随着石油、煤炭等传统能源的日渐枯竭以及传统能源带来的环境污染问题，太阳能等可再生能源受到越来越多的关注。太阳能发电是解决人类面临能源问题的有效方法，太阳能发电主要有光伏发电和光热发电2种方式。无论光伏发电还是光热发电，都需要利用跟踪机构(太阳能电池板或聚光镜固定在跟踪机构上)实时跟踪太阳运动^[1-3]。跟踪机构通常是一台自动化机械手。

基于跟踪机构的机械特性，可以将跟踪机构分为单轴跟踪机构和两轴跟踪机构。单轴跟踪机构结构简单，只能实现一个方向的太阳跟踪，跟踪效果相对较差。两轴跟踪机构能够实现2个方向的太阳运动跟踪，始终保证太阳光垂直入射到聚光器镜面上，实现太阳光的高效吸收，因此两轴跟踪机构在太阳能发电系统中得到了广泛的应用^[4-6]。目前的两轴跟踪机构通常是基于串联机构设计的。一般串联两轴跟踪机构有一个竖直转轴和一个水平转轴，竖直转轴固定在地面上，用来支撑整个跟踪机构的载荷，并驱动跟踪机构完成太阳方位角的跟踪，水平转轴安装在竖直转轴顶端，实现太阳高度角的跟踪。虽然这种跟踪机构原理简单，但是刚度较低^[7-8]。此外，由于大型太阳能聚光镜结构尺寸及重量大，再加上风沙等外载荷影响，往往需要设计一个重型跟踪机构以获得较高的刚度来支撑聚光镜。因此，需要安装大功率激励来驱动跟踪机构，导致系统不能以最优功率运行，能量消耗巨大。

针对传统两轴跟踪机构存在的刚度低和能量消耗大等问题，一些研究人员提出利用并联机构开发跟踪机构。相比串联机构，在负载相同的情况下并联机构有更小的重量，因此具有刚度高和惯性低的特点，如果利用并联机构开发太阳能聚光器跟踪机构将会克服串联跟踪机构的这些缺点^[9-10]。索并联机构作为一种典型的并联机构，已经在FAST项目中得到了成功的应用，充分展现了并联机构惯量低的特点^[11]。但是，现有的并联跟踪机构存在自由度数过多、工作空间达不到工程应用需求等问题^[12-13]。

本文提出一种具有低能量消耗、大工作空间的RR-3UPS(R表示转动副，U表示虎克副，P表示移动副，S表示球副)驱动冗余并联二轴太阳能聚光器跟踪机构，并研究其动力学及能量消耗。在对跟踪机构进行运动学建模的基础上，利用虚功原理建立其动力学模型；规划跟踪机构跟踪太阳的运动轨迹，分析其跟踪太阳运动过程中的驱动力变化以及能量消耗。进一步，比较了该驱动冗余并联跟踪机构与其对应的非冗余RR-2UPS跟踪机构在相同运动条件下的驱动力以及能量消耗。

1 运动学分析 1.1 跟踪机构描述

图 1为本文提出的RR-3UPS冗余并联跟踪机构，由静平台、动平台、立柱、第一分支、第二分支和第三分支组成。立柱下端与静平台固定，上端通过两个串联的R副与动平台连接；第一、第二和第三分支均为主动支链，分别通过虎克铰和球副与静平台和动平台连接。该跟踪机构有3个驱动分支，但是具有2个转动自由度，因此为驱动冗余跟踪机构。

1.2 坐标系及坐标变换矩阵

图 2为跟踪机构的运动学模型，首先以静平台与立柱交点为坐标原点O建立静坐标系O-XYZ，沿立柱竖直向上为Z轴，从O点指向第三分支的U副中心点Q₃为Y轴，X轴由右手螺旋法则确定。然后，以立柱上的2个R副转轴的交点o为原点，建立动坐标系o-xyz，垂直于动平台平面向上为z轴，从o点指向第三分支球副中心点P₃为y轴，x轴由右手螺旋法则确定。动坐标系o-xyz相对于静坐标系O-XYZ的旋转变换矩阵为

$ {\bf{ro}}{{\bf{t}}_{\rm{m}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}\alpha }&{ - {\rm{s}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }\\ {{\rm{s}}\alpha }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{ - {\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta }\\ 0&{{\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\beta } \end{array}} \right]. $

