面齿轮副是由面齿轮及与之相啮合的圆柱齿轮所构成的齿轮副。面齿轮副并不是一个新出现的概念，国内外学者认为早在中国古代的指南车中，就已经出现了面齿轮副的雏形^[1]；而面齿轮副真正引起学术界和工业界的关注，是20世纪40年代美国Fellows Gear Shaper公司发明了面齿轮插齿加工方法之后^[2]。对于面齿轮副的设计理论、加工方法的系统研究，则始于20世纪90年代初。美国军方自20世纪90年代初开始，通过ART计划^[3-4]、TRP计划^[5]、RDS-21计划^[6-7]、ERDS计划^[8]等陆续支持了关于面齿轮设计理论、加工方法、加工设备研制等领域的研究工作。美国对面齿轮的研究处于世界领先水平，其主要参研单位包括NASA Glenn研究中心、Boeing公司(包括原McDonnell Douglas直升机公司)、Lucas Western公司、Illinois大学Chicago分校、Sikorsky公司等^[3-8]。欧洲对面齿轮技术的关注主要集中于20世纪末至21世纪初的FACET研究计划^[9]，英国、德国、意大利、法国、瑞士等国家的多家公司、大学和科研机构参与了该研究计划，其目的主要是研究面齿轮副在航空传动系统中的应用。国内关于面齿轮副的研究工作主要分布于西北工业大学、中南大学、南京航空航天大学、北京航空航天大学、重庆大学、清华大学等院校^[10-20]。对面齿轮技术的关注和研究，国内起步较晚，在设计理论、加工方法等方面，仍与国外先进水平有较大差距。

目前，瑞士的ASSAG公司(收购原荷兰的Crown Gear B.V.公司)具备面齿轮副的设计和定制生产能力^[1]；加拿大Northstar Aerospace公司开发了面齿轮副的专用加工机床^[8]，在高速、大功率面齿轮副的制造领域处于世界领先水平，该公司与Boeing公司合作，为Boeing公司提供面齿轮副样件和产品^{[5-6, 8]}。Boeing公司最新的AH-64D Apache Block III直升机主减速器的面齿轮副即由Northstar Aerospace公司合作设计、加工。

Chen等^[13]、Hu等^[14]分别建立了6自由度面齿轮副动力学模型，其啮合刚度采用Fourier级数形式进行近似，研究了系统非线性动力学响应和啮合刚度对面齿轮副动态响应的影响。Hu等^[15]建立了14自由度的面齿轮副转子系统集中参数模型，研究了系统的耦合多体动力学响应以及平均载荷和啮合间隙等因素对非线性动力学响应的影响。杨振等^[16]、林腾蛟等^[17]、李晓贞等^[18]分别建立了面齿轮传动系统的弯曲-扭转耦合动力学模型，其啮合刚度均采用Fourier级数形式进行近似，研究了系统的非线性动力学响应及其影响因素。勒广虎等^[19]建立了面齿轮传动系统的多自由度弯曲-扭转-轴向移动耦合动力学模型，采用有限元方法计算时变啮合刚度，研究了系统的非线性动力学响应。Tang等^[20]在研究面齿轮副非线性扭转动力学时，也采用有限元方法计算时变啮合刚度。在目前国内外关于面齿轮副扭转振动的研究中，对于系统建模方法以及动态特性分析的研究略显不足，特别是未见有文献提及面齿轮副非对称时变啮合刚度的建模和计算。

本文主要研究面齿轮副扭转振动的建模方法(包括非对称时变啮合刚度的建模和计算)、面齿轮副扭转振动模型的动态特性分析，以指导和校核工程中实际的面齿轮副设计。

1 系统建模 1.1 面齿轮副常用构型

在动力传递、运动传递等领域，面齿轮副展现出了灵活多变的构型。一般而言，面齿轮副中圆柱齿轮齿数小于面齿轮齿数，且多用于减速传动，即圆柱齿轮端作为输入端、面齿轮端作为输出端。从面齿轮副常用构型的拓扑结构上划分，面齿轮副主要可以分为单输入单输出、多输入单输出、单输入两输出、多输入两输出面齿轮副，其中单输入两输出面齿轮副又可以细分为两个输出面齿轮共轴线与不共轴线两类。

