空气动力学特性确定是飞行器研究至关重要的环节，不仅需要大量的理论计算，还需要开展专门的风洞试验。风洞天平是风洞试验必不可少的空气动力学载荷测量装置[1]，进行风洞试验前，需要利用风洞天平校准台预先对风洞天平进行校准，以保证风洞天平测量精度[2]。图 1为风洞天平校准系统，包括复位机构、支撑系统和加载系统3部分。复位机构从结构形式上有串联结构和并联结构2种。由于具有结构简单和高刚度等优点，便于实现6自由度运动，在多自由度校准台上，Stewart并联机构有替代串联机构作为风洞天平校准台复位机构的趋势。此复位机构由定平台、动平台、连接定平台与动平台的6条支链和加载台体组成(见图 2)，其中：定平台固定在梁架上；加载台体是被校天平的支撑部件，安装于动平台下方，通过滑动导轨实现轴向位置调整功能；被校天平刚性连接在加载台体末端，天平中心即为加载中心。
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| 图 1 风洞天平校准台 |
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| 图 2 风洞天平校准台复位机构 |
为方便对天平施加载荷，被校天平上通常装有加载架，加载系统通过钢带连接于加载架，对被校天平施加6自由度载荷。在载荷作用下被校天平变形导致校准力轴系与天平模型轴系不重合，因此需要通过复位机构的复位运动，使校准力轴系和天平模型轴系在校准过程中保持重合，防止轴系间偏差造成载荷不准确，从而对校准精度产生影响[3]。因此，复位机构运动精度是影响天平校准精度的关键因素。
并联机构精度通常分为静态精度和动态精度，静态误差对终端误差的影响大于70%，是影响运动学精度的主要因素[4-5]。为了在设计阶段降低结构误差对终端精度的影响，通常需要进行精度分析和精度设计[6]。精度分析是精度设计的基础，Wang等[7]进行了制造误差、装配误差和驱动支链误差等132项误差源的研究；段艳斌等[8-9]给出了铰链位置误差和支链误差等42项误差源的研究；刘宇哲等[10-11]开展了针对铰链制造误差的研究。在误差模型的建立方面，有2种常用的方法[12-14]：矢量法和矩阵法。其中矢量法基于并联机构闭环方程进行微分计算，分离出误差源；矩阵法建立各个运动副的D-H参数，对并联机构支链运动传递情况进行分析。在精度分析方面，Newton法[11]、Monte Carlo法[15]、随机数学法[16]和区间分析法[17]等都得到了良好应用。但是利用Newton法求解会进行复杂Jacobian矩阵的解算，Monte Carlo法、随机数学法求解需要产生大量的随机样本，都会造成求解效率低下，区间分析法又会产生一定的放大效应，影响求解精度。
本文基于D-H参数方法，建立铰链制造误差到加载中心精度的误差传递模型。为提高计算效率并获得良好的求解精度，利用Qusai-Newton法在工作空间内求解铰链误差对加载中心调整精度的影响。分析不同结构参数对加载中心精度的影响，为高精度风洞天平复位机构的设计提供了重要参考依据。
1 复位机构模型 1.1 复位机构Stewart平台模型从定平台上虎克铰开始，每一条支链由一个虎克铰、一个驱动轴和一个球铰构成。将虎克铰、驱动轴和球铰分别当做2个转动副、移动副和3个转动副。利用D-H参数法建立平台运动学模型，分别在定平台和动平台铰链点中心建立固定坐标系{B}和移动坐标系{P}。选取其中一条支链进行分析，依次建立虎克铰坐标系{0}和{1}，驱动轴坐标系{2}，球铰坐标系{3}、{4}和{5}。为分析方便，在动平台上建立与坐标系{5}同位置、与坐标系{P}同方向的坐标系{6}。各坐标系的方向如图 3所示。
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| 图 3 支链坐标系示意图 |
各坐标系的具体确定原则如下。
1) 定平台坐标系{B}：固定坐标系。YB轴垂直于平台面向上，XB轴垂直平分定平台1号铰链与6号铰链的连线，ZB轴方向符合右手定则。
2) 坐标系{0}：虎克铰转动副1坐标系。原点与铰链点理论中心重合，Z0轴沿着虎克铰转动轴线1，X0轴沿着坐标系{B}指向{0}，Y0轴方向符合右手定则。
3) 坐标系{1}：虎克铰转动副2坐标系。Z1沿着虎克铰转动轴线2，X1轴沿着Z0、Z1公垂线方向，Y1轴方向符合右手定则。
4) 坐标系{2}：驱动轴坐标系。Z2沿着驱动轴移动轴线3, X2轴沿着Z1、Z2公垂线方向，Y2轴方向符合右手定则。
5) 坐标系{3}：球铰转动副1坐标系。Z3沿着球铰转动轴线1，X3沿着Z2、Z3公垂线方向，Y3轴方向符合右手定则。
6) 坐标系{4}：球铰转动副2坐标系。Z4沿着球铰转动轴线2，X4沿着Z3、Z4公垂线方向，Y4轴方向符合右手定则。
7) 坐标系{5}：球铰转动副3坐标系。Z5沿着球铰转动轴线3，X4沿着Z4、Z5公垂线方向，Y5轴方向符合右手定则。
8) 坐标系{6}：球铰与动平台过渡坐标系{6}。与{5}同位置，与{P}同姿态。
9) 动平台坐标系{P}：移动坐标系。YP轴垂直于平台面向上，XP轴垂直平分动平台1号铰链与6号铰链的连线，ZP轴方向符合右手定则。
对于支链j(j=1, 2, …, 6), 假设坐标系{0}与{1}、{1}与{2}、{2}与{3}、{3}与{4}、{4}与{5}、{5}与{6}之间的齐次变换矩阵分别为T01j、T02j、T03j、T04j、T05j、T06j。由图 3可知，相应的D-H参数如表 1所示。
| 序号 | h/mm | d/mm | α/(°) | θ/(°) | ||
| 理想 | 实际 | 理想 | 实际 | |||
| 1 | 0 | δh1j | 0 | 90 | 90+δα1j | θ1j |
| 2 | 0 | δh2j | 0 | 90 | 90+δα2j | θ2j |
| 3 | 0 | δh3j | d3j | 0 | δα3j | 0 |
| 4 | 0 | δh4j | 0 | 90 | 90+δα4j | θ4j |
| 5 | 0 | δh5j | 0 | 90 | 90+δα5j | θ5j |
| 6 | 0 | 0 | 0 | 90 | 90 | θ6j |
表 1中，设v=[θ1j, θ2j, θ4j, θ5j, θ6j]T为支链角度变量，w=[d31, d32, d33, d34, d35]T为支链杆长变量，它们都为支链变量。其他参数均为支链结构参数，设为uj。由于6条支链情况类似，为方便起见，下面书写省略支链右上标j，同时，用上标“a”表示实际参数，上标“n”表示理论参数，例如av和nv分别表示实际支链变量和理论支链变量，au和nu分别表示实际支链结构参数和理论支链结构参数。已知D-H参数，可以得到相应的D-H齐次变换矩阵：
