箱型钢主要应用于大型钢结构建筑和桥梁的立柱及横梁等重要承力部位。在施工安装现场，箱型钢结构的焊接以不同角度的对接或角接环缝为主，目前采用的焊接工艺主要为焊条电弧焊和熔化极气体保护半自动焊，普遍存在焊接自动化程度低、接头质量稳定性不足、工人劳动强度大和高空作业危险等问题。因此，研究开发适用于施工现场的箱型钢结构焊接机器人具有重要意义和应用前景。

运动建模与轨迹规划、离线编程、控制和实时传感等是移动式现场焊接机器人的关键技术。箱型钢与其他钢结构焊接工艺的显著不同点在于其全位置环缝焊接的过程中存在直角转角，直角转角及其前后的焊枪位姿必须平滑过渡，才能保证焊接过程的稳定性和获得良好的接头成形质量，因此对焊枪的空间位姿必须进行连续且精准的调整和控制。然而，现场移动式焊接机器人的自身运动和执行机构的调整之间往往存在自由度的耦合，从而给机器人的运动学建模和求解、轨迹规划和执行机构的协调控制带来较多的约束^[1]。

文[1]在标准D-H模型^[2]和Craig修正D-H模型^[3]的基础上提出了CTPM(综合轨迹规划法)方法，实现了箱型钢结构全位置焊接过程中针对直角转角的焊枪空间位姿的有效调整和平滑过渡。CTPM方法的本质是综合使用几何法和基于D-H模型的代数法进行机器人的逆运动学求解，配合数据库的使用，解决了机器人存在运动自由度耦合时的箱型钢直角转角焊接的轨迹规划问题。但是，该方法的空间几何关系构建和数据库建立过程较繁琐，需要对人工规划的每个位置的焊枪位姿逐个求解运动学逆解，轨迹规划过程不利于计算机的自动化程序实现，运算量较大；当箱型钢结构规格变化时，用于轨迹规划的数据库需要修改和重建，因此对不同型号尺寸的箱型钢结构适应性较差且自动化程度较低。

本文基于所设计的新型箱型钢结构全位置焊接机器人系统，探讨了机器人存在运动自由度耦合情况下的逆运动学求解问题，针对箱型钢结构直角转角的机器人焊接工艺要求，提出了更加简便高效、易于实现自动化的轨迹规划方法。

1 焊接机器人系统结构

目前，移动式现场焊接机器人主要应用于平滑的管道环缝对接和钢结构的纵向角接直焊缝的焊接^[4]。箱型钢由于存在直角转角这一结构特征，可用于其施工现场对接或角接环缝(全位置)焊接的机器人较少：国外仅有新日铁公司(Nippon Steel Corporation)开发的箱型柱-柱焊接机器人系统，采用卧式轨道，并通过机械连接将轨道固定在箱型柱上^[5]；国内仅有清华大学研发的箱型钢结构柱或梁焊接机器人系统^[6-8]，采用立式轨道，轨道与箱型钢之间采用磁吸附连接。两者在机械手设计和控制方式等方面各具特色。

本文基于第一代焊接机器人的设计经验^[6-8]，进一步优化设计了一款新型箱型钢结构全位置焊接机器人系统，其三维模型如图 1所示。系统采用刚性轨道设计方案，由基于永磁吸附的轨道固定和支撑机构、轨道及运动配合机构、4自由度机械手、基于数字信号处理器DSP的运动控制系统等组成。

机器人系统采用永磁吸盘实现直-弧组合轨道与箱型钢结构的非破坏性连接及对轨道的有效支撑。轨道和永磁吸盘之间由具有3个调整自由度的支撑结构相连接，降低了对轨道装配精度的苛刻要求，提高了轨道系统的拆装方便性和移动便捷性。

采用双侧轮夹持轨道的运动配合设计方案实现机器人运动平台的运动支撑和过弯功能(箱型钢直角部分焊接所必需)，避免了分体式运动平台^[6-8]带来的末端执行器振颤问题。轨道两侧均加工有与运动轮配合的导向槽，对运动轮起限位和导向作用。上、下运动轮通过差速实现机器人过弯功能。该运动配合设计方案将原包裹式运动轮结构^[6-8]优化调整为双侧运动轮夹持结构，降低了对轨道加工精度的要求，增强了运动的流畅性和平稳性；优化了受力结构，提高了运动平台的整体承载能力。

基于数字信号处理器DSP F28335的数字化控制系统可同时实现焊接机器人的行走控制、4自由度机械手(2个转动关节和2个滑动关节)的空间位姿调整、送丝速度控制等系统综合控制功能，实现了基于轨迹规划的离线控制和机电一体化系统集成。