不失一般性，图 1展示了面齿轮副常用的几种构型。其中：图 1a为单输入单输出面齿轮副，这是面齿轮副的最基本构型；图 1b以两输入单输出面齿轮副为例展示多输入单输出面齿轮副构型，此构型多用于多动力源汇集且单一动力输出的场合；图 1c和1d为两种形式的单输入两输出面齿轮副，此类构型多用于动力分流传递场合；图 1e以两输入两输出面齿轮副为例展示多输入两输出面齿轮副构型，此构型多用于多发动机驱动的共轴式双旋翼直升机主减速器。

除了上面讨论的减速面齿轮副之外，面齿轮副还可以用于增速传动，即以面齿轮端作为输入端、圆柱齿轮端作为输出端，这种类型的增速面齿轮副最典型的应用是风力发电机增速齿轮箱。

1.2 单输入单输出面齿轮副扭转振动模型

本研究在建立面齿轮副的扭转振动模型时假设：不考虑输入轴与输出轴的柔性，且支撑轴承的支撑刚度足够大。与面齿轮副多刚体模型相比，面齿轮副扭转振动模型虽然仅考虑扭转自由度方向上的动力学行为，没有考虑自由度之间的耦合效应，但是建模过程没有经过任何简化，更能从本质上反映出面齿轮副的啮合特性。单输入单输出面齿轮副(图 1a)和两输入两输出面齿轮副(图 1e)是最具代表性的两类面齿轮副构型，本文以单输入单输出面齿轮副构型为研究对象，建立其动力学模型。两输入两输出面齿轮副扭转振动模型是单输入单输出模型的拓展和延伸，限于篇幅，本文不再展开。

单输入单输出面齿轮副的物理模型如图 1a所示，其力学模型如图 2所示，该力学模型描述了圆柱齿轮(以下标p表示)与面齿轮(以下标g表示)绕各自旋转轴的角位移之间的动力学关系，包含了非对称时变啮合刚度(参考图 4)、间隙非线性、静态传动误差等因素。

单输入单输出面齿轮副扭转振动数学模型可以表示为：

$ {I_{\rm{p}}}{{\ddot \theta }_{\rm{p}}} = {T_{\rm{p}}} + {k_\theta }f\left( \theta \right) + {c_\theta }\dot f\left( \theta \right) - {c_{\rm{p}}}{{\dot \theta }_{\rm{p}}}, $

(1)

$ {I_{\rm{g}}}{{\ddot \theta }_{\rm{g}}} = - {T_{\rm{g}}} - {k_\theta }\frac{{{N_{\rm{g}}}}}{{{N_{\rm{p}}}}}f\left( \theta \right) - {c_\theta }\frac{{{N_{\rm{g}}}}}{{{N_{\rm{p}}}}}\dot f\left( \theta \right) - {c_{\rm{g}}}{{\dot \theta }_{\rm{g}}}. $

(2)

式中：θ_p为圆柱齿轮的角位移，I_p为圆柱齿轮的转动惯量，T_p为加载在圆柱齿轮上的驱动力矩，c_p为圆柱齿轮的黏性阻尼系数，θ_g为面齿轮的角位移，I_g为面齿轮的转动惯量，T_g为加载在面齿轮上的阻力矩，c_g为面齿轮的黏性阻尼系数，N_p为圆柱齿轮的齿数，N_g为面齿轮的齿数。k_θ(θ_p(t), T_mesh)表示面齿轮副的非对称时变啮合刚度，由1.3节计算出的图 4进行实时插值得到。c_θ表示面齿轮副的啮合阻尼，f(θ)为一描述函数(参考式(5))。

定义面齿轮副的静态传动误差为e₀，通过面齿轮副的有限元准静态分析计算得到，分为e_{0_CW}与e_{0_CCW}，静态传动误差是无输入扭矩时的传动误差，仅与面齿轮副的设计齿形、齿轮转向、啮合位置有关。以圆柱齿轮转动角度表示的啮合间隙为±b，转换为以面齿轮转动角度表示的啮合间隙为±$\frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b$。

