在汽车运行过程中，车辆及其部件会持续产生振动而消耗发动机的输出能量。占比较大的垂向振动能量主要经由悬架和轮胎耗散。考虑节能环保的需要，已有不少学者探讨对这两部分能量进行回收，比如应用具有能量回收功能的新型减振器替代传统的液力减振器^[1-2]或者利用压电材料或电磁装置回收轮胎变形能量^[3-4]。第一类回收方法，可称为基于减振器替代的回收方案，思路清楚而直接，且可回收能量较多。但是在实施能量回收时需要注意不影响车辆性能。第二类回收方法，回收能量较少，通常为毫瓦或微瓦量级。

基于附加系统的车辆振动能量的回收方案。2011年，Ferdinando等^[5]提出一种方案，在簧下质量上设置“质量-弹簧-阻尼器”以回收振动能量，通过计算评估了系统的能量回收潜力。2013年，杨亦勇^[6]提出了一种类似拖车的结构，通过让其中的“托盘”结构在车辆行驶过程中发生共振以实现对车辆振动能量的回收。因为不直接承担车辆性能要求，这类方案的空间布置和参数选择更为灵活。

这类附加系统本质上是“调谐质量阻尼器”(tuned mass damper，TMD)，广泛应用于各类建筑物^[7-8]和车辆的减振^[9-10]，也有学者将其用于回收建筑物的振动能量^[11]。为简便计，下文将其称为“调谐质量系统”或“调谐系统”。本文拟在簧下质量上引入调谐系统以回收车辆振动能量，探讨系统参数的匹配方法，揭示调谐系统对车辆振动能量的影响及对振动能量的回收潜力。

1 模型及其动力学方程

一般而言，车辆以相对稳定的车速作直线行驶的工况要明显多于转向工况和加减速工况。因此，本文针对车辆垂向振动问题，选择1/4车辆建立分析模型，如图 1所示。

其中：m₁、m₂分别为簧下质量与簧上质量，k₁₀、k₂₁分别为轮胎和悬架弹簧的刚度系数，c₁₀、c₂₁为轮胎和悬架减振器的等效阻尼系数，x₀为路面不平度，x₁和x₂分别为簧下质量和簧上质量的位移。需要指出的是，考虑到调谐系统作用原理，上述1/4车辆模型中考虑了轮胎阻尼。

从模型中去掉轮胎阻尼，得到经典的2自由度1/4车辆模型，用于研究车辆在直线行驶工况下的垂向动力学行为。近年来该模型也常用于对基于悬架减振器替代的振动能量回收方案的能量回收潜力分析^[1]。对于前者，减振器阻尼c₂₁实际上包含液压减振器的阻尼和减振器结构的机械阻尼。对于后者，c₂₁则包括回收装置的机械阻尼、电磁损耗和实际回收的等效电阻尼，但相关文献中大都忽略机械与电磁损耗。

在图 1所示模型中，对簧下质量引入调谐质量系统，可得到图 2所示具有调谐质量系统的1/4车辆模型。为简便计，后文将该调谐质量系统称为簧下调谐系统。图中, m₃₁、k₃₁、c₃₁分别为调谐质量系统的质量、刚度和阻尼系数，x₃₁为调谐质量的位移。需要指出的是，c₃₁用于能量回收，也包含装置的机械阻尼、电磁损耗和等效电阻尼。参照相关文献，后文分析中忽略前两部分阻尼。

应用Newton第二定律，经推导可分别建立图 1和2所示模型的动力学方程，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_1}}&0\\ 0&{{m_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot x}_1}}\\ {{{\ddot x}_2}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{10}} + {c_{21}}}&{ - {c_{21}}}\\ { - {c_{21}}}&{{c_{21}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}} \end{array}} \right] + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{10}} + {k_{21}}}&{ - {k_{21}}}\\ { - {k_{21}}}&{{k_{21}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{10}}}\\ 0 \end{array}} \right]{x_0} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{10}}}\\ 0 \end{array}} \right]{{\dot x}_0},} \end{array} $

