薄壁工件具有质量轻、结构紧凑等特点，因此被广泛应用于航空航天等高端制造产业。典型的薄壁零部件有框架壳体、整体壁板和螺旋桨叶片等^[1]。这些零件整体性较高，往往具有复杂曲面，需要从较大的毛坯料开始加工，材料去除率甚至可达90%以上，因此对于加工效率具有较高的要求。同时，具有几何轮廓优势、易于轨迹规划的圆角铣刀(包括球头铣刀)在薄壁工件的加工中被广泛应用^[2]。然而由于薄壁结构刚度较低，在切削力的激励下容易出现较强烈的强迫振动响应。

实验模态分析技术由于结果精确可靠，被广泛应用于分析结构动态特性及加工振动的预测^[3]。随着计算机技术的发展，有限元方法也越来越多地用于分析结构特性和模拟切削过程。Kivanc等^[4]利用实验模态方法和有限元分析方法研究了整体立铣刀的结构特性并用于预测加工形状误差和无颤振切削区域，Tsai等^[5]使用有限元软件仿真分析了薄板工件在铣削过程中的响应，Tang等^[6]通过有限元方法分析了切削力的大小、切削位置和薄壁工件的厚度对加工变形的影响，罗忠等^[7]用有限元方法分析了薄壁壳体工件在不同边界条件下受简谐激励产生的强迫振动响应，Gao等^[8]用有限元方法分析了薄壁工件的加工变形并用于优化刀具轨迹。

本文针对典型圆角铣刀铣削薄壁工件过程，建立了圆角铣刀的铣削力模型，基于平均切削力试验方法辨识了切削力系数，利用实验模态分析方法分析了薄壁工件的动力学特性，以稳态响应最大振幅为指标，在时域上计算了薄壁工件的强迫振动响应，研究了刀尖半径对强迫振动响应的影响。

1 铣削力建模

切削力建模方法主要有经验公式法、解析法、有限元法和力学法等4种。其中，力学方法综合了对切削机理的揭示、求解效率和预测精度^[9]，被广泛应用于铣削过程动力学建模和求解过程中。圆角铣刀的几何轮廓如图 1所示。设刀具具有直径D、刀尖圆角半径R₀、刀齿数N、螺旋角β。要建立其切削力模型，需要识别切削刃微元处的坐标，在球面坐标系下导出微元切削刃处的3个切削分力，继而投影到直角坐标系中，最后通过积分方法得到总的切削力。

设微元切削刃ds在图 1坐标系中具有高度z、到铣刀轴线的距离r(z)、轴向接触角α(z)和径向滞后角φ(z)。

根据几何关系，对于第j个刀齿，有

$ \varphi \left( z \right) = 2z\frac{{\tan \beta }}{D}. $

(1)

高度为z处的微元切削刃的径向接触角记为

$ {\varphi _j}\left( z \right) = \varphi + \left( {j - 1} \right)\frac{{2\pi }}{N} - \varphi \left( z \right),\varphi = \frac{{2\pi \mathit{\Omega }}}{{60}}t. $

(2)

则该刀齿的瞬时径向切削厚度为

$ h\left( {{\varphi _j}} \right) = {f_{\rm{t}}}\sin \left( {{\varphi _j}} \right)\sin \left( {\theta \left( z \right)} \right). $

(3)

其中轴向接触角为

$ \theta \left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{arccos}}\left( {\frac{{{R_0} - z}}{{{R_0}}}} \right),}&{z < {R_0};}\\ {\frac{\pi }{2},}&{z \ge {R_0}.} \end{array}} \right. $

(4)

瞬时切削宽度为

$ {\rm{d}}b = \frac{{{\rm{d}}z}}{{\sin \left( {\theta \left( z \right)} \right)}}. $

(5)

根据弧长公式，有

$ {\rm{d}}s = {\rm{d}}z\sqrt {{{\left[ {r\left( z \right)\varphi '\left( z \right)} \right]}^2} + {{\left[ {r'\left( z \right)} \right]}^2} + 1} . $

(6)

其中

$ r\left( z \right) = \sqrt {R_0^2 - {{\left( {{R_0} - z} \right)}^2}} + \frac{D}{2} - {R_0}. $

根据线型切削力模型，刀具主旋转角度为φ、轴向坐标为z的第j个刀齿上的微元的切向、径向和轴向瞬时切削力分别为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{F_{{\rm{t}},j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)}\\ {{\rm{d}}{F_{{\rm{r}},j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)}\\ {{\rm{d}}{F_{{\rm{a}},j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)} \end{array}} \right] = g\left( {{\varphi _j}} \right) \cdot }\\ {\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{\rm{t}}}}\\ {{K_{\rm{r}}}}\\ {{K_{\rm{a}}}} \end{array}} \right]h\left( {{\varphi _j}} \right){\rm{d}}z + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{{\rm{t}}e}}}\\ {{K_{{\rm{r}}e}}}\\ {{K_{{\rm{a}}e}}} \end{array}} \right]{\rm{d}}s} \right\}}. \end{array} $