定义动态传动误差为^[21]

$ e\left( t \right) = {\theta _{\rm{g}}} - \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}{\theta _{\rm{p}}}. $

(3)

相对角位移为^[21]

$ \theta \left( t \right) = e\left( t \right) - {e_0}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right). $

(4)

定义相对角位移描述函数为

$ f\left( {\theta \left( t \right)} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \theta \left( t \right) + \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b,\;\;\;e\left( t \right) - {e_{{\rm{0\_CW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right) \le - \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b;\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b + {e_{{\rm{0\_CW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right) < e\left( t \right) < + \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b + \left| {{e_{{\rm{0\_CCW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right)} \right|;\\ \theta \left( t \right) - \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b,\;\;\;e\left( t \right) - \left| {{e_{{\rm{0\_CCW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right)} \right| \ge + \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b. \end{array} \right. $

(5)

则啮合刚度为

$ {k_\theta }\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right),{T_{{\rm{mesh}}}}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} {k_{\theta {\rm{\_CW}}}},\;\;\;\;e\left( t \right) - {e_{{\rm{0\_CW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right) \le - \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b;\\ 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b + {e_{{\rm{0\_CW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right) < e\left( t \right) < + \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b + \left| {{e_{{\rm{0\_CCW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right)} \right|;\\ {k_{\theta {\rm{\_CCW}}}},\;\;\;\;e\left( t \right) - \left| {{e_{{\rm{0\_CCW}}}}\left( {{\theta _{\rm{p}}}\left( t \right)} \right)} \right| \ge + \frac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{\rm{g}}}}}b. \end{array} \right. $

(6)

啮合阻尼取为比例阻尼

$ {c_\theta } = \alpha \frac{{{I_{\rm{p}}}{I_{\rm{g}}}}}{{{I_{\rm{p}}} + {I_{\rm{g}}}}} + \beta {k_\theta }. $

(7)

则动态啮合载荷可以表示为

$ {T_{{\rm{mesh}}}} = - {k_\theta }f\left( \theta \right) - {c_\theta }\dot f\left( \theta \right). $

(8)

单输入单输出面齿轮副扭转振动模型仅含有1组面齿轮副啮合模型(参考图 2)，两输入两输出面齿轮副相当于含有4组面齿轮副啮合模型。然而，多输入两输出面齿轮副的独特之处还在于这一类面齿轮副还是一种含有内环的分支齿轮系统，例如两输入两输出面齿轮副即是含有一个内环的分支齿轮系统，每个输入圆柱齿轮的输入扭矩均经过分流后传递给两个输出面齿轮，同时两个输入圆柱齿轮与两个输出面齿轮构成了一个环。因此，多输入两输出面齿轮副的特性会导致角位移之间的相位问题。这里的相位问题包含两个方面：1)在圆柱齿轮圆周方向，两个面齿轮轴线之间的相位差；2)在面齿轮圆周方向，两个圆柱齿轮轴线之间的相位差。相位差的存在，主要是影响啮合模型中的啮合刚度。啮合刚度是以啮合频率为周期的函数，若以圆柱齿轮的转角表示，则啮合刚度是以圆柱齿轮的角节距为周期的函数。因此，直接影响啮合刚度的是相位差对圆柱齿轮的角节距取余后得到的余数。

本文所建立的单输入单输出面齿轮副扭转振动模型(式(1)和(2))是含有间隙非线性、非对称时变啮合刚度以及静态传动误差的高度非线性动力学模型，可采用自适应步长的Runge-Kutta数值积分法(MATLAB ode45函数)求解。

