波形套是沿着侧面母线方向中部有一个向外凸起波形区的轴对称壳体结构。由于波形区的存在，波形套具有特殊的力学特性，其轴向力-轴向位移曲线具有明显的平台段，即随着轴向位移增大，而轴向力几乎不变。

由于波形套轴向力曲线具有平台段的良好性质，波形套常被用于机械设备轴承的预紧，例如汽车主减速器的齿轮轴轴承的预紧^[1-3]，轴承的适当预紧对机械设备的正常工作具有重要意义。目前，中重型商用车主减速器的齿轮轴轴承一般采用刚性隔套加调整垫片进行预紧，如果用波形套代替刚性隔套和调整垫片，波形套相当于可以对所需垫片的厚度进行无级调节，可以显著提高装配的效率。因此对波形套的轴向力特性进行研究，具有重要的工程意义。

多位学者基于细环壳理论对波纹管件进行了理论研究。文[4-5]对与波形套形状相近的半圆弧型波纹管进行了理论分析，基于细环壳理论得出了在轴向力的作用下的变形和应力解析解，并给出了关于刚度的设计公式。朱卫平等^[6]则对各种波形的波纹管弯曲问题进行了理论研究，得到了波纹管弯曲问题的解析解。文[7-8]对波形套的工作特性进行了系统的研究，将波形套分成两段直壁和三段圆弧5部分，对波形套轴向力曲线的弹塑性段进行了理论求解，揭示了波形套的几何参数对其轴向特性的影响规律。基于环壳理论对波纹管件进行研究较为复杂，并且难以考虑材料非线性和几何非线性等因素的影响。

国内外有部分学者制备了波纹管件，并对其开展实验研究。Singace等^[9]制备了轴向有多个凸起的波纹管，并对其进行了轴向压缩实验，得到了轴向载荷与位移的关系曲线，该曲线在初始屈服之后，不断地上下波动，并根据该曲线讨论了波纹管的轴向吸能特性。Ghazijahani等^[10]则对受均匀外压的波纹管件开展了实验研究。实验揭示了波纹对管件的刚度有强化作用，波纹管有不同的屈曲模态。王连东等^[7-8]采用复合缩径-胀形方法自行制备了波形套，对之开展了试验研究，测定了其轴向力曲线，同时还进行了相关数值计算。众多实验表明：具有不同形式、不同数量波纹的管件的力学性能差异较大，应当分别进行细致的研究。

余显忠等^[11]采用材料的真实应力-应变关系，利用通用有限元软件ABAQUS对波形套的轴向力特性进行了仿真，考虑了加工过程带来的残余应力，并与试验进行对比分析。利用有限元模拟对波形套分析，可以考虑波形套在变形过程中的大变形和塑性行为，是对波形套进行研究的有效手段。

文[12-13]对波纹管的耐撞性进行了多目标优化。张平等^[12]对波纹管的几何参数进行优化，使得总吸能最大和冲击力最小。Wu等^[13]对波纹管正弦波的波形和幅值进行优化，以提高比吸能率和降低初始压溃力。Yang等^[14]研究了液化天然气运输波纹管道的优化问题，综合考虑了多重工况，以最小化刚度和应力为优化目标。Andrianov等^[15]则考虑功能梯度波纹圆柱壳体的优化问题，在尽可能轻的条件下，保证壳体的刚度。波形套的几何参数对波形套的力学性能有显著影响，而波形套几何参数的优化研究工作较少。对波形套的几何形状进行优化设计，可以降低波形套破坏的可能性和提高波形套的工作范围，对波形套工程应用有重要意义。

本文基于实验测得的真实应力-应变曲线，对波形套的轴向压缩工况进行有限元分析，考虑大变形和材料的塑性，得到其轴向力-位移曲线；然后制备波形套，对其进行压缩实验，测得轴向力-位移曲线，并与数值计算进行对比，对数值计算方法进行检验；最后对波形套的几何形状进行优化设计，优化其轴向特性并降低最大塑性应变，得到了优化问题的Pareto解集。