(7)

其中g(φ_j)是用来判断刀齿是否处于切削状态的单位阶跃函数，即

$ g\left( {{\varphi _j}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{{\varphi _{st}} < {\varphi _j}\bmod 2\pi < {\varphi _{{\rm{e}}x}};}\\ {0,}&{{\rm{其他}}{\rm{.}}} \end{array}} \right. $

(8)

其中φ_st和φ_ex为第j个刀齿的切入角和切出角：顺铣时, φ_st=arccos(2a_e/D－1)、φ_ex=π；逆铣时，φ_st=0、φ_ex=arccos(1－2a_e/D)。a_e代表径向切深。

将切削力分量向x、y、z坐标轴投影，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{F_{x,j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)}\\ {{\rm{d}}{F_{y,j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)}\\ {{\rm{d}}{F_{z,j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)} \end{array}} \right]}=\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \cos \left( {{\varphi _j}} \right)}&{ - \sin \left( {{\varphi _j}} \right)\sin \left( {\theta \left( z \right)} \right)}&{ - \sin \left( {{\varphi _j}} \right)\cos \left( {\theta \left( z \right)} \right)}\\ {\sin \left( {{\varphi _j}} \right)}&{ - \cos \left( {{\varphi _j}} \right)\sin \left( {\theta \left( z \right)} \right)}&{ - \cos \left( {{\varphi _j}} \right)\cos \left( {\theta \left( z \right)} \right)}\\ 0&{\cos \left( {\theta \left( z \right)} \right)}&{ - \sin \left( {\theta \left( z \right)} \right)} \end{array}} \right] \cdot }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}{F_{{\rm{t}},j}}}\\ {{\rm{d}}{F_{{\rm{r}},j}}}\\ {{\rm{d}}{F_{{\rm{a}},j}}} \end{array}} \right].} \end{array} $

(9)

沿轴向积分、将各刀齿的切削力累加，可得铣刀的切削力为

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_0}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_x}\left( \varphi \right)}\\ {{F_y}\left( \varphi \right)}\\ {{F_z}\left( \varphi \right)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^N {\int_0^{{a_{\rm{p}}}} {{\rm{d}}{F_{x,j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)} } }\\ {\sum\limits_{j = 1}^N {\int_0^{{a_{\rm{p}}}} {{\rm{d}}{F_{y,j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)} } }\\ {\sum\limits_{j = 1}^N {\int_0^{{a_{\rm{p}}}} {{\rm{d}}{F_{z,j}}\left( {{\varphi _j},z} \right)} } } \end{array}} \right]. $

(10)

切削力系数可以通过切削实验利用平均切削力法^[10]进行辨识。本文采用的刀具为整体硬质合金圆角铣刀，其几何参数见表 1，试件材料为7075航空铝合金。该刀具-工件组合的切削力系数辨识结果见表 2。

2 薄壁工件动力学特性模态分析

考虑薄壁工件的弱刚度特性，建立刚性刀具-柔性工件铣削工艺系统动力学模型^[11]，且只考虑薄壁工件薄弱方向，即法向的自由度。在复数域上切削力与薄壁结构上某点的位移响应可表示为

$ Y\left( s \right) = H\left( s \right) \cdot F\left( s \right). $

(11)

两边做Laplace逆变换，可得薄壁件的时域响应为

$ y\left( t \right) = {L^{ - 1}}\left[ {H\left( s \right) \cdot F\left( s \right)} \right]. $

(12)

假设系统经时间t₀后自由振荡衰减完毕，此时可得最大稳态振幅为

$ {y_{\max }} = \max \left( {y\left( t \right)} \right),t \ge {t_0}. $

(13)

为保证结果的精确性，传递函数经模态实验获得并应用有理分式多项式法进行拟合。具有n阶模态的传递函数可整理为有理分式多项式形式并展开成极点留数表达式：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {H\left( s \right) = \frac{{{a_0} + {a_1}s + \cdots + {a_{n - 1}}{s^{n - 1}} + {a_n}{s^n}}}{{{b_0} + {b_1}s + \cdots + {b_{m - 1}}{s^{m - 1}} + {b_m}{s^m}}} = }\\ {\sum\limits_{r = 1}^n {\left( {\frac{{{A_r}}}{{s - {s_r}}} + \frac{{A_r^*}}{{s - s_r^*}}} \right).} } \end{array} $