1.3 面齿轮副扭转啮合刚度

非对称时变啮合刚度的建模和计算是本文面齿轮副扭转振动模型建模过程中的关键和难点。

首先，建立面齿轮副的9齿有限元模型，利用Abaqus软件对面齿轮副进行加载接触分析。通常面齿轮副重合度较大，例如有3对轮齿同时参与啮合，并且始端和终端分别多留1~2对轮齿以避免边界条件对计算结果的影响，因此取面齿轮副的9对轮齿为研究对象。但为了减小计算量，将圆柱齿轮中心挖空，省略面齿轮的轮毂和轮辐部分，仅保留齿圈，如图 3所示。

图 3中点划线分别表示面齿轮和圆柱齿轮的旋转轴线。在面齿轮轴线上建立参考点2，并与面齿轮的两侧剖分面和底平面耦合；在圆柱齿轮轴线上建立参考点1，并与圆柱齿轮的两侧剖分面和中心圆柱面耦合。面齿轮齿面与圆柱齿轮齿面之间建立面面接触。为了使接触算法容易收敛，设定一个较小的摩擦因数，如0.05。参考点1约束除圆柱齿轮旋转方向之外的所有自由度，参考点2约束除面齿轮旋转方向之外的所有自由度。

齿轮材料为SAE 9310/10CrNi3Mo，密度为7.8×10³ kg/m³，Young's模量为2.00×10⁵ MPa，Poisson比为0.29。选用一阶C3D8I单元，并进行网格收敛性验证，选定合适的网格密度。

进行准静态分析时，施加的边界条件为：

1) 在参考点2施加沿面齿轮旋转方向的反扭矩，反扭矩由该工况下的输入扭矩换算得到，即

$ {T_2} = \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}}{T_1}. $

(9)

2) 在参考点1施加位移边界条件ϕ₁，沿圆柱齿轮旋转方向，本文计算5个啮合周期，即圆柱齿轮需要转过5个轮齿，即

$ {\phi _1} \in \left[ {0, - 5\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{N_1}}}} \right],步长\;0.01 \;{\rm{rad}}{\rm{.}} $

(10)

圆柱齿轮顺时针转动，即CW工况，此时ϕ₁ < 0，如图 3所示；圆柱齿轮逆时针转动，即CCW工况，此时ϕ₁>0。

基于有限元加载接触分析，定义面齿轮副的扭转啮合刚度为

$ {k_\theta } \buildrel \Delta \over = \frac{{{T_1}}}{{\left| {\Delta {\phi _2} - {e_0}} \right|}}. $

(11)

式中：T₁为施加于圆柱齿轮的输入扭矩；Δϕ₂为传动误差，Δϕ₂=ϕ₂-$\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}$₁，ϕ₁为主动齿轮角位移，ϕ₂为被动齿轮实际角位移(由有限元加载接触分析获得)，N₁ϕ₁/N₂则为被动齿轮在主动齿轮角位移为ϕ₁时刻的理论角位移，本文传动误差用被动齿轮的转动角度表示；e₀为无输入扭矩时的静态传动误差(亦称几何传动误差)，通常将输入扭矩T₁非常小时(例如T₁=0.1 Nm)，由有限元加载接触分析求得的Δϕ₂当作e₀。

斜齿面齿轮轮齿的工作侧齿面和非工作侧齿面是不对称的，因此当圆柱齿轮顺时针转动或逆时针转动时，按照式(11)定义计算得到的啮合刚度是有差异的，即啮合刚度与圆柱齿轮的旋转方向有关，是非对称的。另外，啮合刚度还与圆柱齿轮的角位移有关，且以啮合周期为周期而呈现明显的周期变化；啮合刚度还与输入扭矩即啮合载荷有关，输入扭矩越大则轮齿弹性变形越大，轮齿接触痕迹变大，啮合刚度增加。以表 1所示的某型面齿轮副为算例，进行有限元加载接触分析，将计算得到的不同输入扭矩下的传动误差对圆柱齿轮转角进行Fourier级数拟合，再利用式(11)计算扭转啮合刚度，结果如图 4所示。

2 模型验证

基于进行准静态分析时所建立的面齿轮副有限元模型，保持网格和耦合关系不变，进行动态分析时施加的边界条件为：

1) 在参考点2施加沿面齿轮旋转方向的反扭矩，反扭矩由该工况下的输入扭矩换算得到，即

$ {T_2} = - \frac{{{N_2}}}{{{N_1}}}{T_1}. $

(12)