1 波形套的结构及几何约束

波形套中部波形区有多种结构形式，考虑到实际的工程应用，本文讨论的波形套结构如图 1所示。中部波形区由三段圆弧段和两段直线段构成，上端圆弧与上端锥面相切连接，上端锥面与鼓肚圆弧相切连接，下端的锥面与圆弧同样为相切连接。波形区由六个独立的几何参数构成，分别为圆弧半径R₁、R₂、R₃，直线段与轴线的夹角α₁、α₂，波形区离大端外侧的径向高度B。

各几何参数需要满足几何约束条件，

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{g_1} = ({R_1} + {R_2})\left( {1 - \cos {\alpha _1}} \right) - \left( {B + \frac{{{D_2} - {D_1}}}{2}} \right) < 0, }\\ {{g_2} = ({R_3} + {R_2})(1 - \cos {\alpha _2}) - B < 0, }\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_3} = ({R_1} + {R_2})\sin {\alpha _1} - H + {H_B} + }\\ {\frac{{B + ({D_2} - {D_1})/2 - ({R_1} + {R_2})(1 - \cos {\alpha _1})}}{{\tan {\alpha _1}}} < 0, } \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_4} = ({R_3} + {R_2})\sin {\alpha _2} - {H_B} + }\\ {\frac{{B - ({R_3} + {R_2})(1 - \cos {\alpha _2})}}{{\tan {\alpha _2}}} < 0.} \end{array}} \end{array} $

(1)

其中：t为波形套的壁厚，g₁和g₂保证了三段圆弧之间有两端锥面里连接，g₃和g₄则保证了波形套的上下直壁段长度大于零。

2 数值模拟

利用有限元软件ABAQUS对波形套在上下压头的作用下发生轴向压缩的工况进行数值模拟。数值模拟采用实验测得的真实应力-应变曲线，并考虑材料非线性和几何非线性的影响。编写Python脚本提取轴向位移和轴向力，对结果进行讨论。

2.1 仿真参数

数值模拟中波形套的尺寸参数如表 1所示。波形套材料为20号优质碳素结构钢，具有良好的塑性。实验测得了20号钢的真实应力-应变关系如表 2所示，屈服强度E=196.5 GPa，Poisson比μ=0.29。仿真采用各向同性材料，Mises屈服准则和等向强化的材料模型。

2.2 仿真过程

参考文[1]、[8]和[16]中相似管状结构轴向压缩的仿真建模方法，利用ABAQUS对波形套的轴向压缩进行仿真。考虑到波形套为轴对称的回转壳体结构，考察其轴向力特性时，载荷和约束亦是关于中心轴对称的，因此为减少计算量，建立波形套的轴对称模型如图 2所示。采用四节点轴对称单元CAX4I为波形套划分单元。波形套上下两端为两轴对称解析刚体，解析刚体与波形套之间建立接触对，固定下端的解析刚体，使上端的解析刚体向下移动5 mm，以模拟波形套轴向受压5 mm的工况。采用静态分析，由于在波形套轴向受压的过程中，波形区变形较大，因此在计算过程中始终打开几何非线性选项。

2.3 仿真结果与讨论

波形套的轴向压力-轴向压缩量曲线如图 3所示，轴向力先随着位移的增加而线性增长，然后进入屈服段，轴向刚度逐渐变小，最后进入“平台段”，压缩量增加，而轴向力变化很小。在轴向力曲线上，将轴向力值在[0.98F_max, F_max]区间内的部分曲线定义为平台段，而轴向力平台段的宽度w为轴向力平台段对应轴向位移的长度。

波形套在轴向受压5 mm时的轴向应力分布如图 4a所示，波形套的两端直壁段在压头的作用下受较均匀的压应力作用，而波形区的突起处则在弯矩的作用下，内侧受压，外侧受拉。等效塑性应变ε_ep云图如图 4b所示，由于波形区内侧受到较大的轴向压应力的作用，该处的等效塑性应变值也最大，该处的材料可能最先发生屈服。

由于波形区的存在，随着轴向压缩量的增大，波形区的材料到达屈服，波纹区发生了较大的变形，波纹区相当于“塑性铰”，使得轴向力不再随着位移显著增大，从而产生轴向力的平台段。因而，在设计波形套时，不宜采用高强钢等屈服强度较高的材料，应优先采用低碳钢等屈服强度合适但有较好的塑性的材料。

