密肋复合墙板^[1]是以截面较小、配筋较少的钢筋混凝土肋柱、肋梁为肋格，内嵌轻质加气混凝土砌块预制而成的一种新型墙体，如图 1所示。该结构自重较轻、节能效果好、抗震性能优，其数值分析可以简单归纳为钢筋混凝土框架(暗梁、边框柱、肋格)和填充砌体的数值分析。

针对钢筋混凝土外框，通常采用纤维模型^[2]进行分析，如图 2所示。所谓纤维模型，就是将结构构件(杆件)的截面划分成若干区域(纤维)，每根纤维均只单轴受力及变形，并采用材料的单轴应力-应变关系来描述该纤维材料的受力特性，纤维之间的变形协调则采用平截面假定，程序自动根据平截面假定得到每根纤维的应变^[3]。该模型分析钢筋混凝土框架结构体系具有明显的优势：

1) 针对具有不同截面形式和配筋方式的构件，可以根据需要自定义组合截面，如矩形、圆形、箱形、工字型和变截面等截面形式，因此适用范围非常广泛。

2) 将钢筋混凝土截面离散成若干混凝土纤维和钢筋纤维，每根纤维具有各自的几何属性(面积、位置等)以及材料属性(弹性模量、Poisson比、材料强度等)，因而精确性较高。

3) 模型中的每根纤维仅具有轴向变形特性，因而材料本构清晰明确，操作十分简便，并且计算成本较低、效率很高。

针对砌体结构的有限元分析，通常采用的模型有2种：微观单元模型和宏观单元模型。其中，微观单元模型以实体模型为代表，而实体模型按照建模方式又可以分为离散型实体模型^[4]和连续型实体模型^[5]。离散型实体模型是将砌体的组成部分(砌块和砂浆)采用实体单元离散，并分别赋予它们不同的材料特性，二者之间施加绑定约束(不考虑砌块和砂浆之间的粘结滑移)或加入界面单元(考虑粘结滑移或磨擦作用)，如图 3所示。但是，该模型的单元数量众多，连接关系复杂，计算量巨大，因此很难用于大型砌体结构的非线性分析。连续型实体模型则从宏观角度出发，将砌体视为连续均质材料，进行连续单元离散建模。该模型简化了建模过程，并且减少了由于大量连接和接触导致的不收敛的情况；缺点是无法考虑砌块与砂浆之间的连接关系，不能模拟二者之间的局部受力行为，导致对砌体开裂情况及破坏机理分析存在一定误差。更重要的是，目前砌体的多轴试验研究较少，理论模型尚不完善，多数模拟是采用混凝土模型对砌体进行近似计算，因而结果偏差较大。

宏观单元模型将砌体视作一个整体单元进行分析，具有计算量小、概念清晰等特点，因此得到了广泛的关注和研究，比较具有代表性的砌体宏观单元模型是等效斜压杆模型^[6]，如图 4所示。该模型采用斜向相交的受压斜杆等效替代原区域的砌体，斜杆只承受压力作用而不承受拉力作用，当荷载反向时，原受压斜杆被“杀死”，而原受拉斜杆被“激活”以承担压力。但是，等效斜压杆的宽度和恢复力模型通常较难确定，而且该模型过于简化，虽然能够在一定程度上反应该构件的整体力学性能，却无法有效分析砌体的实际变形以及应力状态等微观行为。

总之，在模拟承受面内循环荷载作用的砌体结构时，现有的微观单元模型不够准确和经济，而宏观单元模型较为经济且相对准确，但由于过分简化而无法进行微观分析。因此，本文旨在提出一个高效实用的宏观砌体平面模型以解决上述问题。

1 等效单轴应变理论

Darwin等^[7]于1977年提出了适用于平面应力问题的等效单轴应变模型，该模型将材料的双轴应力-应变关系等效变换为单轴应力-应变本构，极大简化了双轴本构的描述。本文将等效单轴应变理论应用到砌体结构中，建立宏观砌体平面模型，该模型的基本假定为：

1) 忽略砌体结构的面外受力；

2) 假定砌体为均质各向同性材料；

3) 假定砌体材料的Poisson比为常数；

4) 忽略正应力对材料抗剪性能的影响。

砌体结构在忽略面外受力时，其应变可采用2个正应变分量和1个剪切应变分量来定义。假定砌体为均质各向同性材料，即令E_x=E_y=E，υ_xy=υ_yx=υ，且不考虑正应力与剪应力的耦合效应，则其增量形式的应力-应变关系为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{\sigma _{xx}}}\\ {{\rm{d}}{\sigma _{yy}}}\\ {{\rm{d}}{\sigma _{xy}}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{E}{{1 - {v^2}}}}&{\frac{{vE}}{{1 - {v^2}}}}&0\\ {\frac{{vE}}{{1 - {v^2}}}}&{\frac{E}{{1 - {v^2}}}}&0\\ 0&0&G \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{\varepsilon _{xx}}}\\ {{\rm{d}}{\varepsilon _{yy}}}\\ {{\rm{d}}{\varepsilon _{xy}}} \end{array}} \right\}. $