2) 在参考点1施加速度边界条件$\dot \phi $₁(t)，沿圆柱齿轮旋转方向，本文计算5个啮合周期，即圆柱齿轮需要转过5个轮齿，即

$ \int {{{\dot \phi }_1}\left( t \right){\rm{d}}t} = 5\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{N_1}}}. $

(13)

圆柱齿轮顺时针转动(CW工况)时，ϕ₁ < 0；圆柱齿轮逆时针转动(CCW工况)时，ϕ₁>0。

本文设计了两种工况进行模型验证：1)稳态工况。前2个啮合周期为加速段，后3个啮合周期为匀速段。2)瞬态工况。前2个啮合周期为加速段，后2个啮合周期为减速段，中间1个周期为匀速段。鉴于目前缺少样件实验数据验证本文的动力学模型，故采用与Abaqus/Standard有限元动力学计算的结果进行校核。分别计算和校核了输入扭矩从5 Nm至400 Nm、输入转速(稳态转速)从100 r/min至4 000 r/min等多个工况点，任取其中某一非典型工况点的验证结果示于图 5。

3 动态特性分析

在齿轮传动动力学的研究中，常用的动态分析指标一般有动态传动误差(dynamic transmission error, DTE)和动态载荷系数(dynamic load factor, DLF)，在本节后续分析中也将采用这两个指标。

3.1 设计状态动态特性分析

在表 1所示的面齿轮副算例中，其额定工作状态为：输入转速4 000 r/min，输入扭矩300 Nm。图 6所示为面齿轮副额定工作状态的稳态响应。图 6a为截取的动态传动误差DTE的一段时序图；通过图 6b和6d可以看出此工况为单周期响应；图 6c所示的DTE频谱中基频为面齿轮副啮合频率(gear mesh frequency, GMF)，而且在基频附近存在边带；图 6e表示由啮合间隙导致的冲击现象的冲击状态，图中状态点均分布于工作齿侧的横线上，表示此工况下面齿轮副啮合时工作齿侧始终处于接触状态，没有任何冲击现象，若工作齿侧或者非工作齿侧、工作齿侧或非工作齿侧与啮合间隙横线上均有状态点分布，则表示单侧冲击，若工作齿侧、非工作齿侧和啮合间隙横线上全部有状态点分布，则表示双侧冲击，此时面齿轮副在运转的同时交替冲击齿侧间隙的两侧齿面；图 6f为通过当前时刻的圆柱齿轮角位移、当前时刻的啮合载荷以及当前时刻的冲击状态，对图 4进行实时二维插值得到动态啮合刚度曲线。

固定输入扭矩300 Nm不变，研究随着输入转速的变化，面齿轮副的动态响应，绘制动态传动误差DTE最大值的频谱和动载系数DLF最大值的频谱，如图 7所示。可以看出，在此工况下的稳态响应中，位于转速4 000~5 000 r/min之间，DTE和DLF曲线均存在一个明显的峰值，说明在此转速区间内面齿轮副可能会产生较强的振动和较大的动载荷，在该输入扭矩工况下应尽量避免运行于此转速区间。

3.2 啮合刚度对动态特性的影响

在齿轮副的动力学模型中，啮合刚度是一种时变参数激励。一般而言，啮合刚度多以较简单的类方波形式^[22]、Fourier级数形式^[23]表示。然而，本文的研究结果表明，啮合刚度确实是时变参数，但是更确切地说，啮合刚度是齿轮转角位移的函数，而该转角位移为时变量，啮合刚度还是啮合载荷的函数，通常啮合载荷也为时变量。因此，对于给定设计的特定齿轮副，啮合刚度是齿轮转角位移和动态啮合载荷的二元时变函数，不显含时间，表达式为k_θ(θ_p(t), T_mesh(t))。