(1)

与

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_1}}&0&0\\ 0&{{m_2}}&0\\ 0&0&{{m_{31}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot x}_1}}\\ {{{\ddot x}_2}}\\ {{{\ddot x}_{31}}} \end{array}} \right] + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{10}} + {c_{21}} + {c_{31}}}&{ - {c_{21}}}&{ - {c_{31}}}\\ { - {c_{21}}}&{{c_{21}}}&0\\ { - {c_{31}}}&0&{{c_{31}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}}\\ {{{\dot x}_2}}\\ {{{\dot x}_{31}}} \end{array}} \right] + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{10}} + {k_{21}} + {k_{31}}}&{ - {k_{21}}}&{ - {k_{31}}}\\ { - {k_{21}}}&{{k_{21}}}&0\\ { - {k_{31}}}&0&{{k_{31}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_{31}}} \end{array}} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{10}}}\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]{x_0} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{10}}}\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]{{\dot x}_0}.} \end{array} $

(2)

路面不平度一般视为随机激励，其功率谱密度函数为^[12]

$ {G_{{x_0}}}\left( n \right) = {G_{{x_0}}}\left( {{n_0}} \right){\left( {\frac{n}{{{n_0}}}} \right)^{ - w}}. $

(3)

其中：n为空间频率(单位为m^-1), n₀=0.1 m^-1为参考空间频率；G_x0(n₀)为路面不平度系数，对应参考空间频率n₀的路面功率谱密度，单位为m³；w为频率指数，是双对数坐标系中上斜线的斜率，决定路面功率谱密度的频率结构。现有标准选择频率指数w=2，并据路面功率谱密度将路面的不平程度分为8个等级。

考虑时间频率f与空间频率n、车速u之间的转换关系，采用速度描述，式(3)可改写为

$ {G_{{{\dot x}_0}}}\left( f \right) = 4{\pi ^2}{G_{{x_0}}}\left( {{n_0}} \right)n_0^2u. $

(4)

其中：时间频率和车速的单位分别为s^-1与m/s。不难看出，$ {G_{{{\dot x}_0}}}\left( f \right)$只与路面不平度系数G_x0(n₀)和车速u有关，而与频率f无关。换言之，${G_{{{\dot x}_0}}}\left( f \right) $在全频带内为常值，这说明激励信号为白噪声。式(3)和(4)是车辆垂向动力学领域中最为常见的路面不平度模型，迄今也常用于研究基于悬架减振器替代方案的振动能量回收潜力。

鉴于实际道路特征和车辆的运行速度，汽车理论教科书中一般给出了道路的空间频率范围。这实际上是采用限带白噪声描述路面不平度激励。文[2]采用了该模型研究减振器替代方案的振动能量回收潜力。

考虑到轮胎耗散能量与路面频率的关系，以及调谐系统的工作原理，本文采用限带白噪声激励。设路面空间频率的上、下截止频率分别为n₁和n₂，则对应车速u的时间频率范围为

$ u{n_1} < f < u{n_2}. $

(5)

2 性能评价

引入调谐质量系统回收车辆垂向振动能量，需要保证车辆动力学性能。因此针对系统振动能量与车辆动力学性能分别定义评价指标。

2.1 车辆性能指标

为评价车辆垂向动力学性能，选择车身加速度$ {{\ddot x}_2}$、悬架动挠度f_d及轮胎相对动载荷F_d/G 3个指标^[12]。其中，f_d=x₂-x₁，F_d=k₁₀(x₁-x₀)。对于随机激励，各指标的均方根计算式分别为：

$ {\sigma _{{{\ddot x}_2}}} = {\left( {\int_{{f_1}}^{{f_2}} {4{\pi ^2}{G_{\rm{q}}}\left( {{n_0}} \right)n_0^2u{{\left| {H{{\left( f \right)}_{{{\ddot x}_2} \sim {{\dot x}_0}}}} \right|}^2}{\rm{d}}f} } \right)^{\frac{1}{2}}}, $

(6)