圆管类构件的轴向压溃力的平方根与厚度在一定范围内，一般存在着线性关系^[17]。下面考察波形套的壁厚和最大轴向力的关系。其他几何参数保持不变，取波形套壁厚在2 ~ 4 mm内进行多次试算。结果表明，当壁厚在一定范围内，最大轴向力的平方根与壁厚呈线性关系，如图 5所示。拟合优度R²非常接近1，该线性拟合具有良好的拟合精度。

3 压缩实验

用车削的方法从与20号钢标准拉伸试件同一批次的棒材中制备出波形套1#、2#试样。试样的尺寸参数见表 1，试样端面采用磨床进行磨平，上下端面平行度为0.04 mm，端面粗糙度Ra为0.8。对两试样进行轴向压缩实验，测定其轴向力-轴向位移的关系曲线，以对数值模拟进行验证。

3.1 实验过程

压缩实验在电子万能试验机上进行，万能试验机可以输出压头的位移和力的数据，但其位移数据中既包含了实验结构的轴向压缩位移又包含了万能试验机自身在载荷作用下的弹性变形量。若将万能试验机输出的位移直接作为波形套的轴向压缩量，在位移较小时，轴向力-位移曲线会有较大偏差。因此，除了进行波形套的轴向压缩实验，还需进行标定试验，对万能试验机自身的变形进行测量。

万能试验机的标定实验的如图 6a所示，波形套的压缩实验如图 6b所示。垫块中间夹以与波形套大小相当的直壁圆筒，置于万能试验机上。万能试验机的下压头固定试验机的底座上，上压头由试验机的加载头夹紧良好固定。试验机的加载头由下至下运动，经由压头、垫块对圆筒进行压缩。将万能试验机测得的力F-位移s₀曲线作为试验机的标定曲线。

将图 6a中的直壁圆筒替之以波形套试样，置于万能试验机上，如图 6b所示，进行波形套的压缩实验。实验夹角和加载方式与标定实验相同，读取万能试验机的力F-位移s₁曲线。

3.2 实验结果与讨论

万能试验机压缩实验测得的轴向力-压缩位移曲线如图 7所示，其中标定实验测得的位移包括试验机自身的弹性变形量s_machine和直壁圆筒的变形量s_cylinder即：

$ {s_0} = {s_{{\rm{machine}}}} + {s_{{\rm{cylinder}}}}. $

(2)

而标定实验测得的曲线为直线，说明标定实验中的直壁圆筒并未发生塑性变形，其弹性变形量s_cylinder可以根据弹性理论求解

$ {s_{{\rm{cylinder}}}} = \frac{{F{H_{{\rm{cylinder}}}}}}{{E{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {2RT + {T^2}} \right)}}. $

(3)

其中：E为直壁圆筒材料的弹性模量，T为直壁圆筒的壁厚，R为直壁圆筒的内径，F为直壁圆筒所受的轴向力，H_cylinder为直壁圆筒的轴向高度。

波形套压缩实验测得的位移s₁包括试验机自身的弹性变形量s_machine和波形套的变形量s_sleeve，即：

$ {s_1} = {s_{{\rm{machine}}}} + {s_{{\rm{sleeve}}}}. $

(4)

万能试验机自身的弹性变形量难以直接测得，可以通过式(3)和(4)消去试验机的变形量s_machine，再结合式(2)，即可以得出波形套的压缩变形量s_sleeve，表示如下：

$ {s_{{\rm{sleeve}}}} = {s_1} - {s_0} + {s_{{\rm{cylinder}}}}. $

(5)

根据式(5)可以扣除直筒的弹性变形s_cylinder和试验机自身的变形量s_machine，计算出波形套的轴向力-轴向位移曲线，与前述有限元计算的轴向力位移曲线对比如图 8所示。

图 8中的1#和2#试样的轴向力曲线形状相似，由于机械加工的制造误差，两者的最大轴向力稍有偏差，实验结果具有良好的一致性。初始屈服段的有限元计轴向力比实验值稍高，但在2 mm后的平台段与实验吻合地很好。总体上来说，有限元计算得到的波形套轴向性能与压缩实验结果吻合，对有限元计算进行了检验。