该机器人系统适用于箱型钢结构现场环缝对接的全位置焊接，解决了第一代焊接机器人系统对轨道加工精度要求较高、运动平台和轨道之间的运动配合精度难以保证、以及分体式运动平台结构对运动精度影响较大等问题。

2 机器人逆运动学数值解法 2.1 逆运动学分析

关节型串联机器人的逆运动学求解方法分为2大类：封闭解法(解析法)和数值解法^[9]。封闭解法又包括代数解法、几何解法和变换解法等。现已证明，具有相邻的3根关节轴交于一点^[10]或有相邻的3根关节轴平行的6自由度机器人存在封闭解(解析解)^[11]。但是，这给机器人的结构设计带来一定的约束，以使用工况为设计前提的特殊用途机器人往往不能满足此获得解析性逆解的前提条件。例如文[1]综合应用了代数解法和几何解法2种方法求取机器人的运动学逆解，但存在计算过程复杂、不利于计算机自动化求解、且针对不同型号尺寸的箱型钢结构适应性较差等问题。

运动学逆解的数值解法具有解析法所不具备的优势，能够对不存在封闭解和具有冗余自由度的机器人进行求解，具有更广的适用性。其基本思想是对逆运动学方程的数值迭代^[12-13]，利用给定的机器人末端位姿与当前位姿比较并迭代逼近，直至末端位姿与目标位姿的差异小于设定的误差阈值，即认为此时对应的关节矢量是逆运动学解。数值解法存在的问题是计算量较大，迭代运算时间较长，在工程应用中的实时性较难保证，且求解中容易出现Jacobi矩阵的奇异性问题。

本文所设计的焊接机器人在实施箱型钢直角转角焊接的过程中，其运动自由度可看作是转动副(机器人运行在圆弧轨道上)。但是，焊接机器人在圆弧轨道上只能沿焊接方向单向运动，故该运动自由度是单调递增的非完整自由度。由4自由度机械手和机器人运动自由度组成的5自由度系统处于欠自由度状态，且运动自由度和机械手的自由度之间存在自由度参数的耦合关系^[1]，因此机械手不能满足焊枪空间任意姿态调整的需要。此时，满足焊接工艺要求的焊枪位姿唯一，但基于解析法的逆运动学解却并不唯一。

由上述分析可知，当机器人系统处于欠自由度状态且存在运动自由度的耦合关系时，采用传统基于解析法的逆运动学求解方法难以得到满足焊接工艺要求的逆运动学合理解。为此，本文提出一种基于实际焊接工艺所确定的逆运动学数值解法，根据焊接工艺对焊枪空间位姿的要求，建立关于关节变量的逆运动学方程组，通过对方程组进行迭代求解直接得到该焊枪空间位姿下的关节变量，而不进行关于关节变量解析表达式的推导。

2.2 基于焊接工艺需求的逆运动学数值解法

根据轨道系统的设计尺寸和箱型钢大小，绘制出箱型钢结构焊接机器人系统的空间坐标系布局及尺寸关系如图 2所示，设系统基坐标系为{S}，原点位于轨道几何中心；当机器人运行在直线轨道段时，局部坐标系{0}的原点位于直线轨道的中点；当机器人运行在圆弧轨道段时，局部坐标系{0}的原点位于圆弧轨道的圆心。

当机器人在轨道直线段1运行时，系统的D-H模型坐标系如图 3所示，坐标轴Z₂、Z₃在D-H模型坐标系中的相对位置分别表示2个滑动关节所在的位置，坐标轴Z₄、Z₅在D-H模型坐标系中的相对位置分别表示2个转动关节的旋转中轴线所在的位置，θ₄和θ₅分别表示2个转动关节的变量。

图 4中，以机器人运行在直线轨道段且进行箱型钢结构上表面直线焊缝的焊接为例。P为焊缝上的待焊点，设焊枪的夹持长度为l，向量O₅P为焊枪所在的空间位姿，机械手末端关节坐标系为{5}，N₁为沿焊枪反方向的单位向量，N₂为沿焊缝待焊接方向的单位向量。

图 4中，待焊点P在末端关节坐标系{5}中的向量表示为

$ ^5\boldsymbol{P} = {[-l, {\rm{ }}0, {\rm{ }}0, {\rm{ }}1]^{\rm{T}}}. $

(1)