(1)

其中：σ_xx、σ_yy和ε_xx、ε_yy分别为材料X方向和Y方向的正应力和正应变；σ_xy和ε_xy分别为X-Y平面内的剪应力和剪应变；v为材料的Poisson比，假定其值在损伤过程中为常数；E为材料的弹性模量；G为剪切模量，且G=E/2(1+v)。

令等效单轴应变增量为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{{\tilde \varepsilon }_{xx}}}\\ {{\rm{d}}{{\tilde \varepsilon }_{yy}}}\\ {{\rm{d}}{{\tilde \varepsilon }_{xy}}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{1 - {v^2}}}}&{\frac{v}{{1 - {v^2}}}}&0\\ {\frac{v}{{1 - {v^2}}}}&{\frac{1}{{1 - {v^2}}}}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{\varepsilon _{xx}}}\\ {{\rm{d}}{\varepsilon _{yy}}}\\ {{\rm{d}}{\varepsilon _{xy}}} \end{array}} \right\}. $

(2)

其中：d$\tilde \varepsilon $_xx、d$\tilde \varepsilon $_yy、d$\tilde \varepsilon $_xy分别为X方向、Y方向的等效单轴应变增量以及X-Y平面内的等效剪切应变增量，由于忽略正应力与剪应力的耦合效应，因此d$\tilde \varepsilon $_xy=dε_xy。

这里，引入一个应力与等效单轴应变的关系函数F($\tilde \varepsilon $_xy)，则可得应力-等效单轴应变本构关系为

$ {\sigma _{xy}} = F\left( {{{\tilde \varepsilon }_{xy}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {F\left( {{{\tilde \varepsilon }_{xx}}} \right)}&0&0\\ 0&{F\left( {{{\tilde \varepsilon }_{yy}}} \right)}&0\\ 0&0&{F\left( {{{\tilde \varepsilon }_{xy}}} \right)} \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde \varepsilon }_{xx}}}\\ {{{\tilde \varepsilon }_{yy}}}\\ {{{\tilde \varepsilon }_{xy}}} \end{array}} \right\}. $

(3)

由式(3)可知：当材料处于弹性阶段时F($\tilde \varepsilon $_xx)=F($\tilde \varepsilon $_yy)=E，F($\tilde \varepsilon $_xy)=G; 而当材料发生损伤后，F($\tilde \varepsilon $_xy)为对应点在应力-等效单轴应变关系曲线上的切线斜率。其中，材料的应力-等效单轴应变曲线可由单轴应力-应变曲线考虑Poisson比计算得到。

由此，在材料X方向、Y方向以及X-Y平面内的应力分量可以分别采用材料的应力-等效单轴应变的本构关系进行计算，并且各个应力分量解耦。

2 砌体单轴本构模型及其加卸载规则 2.1 砌体单轴压/拉骨架曲线及其加卸载规则

基于上述等效单轴应变理论，可以通过砌体的单轴受拉、受压以及剪切应力-应变本构关系以及相应滞回准则来描述砌体在平面内的非线性行为。本文采用Karapitta等^[8]建议的砌体受压、受拉骨架曲线，如图 5所示。受压骨架曲线如图 5a所示，分为弹性段、硬化段以及软化段，皆为斜直线。其具体表达式如下。

砌体受压本构方程为

$ {\sigma _{xx/yy}} = \left\{ \begin{array}{l} E{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} \le \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{0}};\\ f_{{\rm{c}}\;x/y}^0 + \frac{{f_{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{p}} - f_{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{0}}}}{{\varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{p}} - \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{0}}}}\left( {{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} - \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{0}}} \right),\;\;\;\;\;\;\varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{0}} < {{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} \le \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{p}};\\ f_{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{p}}\left( {1 - \frac{{{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} - \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{0}}}}{{\varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{u}} - \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{p}}}}} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{p}} < {{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} \le \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{u}};\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{u}} < {{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}}. \end{array} \right. $

(4)

