}:} \right)\\ \;\;\;\;\;{\mathit{\boldsymbol{b}}_\mathit{m}}{\rm{}} \end{array} \right]}{\rm{}}{\rm{.}} $ | (9) |
计算矩阵Bbuff所对应的二元矩阵阵列的度量，最后选择C中具有最小度量的第ubest行来构造BJ的第m行，最终得到的BJ的第m行如下：
| $ {\mathit{\boldsymbol{B}}_\mathit{J}}\left( {\mathit{m}{\rm{, }} : } \right){\rm{ = }}{\mathit{\boldsymbol{Z}}_\mathit{J}}\left( {\mathit{m}{\rm{, }} : } \right) \otimes \mathit{\boldsymbol{C}}{\rm{(}}{\mathit{u}_{{\rm{best}}}}{\rm{, }} : {\rm{) = [}}{\mathit{b}_{\mathit{m}{\rm{, }}\mathit{n}}}{{\rm{]}}_{{\rm{0}} \le \mathit{n < }{\mathit{N}_\mathit{J}}}}{\rm{.}} $ | (10) |
图 4的算法2描述了上述基矩阵BJ的设计流程。
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| 图 4 算法2 |
根据最低码率的基矩阵BJ可以得到其他码率的基矩阵，对所有基矩阵进行叠加操作，并将得到的二元矩阵阵列中的“1”元素随机替换为GF(
本文通过数值仿真对所构造的RC-NB-LDPC码的性能进行检测和验证，所有仿真都是假设码字经过二进制相移键控调制后在加性Gauss白噪声信道中传输，译码端采用基于Fourier变换的多元和积译码算法，最大译码迭代次数为50。
例1 本例中的码是基于GF(64)构造的，码率集合为{4/5，8/11，2/3，8/13，4/7，8/15，1/2}，信息位长度为288个符号(等效为1 728 b)。由算法1可以得到各个码率的掩模矩阵，对应1/2码率的掩模矩阵为
| $ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&1&0&0&0\\ 1&1&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1&0\\ 1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&{\rm{0}}&1 \end{array}} \right]. $ |
基于有限域GF(37)和本原元α=2设计循环系数矩阵。设定权值p4=1 000, p6=10, p8=1，根据算法2可以得到对应最低码率的基矩阵。经过叠加操作和非零域元素替换，最终完成了RC-NB-LDPC码校验矩阵的构造。
图 5a展示了例1中得到的RC-NB-LDPC的误比特率(bit error rate，BER)性能，其中R表示码率。可以看到，所构造的码在较大的码率范围内都具有较好的瀑布区性能，并且在BER等于10-6时没有明显的错误平层。图 5b展示了文[18]中多元Kite(NB-Kite)码的性能，该码也是基于GF(64)构造的，信息位长度为315个符号(等效为1 890 b)。可以看到，本文所构造的码具有更好的瀑布区性能。
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| 图 5 误比特率性能 |
例2 本例中的码是基于GF(64)构造的，码率集合为{1/2，2/5，1/3，2/7，1/4}，信息位长度为32个符号(等效为192 b)。根据算法1可以得到各个码率的掩模矩阵，对应1/4码率的掩模矩阵为
| $ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&1&0&0&0\\ 1&0&1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&1 \end{array}} \right]. $ |
基于有限域GF(17)和本原元α=3设计循环系数矩阵。设定权值p4=1 000, p6=10, p8=1，根据算法2可以得到对应最低码率的基矩阵。经过叠加操作和非零域元素替换，最终完成了RC-NB-LDPC码校验矩阵的构造。
图 6展示了例2中得到的RC-NB-LDPC的误分组率(block error rate，BLER)性能。可以看到，所构造的RC-NB-LDPC码在较大的码率范围内都具有较好的瀑布区性能，并且在BLER等于10-5时没有明显的错误平层。
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| 图 6 例2中RC-NB-LDPC码的误分组率性能 |
图 7a展示了利用文[17]中乘性重复方法构造的信息位长度为32个符号(等效为192 b)、码率为1/4的乘性重复NB-LDPC(MR-NB-LDPC)码性能，其中MR-NB-LDPC码是由1/2码率的NB-LDPC码重复一次得到的。可以看到，本文构造的RC-NB-LDPC码具有更好的性能。图 7b展示了5G标准中LDPC码[21]的性能，其中LDPC码的信息位长度为192 b，码率为1/2、2/5和1/3。可以看到，本文构造的RC-NB-LDPC码具有更好的性能。
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| 图 7 RC-NB-LDPC码与其他LDPC码的性能比较 |
图 8展示本文构造的RC-NB-LDPC码与Polar码的性能比较，其中K表示信息位长度的比特数。其中Polar码在编码端基于极化重量(polarization weight，PW)序列[22]进行信息位和冻结位映射，在译码端采用循环冗余校验(cyclic redundancy check，CRC)辅助的逐次抵消列表译码算法[23]进行译码，CRC长度16 b，列表大小为32。可以看到，本文所构造的RC-NB-LDPC码具有更好的性能。
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| 图 8 RC-NB-LDPC码与Polar码的性能比较 |
4 结论
本文基于改进的扩展方法构造了RC-NB-LDPC码，同时采用代数方法整体设计码的校验矩阵。所构造的码具有易于编译码器硬件实现的准循环结构，并且在较大的码率范围内都能够获得较好的瀑布区和平层区性能，适用于5G的低时延高可靠场景。
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