利用D-H法进行机器人运动学建模和求解，则系统的正运动学解可表示为

$ _0^{\rm{S}}\boldsymbol{T}{\left( {\prod\limits_{i = 1}^5 {_i^{i- 1}\boldsymbol{T}} } \right)^5}\boldsymbol{P} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{P_x}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{P_y}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{P_z}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&1 \end{array}} \right]. $

(2)

其中：₀^ST为系统基坐标系{S}到局部坐标系{0}的变换矩阵，_i^i-1T为坐标系{i-1}到坐标系{i}(i=1, 2, …, 5)的变换矩阵。a_ij(i, j=1, 2, 3)由所设计的机器人运动机构和机械手的D-H参数和关节变量确定；(P_x，P_y，P_z)为经过坐标系变换后的待焊点P在系统基坐标系{S}中的坐标，其值由各变换矩阵中的对应元素(P_xi，P_yi，P_zi)(i=s, 0, 1, …, 5)经过矩阵连乘运算后得到，表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} {P_x} = ({P_{xs}}, {\rm{ }}{P_{x0}}, {\rm{ }}{P_{x1}}, {\rm{ }} \cdots, {\rm{ }}{P_{x5}}), \\ {P_y} = ({P_{ys}}, {\rm{ }}{P_{y0}}, {\rm{ }}{P_{y1}}, {\rm{ }} \cdots, {\rm{ }}{P_{y5}}), \\ {P_z} = ({P_{zs}}, {\rm{ }}{P_{z0}}, {\rm{ }}{P_{z1}}, {\rm{ }} \cdots, {\rm{ }}{P_{z5}}). \end{array} \right. $

(3)

单位向量N₁在坐标系{5}和系统基坐标系{S}中可分别表示为

$ ^5{\boldsymbol{N}_1} = {[1, {\rm{ }}0, {\rm{ }}0, {\rm{ }}1]^{\rm{T}}}, $

(4)

$ {^S}{\boldsymbol{N}_1} = _0^S\boldsymbol{T}{\left( {\prod\limits_{i = 1}^5 {_i^{i- 1}\boldsymbol{T}} } \right)^5}{\boldsymbol{N}_1} = {[{N_{1x}}, {\rm{ }}{N_{1y}}, {\rm{ }}{N_{1z}}, {\rm{ }}1]^{\rm{T}}}. $

(5)

同理，单位向量N₂在坐标系{S}中可表示为

$ ^S{\boldsymbol{N}_2}{ = _0}^S\boldsymbol{T}{\left( {\prod\limits_{i = 1}^k {_i^{i- 1}\boldsymbol{T}} } \right)^5}{\boldsymbol{N}_2} = {[{N_{2x}}, {\rm{ }}{N_{2y}}, {\rm{ }}{N_{2z}}, {\rm{ }}1]^{\rm{T}}}. $

(6)

则焊枪与焊缝的夹角可表示为

$ \beta = {\rm{arccos}}\left( {\frac{{{\boldsymbol{N}_1}{\boldsymbol{N}_2}}}{{\left| {{\boldsymbol{N}_1}} \right|\left| {{\boldsymbol{N}_2}} \right|}}} \right) $

(7)

在焊枪相对钢结构直角转角完成90°旋转的过程中，β是一个从初始值90°逐渐增大的变量(见图 4)。在平焊焊缝的第一道打底焊中，若焊接工艺确定焊枪沿垂直于焊缝方向的左右摆角为零(焊枪始终垂直于系统坐标系的Y_S轴)，则式(5)中N_1y=0；若焊接工艺要求焊枪沿垂直于焊缝方向的左右摆角为θ，则N_1y=sinθ。待焊点P的坐标由轨迹规划给出，设焊缝上任一待焊点P在系统基坐标系{S}的坐标为P=(C₁, C₂, C₃)，则可以得到基于实际焊接工艺条件确定的方程组：

$ \left\{ \begin{array}{l} {P_x} = ({P_{xs}}, {\rm{ }}{P_{x0}}, {\rm{ }}{P_{x1}}, {\rm{ }} \cdots, {\rm{ }}{P_{x5}}) = {C_1}, \\ {P_y} = ({P_{ys}}, {\rm{ }}{P_{y0}}, {\rm{ }}{P_{y1}}, {\rm{ }} \cdots, {\rm{ }}{P_{y5}}) = {C_2}, \\ {P_z} = ({P_{zs}}, {\rm{ }}{P_{z0}}, {\rm{ }}{P_{z1}}, {\rm{ }} \cdots, {\rm{ }}{P_{z5}}) = {C_3}, \\ \beta = {\rm{arccos}}\left( {\frac{{{\boldsymbol{N}_1}{\boldsymbol{N}_2}}}{{\left| {{\boldsymbol{N}_1}} \right|\left| {{\boldsymbol{N}_2}} \right|}}} \right), \\ {N_{1y}} = {\rm{sin}}\theta . \end{array} \right. $

