箱体内液体的晃动是一种很常见的现象，内部液体的晃动可能会反过来影响箱体的运动，过大的冲击力还可能会对箱体结构造成损害，因此关于液体晃动有着广泛而深入的研究，涵盖了不同维度、箱体形状、内部结构以及不同的激励幅度和频率等等。这对液体表面运动的预测以及晃动的抑制都十分重要，并且在船舶、化工、航天、电力等领域都有广泛的应用背景。近年来该领域的研究方向越来越深入，三维情况下的研究在变多，并开始在常规的矩形或圆柱形水箱中增加各种挡板，有些还会增加其他复杂结构。例如，Molin等^[1]在矩形水箱中布置了竖直的圆柱阵列，并研究了其固有频率；Iranmanesh等^[2]将圆柱体与箱体底面用弹簧连接悬浮在水中，研究了圆柱体对液体晃动的抑制作用。有些研究人员还开始研究特殊形状的水箱中的晃动问题。例如，Strand等^[3]研究了具有柔性壁面的二维矩形水箱，分析了液体晃动与柔性壁面间的耦合关系；Turner等^[4]对具有驼峰状底面的二维矩形水箱进行了模拟研究，分析了底面形状对液体晃动的影响；Luo等^[5]对水平的六棱柱形水箱内的液体晃动进行了实验研究。

目前的研究方法主要为解析、模拟和实验3种。Cho等^[6-7]对布置水平或竖直多孔挡板的二维矩形水箱的液面晃动问题进行了研究，利用线性势流理论中匹配特征函数展开的方法对该水箱的晃动进行了求解，得到了一个方程组，方程组的每一个根均为解析解。解析解与实验结果对比得到了良好的一致性，之后还利用该解析解对挡板布置进行了初步设计。Faltinsen等^[8-11]详细研究了中心有竖直多孔挡板的二维矩形水箱，利用区域分解的方法求解了液箱固有频率与条形板缺口数量和大小之间的关系，以及不同条件下壁面处液面振幅与激励频率的关系，同样得到了实验结果的验证。

解析法适用范围有限，一般只能用于求解二维规则形状的箱体内部放置简单挡板的情况，而且得到的结果也非常复杂，在三维情况下利用解析法求解将更加困难，此时模拟与实验相结合的方法更为适用。Akyildiz等^[12]利用带动坐标系的有限差分近似方法，模拟中间带竖直实心挡板的二维矩形水箱的液面晃动，并利用流体体积函数(volume of fluid，VOF)方法追踪液面高度。挡板底部与箱体底部连接，调节挡板至不同高度，之后观察液面高度以及壁面处压力随时间的变化，并与实验结果进行对比。模拟结果与实验结果一致性良好，随着中间挡板高度的增加，液面晃动受到的抑制也越来越强，达到的最大高度逐渐变低。Jung等^[13]利用有限体积法对中心有竖直实心挡板的三维矩形水箱晃动问题进行了模拟，并用VOF法追踪液面高度，发现挡板对液面晃动的抑制作用会随着挡板高度增加而增强。Wang等^[14]利用有限元法分析了圆柱水箱中不同环形挡板及组合对液体晃动的抑制作用，并对其效果进行了对比。Yang等^[15]基于大变形有限元法研究了矩形水箱与箱内弹性挡板在液面晃动时的结构耦合问题，与实验结果对比进行了验证，并模拟了二维水箱一侧壁面下半部分为弹性壁面时液体从水箱流出的流动情况。Chen等^[16]利用改进的SPH法模拟了二维水箱液面晃动问题，得到了液体自由液面形状和壁面处最大压力，并与实验结果进行对比验证。Brar等^[17]2014年实验研究了椭圆柱形水箱内不同实心挡板对液体晃动的影响。Jin等^[18]通过实验研究了矩形水箱中水平条形挡板对液体晃动的影响，挡板分别选取了3种不同孔隙率和3种不同浸没深度，分析了共振频率附近的晃动现象。

在箱体内部结构对液体晃动影响这方面已经有了比较广泛的研究，由于空间结构和实际应用等因素的限制，多孔挡板往往比简单的实心挡板更加常用，但相比实心挡板来说对多孔挡板的研究仍然比较欠缺。本文将利用数值模拟的方法研究带水平多孔挡板的圆柱形水箱，探索挡板浸没深度对液体晃动的影响，并尝试解释其作用机理。

