光栅立体画是一种无需借助辅助观看设备、裸眼即可获得立体观看效果的特殊图画，在平面上即可展示出栩栩如生的立体世界，有突出的前景和深邃的后景，呈现出逼真的景物^[1-2]。光栅立体画结合了电脑数码设计与高精度印刷技术，用一组序列的图像带构成一张光栅图，与柱镜光栅精确对齐并紧密压裱。光栅立体画的观看主要利用了双目视差原理，人的两只眼睛相距6~7 cm，左右眼看到的物体是有细微差异的，左右眼视网膜上形成的两幅图像由视网膜上的感光细胞将图像信息通过视神经传递给大脑合成立体图像^[3-5]。近年来，光栅立体画的应用日益广泛，如户外大型广告、巨幅海报、装饰画及舞台背景墙等。

光栅立体画的实现方式主要有狭缝光栅和柱镜光栅两种。狭缝光栅立体画是在光栅图前加上一层狭缝阵列，图像带通过细长的纵列光栅后进入人的左右眼，由于纵向图像被狭缝光栅分开，造成左右眼所捕捉的图像有细微差异，最后由大脑合成三维图像^[6-7]。相对于其他裸眼立体显示的光学器件，狭缝光栅设计原理简单，且制作成本低廉，因此早在十几年前就有狭缝光栅立体广告画和装饰画，现在也同样在使用，立体效果也很好，但其缺陷也非常明显:狭缝光栅由于不透明的条纹会遮挡光，导致画面亮度低^[8]，而且人眼需在一定的位置观看才能产生立体视觉效果，否则人眼会感受到重叠影像、失真与黑色纵纹等不良的观看效果。柱镜光栅立体画是在光栅图前加上一层柱镜阵列，图像带通过柱镜折射后分别进入人的左右眼^[9]。因为柱镜光栅是透光材料，所以室内外都可以使用，用途比较广泛，目前在市场上的占有率也越来越高。柱镜光栅从功能方面又可分为立体光栅和变画光栅。立体光栅厚度与栅距的比值较大，可视角度一般比较小，视点数少。变画光栅厚度与栅距的比值较小，可视角度一般较大，但是用变画光栅制作立体图，立体感不强。Van Berkel等^[10]发明了倾斜柱镜的方法，将柱镜光栅与像素列成一定的角度，使每一组子像素重复投射视区，而不是只投射一组视差图像，避免了摩尔(moiré)纹的出现，实现了7个视点的多视点立体显示。Takaki等^[11]采用倾斜像素的排布方式实现了16个视点的显示，其多视点显示的实现方案是柱镜不倾斜、RGB子像素水平方向重复，通过设计子像素的宽度及子像素间距，使RGB的强度分布一致，避免了强度波动和颜色波动，视点之间无串扰。但是，以上立体显示所采用的柱镜光栅尺寸较小，不适于超多视点大幅面立体画。目前，市场上的大幅面柱镜光栅立体画多采用18线以上光栅板，其栅距小、图像带宽、视点少，视点大多在10个以下，立体感较弱。另外，相邻图像带在观看区域内并不能完全重合，视点间存在串扰，进而影响自由立体观看效果。

本文对柱镜光栅的光传输特性进行了研究，提出了基于柱镜光栅的超多视点大幅面立体画的设计方法，采用圆弧形柱镜光栅来减小视点串扰，并对理论设计进行了模拟分析和实验验证。本研究结果对设计生产用于户外大型广告、巨幅海报及舞台背景墙的超多视点大幅面立体画具有指导意义。