(1)

其中：α、β分别表示动平台绕z轴、x随动轴的旋转角度；cα、sα分别表示cosα和sinα；文中随后出现的正弦与余弦函数都将作类似简化。

最后以各个UPS支链U副的中心点Q_i为坐标原点建立支链坐标系Q_i-x_iy_iz_i，U副中心Q_i指向球副中心P_i为y_i轴，U副第二转动轴线方向向量为x_i轴，z_i轴由右手螺旋法则确定。第i分支支链坐标系Q_i-x_iy_iz_i相对于静坐标系O-XYZ的旋转变换矩阵为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\bf{ro}}{{\bf{t}}_i} = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\gamma _i}}&{ - {\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{c}}{\psi _i} + {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\psi _i}}&{{\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{s}}{\psi _i} + {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\psi _i}}\\ {{\rm{s}}{\gamma _i}}&{{\rm{c}}{\gamma _i}{\rm{c}}{\psi _i}}&{ - {\rm{c}}{\gamma _i}{\rm{s}}{\psi _i}}\\ { - {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\gamma _i}}&{{\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{c}}{\psi _i} + {\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\psi _i}}&{ - {\rm{s}}{\zeta _i}{\rm{s}}{\gamma _i}{\rm{s}}{\psi _i} + {\rm{c}}{\zeta _i}{\rm{c}}{\psi _i}} \end{array}} \right].} \end{array} $

(2)

其中：ζ_i表示U副的安装角度，即支链坐标系Q_i-x_iy_iz_i绕静坐标系Y轴旋转的角度，ζ₁ = ζ₂ = 0，ζ₃ = －90°；γ_i、ψ_i分别表示支链绕U副第一转动轴、第二转动轴旋转的角度。

1.3 运动学逆解

基于图 2的运动学模型，可得矢量环约束方程

$ {\mathit{\boldsymbol{h}}_0} = {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} + {q_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i},i = 1,2,3. $

(3)

其中：q_i和w_i分别表示第i分支的长度和方向向量；h₀表示点o在静坐标系中的方向向量，h₀ = [0 0 h₀]^T，h₀为oO的模；a_i表示向量oP_i，a_i = rot_ma_i′，a′_i是向量oP_i在动坐标系o-xyz下的表示，a′_i = [r_icφ_i r_isφ_i 0]^T，r_i为第i分支球副中心P_i到点o的距离，φ_i为向量oP_i与动坐标系x轴的夹角；b_i是向量OQ_i在静坐标系O-XYZ下的表示，b_i = [R_icθ_i R_isθ_i h_i]^T，设点Q′_i为点Q_i在静坐标系XOY平面上的竖直投影，h_i表示点Q_i投影的高度，R_i表示点Q′_i到点O的距离，θ_i为向量OQ′_i与静坐标系X轴的夹角。

根据式(3)可得第i分支长度:

$ {q_i} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{b}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{h}}_0} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}} \right\|,i = 1,2,3. $

(4)

然后可得第i分支方向向量：

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_i} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{b}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{h}}_0} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}}}{{{q_i}}},i = 1,2,3. $

(5)

对向量a_i求导可得

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i} = {\bf{\dot ro}}{{\bf{t}}_{\rm{m}}}{{\mathit{\boldsymbol{a'}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {r_i}{\rm{c}}{\varphi _i}{\rm{c}}\alpha c\beta }&{{r_i}{\rm{c}}{\varphi _i}s\alpha {\rm{s}}\beta }\\ { - {r_i}{\rm{s}}{\varphi _i}{\rm{s}}\alpha c\beta }&{ - {r_i}{\rm{s}}{\varphi _i}c\alpha {\rm{s}}\beta }\\ 0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot \alpha }\\ {\dot \beta } \end{array}} \right] = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{a}}i}}\dot X. $

(6)

其中X = [α β]^T。

对式求导可得

$ 0 = {{\dot q}_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} + {q_i}{\omega _i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i} - {{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i},i = 1,2,3. $

(7)

由于w_i^T(ω_i×w_i) = 0且w_i^Tw_i = 1，在方程两边点乘w_i可得

$ {{\dot q}_i} = \mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_i}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3. $

(8)