$ {\sigma _{{f_{\rm{d}}}}} = {\left( {\int_{{f_1}}^{{f_2}} {4{\pi ^2}{G_{\rm{q}}}\left( {{n_0}} \right)n_0^2u{{\left| {H{{\left( f \right)}_{\left( {{x_2} - {x_1}} \right) \sim {{\dot x}_0}}}} \right|}^2}{\rm{d}}f} } \right)^{\frac{1}{2}}}, $

(7)

$ {\sigma _{{F_{\rm{d}}}/G}} = \frac{{{k_{10}}}}{G}{\left( {\int_{{f_1}}^{{f_2}} {4{\pi ^2}{G_{\rm{q}}}\left( {{n_0}} \right)n_0^2u{{\left| {H{{\left( f \right)}_{\left( {{x_1} - {x_0}} \right) \sim {{\dot x}_0}}}} \right|}^2}{\rm{d}}f} } \right)^{\frac{1}{2}}}. $

(8)

其中：f₁与f₂分别为式(5)所定义的下、上截止频率，$ H{\left( f \right)_{{{\ddot x}_2}\sim\dot x}}$、$ H{\left( f \right)_{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\sim\dot x}}$、$H{\left( f \right)_{\left( {{x_1} - {x_0}} \right)\sim\dot x}} $则为${{\ddot x}_2} $、(x₂-x₁)、(x₁-x₀)对${{{\dot x}_0}} $的频率响应函数。

另外，为评价调谐质量系统的空间需求，参照悬架动扰度，定义调谐系统动挠度指标

$ {\sigma _{{f_{{\rm{TMD}}}}}} = {\left( {\int_{{f_1}}^{{f_2}} {4{\pi ^2}{G_{\rm{q}}}\left( {{n_0}} \right)n_0^2u{{\left| {H{{\left( f \right)}_{\left( {{x_{31}} - {x_1}} \right) \sim {{\dot x}_0}}}} \right|}^2}{\rm{d}}f} } \right)^{\frac{1}{2}}}. $

(9)

其中$ H{\left( f \right)_{\left( {{x_{31}} - {x_0}} \right)\sim{{\dot x}_0}}}$为x₃₁-x₀对$ {\dot x}$的频率响应函数。

2.2 能量指标

调谐质量系统的引入，将改变系统能量的分布。为此，基于模型中各阻尼的能量消耗，定义总体耗散能、调谐质量系统能量回收潜力、悬架与轮胎耗散能等指标，以评价车辆系统能量分布与变化，以及簧下调谐质量系统的能量回收效果。

对于阻尼c_ij，其耗散功率为

$ {P_{ij}} = {c_{ij}}{\left( {{{\dot x}_j} \sim {{\dot x}_i}} \right)^2}. $

(10)

考虑来自路面的随机速度激励，经推导可得^[2]

$ {P_{ij}} = {c_{ij}}\int_{{f_1}}^{{f_2}} {4{\pi ^2}{G_{\rm{q}}}\left( {{n_0}} \right)n_0^2u{{\left| {H{{\left( f \right)}_{\left( {{{\dot x}_j} \sim {{\dot x}_i}} \right) \sim {{\dot x}_0}}}} \right|}^2}{\rm{d}}f} . $

(11)

式(10)-(11)中，下标i, j(=0, 1, 2, 3且i≠j)与前文约定一致，$ {{\dot x}_j} - {{\dot x}_i}$为阻尼两端的速度差, $ H{\left( f \right)_{\left( {{{\dot x}_j} - {{\dot x}_i}} \right)\sim{{\dot x}_0}}}$为${{{\dot x}_j} - {{\dot x}_i}} $对$ {{{\dot x}_0}}$的频率响应函数。

定义“总体耗散能”为车辆模型中全部阻尼耗散功率的总和，即

$ {P_{\rm{d}}} = \sum {{P_{ij}}} . $

(12)