1 理论设计

柱镜光栅是由许多结构和性能完全相同的柱面透镜线性排列而成。在排列方向上，柱面透镜对光线起会聚作用，相当于会聚柱镜可以聚光成像; 而在垂直方向上，柱面透镜对光线不起会聚作用，光线沿直线传播。柱镜光栅的平面为其焦平面，焦平面上的各个视图经过柱镜光栅后分别到达观看者的左右眼中，根据双目视差原理获得立体图像。为了获得运动视差，通过增加视点数量来实现多视点自由立体观看。在观看区域内, 各视点宽度相同且小于正常成年人眼瞳距，使左右眼一直可以看到不同的视图^[12-14]。其工作原理如图 1和2所示。以4视点柱镜光栅为例，一个视图被分为M个图像带，分布在M个柱镜下。根据柱镜的光传输特性，该视图的相邻两个图像带在观看区域内并不能完全重合，而是偏移了一个栅距。同时，在各视点交界处，不同视图下的图像带在观看区域内重叠。另外，多视点显示提供了双目视差和运动视差，可以实现自由立体观看效果。

柱镜光栅的柱面透镜是厚透镜，其厚度大于曲率半径。柱面透镜的厚度、曲率半径、折射率以及图像带宽度决定了观看区域内的视点宽度。图 3是单个图像带的光线经过柱面透镜到达观看区域的光传输模型。

该柱面透镜位于x轴的负半轴，其顶点位于坐标轴的原点O，中心轴为x轴，曲率半径为r，焦距为f，厚度为d，宽度即柱镜光栅节距为p，折射率为n。假设N个视图P分布在M个柱镜下，其光栅图的图像带P_ij的宽度为w_ij。人眼到柱面透镜距离为L，第i个视点到中心轴的距离为D_i，观看区域的视点宽度为W_P。根据柱面透镜几何光学基本原理^[15-16]及图 3中光路三角形相似关系可得如下方程组：

$ \left\{ \begin{array}{l} f = \frac{r}{{n-1}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\ d = \frac{{nr}}{{n-1}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\ \frac{{{w_{ij}}}}{{{W_P}}} = \frac{f}{{L-f}}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right) \end{array} \right. $

为满足户外大型广告、舞台背景墙等的远距离立体观看需求，目前市场上的大幅面光栅立体画幅面长度在3 m以上。为实现连续的运动视差、获得自由立体的观看效果，本文所设计的光栅立体画视点数增加到50个以上。对于柱面透镜线性排列的柱镜光栅，视点数的增加会导致视点间串扰增加，为此将柱面透镜排列在圆弧形位置上，实现同一视图的各个图像带在观看区域内完全重合。同时，提高打印精度，减小图像带宽度，即减小栅距增加柱镜光栅线数，提高光栅立体画的横向分辨率。柱面透镜的圆弧排列形式如图 4所示。以4视点为例，各个视点以宽度W_P分布在半径为R的圆弧上，观看距离越远，圆弧曲率越小，各视点越近似位于同一直线上，沿该直线行走时的观看效果越好。

在柱镜光栅的曲率半径、焦距一定的条件下，图像带宽度、图像带个数决定了观看区域范围及观看角度。超多视点大幅面立体画的视点宽度W_P、光栅节距p和可视角度θ满足:

$ {W_P} = {D_{i + 1}}-{D_i}, $

(4)

$ p = \sum\limits_{i = 1}^N {{w_{ij}}}, $

(5)

$ \tan \theta = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {{D_i}} }}{{L-f}}. $

(6)

因此，可根据观看距离、观看视点数来设计柱镜的曲率半径、厚度、图像带宽度及光栅节距。大幅面立体画光栅图的图像带P_ij排布形式如下：

$ \begin{array}{l} {P_{11}}, {P_{21}}, \ldots, {P_{i1}}, \ldots, {P_{N1}};\\ {P_{12}}, {P_{22}}, \ldots, {P_{i2}}, \ldots, {P_{N2}};\\ \ldots ;\\ {P_{1j}}, {P_{2j}}, \ldots, {P_{ij}}, \ldots, {P_{Nj}};\\ \ldots ;\\ {P_{1M}}, {P_{2M}}, \ldots, {P_{iM}}, \ldots, {P_{NM}}。\end{array} $