| $ \mathit{\boldsymbol{T}}_{i - 1}^i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{R}}_{i - 1}^i}&{\mathit{\boldsymbol{P}}_{i - 1}^i}\\ \mathit{\boldsymbol{O}}&1 \end{array}} \right]. $ | (1) |
其中:
| $ \mathit{\boldsymbol{R}}_{i - 1}^i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _i}}&{ - \cos {\alpha _i}\sin {\theta _i}}&{\sin {\alpha _i}\sin {\theta _i}}\\ {\sin {\theta _i}}&{\cos {\alpha _i}\cos {\theta _i}}&{ - \sin {\alpha _i}\cos {\theta _i}}\\ 0&{\sin {\alpha _i}}&{\cos {\alpha _i}} \end{array}} \right], $ | (2) |
| $ \mathit{\boldsymbol{P}}_{i - 1}^i = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_i}\cos {\theta _i}}&{{h_i}\sin {\theta _i}}&{{d_i}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $ | (3) |
其中: h为连杆杆长，α为连杆扭转角，d为相邻连杆之间的相对线位移，θ为相邻连杆之间的相对角位移。Ri-1i为旋转矩阵，用以描述相邻坐标系之间的姿态，Pi-1i为平移矢量，用以描述相邻坐标系之间的位置关系。
由图 3可知，{B}与{0}之间的齐次变换矩阵可以由以下变换得到：先将{B}移动b=[XB YB ZB]T使{B}原点与{0}重合，再绕移动后的坐标系Y轴旋转-θB，最后绕转动后的坐标系X轴旋转π，经过这些平移、旋转变化可以使{B}与{0}重合。根据坐标变换，坐标系{0}到坐标系{B}的变换矩阵为
| $ \mathit{\boldsymbol{T}}_B^0 = {\rm{Trans}}\left( \mathit{\boldsymbol{b}} \right){\rm{Rot}}\left( {Y, - {\theta _B}} \right){\rm{Rot}}\left( {X,{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right). $ | (4) |
其中: b为{0}在{B}下的位置描述，θB为两坐标系X轴夹角。同样由图 3可知，{6}与{P}之间的齐次变换矩阵可以由以下变换得到：先将{6}绕X轴转动-90°，再绕转动后的坐标系移动-p=[XP YP ZP]T，经过这些旋转、平移变换可以使{6}与{P}重合。根据坐标变换，坐标系{P}到坐标系{6}的变换矩阵为
| $ \mathit{\boldsymbol{T}}_6^P = {\rm{Rot}}\left( {X, - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right){\rm{Trans}}\left( { - p} \right). $ | (5) |
其中p为{6}在{P}中的位置描述。根据表 1，联立式(1)—(5)，代入相应的支链参数即可以得到Stewart平台运动学模型：
| $ \mathit{\boldsymbol{T}}_B^P = \mathit{\boldsymbol{T}}_B^0\mathit{\boldsymbol{T}}_0^1\mathit{\boldsymbol{T}}_1^2\mathit{\boldsymbol{T}}_2^3\mathit{\boldsymbol{T}}_3^4\mathit{\boldsymbol{T}}_4^5\mathit{\boldsymbol{T}}_5^6\mathit{\boldsymbol{T}}_6^P. $ | (6) |
式(6)中，代入理论结构参数nu则为理论运动学模型，代入实际结构参数au则为实际运动学模型。
1.2 Steawart平台到加载中心模型初始状态下，加载中心坐标系{O}与加载架坐标系{T}重合，但是当天平受力变形后，{O}的位置和姿态发生变化，如图 4所示，坐标系{O}与{T}的关系需要经过计算得到。
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| 图 4 复位机构坐标关系示意图 |
在坐标系{B}下，设{P}相对于{B}的位姿为c=[XT, ΨT]T，其位置和姿态分别为X=[x, y, z]T、Ψ=[α, β, γ]T。{P}相对于{O}的位置和姿态分别用OPOA和ORA表示，{O}相对于{T}的位置和姿态分别用TPTO和TRO表示，{T}相对于{B}的位置和姿态分别用BPBT和BRT表示。由图 4可得：
| $ \mathit{\boldsymbol{X}} = {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{BT}} + {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{TO}} + {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{OP}}. $ | (7) |
其中: BPTO、BPOP分别表示PTO、POP在坐标系{B}下的描述。由坐标变换关系可知：
| $ {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{TO}} = {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_T} \cdot {}^T{\mathit{\boldsymbol{P}}_{TO}}, $ | (8) |