显然，对于参考模型，总体耗散能是悬架和轮胎耗散功率之和；对于簧下调谐模型，则为悬架、轮胎及调谐阻尼耗散或回收功率之和。

调谐质量系统中阻尼耗散的功率P₃₁，即为调谐质量系统的能量回收潜力。另一方面，引入调谐质量系统，车辆悬架与轮胎消耗的能量可能发生变化。为此，定义两模型中悬架与轮胎耗散功率之差为车辆阻尼耗散能减量ΔP_st，即

$ \Delta {P_{{\rm{st}}}} = \left( {P_{21}^1 + P_{10}^1} \right) - \left( {P_{21}^2 + P_{10}^2} \right). $

(13a)

其中符号P_ij^k表示模型k(=1, 2)中阻尼c_ij的耗散功率。上式可改写为

$ \Delta {P_{{\rm{st}}}} = \left( {P_{21}^1 - P_{21}^2} \right) - \left( {P_{10}^1 - P_{10}^2} \right). $

(13b)

其中方程右侧两项分别表示悬架阻尼耗散功率和轮胎阻尼耗散功率的变化。轮胎阻尼耗散功率变化的占比为

$ \Delta {R_{10}} = \frac{{P_{10}^1 - P_{10}^2}}{{\Delta {P_{{\rm{st}}}}}} \times 100\% $

(14)

3 调谐系统的参数匹配

为多自由度主振系设计动力吸振器，当外部激励频段覆盖主振系的多个固有频率时，需要考察该频段中主振系固有振动是否彼此耦合。当该频段中相邻的2阶固有频率之比大于2，可认为对应2阶主振动相互之间无影响，而直接为每阶模态分别匹配动力吸振器。否则，需要同时考虑二阶模态，通过优化确定吸振器参数^[13]。另一方面，如果某阶模态中存在运动明显占优的自由度，则可将该阶模态简化为对应优势自由度的单自由度系统而匹配动力吸振器^[9]。

根据汽车理论，对于常见的乘用车，其1/4车辆模型的两阶固有频率之比大于2，且第二阶模态向量中第二个分量约为第一个分量的100倍，可近似看作只含有簧下质量自由度的单自由度系统，如图 3所示^[12]。

依据前述理论，基于第二阶模态匹配动力吸振器，并按照图 3所示单自由度系统进行参数匹配。调谐系统的质量比，通常综合考察减振效果与布置空间而选择。

针对白噪声激励，参照基础激励下有阻尼主系统动力吸振器匹配的H₂优化方法而确定^[14]，经推导可得

$ \left\{ \begin{array}{l} {m_{31}} = {\mu _{31}}{m_1},\\ {k_{31}} = f_{31}^2{\mu _{31}}\left( {{k_{10}} + {k_{21}}} \right),\\ {c_{31}} = 2{\xi _{31}}\sqrt {{k_{31}}{m_{31}}.} \end{array} \right. $

(15)

其中f₃₁为簧下调谐系统与簧下质量单自由度系统的频率比。

4 车辆性能及振动能量分析

本节计算了簧下调谐模型的车辆性能和振动能量，并与参考模型的相关数据进行对比。

本文沿用了文[1]中给出的1/4车辆模型的簧下质量、簧上质量、轮胎刚度、悬架刚度、和悬架阻尼系数等参数；并参照文[15]和^[16]选择了轮胎的垂向阻尼系数。调谐系统的质量与簧下质量之比选为μ₃₁=0.1，按照式(15)确定调谐系统其他参数。所采用模型的全部数据如表 1所示。

选择C、D级路面为分析路面，对应的不平系数分别为G_q(n₀)_C=256×10^-6, G_q(n₀)_D=1 024×10^-6。根据统计结果^[12]，路面轮廓的空间频率范围为0.11 m^-1＜n＜2.83 m^-1。为揭示变化特性，选择车速范围20~120 km/h进行分析。

在下文计算之前，从参考模型中去掉轮胎阻尼，计算了简化模型的车辆性能和悬架的耗散能量，与文献对照验证了计算方法的正确性。

4.1 车辆性能

针对参考模型和簧下调谐模型，分别依据式(6)-(8)进行计算，可得到对应模型在不同车速下的车身加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载荷的均方根值。车身加速度曲线如图 4所示。