2 软件模拟

根据第1节的理论设计可实现超多视点大幅面立体画的柱镜光栅。本文设计了一种观看距离6 m、观看区域3 m、视点数59个的柱镜光栅。表 1为立体画及柱镜光栅的具体参数表。利用光学软件Zemax对柱面透镜设计理论进行了验证。在软件模拟中，柱面透镜采用逆向光路设计。图 5是柱面透镜光路图。选取了9个视场角，分别为最大半视场角的0、0.3、0.5、0.7、1.0倍。图 6是9个视场角的点列图。目前，市场上柱镜光栅的生产工艺为直压成型或辊压成型，生产出的柱镜光栅曲面为球面，因此图 6所示大视场角入射的平行光，经柱面透镜聚焦后的光斑能量密度分布不均匀，趋近于柱面透镜中心轴方向。

采用光学设计软件LightTools对柱镜光栅进行正向光路模拟。LightTools是一款光学建模工具，它可以建立模型，设定光源和接收面，通过对光线追迹、分析优化来完成光学器件的光路设计。利用LightTools模拟图像带光线通过柱镜光栅折射后向不同的方向传播，并分析光线在观看距离处形成的各个视点的光斑分布情况。立体画是接近理想余弦辐射的漫反射面，因此图像带设为Lambert光源，光通量为1 lm，波长为人眼最敏感的黄绿光550 nm，在距离柱镜光栅6 m观看距离处放置接收屏，获得各个视点的光照度值。将Zemax设计的柱面透镜导入LightTools中，并将多个柱面透镜排列成圆弧形柱镜光栅，圆弧半径为6 m，并对图像带进行非序列光线追踪。图 7是59个视点的光照度值与位置关系，以中心视点为对称轴，两侧视点的光照度值对称分布。图 8是所选取的9个视场角的视点能量密度分布。综合图 7和8的模拟结果可以看出，同一视图的各个图像带在观看区域内基本重合。根据视点的位置不同，各视点能量的70%~90%集中在50 mm范围内，一般成年人眼瞳距在58 ~64 mm之间，因此所设计的视点宽度符合正常成年人眼瞳距。中心视点的光照度峰值为0.445 lx，边缘视点的光照度峰值呈现下降趋势。中心视点的光能量密度分布集中，边缘视点的光能量密度分布较为分散，光照度低，光斑宽度大。柱面透镜的曲面为球面，而且柱面透镜为非近轴光学系统，球面像差的存在导致柱面透镜的边缘部分比中心部分容易产生严重的折射与弯曲，因此中心视点的光斑分布对称、能量密度集中，而边缘视点的光斑能量密度分布较分散。

图 9是59个视点串扰值。每个视点的中心部分串扰相邻视点较少，串扰值为11.7%。视点宽50 mm的部分集中了该视点能量的90%，因此串扰对该视点的影响不大。每个视点的边缘部分串扰相邻视点较大，视点与视点交界位置串扰值达到50%，也就是说人眼在移动过程中，从一个视点过渡到下一个视点时，会同时看到两个视点的视图。人眼瞳孔直径在明暗视觉条件下的变化范围为2~8 mm，在移动过程中，瞳孔同时位于两个视点交界位置的时间较为短暂，而且瞳孔直径相比于视点宽度50 mm也较小，因此视点过渡对视图切换的影响较小。图 9还表明，越靠近观看区域边缘的视点，其光斑能量密度分布越不均匀，串扰也相应提高，串扰值达到了15.8%。在LightTools中模拟平面排列柱镜光栅，其相邻视点串扰值为26.7%~33.2%，而圆弧形排列柱镜光栅的相邻视点串扰值为11.7%~15.8%。由此可见，柱镜光栅的圆弧形排列相比于平面排列可以显著减少相邻视点的串扰。