(8)

当焊接机器人运行在轨道直线段时，系统可看作由3个滑动自由度(运动平台的移动、十字滑台的高低和前后伸缩运动)和2个转动自由度(机械手的前后和左右摆动)组成的5自由度机器人；当焊接机器人运行在圆弧轨道段时，系统可看作由3个转动自由度和2个滑动自由度组成的5自由度机器人(运动平台的滑动自由度变为绕圆弧轨道中心的转动自由度)；也就是说，在箱型钢结构环缝焊接工艺过程中，机器人系统始终具有5个关节变量，因此式(8)是适定方程组。至此，根据实际焊接工艺所确定的式(8)理论上可以解出机器人工作过程中的5个关节变量(机器人运行在圆弧轨道段进行钢结构直角转角焊接时，其运动学方程不同，但求解方法相同，不再赘述)。

3 基于递推算法的轨迹规划方法及仿真验证

由上述分析可知，随着待焊点P的坐标变化，式(8)是一个非线性的变表达式方程组，属于数值解的范畴。同时，由于机器人中有转动关节存在，式(8)中含有关于关节转动变量的三角函数，因此，方程组的解存在不唯一性。但是满足实际焊接工艺要求的焊枪位姿是确定的。为了保证式(8)的每一次逆运动学求解结果满足实际焊接工艺要求，本文给出一种基于递推算法的轨迹规划方法，以保证每一次求解的合理性，避免了文[1]所提出的CTPM法自动化程度低、适应性较差以及构建数据库的工作量大等问题。

该递推算法的基本原理为：为了求得一组合理的解，每一次求解都应在上一组解的附近求得，而初始时刻的合理解应当在初始D-H参数附近。这样的递推方法保证了每一次求解的唯一性和合理性。

本文采用MATLAB完成此递推算法的程序实现，其求解非线性方程组的函数一般调用格式为

$ {x_0} = {\rm{fsolve}}({\rm{fun}}, {\rm{ }}{x_0}). $

(9)

焊枪末端轨迹关于时间的函数是由焊接工艺参数决定的。取焊接速度为4 mm/s，箱型钢直角转角的焊接时间约为4 s；焊枪与工件焊缝之间的夹角设定为平焊90°、立焊70°、仰焊80°，这样焊枪末端位姿沿焊缝方向的摆角β的函数得以确定。将焊缝均匀地离散为一系列的点，将待焊点坐标依次代入式(8)并给定初始时刻的关节变量，通过递推算法即可进行针对每一个待焊点所对应的一组关节变量的求解。焊接机器人在圆弧轨道上运行时实现轨迹规划的程序流程如图 5所示。

以箱型钢结构半周的焊接为例(另半周采用相同焊接工艺参数进行焊接)，利用MATLAB进行基于递推算法的机器人逆运动学数值法求解的程序编制，并完成基于数值解的轨迹规划工作，获得的机器人运动轨迹和焊枪末端的焊接轨迹如图 6所示。当机器人运行在运动轨迹的相应标记位置时，则进行待焊点轨迹上同类型标记位置的焊接。

在焊接机器人进行箱型钢结构半周焊接的过程中，需要完成钢结构两个直角转角的焊接，在此过程中，机器人各关节的位移和角度曲线如图 7所示。在进行箱型钢结构的直线焊缝焊接时，机器人各关节的运动较平稳；而在进行直角转角焊接时，部分关节参数变化较剧烈。通过对各关节的运动加速度进行校核可知，各关节的驱动电机功率完全能满足运动要求。

将图 7中不同时刻下所对应的关节参数(数值解)转化成相应的控制电机的脉冲波频率，然后将脉冲频率表导入机器人DSP控制器中，即可实现既定轨迹规划的自动焊接。

4 结论

本文基于所设计的新型箱型钢结构现场全位置焊接机器人系统，对其逆运动学求解中存在的问题进行了深入分析和探讨。针对机器人处于欠自由度工况和存在运动自由度耦合等问题，导出了一种基于实际焊接工艺需求的逆运动学数值解法，利于计算机自动求解，解决了基于解析法的逆运动学求解困难问题。提出了一种基于递推算法的机器人运动轨迹规划和焊枪位姿调整方法，实现了机器人逆运动学数值解法的计算机自动求解。