其中J_i = w_i^TJ_ai。

然后把各驱动杆长度写成向量形式

$ \mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot q}_1}}\\ {{{\dot q}_2}}\\ {{{\dot q}_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{J}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{J}}_2}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{J}}_3}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = \mathit{\boldsymbol{J\dot X}}. $

(9)

由于w_i×w_i = 0且w_i×(q_iω_i×w_i) = q_iω_i，在式两边叉乘w_i可得

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = \frac{1}{{{q_i}}}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {{\mathit{\boldsymbol{\dot a}}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3. $

(10)

其中J_ωi = [w_i×]J_ai/q_i，且

$ \left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {w_{iz}}}&{{w_{iy}}}\\ {{w_{iz}}}&0&{ - {w_{ix}}}\\ { - {w_{iy}}}&{{w_{ix}}}&0 \end{array}} \right]. $

2 动力学建模 2.1 机构速度与加速度分析

下面分析第一、第二和第三分支的速度与加速度。各条分支结构相同，如图 3所示均由第一支链和第二支链两部分组成。第一支链与静平台连接，只绕U副中心Q_i旋转；第二支链与动平台连接，绕球副中心P_i旋转过程中沿第一支链的P副运动。

两条支链角速度相同，而速度不同。首先分析第一支链的质心T_i，在静坐标系下可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{t}}_i} = {t_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i},i = 1,2,3. $

(11)

其中：t_i为质心T_i到U副中心Q_i的距离，是一个常量，因此${\dot t_i}$ = 0。对式求导可得

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{t}}i}} = {t_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3. $

(12)

其中J_tiv = t_i[w_i×]J_ωi。

接下来分析第二支链质心S_i，在静坐标系下可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{s}}_i} = \left( {{q_i} - {s_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{w}}_i},i = 1,2,3. $

(13)

其中：s_i为点S_i到S副中心P_i的距离，是一个常量，因此${\dot s_i}$ = 0。对式(13)求导可得

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{s}}i}} = {{\dot q}_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} + \left( {{q_i} - {s_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i{\rm{v}}}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3. $

(14)

其中J_siv = w_iJ_i+(q_i-s_i)[w_i×]J_ωi。

第一、第二支链角速度与对应分支角速度相同

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{s}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i},i = 1,2,3. $

(15)

其中：ω_ti、ω_si分别表示第一、第二支链的角速度。

最后联立式(12)和式(15)可以得到第一支链广义速度

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{t}}i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot t}}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i{\rm{v}}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{ \mathsf{ ω} }}i}}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3. $

(16)

其中J_ti为第一支链广义速度映射矩阵。

对式求导得到第i分支第一支链广义加速度映射方程

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{{\rm{t}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3. $

(17)

同样可得第二支链的广义速度和广义加速度

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{s}}i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot s}}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{s}}i}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i{\rm{v}}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{ \mathsf{ ω} }}i}}} \end{array}} \right]\mathit{\boldsymbol{\dot X}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{{\rm{s}}i}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\ddot X + }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\rm{s}}i}}\mathit{\boldsymbol{\dot X}},i = 1,2,3.} \end{array} $

(18)

其中J_si为第二支链广义速度映射矩阵。

2.2 动力学模型

使用虚功原理对机构的动力学进行分析，首先分析动平台、第一、二、三分支、驱动部分的广义力，然后建立虚功方程，从而求解得到驱动力。在实际应用中，太阳能聚光镜与动平台固联，可按一个刚体分析，作用在点o的广义力表示如下：

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{s}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{s}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {m_{\rm{s}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{\rm{s}}} + {m_{\rm{s}}}g + {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}}}\\ { - {\mathit{\boldsymbol{I}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }} - \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{\rm{s}}}\mathit{\boldsymbol{\omega }}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{\rm{sc}}}} \times \left( {{m_{\rm{s}}}g} \right) + {\mathit{\boldsymbol{n}}_{\rm{d}}}} \end{array}} \right]. $

(19)

其中：m_s为聚光镜与动平台的总质量；I_s为聚光镜和动平台在静坐标系下绕点o的转动惯量，I_s = rot_mI′_srot_m^T，I′_s为两者在动坐标系中绕点o的转动惯量；r_sc为聚光镜和动平台质心在静坐标系中相对于点o的位置坐标，r_sc = rot_mr′_sc，r′_sc为两者质心在动坐标系中相对于点o的位置向量；g = [0 0 －9.8]^T；f_d、n_d分别表示作用在聚光镜和动平台上的干扰力和干扰力矩。

