自动驾驶车辆是未来智能交通系统的重要组成部分^[1-2]，自动车辆控制中的车辆自动转向系统具有非常重要的地位。轨迹跟踪控制是自动转向控制过程中的一个基本问题，要求自主车辆在指定时间到达规划轨迹点^[3-5]。由于车辆是一个明显的非线性、高度耦合的复杂系统，难以建立精确的动力学模型，因此自主车辆轨迹跟踪控制一直是一个难题^[6-8]。

车辆自动导航技术是许多工程领域的热点。在国内外有许多学者研究路径跟踪控制方法，主要包括比例积分微分(PID)控制、模糊控制、最优控制和纯跟踪控制。其中，PID控制和模糊控制不依赖于具体数学模型^[9-10]，最优控制和纯跟踪控制依赖于具体数学模型^[11-12]。

纯跟踪控制器是一个比例控制器，可以将位置的横向偏差和所需位置转换为横向控制。该方法具有良好的鲁棒性，即使在横向偏差较大或参考路径曲率不连续的情况下也能实现非常好的跟踪性能。Yeu等^[13]提出了一种基于矢量跟踪的跟踪算法。该方法通过使用螺杆理论，根据车辆的位置和航向的偏差来实现。该方法具有较高的跟踪精度和较强的适应性，可实现黏性土中车辆的曲线跟踪，但算法相当复杂，且不易实现。Kise等^[14]提出了基于最小转向半径和最大摆动角速率进行路径规划，并设计了全方位前进转向和使用三次样条函数的前后转向方法，但是这2种转向控制方法路径规划难以控制。陈军等^[15]通过给定的曲线路径生成四元状态空间，在预测控制中通过使用最优控制理论设计跟踪控制器，获得未来值和目标值下的车辆，该方法使跟踪控制器的设计变得非常复杂，并降低了算法的可行性和稳定性。

虽然许多学者根据横向预测误差来研究路径跟踪控制，并取得了很多研究成果。然而，基于系统延迟和预测误差模型的组合路径跟踪控制器的研究很少。本文将重点介绍上述研究和实践中存在的问题，并提出了一种基于纯跟踪模型的改进算法。

1 纯跟踪模型

纯跟踪算法具有多年的历史。作为一般的跟踪算法，纯跟踪算法可靠性很强。该算法是一种几何计算方法，其目的是计算车辆到达指定目标位置需要通过的弧长^[16]。该方法简单、直观、易于实现且已被广泛应用于路径跟踪领域。关键是要确定适当的可见距离，模拟车辆驾驶员的视觉。其模型如图 1所示。坐标(x₁，y₁)是车辆转向中心，l₁是前视距离，r为转弯半径。

其中：

$ \left\{ \begin{array}{l} {l_2} + {x_1} = r,\\ l_2^2 + y_1^2 = {r^2},\\ x_1^2 + y_1^2 = l_1^2. \end{array} \right. $

(1)

由式(1)可得出r=(l₁²)2，从控制理论的角度来看，四轮车身是一个非常复杂的受控对象，与轮胎、地面特性、滑移和实施机制等诸多因素有关。许多研究人员在这方面做了大量的工作，试图用数学方法准确地描述这样一个系统，但准确性并不高。

本文采用Kelly^[17]提出简化的车辆运动学的自行车模型，将轮胎视为刚性轮，而不考虑轮胎与地面的侧滑。基于校准试验，建立车辆前桥中间位置与摇臂轴的转动角度之间的关系，以及实际控制物体前轮的角度向前中间位置的虚拟转向角度。自行车模型如图 2所示。l是轴间距，r为转弯半径，δ是前轮转角，φ是车辆航向角，o₁为车辆转向时的即时转向中心。

运动学分析可以得到以下关系：

$ \left\{ \begin{array}{l} x\left( t \right) = v\left( t \right)\cos \varphi \left( t \right),\\ y\left( t \right) = v\left( t \right)\sin \varphi \left( t \right),\\ \varphi \left( t \right) = \frac{{v\left( t \right)\tan \delta \left( t \right)}}{l}. \end{array} \right. $