显然，路面越差、车速越高，两个模型的车身加速度均方根值越大。当路面和车速都相同时，簧下调谐模型的车身加速度小于参考模型。

以车速为90 km/h的数据为例。在C级路面和D级路面上，参考模型的车身加速度均方根值分别为1.254 m/s²和2.509 m/s².而簧下调谐模型的指标数值相对参考模型分别降低了3.55%和3.51%.考察其他车速下的结果，可以发现：相对参考模型，簧下调谐模型的车身加速度的降低比例几乎不随路面或车速改变。

对于悬架动挠度和轮胎相对动载荷指标，也能得到相似的结论，即：路面越差、车速越高，两指标的均方根值越大；在相同的路面和车速下，簧下调谐模型的指标均方根值小于参考模型的对应数值；在不同的路面和车速下，相对参考模型，簧下调谐模型的指标均方根值的降低比例几乎相同。

4.2 振动能量及其变化

根据式(10)-(14)计算可得不同路面与车速组合时，参考模型和簧下调谐模型的总体耗散能、调谐系统的能量回收潜力、车辆阻尼耗散能减量，以及轮胎耗散功率减量占比。部分结果如图 5-8所示。

由图 5可知，调谐质量系统的引入并不改变车辆的总体耗散能。

图 6显示，调谐质量系统的能量回收潜力随车速和路面不平度的增大而增加。在C级路面车速为100 km/h时，每个调谐系统可回收14.0 W的能量，整车4个调谐系统的能量回收潜力为55.9 W；在D级路面且车速为80 km/h时，每个调谐系统的能量回收潜力为44.7 W，整车的回收潜力可达178.8 W。

对比图 6和7发现，调谐质量的能量回收潜力曲线的变化趋势与车辆阻尼耗散功率减量趋势相同，二者各点数值相等。这说明调谐质量系统回收的能量恰好是车辆阻尼耗散能的减少量。

图 8为车辆阻尼耗散能减量中轮胎耗散能减量的占比。

由图 8可见，轮胎耗散能减量的占比与路面等级无关；但在20~30 km/h车速区间，数值随车速增大而增加，当车速大于30 km/h时，占比维持在17%以上。据此推算，当车辆在D级路面以80 km/h行驶时，整车轮胎振动能量的减量可达到30 W。这部分能量将被调谐质量系统回收。

另外的计算表明：如果忽略轮胎阻尼，引入簧下调谐系统仍然不改变模型的总体耗散能，但是数值却大幅降低；能量回收潜力相差不大，且全部来自悬架阻尼耗散能的减少。

4.3 空间可行性

根据式(9)计算，可得调谐系统动挠度随车速和路面的变化规律，如图 9所示。

由图 9可知，调谐系统的动挠度随车速和路面不平度的增加而增大。其中，车辆在C级路面以100 km/h行驶时，调谐系统的动挠度为6.0 mm；在D级路面以80 km/h行驶时，动扰度为10.7 mm。考虑相对极端的工况，即在较差的D级路面以120 km/h车速行驶，动扰度也仅为13.2 mm。以上数据说明，调谐系统本身不会要求过大的安装空间。

5 参数影响分析

针对簧下调谐模型，通过计算分析调谐质量系统参数对各评价指标的影响。

车辆参数不变，调谐质量与主振系的质量比μ₃₁分别取0.02、0.05、0.1、0.15和0.2；对于选定的调谐质量，按照式(15)选择调谐刚度和调谐阻尼。需要注意的是，在下文分析中，对应C级路面或D级路面的两族曲线均随μ₃₁单调变化。考虑到各图线条疏密程度不同，对曲线的标注有所不同。

5.1 车辆性能

针对每一组簧下调谐系统的参数，应用公式(6)-(8)计算，可分别得到车身加速度、悬架动挠度与轮胎相对动载荷等指标的均方根值随质量比的变化规律。其中，车身加速度曲线如图 10所示。对应C级路面或D级路面，μ₃₁由小到大，对应曲线由上到下分布。