| $ {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{OP}} = {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_T} \cdot {}^T{\mathit{\boldsymbol{P}}_O} \cdot {}^O{\mathit{\boldsymbol{P}}_{OP}}. $ | (9) |
代入BRT=I并结合式(7)—(9)可得：
| $ \mathit{\boldsymbol{X}} = {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{BT}} + {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{TO}} + {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_O} \cdot {}^O{\mathit{\boldsymbol{P}}_{OP}}. $ | (10) |
设加载中心坐标系{O}相对加载架坐标系{T}的位姿为c1=[X1T, Ψ1T]T，其中X1=[x1, y1, z1]T、Ψ1=[α1, β1, γ1]T，分别表示其位置和姿态，由式(10)可得：
| $ {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_1}\left( {{\alpha _1},{\beta _1},{\gamma _1}} \right) = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}\left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right), $ | (11) |
| $ {\mathit{\boldsymbol{X}}_1} = \mathit{\boldsymbol{X}} - {}^B{\mathit{\boldsymbol{P}}_{BT}} - {}^T{\mathit{\boldsymbol{R}}_O} \cdot {}^O{\mathit{\boldsymbol{P}}_{OP}}. $ | (12) |
式(11)和(12)建立了平台终端位姿与加载中心位姿之间的映射。
2 复位机构误差分析 2.1 复位机构Stewart平台误差分析由式(6)代入理论支链结构参数nu和支链变量nv，可得球铰安装点的理论位置：
| $ {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{P}}_B^6 = {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{P}}_0^B + \sum\limits_{i = 0}^5 {{}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^i \cdot {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{i + 1}} , $ | (13) |
| $ {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^i = {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^0 \cdot {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^1 \cdots {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{R}}_i^{i + 1}. $ | (14) |
考虑铰链间隙误差，代入实际支链参数au和支链变量av，可以得到实际支链运动学方程：
| $ {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{T}}_B^6 = {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{T}}_B^0 \cdot {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{T}}_0^1 \cdots {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{T}}_5^6 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^6}&{{}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{P}}_B^6}\\ \mathit{\boldsymbol{O}}&1 \end{array}} \right]. $ | (15) |
其中球铰安装点的实际位置为
| $ {}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{P}}_B^6 = {}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{P}}_B^0 + \sum\limits_{i = 0}^5 {{}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^i \cdot {}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{i + 1}} . $ | (16) |
当铰链的间隙误差很小时，可以认为支链运动变量θ不受铰链偏移的影响[11]，即有：
| $ {}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^i = {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{R}}_B^i. $ | (17) |
因此由铰链偏移误差引起的球铰安装点误差为