其中：f_{c x/y}⁰为砌体受压屈服强度，大小等于砌体峰值受压强度f_{c x/y}^p的$\frac{1}{3}$；ε_{c x/y}⁰为屈服压应变；ε_{c x/y}^p为峰值压应变；ε_{c x/y}^u为极限压应变，并假设ε_{c x/y}^u=2ε_{c x/y}^p；x和y表示材料的2个正应力方向。

砌体受拉骨架曲线如图 5b所示，分为弹性段和指数软化段。受拉骨架曲线本构方程为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _{xx/yy}} = }\\ {\left\{ \begin{array}{l} E{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} \le \varepsilon _{{\rm{c}}\;x/y}^{\rm{0}};\\ f_{{\rm{t}}\;x/y}^0\exp \left( { - \frac{{hf_{{\rm{t}}\;x/y}^0}}{{{G_{\rm{t}}}}}\left( {{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} - \varepsilon _{{\rm{t}}\;x/y}^{\rm{0}}} \right)} \right),\;\;\;\;\;\;{{\tilde \varepsilon }_{xx/yy}} > \varepsilon _{{\rm{t}}\;x/y}^{\rm{0}}. \end{array} \right.} \end{array} $

(5)

其中：f_{t x/y}⁰为砌体抗拉强度, ε_{t x/y}⁰为峰值拉应变，G_t为Ⅰ型断裂能，h为有限单元的特征长度。

对于处在平面应力状态下的砌体，其滞回准则十分复杂。一般来说，在忽略了Poisson比效应之后，受力可以分为加载、卸载、重加载以及部分卸载等不同状态。为了描述这个复杂的力学行为，现作以下假设^[3]：

1) 卸载线和重加载线皆为线性，并且忽略滞回效应。

2) 卸载和重加载线与骨架线相交，发生重加载时经过上一个卸载点。

3) 在循环加载过程中，若应变不超过极限弹性应变，则按加载线原路卸载至原点，即不产生残余应变。

假设初始受拉，当卸载点出现在受拉骨架线的软化段上时，如图 6a中TA (($\tilde \varepsilon $_xx/yy^UN)_t, (σ_xx/yy^UN))，其卸载行为采用线性关系来描述(TA→TB和TB→TC)。TB为受拉卸载时产生的不可恢复的应变，按式(6)计算，TC为拉→压过程中的裂缝闭合点，且该点与卸载应变无关。受拉裂缝闭合之后，按照受压骨架线加载(TC→CA)；当卸载点出现在受压骨架曲线上，也采用线性关系描述卸载行为(CA→CB)，CB为受压卸载时产生的不可恢复应变，按式(7)计算。初始受压的滞回准则与初始受拉的形式类似，具体形式如图 6所示，此处不再一一赘述。

$ {\varepsilon _{{\rm{re}}}} = {\alpha _{\rm{t}}}{\varepsilon _{{\rm{un}}}}, $

(6)

$ {\varepsilon _{{\rm{re}}}} = {\alpha _{\rm{c}}}{\varepsilon _{{\rm{un}}}}. $

(7)

其中：ε_re为卸载残余应变, ε_un为卸载应变, α_t为由拉→压的卸载参数, α_c为由压→拉的卸载参数。

2.2 砌体剪切骨架曲线及其滞回规则

砌体的剪切行为采用Karapitta等^[8]建议的砌体剪应力-应变本构曲线进行描述，如图 7a所示。这一曲线的上升段为斜直线，剪切模量G=E/2(1+v)，软化段为基于剪切断裂能量的指数段，残余剪应力为水平直线段。

剪切本构方程：

$ \begin{array}{l} {\sigma _{xy}} = \frac{E}{{1 + v}}{{\tilde \varepsilon }_{xy}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\tilde \varepsilon }_{xy}} \le {\varepsilon _{{\rm{s0}}}};\\ {\sigma _{xy}} = f_{\rm{s}}^0\exp \left( { - \frac{{f_{\rm{s}}^0}}{{{G_{\rm{s}}}}}\left( {{{\tilde \varepsilon }_{xy}} - {\varepsilon _{{\rm{s0}}}}} \right)} \right),\;\;\;\;\;\;{\varepsilon _{{\rm{s0}}}} < {{\tilde \varepsilon }_{xy}} \le {\varepsilon _{{\rm{su}}}};\\ {\sigma _{xy}} = f_{\rm{s}}^{\rm{u}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\tilde \varepsilon }_{xy}} > {\varepsilon _{{\rm{su}}}}. \end{array} $

(8)

其中：$\tilde \varepsilon $_xy为等效单轴剪切应变, f_s⁰为剪切强度, ε_s0为峰值剪切应变, ε_su为屈服剪切应变, G_s为Ⅱ型断裂能, f_s^u为极限剪切强度。