1 模拟方法及验证 1.1 研究对象

本文的研究对象为一个带有水平多孔挡板的圆柱形水箱，如图 1所示。水箱半径r为0.5 m，高度H为1.5 m，液面高度h为0.8 m，水平挡板厚度a为0.05 m，半径与水箱半径相同即充满所在平面，孔隙率P为0.3，挡板浸没深度为b。以圆柱底面中心为原点O建立柱坐标系，ρ轴所在平面与底面重合，z轴与圆柱的中心轴线重合。箱体受到的外界激励为简谐激励，角频率为w，以θ=π/2方向为中心的转动激励下摆角记为$φ$，转动中心为底面中心即原点。

1.2 模拟方法

现有文献已经有多种模拟方法用于模拟液面晃动问题，并取得了比较理想的结果，这类问题主要研究对象为液面高度和壁面压力，本文的重点在液面高度上。Rebouillat ^[19]对比过几种常用的模拟方法，如有限元、有限差分、光滑粒子动力学、解析法和半解析法等，最终表明不同模拟方法在模拟液面高度变化方面差别不大，都取得了与实验结果良好的一致性，本文采用有限差分法进行模拟。本文工况为低频大幅晃动，且挡板会对流体有很强的扰动而形成涡流，考虑到低Raynolds数流动的黏性以及湍流涡流，本文采用重整化群(Re-normalization group，RNG)湍流模型。在液面高度的捕捉上也已经有很多成熟的方法可以使用，VOF法是追踪自由液面最简单有效的一种方法^[20]，因此本文采用该方法进行液面追踪。记速度势为ϕ，速度为速度势的梯度，可以写出控制方程和边界条件。

控制方程：

$ {\nabla ^2}\phi = 0; $

(1)

边界条件：

$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial z}}-\frac{{{w^2}}}{g}\phi = 0, z = h; $

(2)

$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial z}} = w\rho \phi {\rm{cos}}\mathit{wt}{\rm{cos}}\theta, z = 0; $

(3)

$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial \rho }} = wz\phi {\rm{cos}}\mathit{wt}{\rm{cos}}\theta, \rho = r; $

(4)

根据Darcy定律^[21]，多孔板的边界条件可以简化为

$ \Delta p = k\left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial z}}} \right). $

(5)

其中：Δp为挡板两侧压力差，k为损失系数。根据Tait等^[22]的研究，可以得到损失系数k的确定方法为

$ k = {\rho _{\rm{L}}}{C_1}/2. $

(6)

其中：ρ_L为液体密度，C_l为稳定流动的损失系数。

$ {C_1} = {\left( {\frac{1}{{{C_{\rm{c}}}P}}-1} \right)^2}. $

(7)

其中：P为孔隙率，C_c为收缩系数。

$ {C_{\rm{c}}} = 0.405{{\rm{e}}^{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {P-1} \right)}} + 0.595. $

(8)

1.3 研究对象

为了验证该模拟方法的可行性，本文利用该方法模拟文[18]实验中的工况，并与其实验结果进行对比。文[18]通过实验研究了矩形水箱中水平条形挡板对液体晃动的影响，与本文研究目标较为类似，主要差异在于激励条件，文[18]中为小幅高频激励，本文研究为大幅低频激励。文[18]中研究对象为一个窄矩形箱，长、宽、高分别为1、0.11、0.8 m，液面高度为0.5 m。

1.3.1 多孔介质模型的验证

为了验证多孔介质模型的有效性，对比利用实际条形挡板的模拟结果与利用多孔介质模型代替挡板的模拟结果，选取挡板孔隙率为0.5、浸没深度为液面高度1/3、水平简谐激励振幅为0.002 5 m的工况，结果见图 2，其中无量纲高度为波峰高度与水平振幅之比，无量纲频率为激励频率与第一共振频率之比(如无特殊说明后文相同)。可以看出多孔介质模型可以完美地模拟挡板对液面高度的影响，之后的模拟中将用多孔介质模型代替条形挡板。