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\delta \mathit{\boldsymbol{P}} = {}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{P}}_B^6 - {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{P}}_B^6 = \sum\limits_{i = 0}^5 {\mathit{\boldsymbol{R}}_B^i \cdot \left( {{}^{\rm{a}}\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{i + 1} - {}^{\rm{n}}\mathit{\boldsymbol{P}}_i^{i + 1}} \right)} = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{R}}_B^0}&{\mathit{\boldsymbol{R}}_B^1}& \cdots &{\mathit{\boldsymbol{R}}_B^5} \end{array}} \right] \cdot \left[ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_1} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{h}}_1}} \right)}^{\rm{T}}} \cdots {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{V}}_6} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{h}}_6}} \right)}^{\rm{T}}}} \right].} \end{array} $ | (18) |
其中Vi=[cos θi, sin θi, 0]T, i=1, 2, …, 6, 由于δh6=0，整理式(18)可以得到：
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{P}} = \mathit{\boldsymbol{G}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{h}}. $ | (19) |
其中：
| $ \mathit{\boldsymbol{G}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{R}}_B^0 \cdot {\mathit{\boldsymbol{V}}_1}}&{\mathit{\boldsymbol{R}}_B^1 \cdot {\mathit{\boldsymbol{V}}_2}}& \cdots &{\mathit{\boldsymbol{R}}_B^4 \cdot {\mathit{\boldsymbol{V}}_5}} \end{array}} \right]_{3 \times 5}}, $ |
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{h}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {h_1}}&{\delta {h_2}}& \cdots &{\delta {h_5}} \end{array}} \right]_{5 \times 1}^{\rm{T}}. $ |
这里G只与终端位姿有关而与铰链偏移误差δh无关，将δP向驱动轴矢量L的方向上投影，得到由此引起的驱动轴矢量L的长度变化：
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{l}} = {\mathit{\boldsymbol{l}}^{\rm{T}}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{P}}. $ | (20) |
结合式(19)和(20)，将6条支链写成矩阵形式可以得到：
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {\mathit{\boldsymbol{l}}^1}}\\ {\delta {\mathit{\boldsymbol{l}}^2}}\\ \vdots \\ {\delta {\mathit{\boldsymbol{l}}^6}} \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}^1}} \right)}^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{G}}^1} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{h}}^1}}\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}^2}} \right)}^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{G}}^2} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{h}}^2}}\\ \vdots \\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}^6}} \right)}^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{G}}^6} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{h}}^6}} \end{array}} \right]_{6 \times 1}}. $ | (21) |
式(21)可以改写成：
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{L}} = \mathit{\boldsymbol{E}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{h}}. $ | (22) |
其中：