作用在第i分支第一支链质心上的力和力矩为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{f}}_{{\rm{t}}i}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{n}}_{{\rm{t}}i}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {m_{{\rm{t}}i}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}} + {m_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{g}}}\\ { - {\mathit{\boldsymbol{I}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{{\rm{t}}i}} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{\rm{t}}i}}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}} \times \left( {{m_{{\rm{t}}i}}\mathit{\boldsymbol{g}}} \right)} \end{array}} \right]}\\ {\left( {i = 1,2,3} \right).} \end{array} $

(20)

其中：m_ti为第一支链的质量；I_tic为支链在静坐标系中绕质心T_i的转动惯量，I_tic = rot_iI′_ticrot_i^T，I′_tic为支链在支链坐标系中绕质心T_i的转动惯量；r_tic为T_i在静坐标系中的位置向量，r_tic = rot_ir′_tic，r′_tic为T_i在支链坐标系Q_i-x_iy_iz_i中的位置向量。

同理可得，作用在第二支链质心上的力和力矩为Q_si = [f_si n_si]^T，形式与第一支链相同，不展开介绍，其中m_si、r_sic、I_sic分别表示第二支链的质量、质心位置和转动惯量。

最后分析驱动部分，设3个杆的驱动力为F₁、F₂、F₃，可得广义驱动力

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_1}}&{{F_2}}&{{F_3}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $

(21)

根据虚功原理，可以得到

$ \left( {\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{s}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{t}}i{\rm{c}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{s}}i{\rm{c}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{s}}i}}} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}}} \right){\rm{d}}t = 0. $

(22)

其中：v_s为点o的广义速度，v_s = [v_o ω_m]^T，v_o为点o的速度，v_o = 0。

将式(9)、式(16)和式(18)—(21)，代入式(22)可得

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot X}}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{s}}i}}} + {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}}} \right) = 0. $

(23)

由于本文研究的RR-3UPS机构为二自由度三驱动的冗余机构，式中J为3×2的奇异矩阵，因此在求Jacobi矩阵逆的时候，需要求Jacobi矩阵的广义逆(J^T)⁺，由此求出的驱动力为

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{q}}} = - {\left( {{\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}} \right)^ + }\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{\rm{s}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{t}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{t}}i}}} + \sum\limits_{i = 1,2,3} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\rm{s}}i}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{{\rm{s}}i}}} } \right). $

(24)

3 太阳轨迹与跟踪机构轨迹规划 3.1 北京太阳方位坐标

为简化模型，本文采用天球坐标系。然后在该坐标系下对北京(阳光采集点)和太阳进行坐标描述，进而得到各个角度之间的关系。为方便计算，经纬度取整数值，即：东经116°，北纬40°。

太阳的赤纬角，指太阳直射地球的直射点的纬度，可近似计算^[13]太阳的赤纬角如下：

$ \delta = - 23.45\cos \left( {\frac{{365\left( {n + 10} \right) \times 2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{365}}} \right). $

(25)

其中：n表示一年当中的日期序号，1月1日n = 1。

地球每小时转动15°，以逆时针为正，正午时刻为0°，则太阳的时角为

$ H = 15\left( {12 - h} \right). $

(26)

其中: h表示时间，单位为h; H表示太阳的时角，单位为(°)。

太阳的单位方向向量在天球坐标系中表示如下:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{sun}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}H}&{ - {\rm{s}}H}&0\\ {{\rm{s}}H}&{{\rm{c}}H}&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{{\rm{c}}\delta }&{ - {\rm{s}}\delta }\\ 0&{{\rm{s}}\delta }&{{\rm{c}}\delta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right] = }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\rm{s}}H{\rm{c}}\delta }&{{\rm{c}}H{\rm{c}}\delta }&{{\rm{s}}\delta } \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}.} \end{array} $

(27)