由图可见，在相同的路面和车速下，质量比μ₃₁增大，车身加速度减小，但变化幅度不大。以车速为90 km/h时数据为例：质量比μ₃₁由0.02增加到0.2，C级路面上，车身加速度均方根值由1.241 m/s²降为1.186 m/s²；在D级路面上指标均方根值由2.482 m/s²降低到2.371 m/s²。

悬架动挠度和轮胎相对动载荷随质量比的变化趋势与车身加速度类似。说明质量比的增加可以进一步提升车辆的操控性和乘坐舒适性。

5.2 振动能量及其变化

针对每一组簧下调谐系统的参数，应用式(10)-(14)可分别得到振动能量相关指标在不同路面与车速下的数据，如图 11-13所示。

图 11显示了模型在C级路面与D级路面的总体耗散能曲线。对应同一种路面，不同μ₃₁对应的曲线重合。

结果显示，对于所考虑的两种路面，在分析速度范围内，增加调谐质量均不会改变车辆总体耗散功率。

质量比对调谐系统能量回收潜力的影响规律如图 12所示。对应C级或D级路面，μ₃₁由小到大，对应曲线为从下到上排列。为显示清晰起见，图中仅标注了μ₃₁=0.2的曲线。

从图 12可见，当质量比由0.02变为0.2，在C级路面上，车速100 km/h时，每个调谐系统的能量回收潜力由4.2 W提升为21.5 W，整车回收潜力由16.9 W提升为86.1 W；在D级路面，车速80 km/h时，单个调谐系统能量回收潜力由13.5 W提升为68.9 W，整车回收潜力由54.1 W提升到275.6 W。说明增加调谐质量，可以提高调谐系统的可回收能量。

图 13给出了车辆阻尼耗散功率减量中轮胎贡献占比随质量比的变化曲线。对应C级或D级路面，由小到大，对应曲线由上到下。

由图 13可知，当质量比μ₃₁由0.02增加为0.2时，降低能量中轮胎部分的占比会下降，在车速不超过30 km/h的低速段改变较为明显；随着车速的增大变化趋于平稳，并维持在17.6%左右。上述变化与路面无关。另据计算，车辆阻尼耗散功率的变化规律依然与回收能量相同。

5.3 空间可行性

针对每一组簧下调谐系统的参数，应用式(9)可得调谐系统动挠度曲线，如图 14所示。其中，对应C级或D级路面，μ₃₁由小到大，对应曲线由上到下。

显然，调谐系统的动挠度会随μ₃₁的增大和车速的降低而降低。以D级路面为例，对于最高分析车速，质量比为0.02时调谐系统动挠度为22.7 mm，而质量比为0.2时动挠度会降低到10.6 mm。

综上所述，增加调谐质量与主系统的质量比，可进一步改善车辆的操控性及乘坐舒适性、降低调谐系统的动挠度，增大能量回收潜力，小幅减少对轮胎耗散能的回收比例但不改变模型的总体耗散能。

6 结论

相对于直接改造悬架减振器以回收振动能量，应用调谐系统回收能量更加灵活而便于实现。本文针对簧下质量引入调谐系统，依据H₂优化方法为其匹配了参数，定义评价指标以分析调谐系统的能量回收效果，并进行了参数影响分析。主要结论如下：应用簧下调谐系统，可以回收悬架阻尼器和车辆轮胎消耗的部分振动能量，而不改变车辆模型的总体耗散能；增加调谐系统与主系统的质量比，可增大能量回收潜力，而小幅降低对轮胎耗散能的回收；在簧下质量上引入调谐质量系统，可降低车辆的车身加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载荷，从而提升车辆的操控性和乘坐舒适性。此外，调谐系统应用于汽车中，并不会占据过大空间。需要指出的是，基于调谐系统的能量回收方式可以单独使用，也可与减振器替代方案同时使用。将二者结合并进行构型和参数的优化，可望进一步提高回收效率，包括更有效回收轮胎的耗散能。