4 优化设计

波形套的轴向性能主要取决于材料性能和几何参数，下面考虑对波形套的几何参数进行优化设计，以优化波形套的轴向特性。波形套的几何参数如图 1所示，轴向高度H和鼓肚的高度H_B对轴向力的影响较小，而波形套的上下端内径D₁和D₂往往是由与波形套配合的零件决定的，不将其作为优化的设计变量，因此影响波形套的轴向性能有壁厚t以及波形区的形状参数α₁、α₂、R₁、R₂、R₃和B。

4.1 正交试验设计

正交试验设计方法是按照正交试验表安排多因素试验的设计方法，是从全因子试验中挑选出一部分代表性的样本点，进行数值试验^[18]。正交试验表具有“均匀分散，齐整可比”的特点，可以用较小的试验次数，较为全面地反映物理模型的性能。

正交表一般记为L_n(q^p)，其中n为表的行数，也是试验的次数，q为因子的水平数量，p为因子的数量。波形套的设计参数为波形区的六个形状参数，故因子的数量p=6，取每个因子的水平数q=4，由于没有6因子4水平的常用正交表，故从L₆₄(21⁴)的正交表中随机取出6列作为试验设计表。每个水平下，因子的取值如表 3所示。

波形套的几何参数之间须满足一定的约束条件，以保证波形套在几何上是成立的，其几何约束条件如式(1)所示。一共有64组试验组合，剔除不满足几何约束条件的11组，一共有53组试验。

波形套的最大轴向力(平台力)的大小由波形套工作的系统决定，对于同一个系统，不同设计方案波形套的最大轴向力应当大致相同。对于不同参数组合，若每个组合的厚度值相同，则最大轴向力必然不同。可以利用图 4中$\sqrt {{F_{\max }}} $与壁厚t的线性关系，经过两到三次迭代试算，就可以确定每个参数组合下的厚度值，以保证各个参数组合的波形套的最大轴向力与目标值F_target足够接近。

数值试验的响应为保证最大轴向力F_max相同所需厚度值t，波形套压缩5 mm时的最大等效塑性应变值ε_{ep, max}，以及轴向力平台段的宽度w。

自行编写波形套ABAQUS有限元计算的Python脚本，结合优化软件Isight，可以对波形套进行正交数值试验，得到的各因素对最大塑性应变和平台段宽度的主效应图如图 9和10所示。因素的主效应是指该因素在某水平时，所有试验响应的平均值，主效应图可以反映出响应受各因素影响的情况。主效应图的横坐标代表因子水平的高低，越往右侧，因子的水平越高。

由图 9可见，最大塑性应变受鼓肚突起高度B和中间圆弧半径R₂的影响最为显著，且均随B和R₂的增加而降低。图 10可见，轴向力平台的宽度受B和R₂的影响较大，但两者的变动方向不一致。

4.2 响应面近似模型

对结构进行优化设计，需要多次调用结构分析的有限元计算程序，计算时间较长。若能以数学模型来近似有限元计算模型，将大幅降低计算时间，但近似模型应当具有足够的精度。

由主效应图可见，响应与各因素的关系并非强非线性，可以用二次响应面去近似波形套有限元计算模型，即：

$ y\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = \tilde y\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + \mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}. $

(6)

其中：x=(α₁, α₂, R₁, R₂, R₃, B)^T为因素向量，y(x)为响应实际值，ỹ(x)为响应近似值，为因素的多项式函数，ε为残差向量。

对于二次响应面，近似函数为各因素的二次多项式, 共有6个因素，该二阶多项式共有28个待定系数，因此至少需要28组样本点，才可以确定所有的待定系数值。

$ \tilde y = {\beta _0} + \sum\limits_{i = 1}^6 {{\beta _i}{x_i}} + \sum\limits_{i = 1}^6 {{\beta _6}{{_ + }_i}x_i^2 + \sum\limits_{i, j = 1, i \ne j}^6 {{\beta _{ij}}{x_i}{x_j}} } . $

(7)

利用二次响应面对样本点进行拟合的目标是使得残差平方和最小，即：

$ \min\;{\rm{RSS = }}\sum\limits_{i = 1}^n {\varepsilon _i^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - {{\tilde y}_i}} \right)}^2}.} $