齿轮副的设计参数确定之后，啮合刚度主要是由齿轮材料、热处理工艺、加工精度与加工质量所决定的确定性参数。假如由于动力学设计的需求，需要调整啮合刚度，则可以从设计、加工两方面着手进行调整。随着啮合刚度的增加，动态传动误差DTE的绝对值逐渐减小，且波动幅度减弱，这主要是由于随着啮合刚度的增加接触齿面弹性变形量减小。然而，动载系数DLF基本不随啮合刚度均值的改变而变化。

方波啮合刚度模型一般适用于重合度较低的齿轮副，例如直齿轮副，其描述的承载轮齿的依次交替过程较突然，因此会产生较大的DTE和DLF。本文的啮合刚度模型可以看作是一种综合考虑了啮合载荷实时变化的改进型Fourier级数模型，因此采用本文模型计算得到的DTE和DLF比单纯的正弦啮合刚度模型与方波啮合刚度模型都要小，而且更加符合实际物理模型的真实啮合刚度^[24]。

3.3 啮合间隙对动态特性的影响

齿轮副的齿侧啮合间隙通常是不可或缺的，主要功能是方便润滑油进出、避免因啮合过程中摩擦生热导致齿轮副卡死。啮合间隙的存在，致使齿轮系统呈现出复杂的间隙非线性动力学行为。例如，齿轮冲击现象(非冲击状态、单侧冲击状态、双侧冲击状态)、齿轮敲击噪声^[25]等。目前，在齿轮系统动力学的研究中，一般认为啮合间隙为常值^[25]，不考虑其时变性，本研究也采用此假设。但实质上，由于轮齿的齿面形状复杂以及正常使用磨损等因素，啮合间隙是会发生变化的。

由啮合间隙引起的齿轮敲击噪声一般容易发生在如下工况^[26]：1)空载或轻载工况；2)输入载荷波动工况；3)加、减速瞬态工况；4)超速工况。

本小节分析面齿轮副在设计啮合间隙大小以及啮合间隙值变大(3倍设计值大小)情况对面齿轮副动态特性的影响(输入转速为4 000 r/min，输入扭矩为300 Nm)。如图 8a与8b所示，图中两条横线之间的距离即表示啮合间隙的大小。可以看到，随着啮合间隙增大，对应的位于啮合间隙内的非冲击状态的状态点增多；如图 8c与8d所示，在0.019 s左右，由原来的非工作齿侧相互接触变成了非接触状态。相应地，啮合状态的改变直接影响通过实时插值得到的动态啮合刚度值，如图 8e与8f所示。

因此，应该在啮合间隙满足设计要求和使用要求的前提下，将其值设计得尽量小，这有助于减弱齿轮副冲击现象和敲击噪声，延长齿轮副寿命。

3.4 静态传动误差对动态特性的影响

静态传动误差是指无载荷时的传动误差，主要反映了齿轮副实际传动比在理论传动比附近的波动，由齿轮副基本齿廓形式决定，主要受加工精度和安装误差的影响。对于齿廓工作侧与非工作侧不对称的齿轮副而言，例如面齿轮副，输入齿轮顺时针旋转(CW)与逆时针旋转(CCW)时，一般静态传动误差的变化形式也是不相同的，即关于旋转方向敏感。随着静态传动误差的增大，动态传动误差DTE递增，动载系数DLF也基本呈现递增趋势。

3.5 扭矩波动对动态特性的影响

在实际使用中，一般齿轮副的输入扭矩和负载扭矩都是存在扭矩波动的。为了研究扭矩波动对面齿轮副动态特性的影响，假设：

在圆柱齿轮上施加的输入扭矩为

$ {T_{\rm{p}}} = {T_{{\rm{p0}}}} + \alpha {T_{{\rm{p0}}}}\cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_{\rm{p}}} + {\varphi _{\rm{p}}}} \right). $

(14)

在面齿轮上施加的负载扭矩为

$ {T_{\rm{g}}} = {T_{{\rm{g0}}}} + \beta {T_{{\rm{g0}}}}\cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_{\rm{g}}} + {\varphi _{\rm{g}}}} \right). $

(15)