(2)

式(2)表示输出坐标(x，y)、航向角φ与控制速度v、前轮转角δ之间的关系。可由图 2得：

$ r = l/\tan \delta . $

(3)

通过计算可见度距离l₁和x的偏差，得到：

$ \delta = {\rm{arctan}}\left( {\frac{{{\rm{2}}lx}}{{l_{\rm{1}}^{\rm{2}}}}} \right). $

(4)

式(4)反映了纯跟踪算法与车辆航向角之间的关系，为建立跟踪控制系统奠定了理论基础。而确定适当的视距已成为影响跟踪效率的关键因素。

2 改进纯跟踪模型 2.1 延迟预测模型

在实践中，发现来自车辆计算机的转向信号和方向盘的转向操作之间存在0.2~0.5 s的延迟。此时车辆还在运动中。这将导致车辆在路径跟踪方面有很大的偏差，如果在高速情况下，会导致整个车辆失去控制，而减少或消除车辆硬件水平的延迟是非常困难的。本文提出了一种消除系统延迟的方法，通过预测车辆在延迟后的位置和方向，使车辆路径跟踪更加稳定。

如图 3所示，此时车辆的位置为m(x_m，y_m)，已知车辆的速度、位置、行程和车轮旋转角度。在延时t后，车辆将达到的位置n(x_n，y_n)，该模型假定车辆的时间延迟期间以恒定的速度移动，并且车轮旋转角度不变。

经过t后，车辆位移的计算如下：

$ s = vt. $

(5)

由式(3)与平面几何关系，可得：

$ {l_s} = 2r\sin \left( {\frac{s}{{2r}}} \right). $

(6)

通过式(1)可以获得相对于点m的点n的坐标(x_n，y_n)，即相对于车辆当前位置延迟t后的坐标，(x_c，y_c)是车辆行驶过程中变化的点坐标。

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_c} = \frac{{l_s^2}}{{2r}},\\ {y_c} = \sqrt {l_s^2 - \frac{{l_s^4}}{{4{r^2}}}} . \end{array} \right. $

(7)

(x_n，y_n)坐标如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {x_n} = {x_c}\cos \left( {\varphi - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right) - {y_c}\sin \left( {\varphi - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right) + {x_m},\\ {y_n} = {x_c}\sin \left( {\varphi - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right) + {y_c}\cos \left( {\varphi - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right) + {y_m}. \end{array} \right. $

(8)

根据车辆运动学模型，有：

$ {\theta _c} = \frac{{vt\tan \left( \delta \right)}}{l}. $

(9)

其中θ_c是时间延迟过程中的变化角。

2.2 预测点选择

选择预测点的传统方式是以车辆为中心，绘制半径为l₃的圆，l₃是车辆前视距离。但是，在预测模式中存在一些问题，当车辆处于相对较大曲率的曲线中时(见图 4)，预测点的选择将导致车辆轨迹与目标轨迹之间存在较大偏差。

如图 5所示，首先，第一步，在车辆q的最近点找到一个预定的轨迹，并假设车辆在这个位置。第二步，以p为起点，扩展前路径，寻找车辆的预测点，l_o是该模型中的前视距离。l_d为车辆与预测点之间的线性距离。最后，将l_d带入纯跟踪模型以计算车辆轨迹。与传统的纯跟踪模型相比，当车辆通过较大的曲率时，该方法相当于减少了传统模型前视距离。因此，车辆可以更准确地跟踪曲线轨迹。

2.3 前视距离选择

前视距离在纯跟踪模式中是一个关键参数，其值的大小会影响车辆跟踪效果。前视距离大，机器会沿着小弧度行进，轨迹会越接近默认路径，在近似过程中不会产生大的振荡，但车辆进场的时间会更长。前视距离小，机器会沿着更大的弧线路径近似，同时能够在短时间内接近预设路径，不过会产生大的振荡。基于上述两点的分析，距离太大或太小都不利于车辆跟踪。许多研究采取妥协办法，通过实验获得越来越好的前视距离跟踪效果，选择适当的前视距离。这种方法可以在一定程度上达到更好的跟踪效果，但由于前视距离是固定的，不能根据实际变化而改变，所以不是最优的。另一方面，车速也会影响跟踪效果，车速越小，前视距离越短，跟踪精度就越高。