| $ \mathit{\boldsymbol{E}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}^1}} \right)}^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{G}}^1}}&{}&{}&{\bf{0}}\\ {}&{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}^2}} \right)}^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{G}}^2}}&{}&{}\\ {}&{}& \cdots &{}\\ {\bf{0}}&{}&{}&{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{l}}^6}} \right)}^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{G}}^6}} \end{array}} \right]_{6 \times 30}}, $ |
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{h}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {\mathit{\boldsymbol{h}}^1}}\\ {\delta {\mathit{\boldsymbol{h}}^2}}\\ \vdots \\ {\delta {\mathit{\boldsymbol{h}}^6}} \end{array}} \right]_{30 \times 1}}. $ |
当该点不奇异时，由δL引起的终端位姿误差为
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{c}} = \mathit{\boldsymbol{J}}_p^{ - 1} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{L}}. $ | (23) |
其中Jc是平台在终端位姿c下的Jacobian矩阵，结合式(22)和(23)可得：
| $ \delta \mathit{\boldsymbol{c}} = \mathit{\boldsymbol{J}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{h}}. $ | (24) |
其中J=Jp-1E。由式(24)可知，矩阵E将铰链偏移误差δh线性映射为等效的驱动轴长度误差δL，而矩阵J将驱动轴长度误差线性映射为终端运动精度δc。E和Jp-1都只与位姿c有关，故在固定位姿下，终端运动精度δc和铰链间隙误差δh间存在线性映射关系，映射矩阵即为Jp-1E。
2.2 Stewart平台到加载中心误差分析对式(12)求微分可得：
| $ \delta {\mathit{\boldsymbol{X}}_1} = \delta \mathit{\boldsymbol{X}} - \Delta \mathit{\boldsymbol{r}} \cdot {}^T{\mathit{\boldsymbol{R}}_O} \cdot {}^O{\mathit{\boldsymbol{R}}_{OA}}. $ | (25) |
其中：
| $ \Delta \mathit{\boldsymbol{r}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \delta \gamma }&{\delta \beta }\\ {\delta \gamma }&0&{ - \delta \alpha }\\ { - \delta \beta }&{\delta \alpha }&0 \end{array}} \right]. $ |
由于δΓ=[δα, δβ, δγ]T很小，因此Δr近似为零矩阵，式(25)简化为
| $ \delta {\mathit{\boldsymbol{X}}_1} = \delta \mathit{\boldsymbol{X}}. $ | (26) |
结合式(12)和(26)可得：
| $ \delta {\mathit{\boldsymbol{X}}_1} = \mathit{\boldsymbol{A}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{h}}. $ | (27) |
式(27)中A与δh无关，仅取决于终端位姿，因此在固定位姿下，加载中心运动精度δX1与铰链偏移误差δh成线性映射关系。
3 仿真研究利用D-H参数法可以将支链视为RRRPRR串联机构进行运动学推导，将动平台坐标系位姿表示于定平台坐标系下，同样地，可以利用RPY(Roll-Pitch-Yaw)姿态角直接将动平台坐标系位姿表示于基础坐标系下。动平台坐标系相对于定平台坐标系的RPY角分别为α0、β0、γ0, 则动平台坐标系相对于定平台坐标系姿态矩阵为
| $ {\mathit{\boldsymbol{R}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\gamma _0}\cos {\beta _0}}&{\cos {\gamma _0}\sin {\beta _0}\sin {\alpha _0} - \sin {\gamma _0}\cos {\alpha _0}}&{\cos {\gamma _0}\sin {\beta _0}\cos {\alpha _0} + \sin {\gamma _0}\sin {\alpha _0}}\\ {\sin {\gamma _0}\cos {\beta _0}}&{\sin {\gamma _0}\sin {\beta _0}\sin {\alpha _0} + \cos {\gamma _0}\cos {\alpha _0}}&{\sin {\gamma _0}\sin {\beta _0}\cos {\alpha _0} - \cos {\gamma _0}\sin {\alpha _0}}\\ { - \sin {\beta _0}}&{\cos {\beta _0}\sin {\alpha _0}}&{\cos {\beta _0}\cos {\alpha _0}} \end{array}} \right]. $ | (28) |
设x0、y0、z0分别为动平台坐标系在定平台坐标系中的位置坐标，则动平台坐标系位置矩阵为P0= [x0, y0, z0]T。因此，可以利用齐次变换矩阵表示动平台坐标系在定平台坐标系下的位姿：
| $ {\mathit{\boldsymbol{T}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_0}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_0}}\\ \mathit{\boldsymbol{O}}&1 \end{array}} \right]. $ | (29) |