式(14)和(15)中：T_p0和T_g0为扭矩均值，α和β为描述扭矩波动幅度大小的系数，f_p和f_g为扭矩波动频率，$φ$_p和$φ$_g为初始相位。

通常面齿轮的转动惯量要远远大于圆柱齿轮的转动惯量，因此在圆柱齿轮上施加输入扭矩波动对系统响应的影响更加明显。在图 9中，分析了同时施加输入扭矩波动和负载扭矩波动时系统响应的频谱，其中α和β均取值0.5，f_m表示面齿轮副啮合频率，相应的频谱峰值所对应的频率均已经标注在图 9中。可以看出，系统响应中最主要的频率成分是输入扭矩基频f_p和一阶啮合频率f_m。

3.6 蕴含的非线性响应

可见，面齿轮副在设计状态运行时，一般为以啮合频率为基频的单周期响应。在空载或轻载、输入或输出扭矩波动等工况下，含有间隙的齿轮副比较容易表现出复杂的动力学行为。本小节研究面齿轮副在输入扭矩较小(12 Nm)、啮合刚度为10倍设计值时的动力学行为。

图 10所示为转速范围0~20 000 r/min的分岔图，其中在转速2 600~4 000 r/min、7 500~9 500 r/min、10 000~17 000 r/min 3个区间出现了较复杂的动态响应。在2 600~4 000 r/min，面齿轮副的响应由周期-1运动在约2 860 r/min时变为周期-2运动，一直延续至约3 740 r/min，后又恢复周期-1运动。在7 500~9 500 r/min，面齿轮副的响应由周期-1运动进入周期-2运动，随后进入混沌，在约9 500 r/min恢复周期-1运动。在10 000~17 000 r/min，面齿轮副的响应由周期-1运动突然变为周期-2运动且伴随有混沌响应，直至约14 000 r/min时成为周期-2运动，在约16 500 r/min左右重新恢复周期-1运动。

为了进一步探讨面齿轮副蕴含的非线性响应，详细分析了面齿轮副在12 000 r/min工况点的动态响应，如图 11所示。图 11a为截取的一段面齿轮副动态传动误差DTE的时序图。图 11b为DTE的相图。图 11c为DTE的频谱，可以看出两个明显的峰值，分别位于啮合频率和0.5倍啮合频率。此外，在2倍啮合频率之内具有连续的频谱，尤其是在0.5倍啮合频率范围内连续频谱的幅值较大，其Poincaré截面如图 11d所示。由图 11e的冲击状态可以发现，在此工况点的动态响应为单侧冲击响应，即在啮合间隙与工作齿侧之间反复冲击。图 11f为面齿轮副的动态啮合刚度。对比图 11e与图 11f可以发现，当面齿轮副处于啮合间隙时，即面齿轮轮齿齿面与圆柱齿轮轮齿齿面相互之间不接触时，啮合刚度恰好为0，其他时刻则由圆柱齿轮转角位移与动态啮合载荷共同决定实时的动态啮合刚度值。

4 结论

本文以面齿轮副为研究对象，主要研究了面齿轮副扭转振动的建模方法，并对面齿轮副的基本特性进行了分析，主要结论如下：

1) 简要概括了面齿轮副的常用构型，建立了单输入单输出面齿轮副扭转振动模型，该模型包含了非对称时变啮合刚度、间隙非线性、静态传动误差等因素，主要适用于研究面齿轮副的啮合特性；基于加载接触分析，提出了面齿轮副扭转啮合刚度的计算方法，并对某型面齿轮副的非对称时变啮合刚度进行了计算；与Abaqus有限元动力学计算的结果进行了校核，验证了扭转振动模型的有效性。

2) 基于所建立的单输入单输出面齿轮副扭转振动模型，以某型面齿轮副为算例，分析了面齿轮副设计状态时的动态特性，研究了啮合刚度、啮合间隙、静态传动误差、扭矩波动等因素对面齿轮副动态特性的影响，以及面齿轮副蕴含的非线性动力学响应。

3) 所建立的面齿轮副扭转振动模型可以用于研究面齿轮副的啮合特性、动态特性，指导以及校核面齿轮副的设计。