(14)

本文工件为3 mm厚“S”形切削试件，工件薄壁高度为30 mm，厚高比为0.1，是典型的弱刚度薄壁结构。选定工件底端刀具路径上的一点为输出点(参考点)，结构侧面中心位置(高度为15 mm)为输入点进行模态实验，获取其传递函数并进行分析，且不考虑切削位置的变化、刀具姿态的变化及材料切除效应对传递函数的影响。实验过程如图 2所示，实测及拟合的传递函数如图 3所示。分析可得薄壁结构具有2阶模态，识别的传递函数极点和留数见表 3。

3 强迫振动响应求解

在实验过程中，以表 4中的条件A和条件B分别进行切削实验并进行对比研究。以条件A进行切削时，全过程较为平稳，加工后的表面无明显振纹；以条件B进行切削，加工过程中振动较为强烈，加工后的表面振纹较为明显。

以条件A和条件B的工艺参数进行仿真分析，结果见图 4。需要注意的是，由于径向切深小于刀尖半径，因此在计算切削力时，式(10)中沿轴向切深的积分并非从0开始。

分析图 4可得，A条件下的强迫振动响应为9.14×10^-8 m，小于B条件下的强迫振动响应1.47×10^-7 m。显然，响应值越大，刀具的强迫振动响应越强烈。需要指出的是，因切削点位置随刀具运动而不断移动，因此工件上切削力的激励点也随之移动，相应的系统传递函数也发生改变。当切削点在薄壁结构薄弱区域时，切削区域的响应幅值将更大。

4 刀尖半径对强迫振动响应的影响分析

薄壁结构在某一时刻受切削力激励的强迫振动响应由系统的传递函数和切削力共同决定。当刀具-工件接触区位于薄壁结构刚度最为薄弱的区域时，薄壁结构的强迫振动最为剧烈。由于刀尖半径对铣削力具有显著的影响，本节通过仿真, 研究材料去除率为定值时不同刀尖半径条件下的薄壁工件强迫振动。假设切削力系数、转速和进给速率与表5中的条件相同。以典型单模态振动系统为例，工件的传递函数参考文[12]，其主导模态固有频率为471 Hz，阻尼比为0.030 8，模态刚度为8.68×10⁵ N/m。

为简化计算过程，取刀具浸入比为0.5，即半刀切削条件进行仿真。刀具直径为12 mm，因此R₀最大值为6 mm，此时刀具为球头铣刀。选定R₀范围为0.5~6 mm，仿真结果如图 5所示。由图 5可以看出刀尖半径R₀对强迫振动响应的影响，随着刀尖半径R₀的增大，强迫振动响应幅值单调递减，这是由于圆弧切削刃的存在使得轴向切削力增大，因此刀具径向与进给方向的切削力得以减小。需要说明的是，当连续立铣加工的径向切深小于刀具圆角半径时，刀具-工件接触区域并非从刀尖点开始。

为定量探究刀尖半径对切削力以及强迫振动响应的影响机制，以作用于工件表面垂线(敏感方向)上的法向作用力相等为依据，提出立铣刀等效圆柱切深的概念：切深为a_p的立铣刀，依据作用效果相等可等效为刀具直径相等的切深为a′_p的普通圆柱立铣刀，a′_p即为立铣刀的等效圆柱切深。

设定a′_p的合理搜索范围为[0, a_max]，将搜索范围等距离散为L+1个节点，则第k个试算等效切深为(k-1)a_max/L。在一个完整刀齿切削周期内计算法向最大切削力的差值的绝对值为

$ \mathit{\boldsymbol{d}}\left( k \right)=\text{abs}\left( \max \left( {{F}_{y}} \right)-\max \left( {{F}_{y}}^{\prime } \right) \right). $

(15)

从而d向量中最小元素对应的试算切深即为搜寻得到的等效圆柱切深。以表5中条件A的工艺参数为例，设定搜索范围为[0, 1]，离散为201个节点，切削力对比如图 6所示，峰值差不超过0.01 N。可见，将立铣刀等效为圆柱立铣刀具有非常高的静力学近似精度。求得等效圆柱切深为0.50 mm，小于实际切深1 mm，同样说明刀尖半径的存在对于薄壁工件的强迫振动响应具有抑制作用。

5 结论

本文建立了圆角铣刀铣削力模型，通过实验法标定了切削力系数，通过实验模态分析方法获取了薄壁工件的动力学特性参数，基于时域求解方法得到了薄壁工件的强迫振动响应。通过仿真分析，得出刀尖半径对于强迫振动具有抑制作用的结论，并提出了等效圆柱切深的概念和迭代求解算法。