D-H参数法和RPY角法都描述了动平台坐标系相对于定平台坐标系的位置和姿态，其本质一样，于是有如下等式：
| $ {\mathit{\boldsymbol{P}}_0} = \mathit{\boldsymbol{P}}_B^P, $ | (30) |
| $ {\mathit{\boldsymbol{R}}_0} = \mathit{\boldsymbol{R}}_B^P. $ | (31) |
利用式(30)和(31)可以得到非线性方程组：
| $ \mathit{\boldsymbol{F}}\left( \mathit{\boldsymbol{t}} \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}}&{{f_2}}& \cdots &{{f_{36}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $ | (32) |
其中：
| $ \mathit{\boldsymbol{t}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z&\alpha &\beta &\gamma &{\theta _1^1}&{\theta _1^2}& \cdots &{\theta _6^6} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $ |
t中包含6个终端位姿向量c和30个支链角度变量vj。因此，已知支链杆长变量w和支链结构参数uj (j=1, 2, …, 6)，利用Quasi-Newton迭代法可以求得t。为保证迭代收敛，初始估计t0选取初始位置时的值，铰链偏移误差对加载中心运动精度影响的求解步骤如下：
1) 给定支链杆长w和理论结构参数nuj，利用式(6)求得平台理论终端位姿nc；
2) 利用式(11)和(12)求得加载中心理论位姿nc1；
3) 给定支链杆长w和理论结构参数auj，利用式(6)求得平台实际终端位姿ac；
4) 利用式(11)和(12)求得加载中心实际位姿ac1；
5) 求加载中心位姿误差Δc1=ac1-nc1, Δc1=[Δx1, Δy1, Δz1, Δa1, Δβ1, Δγ1]T即为铰链制造误差对加载中心产生的影响量。
以此风洞天平校准装置复位机构设计参数为例，定平台半径Rb=1 500 mm，动平台半径Rp=800 mm，定、动平台铰链夹角θb、θp均为30°，平台铰链点平面初始距离为1 700 mm，加载中心到动平台铰链平面距离为921 mm。设位置误差与姿态误差分别为epos和eori，定义其值分别为
| $ {e_{{\rm{pos}}}} = {\left\| {\Delta X} \right\|_2} = \sqrt {\Delta {x^2} + \Delta {y^2} + \Delta {z^2}} , $ |
| $ {e_{{\rm{ori}}}} = {\left\| {\Delta \mathit{\Psi }} \right\|_2} = \sqrt {\Delta {\alpha ^2} + \Delta {\beta ^2} + \Delta {\gamma ^2}} . $ |
铰链制造误差包括角度误差和偏移误差[11]，由于角度误差对终端精度的影响可忽略不计，这里只考虑铰链偏移误差对加载中心位置误差和姿态误差的影响。仿真计算时，δh分量取值一致，设为δh，根据工程实际，误差上限取为0.1 mm[7]，在任意2个位姿下，其结果分别如图 5和6所示。
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| 图 5 偏移误差对位置误差的影响 |
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| 图 6 偏移误差对姿态误差的影响 |
由图 5和6可知，同一位姿下，加载中心位置误差和姿态误差与铰链偏移误差成线性关系，这验证了理论推导的正确性。同时，姿态误差受影响很小，在10-4 mm数量级，可以忽略不计，后面仿真仅针对铰链偏移误差对加载中心位置精度的影响。工程上更关心一项误差源传递到终端的放大倍数，因此，定义铰链偏移误差传递到加载中心的放大系数：
| $ k = \frac{{{e_{{\rm{pos}}}}}}{{\left\| {\delta \mathit{\boldsymbol{h}}} \right\|}}. $ |
在不同的XOZ截面上求解此传递系数，其中分母以2范数计算，得到图 7结果。由图 7可知，同一个截面上误差影响系数相差很小，中间比边缘略大；不同截面上误差影响系数不同，随着平台间距离的增大，误差影响系数减小。因此，选取中心的误差影响系数近似代替整个截面。
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| 图 7 XOZ截面上铰链误差影响系数 |
更进一步，讨论不同平台结构参数下，误差传递到加载中心有何不同。平台半径、铰链夹角对误差影响系数的影响分别如图 8和9所示。
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| 图 8 平台半径对误差的影响 |
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| 图 9 铰链夹角对误差的影响 |
从图 8和9可以看出，误差影响系数随着定平台半径增大而增大，随着动平台半径增大而减小，随着铰链夹角增大而减小。
4 结论通过理论推导和仿真研究，关于风洞天平复位机构铰链偏移误差对加载中心精度影响的问题得到以下结论：
1) 加载中心运动精度和偏移误差成线性关系，铰链偏移误差对加载中心位置精度影响较大，对姿态精度影响很小，为10-4 mm数量级；
2) 相同Y截面上，铰链偏移误差对位置精度影响基本相同，不同Y截面上，影响随着平台间距增大而减小；
3) 铰链偏移误差对加载中心的影响随着定平台半径增大、动平台半径减小、铰链夹角减小而增大。
综上所述，为降低铰链偏移误差对复位机构加载中心的运动精度的影响，设计时应选取小定平台半径、大动平台半径、大初始距离的结构参数；另外，风洞天平校准时，复位机构应尽量工作于大平台间距下。
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