通过长期实验数据总结与分析，前视距离和速度可以表示为(仅考虑弯道，转弯速度不超过30 km/h)：

$ {l_3} = \left\{ \begin{array}{l} 2 \sim 4{\rm{m}},\;\;\;\;0 < v \le 10\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}};\\ 4 \sim 5{\rm{m}},\;\;\;\;10 < v \le 20\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}};\\ 5 \sim 6{\rm{m}},\;\;\;\;20 < v \le 30\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}. \end{array} \right. $

(10)

根据当前车速反馈动态选择预测距离的范围^[17]，因为速度不会突然变化，所以预测距离不会发生特别大的变化，这样可以保证车辆的稳定性。

当车辆行驶速度和路面曲率一直在变化时，前视距离动态调节对于汽车的稳定性控制尤其重要。本节提出了一种动态调整前视距离的方法。首先，使用上述方法根据速度确定前视距离的范围。然后根据车辆的当前状态，计算出一系列方向盘角度对应于对准点的前进角度，然后计算预测点与车辆方向的偏角差，找到与对应的前视误差最小值和用于确定水平线时刻的车辆的最终前视距离。通过搜索来模拟驾驶员的控制行为，并确定最适当的前视距离，有效减少车辆跟踪航向角误差。

3 仿真结果与分析

在MATLAB环境中，模拟车辆延迟对路径跟踪的影响。模拟的初始条件设置如下：道路由直线段和曲线段组成，路线长度为100 m，起点位置为(0 m，0 m)，终点为(87.5 m，－28.6 m)；初始车辆的起始位置与道路的起点位置相同；车辆行驶方向为1.85 rad，轴距l=3.05 m；控制周期T=0.1 s。在行驶速度为7 m/s时，延迟t分别为0.3 s、0.4 s、0.5 s，模拟跟踪效果分别如图 6、7、8所示，具有时间延迟的轨迹跟踪横向误差结果如表 1所示。

根据图 6—8所示，在不同延迟时间下，延迟对车辆轨迹跟踪具有不同程度的影响，在0.3 s延时的情况下，平均横向误差为0.23 m，最大横向误差为0.57 m。在0.4 s延时的情况下，车辆在拐角处具有较大的横向误差，平均横向误差为0.37 m，最大横向误差为0.83 m。在0.5 s延时的情况下，车辆失去控制，不能沿着默认路径行驶，平均横向误差为1.8 m，最大横向误差为7.7 m。

基于上述实验条件，本文所提出方法的仿真跟踪效果如图 9—11所示，消除时间延迟后的轨迹跟踪横向误差结果如表 2所示

4 结论与展望

本文通过分析驾驶过程中的延迟和前视距离等因素，在纯跟踪算法的基础上，提出了一种基于动态延迟预测的自动驾驶控制方法，并从车辆运动学模型的角度分析纯跟踪算法的跟踪误差源，在此基础上选择车辆的自行车模型进行运动学模型的简化，并对原有纯跟踪算法进行优化，通过车辆运动学模型预测的延迟后的车辆运动方向和位置信息，并根据行驶方向和轨道方向选择之间的偏差值，消除车辆路径跟踪延迟的影响，获得最佳前视距离。在MATLAB仿真实验中，基于动态延迟预测的自动驾驶控制方法取得了较好的结果，可以以7 m/s的行驶速度跟踪轨迹，平均误差保持在0.3 m以内，跟踪性能优于传统的纯跟踪方法。

由于本文采用仿真实验进行验证，在实际的无人驾驶实验中，所提出的自动驾驶控制方法的跟踪效果将依赖于具体的实验环境与实验车辆，其中车辆的自行车模型对实验环境与实验车辆非常敏感，下一步将尝试把该方法应用于实际的无人驾驶车辆的自动控制中。