在材料反复受剪的过程中，简化其卸载曲线和重加载曲线为直线，如图 7b所示，其残余应变按下式计算：

$ {\varepsilon _{{\rm{re}}}} = {\alpha _{\rm{s}}}{\varepsilon _{{\rm{un}}}}. $

(9)

其中：ε_un为卸载应变, ε_re为卸载时产生的不可恢复应变, α_s为剪切卸载参数。

本文砌体平面模型所涉及参数及其确定方法归纳如下。

1) 强度参数：抗压强度取试验测试值，抗拉、抗剪强度近似取为抗压强度的0.1倍。

2) 软化参数：受压屈服强度为抗压强度的1/3；极限弹性压应变根据砌体弹性模量计算可得；峰值压应变取0.002，极限压应变为峰值压应变的2倍；受拉软化段的Ⅰ型断裂能以及受剪软化段的Ⅱ型断裂能按照混凝土断裂能公式近似计算，有限单元的特征长度等于裂缝带宽度^[9]；剪切残余应力取剪切强度的0.3倍^[10]。

3) 卸载参数：α_c、α_t、α_s由试验确定。

3 模型开发

为了实现上述砌体的平面滞回本构模型，设计程序流程如图 8所示。图中kon_i(i=1, 2, 3)分别控制砌体沿X、Y方向的正应力以及X-Y平面内的剪应力，et_i、st_i、rt_i为历史最大拉应变、历史最大拉应力以及受拉卸载残余应变，ec_i、sc_i、rc_i为历史最大压应变、历史最大压应力以及受压卸载残余应变，de_i为应变增量，e_i为当前分析步的应变。应当注意的是，剪切与拉/压的加卸载方式稍有不同，这里不一一指出。

4 实例验证

选取密肋复合墙板的抗震试验研究^[11]，构件的几何尺寸及配筋图如图 9所示，墙板部分尺寸为1 400 mm×1 400 mm×100 mm，构件由内而外分别是填充砌体、钢筋混凝土肋格和钢筋混凝土外框，如图 1所示。

试件中钢筋材料的力学性能见表 1，填充砌体材料的力学性能见表 2，混凝土材料的力学性能见表 3。

将钢筋混凝土外框(边框柱、暗梁)和钢筋混凝土框格视作一个整体(统称框格)，并采用纤维模型进行模拟，钢筋和混凝土的材料分别采用如图 10a所示的Clough模型^[12]和图 10b所示的Hongnestad模型^[13]；填充砌体则采用本文宏观砌体平面模型进行模拟；外框和砌体之间采用绑定约束，考虑到模型之间的间隙，取位置容差t=55 mm。组成密肋复合墙板纤维-平面分析模型如图 11所示。

模型的底部固定、上端自由，并设置一个与墙板顶部运动耦合的参考点以施加竖向轴力和水平荷载。分为2个加载步进行分析：在第1个加载步中对墙板施加轴向荷载，当轴压比达到0.2时保持稳定；在第2个分析步中沿墙板顶部施加位移控制的水平荷载。提取有限元模型墙板顶部的荷载-位移曲线与试验结果进行对比分析，如图 12所示。实际墙体在极限荷载作用下的破坏状态如图 13a所示，模型在水平位移为36 mm时填充砌体的应力云图如图 13b所示。

通过对比可以发现，纤维-平面模型在模拟处于平面应力状态下的密肋复合墙板具有较为理想的效果，在满足计算精度的同时，又能充分体现砌体构件的宏观现象。通过图 12可以发现，纤维-平面模型结果的峰值、刚度退化以及强度退化都与试验数据较为吻合。通过图 13b可以较为直观地发现填充砌体应力的具体分布：沿对角线方向的应力水平较高，这与砌体沿对角线破坏的试验现象较为吻合，而等效斜压杆等宏观模型无法模拟这种微观响应。因此，密肋复合墙板纤维-平面模型是一个更为理想的多尺度有限元模型，是计算成本和精度之间的一个良好平衡。

5 结论

本文基于等效单轴应变理论建立了宏观砌体平面模型，在该模型中3个应力分量分别遵循各自的应力-等效单轴应变关系，并且相互独立。然后对该模型进行开发和应用，所得结论如下：

1) 通过检测单元在各种形式荷载作用下的力-位移结果，可以证明本文所开发的砌体材料模型的正确性，可以应用于砌体结构的非线性分析;

2) 通过砌体剪力墙与密肋复合墙板的分析可以发现，有限元结果与试验数据吻合良好，并且该模型可以较为直观地获得砌体结构的应力分布云图，具有较高的实用性。