在光栅立体画的工程化实际制作过程中，由于生产工艺、设备精度等问题，在光栅图与柱镜光栅的压裱过程中，图像带和柱面透镜的对齐精度会影响立体观看效果。图 10展示了视点宽度与图像带偏转角的关系。以位置处于观看区域中心的视点为例，逐渐增加图像带偏转角，依次测量该视点宽度。当偏转角小于5°时，视点宽度增加不明显，对观看效果影响不大。当偏转角达到6°以上时，视点宽度迅速变大，而且视点能量密度分布不均匀，视点间串扰增加。图 11所示为选取3个具有代表性的图像带偏转角，与偏转角所对应的光斑宽度对比图。因此，图像带和柱镜的偏转角要控制在5°以内。另外，图像带的横向位置偏移会导致视点位置的相应偏移，图像带偏移85 μm，与其对应的视点就偏移到下一个视点的位置，导致观看视图的串扰。因此，为了使各视点处于正确的观看位置，图像带与柱镜的对齐精度应比较高。

3 实验验证

目前, 市场上常见的光栅板规格为18线、25线、32线和42线，没有符合本文设计要求的光栅板，因此根据设计参数加工柱镜光栅，其中栅距为5 mm，球面曲率半径为4.9 mm，柱镜厚度为14.8 mm。利用高精度调整架将柱面透镜按照圆弧形排列来获得所需的柱镜光栅，圆弧半径即为观看距离6 m。采用分辨率为1 200 dpi的打印机来打印宽度为85 μm的图像带，图像带像素为矩形像素，尺寸为4 dots×64 dots，灰阶为256。实验中采用黑白打印方式有效避免了彩色打印所产生的色差串扰。对于色差串扰问题，柱面透镜可采用胶合柱镜，利用冕玻璃和火石玻璃的不同色散性质来矫正色差。为方便排布各视图的图像带及观看各个视点的图像，59个视点循环显示数字1到9，利用相机在6 m观看距离处模拟人眼单目观看效果来拍摄各视点图像。为与软件模拟结果相对应，此处选取了9个视场角，即从59个视点中选取了具有代表性的9个视点，利用相机获取这9个视点的视点图像。相机的拍摄位置与柱镜光栅中心线的夹角分别为-14°、-10°、-7°、-4°、0°、4°、7°、10°、14°，所拍摄图像为大幅面立体画中的一部分，尺寸为60 mm×60 mm。所拍摄9个视场角的视点图像如图 12所示。

从图 12可以看出，随着观看角度的增加，图像对比度下降，这符合模拟结果。中心视点的光斑能量密度分布集中，边缘视点的光斑能量密度分布分散，光照度低，可通过增加背光来提高边缘视点图像的光照度。目前，市场上光栅立体画的视点数在10个以内，单眼观看视点之间串扰较大，不能清晰分辨各视点图像。从本实验所选取的9个视场角的视点图像清晰度来看，各视点图像可以清晰分辨，相邻视点的串扰小于目前市场上的光栅立体画，说明圆弧形排列柱面透镜构成的柱镜光栅可以有效降低视点串扰。另外，各视点的图像仍存在不完整或串扰相邻视点图像的现象，这是由于：1)所采用的柱面透镜为球面，存在像差导致串扰产生；2)调整架的最小调节精度为10 μm，图像带与柱镜未能精确对齐，会产生一定的影响。观看者在6 m观看距离处、3 m观看范围内移动，单眼可以清晰分辨59个视点的图像，表明圆弧形排列柱面透镜的柱镜光栅结合光栅图可以实现超多视点立体观看效果。

4 结论

本文提出了一种基于柱镜光栅的超多视点大幅面立体画设计方法。根据观看距离、观看区域、视点宽度等观看要求，确定了柱镜厚度、曲率半径、光栅节距等参数，将视点数提高到59个，视点宽度小于正常成年人眼瞳距，并采用圆弧形柱镜光栅来减小视点串扰。利用光学软件LightTools对所设计立体画的视点分布进行了模拟，并采用高精度打印的光栅图结合圆弧形柱镜光栅来实际验证各视点的观看效果，结果表明所设计的圆弧形柱镜光栅可以使人在6 m远处清晰地观看到59个视点的图像。相比目前市场上采用18线以上光栅板制作的光栅立体画，此设计方法制作的超多视点大幅面立体画视点数多、视点串扰小，可满足户外大型广告、巨幅海报及舞台背景墙等自由立体观看的要求。