1.3.2 模拟与实验结果对比

文[18]先对无挡板水箱进行了实验，首先分别记录了无挡板水箱两侧的液面高度，因实验系统误差二者并不完全重合；但在有挡板水箱的实验中只取了左侧的液面高度数据。将文[18]中同一工况下左右两侧液面高度进行对比，图 3为不同频率下两侧最大液面高度差(左侧减右侧)，可以看出高度差数据集中在横坐标轴上侧，即测量的左侧液面总是比右侧液面高，以高度差平均值2.76估计系统误差，从而计算出水箱右侧液面高度的实验数据。本文对比了两侧最大液面高度的数值模拟结果(见图 4)，可以看到两侧数据基本重合，因此在本文的模拟中只取单侧数据。

之后将模拟结果与文[18]实验结果进行对比，如图 5和6所示，其中图 5为无挡板水箱的模拟与实验结果对比，图 6为有挡板水箱且挡板孔隙率为0.5时的模拟与实验结果对比。

其中无挡板情况下取左侧液面高度数据，有挡板条件下为根据系统误差计算出的左侧液面高度数据。可以看到模拟结果在低于右侧共振频率的区域与实验结果一致性很好，但在高于该频率的区域由于非线性的提高会出现较大的误差，本文研究工况均落在一致性良好的低频区域，因此可以认为该模型能够较为准确地进行模拟。

2 模拟工况与结果分析

本文希望研究海洋环境中液箱的晃动问题，也就是低频大幅晃动条件下多孔挡板对液面晃动的影响，并将外加激励分为水平和转动两种进行对比。海上船舶晃动周期大约为3~15 s^[23]，对应角频率约为0.42~2.09 rad/s，为了更好地覆盖所有的情况，本文模拟工况中外加激励角频率最大为2.2 rad/s，最小为0.4 rad/s。在转动条件下，最大摆角设为20°，即$φ$=π/9。

2.1 确认频率区间的合理性

根据节1.3.2对比，该模拟方法在高频区间无法保证有效性，因此需要确认计算工况的频率均在低频区域。圆柱水箱受到水平简谐激励，振幅为0.002 5 m，角频率沿用了文[18]所采用的数据，绘制壁面处液面最大高度随角频率的变化图像，如图 7所示。可以看到该圆柱水箱的第一共振角频率在8 rad/s附近，本文研究的工况角频率为0.4~2.2 rad/s，远低于第一共振角频率，可以使用上述方法进行模拟。

2.2 结果分析 2.2.1 挡板对波峰的影响

1) 低频区间。

角频率为0.4~1.6 rad/s的低频区间内波峰随挡板浸没深度的变化如图 8所示。在低频区间内，同样挡板条件下波峰高度整体上随着频率提高而增大，图 6也体现出了相同的规律。在同一频率下波峰高度会随着挡板浸没深度的增大而提高，最终达到稳定，也就是挡板会抑制波峰能达到的高度，但是随着浸没深度的提高作用会逐渐减弱。这一规律与一些对共振现象研究的文献结果一致，如图 9为文[18]实验中第一共振峰高度与挡板浸没深度的关系，挡板孔隙率P有0.1、0.3、0.5三种情况，实验中水深D=0.5 m，挡板浸没深度b与水深的比例b/D即无量纲深度分别为1/3、1/2、2/3，可以看出随浸没深度的增加挡板对波峰的抑制作用也相应减弱。

当浸没深度大于0.4 m之后，挡板对波峰已经几乎没有影响。在角频率小于等于1 rad/s的情况下，浸没深度从0附近增大时，波峰位置会迅速提高，表明对晃动的抑制作用迅速衰弱。因此频率很低时，水平挡板上表面和初始液面重合才可以对晃动起到较好的抑制效果。

2) 高频区间。

对于角频率为1.8~2.2 rad/s的3种高频情况，挡板的作用规律与其他情况并不一致，如图 10所示。

当w=2.2 rad/s时，波峰随着浸没深度的提高先增大后减小，最后趋于稳定，但整体都在稳定后波峰高度的上方，说明挡板在不同浸没深度处均加剧了晃动，而对晃动的促进作用最强的位置出现在浸没深度为0.04 m处，说明挡板上方有浅水层时液面晃动最为剧烈。

在w=2.0 rad/s和w=1.8 rad/s两种情况下，挡板对液面晃动没有明显的抑制或促进作用，随着挡板浸没深度增加，波峰始终在稳定位置附近波动。

一般认为挡板等障碍物的存在会抑制液体的晃动，但模拟结果表明并不总是这样，在某些情况下挡板的存在对液体晃动并没有明显的抑制，甚至会有促进作用。图 11为w=2.2 rad/s、挡板浸没深度为0.04 m条件下和无挡板条件下壁面处液面高度随时间的变化对比，并标注了挡板上下表面的位置，因为15 s之后液面的运动才完全达到稳定状态，因此图像时间轴选取了15 s之后的10 s区间。