(8)

节4.1中的正交试验设计一共得到了53组有效的样本点，利用Isight可以对厚度、最大塑性应变和平台段宽度分别进行拟合，得到各自的响应面。ε_{ep, max}、w和t响应面的拟合优度分别为0.992、0.995和0.995，均在0.99以上，表明响应面与样本较为接近，具有较高的拟合精度，能够很好地替代有限元模型。

4.3 多目标优化

波形套轴向力的平台段应当尽可能宽，以扩大波形套的工作范围；波形套轴向受压(5 mm)时的最大等效塑性应变应当尽可能小，以降低波形套失效破坏的可能性。最大化平台宽度和最小化最大等效塑性应变是对波形套进行优化设计的目标，由图 8和9可知，两者不能同时达到，因而须对波形套进行多目标优化。多目标优化的设计变量为波形区的6个形状参数，设计变量须满足式(1)的约束条件，该多目标优化问题的数学表示如下：

$ \begin{array}{l} \max \;w, \min \;{\varepsilon _{{\rm{ep}}, \max }}\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}{g_i} < 0, {\rm{ }}i = 1, {\rm{ }}2, \ldots , 7;\\ x_i^L \le {x_i} \le x_i^Ui = 1, {\rm{ }}2, \ldots , 6. \end{array} $

(9)

其中：w为平台段的宽度，对应轴向力范围在[0.98F_max, F_max]内所对应轴向位移的范围；ε_{ep, max}为压缩5 mm时的最大等效塑性应变；g_i为约束条件；x_i为第i个设计变量；x_i^L、x_i^U为第i个设计变量的上下限值。6个设计变量的上下限值如表 4所示。

由于max w与min ε_{ep, max}相互冲突，不能同时达到，优化解不可能是单一的解，而是一个非劣解集，称之为Pareto最优解集，对应的目标函数的集合称为Pareto前端^[19]。

采用第二代非劣排序遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ, NSGA-Ⅱ)^[20-21]求解波形套优化设计的Paraeo解集。用节4.2中拟合好的响应面模型，利用Isight软件实现NSGA-Ⅱ算法，对波形套进行多目标优化。其中，取种群规模为100，种群代数为50，交叉概率为0.9。得到波形套的Pareto前端如图 11所示。

由图 11可见，Pareto最优解不止一个，Pareto解集对应的目标函数对构成了Pareto前端，Pareto前端凸向图像的右下方。部分Pareto最优解如表 5所示，在实际生产中，应根据需要，在轴向力平台段的宽度w与等效塑性应变ε_{ep, max}这2个目标中进行取舍，从Pareto最优解集中选取一组作为设计参数。

将多目标优化所得到的部分Pareto最优解回代入有限元计算模型，计算出轴向力曲线平台段的宽度w和最大等效塑性应变ε_{ep, max}，结果如表 6所示。将其与响应面模型预测值进行对比，发现w的误差均在3%以下，ε_{ep, max}的误差均在6%以下。因此，响应面模型代替有限元模型具有较高的精度，基于响应面模型进行的多目标优化得到的Pareto最优解亦是可靠的。

波形套的目标优化流程图如图 12所示，首先根据实际情况，选取优化问题的设计变量和响应。使用节2中的有限元计算方法，分别对各个设计变量的组合进行计算，并且利用$\sqrt {{F_{\max }}} $与壁厚t的线性关系，调整壁厚以保证轴向力F_max与目标值F_target充分接近，得到各设计变量组合下的响应值。然后，对设计变量和对于的响应值进行拟合，得的响应面近似模型来代替有限元模型。最后，基于响应面模型，进行多目标优化，得到Pareto解集。

5 结论

通过正交试验设计考察了波形区形状参数对波形套轴向性能的影响，并拟合了波形套性能参数关于波形区形状参数的响应面。用响应面模型代替有限元模型，对波形套进行多目标优化，提高优化设计的计算效率。在最大轴向力相同的情况下，使轴向力平台段的宽度尽可能大，最大等效塑性应变值尽可能小。利用NSGA-Ⅱ算法得到了Pareto最优的波形区形状设计参数，为波形套的工程应用提供了方法指导，奠定了良好的基础。