2.2.2 峰值增大的机理分析

从图 11中可以看出有挡板情况下液面位置围绕无挡板条件下液面位置振荡，对两种情况做进一步对比分析，为了保证晃动情况已经达到稳定状态，本文取15 s后6个周期内的结果。在每个周期内，取液面向下穿过挡板上表面的时间t₁，与无挡板条件下液面穿过相同位置的时间t₂，对比二者的时间差Δt₁=t₁－t₂，基本维持在0.12 s左右，说明有挡板情况下液面下穿挡板上表面的时间相对滞后了。利用同样的办法，本文对比两种情况下上穿挡板上表面时间差Δt₂和波峰出现的时间差Δt₃，有挡板情况下液面上穿挡板上表面滞后了约0.05 s，但出现波峰的时间相对提前了约0.3 s，三个时间差的示意如图 12所示，随周期的变化如图 13所示。

在有挡板情况下，由于重力的作用液面会倾向于回到无挡板情况下的液面位置，同时由于挡板周期性的扰动带来相位差，最后表现为液面围绕无挡板情况下的液面位置振荡运动。从Δt₁和Δt₂可以看出挡板对液面运动确实有阻碍作用，但最后表现在波峰高度上却不一定总是如此，在特定的条件下可能会出现更高的波峰。

2.2.3 挡板对波谷的影响

除了波峰之外，波谷也会受到挡板的影响，但以往的文献很少对波谷进行研究。图 14为不同角频率下波谷随挡板浸没深度的变化图像，同时也标注了挡板上下表面的位置，因为w＜1 rad/s时波谷变化规律与图中类似且波动非常小，所以将该部分省略以简化图像。整体来看波谷位置受挡板的影响不大，当挡板浸没深度为0时，波谷位置最低，随着浸没深度增加，波谷位置也在提高，直到波谷位置出现在挡板内部。这一现象说明液面向下远离挡板时受到的阻碍远小于向下靠近挡板，当浸没深度提高时，液面远离挡板运动的区间变小，受到的阻碍更大，使得波谷能达到的最低位置提高。

当挡板浸没深度增加到波谷不能进入挡板时，波谷位置会随着浸没深度增加迅速下降。这一现象说明进入挡板受到的阻碍远大于靠近挡板受到的阻碍，因此在浸没深度继续增加的小范围内，波谷仍可以达到更低的位置，之后随着浸没深度增加波谷位置不再受影响从而趋于稳定。

3 结论

本文在与文[18]实验结果对比验证了数值模拟方法的可靠性之后，研究了圆柱形水箱中水平多孔挡板对液面运动的影响，通过改变晃动频率和挡板浸没深度，发现了以下现象。

1) 在角频率为0.4~1.6 rad/s时，挡板会使液面运动的波峰高度降低，表现为抑制，一般文献中也发现了挡板对液面晃动的抑制作用。且随着浸没深度增大波峰高度增加，抑制作用减弱，这一点与一些简单研究过挡板浸没深度影响的文献中的结果相同。

2) 在角频率为1.8~2.2 rad/s时，挡板对波峰高度没有明显抑制作用，在少数情况下会使波峰高度明显提高，在其他文献中没有发现这一现象。同时挡板的浸没深度变化也不会导致波峰高度出现规律性变化。

3) 挡板的存在会对液面运动起到阻碍作用，液面下穿和上穿挡板上表面位置均滞后于无挡板情况，使得液面围绕无挡板条件下液面位置振荡运动。但整体上并不总是表现为更低的波峰高度，在特定的条件下波峰高度可能会更高，从而给人挡板加剧液体晃动的感觉，因此挡板的存在并不总是可以减小波峰高度，在实际应用中要注意特殊情况的出现。

4) 整体来看挡板对波谷位置的影响不大，在波谷能够穿过挡板上表面时，挡板浸没深度提高会让波谷位置上升，说明液面向下远离挡板时受到的阻碍远小于向下靠近挡板；在波谷不能穿过挡板上表面时，波谷位置会先随挡板浸没深度提高迅速下降之后再缓慢上升，说明进入挡板受到的阻碍远大于靠近挡板受到的阻碍。