据此可以求出北京日出日落的时刻，即太阳高度角与北京的方位角相垂直的时刻。首先确定北京市的单位向量为

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{bj}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{{\rm{c}}\mathit{\Phi }}&{ - {\rm{s}}\mathit{\Phi }}\\ 0&{{\rm{s}}\mathit{\Phi }}&{{\rm{c}}\mathit{\Phi }} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{\rm{c}}\mathit{\Phi }}\\ {{\rm{s}}\mathit{\Phi }} \end{array}} \right]. $

(28)

其中：Φ = 40°，表示北京纬度。

两向量相乘可以得到高度角的余弦

$ {\rm{c}}\theta = {\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{bj}}}} \times {\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{sun}}}} = {\rm{c}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\mathit{H}{\rm{c}}\delta + {\rm{s}}\mathit{\Phi }{\rm{s}}\delta . $

(29)

当cθ = 0时，求出日出日落时刻为

$ \left\{ \begin{array}{l} {h_{\min }} = - \frac{{\arccos \left( { - s\mathit{\Phi s}\delta \mathit{/}{\rm{c}}\mathit{\Phi c}\delta } \right)}}{{15}} + 12,\\ {h_{\max }} = \frac{{\arccos \left( { - s\mathit{\Phi s}\delta \mathit{/}{\rm{c}}\mathit{\Phi c}\delta } \right)}}{{15}} + 12. \end{array} \right. $

(30)

其中：h_min为日出时间，h_max为日落时间。

3.2 跟踪机构旋转角度

太阳能聚光器跟踪机构的角度在天球坐标系中应该如下计算。首先绕X轴旋转－(90°－Φ)，使得变换后的坐标系与静平台坐标系方向一致。然后完成并联机构的转动，绕Z轴旋转α，绕X轴旋转β，得到太阳能跟踪机构的方位角。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{V}}_{{\rm{PKM}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{{\rm{s}}\mathit{\Phi }}&{ {\rm{c}}\mathit{\Phi }}\\ 0&{{-\rm{c}}\mathit{\Phi }}&{{\rm{s}}\mathit{\Phi }} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}\alpha }&{ - {\rm{s}}\alpha }&0\\ {{\rm{s}}\alpha }&{{\rm{c}}\alpha }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] \cdot }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{{\rm{c}}\beta }&{ - {\rm{s}}\beta }\\ 0&{{\rm{s}}\beta }&{{\rm{c}}\beta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right] = }\\ {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }&{ - {\rm{s}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta + {\rm{c}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\beta }&{{\rm{c}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta + {\rm{s}}\mathit{\Phi }{\rm{c}}\beta } \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}.} \end{array} $

(31)

联立式(27)和式(31)解得

$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \arctan \frac{{{\rm{s}}H{\rm{s}}\delta }}{{{\rm{c}}H{\rm{c}}\delta {\rm{s}}\mathit{\Phi } - {\rm{s}}\delta {\rm{c}}\mathit{\Phi }}},\\ \beta = \arccos \left( {{\rm{c}}H{\rm{c}}\delta {\rm{c}}\mathit{\Phi } + {\rm{c}}H{\rm{s}}\delta } \right). \end{array} \right. $

(32)

求导可以得到规划轨迹的速度和加速度如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot \alpha = \frac{{{\rm{d}}\alpha }}{{{\rm{d}}H}}\dot H,\;\;\;\ddot \alpha = \frac{{{\rm{d}}\alpha }}{{{\rm{d}}H}}\ddot H + \frac{{{{\rm{d}}^2}\alpha }}{{{\rm{d}}{H^2}}}\dot H,}\\ {\dot \beta = \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}H}}\dot H,\;\;\;\ddot \beta = \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}H}}\ddot H + \frac{{{{\rm{d}}^2}\beta }}{{{\rm{d}}{H^2}}}\dot H.} \end{array} $

(33)

一年中跟踪机构的转动角度α和β所组成的轨迹如图 4所示，图中曲线从下而上分别是夏至、春分日、秋分、冬至的工作轨迹曲线。其中春分与秋分太阳直射赤道，高度角相同，因此轨迹相同；夏至太阳高度角最高，日照时间最长；冬至太阳高度角最低，日照时间最短。

4 能量消耗 4.1 驱动力仿真

选取图 4中春分日的太阳轨迹为跟踪轨迹，代入运动学逆解式中，根据表 1中提供的参数，可以求出每个驱动杆的杆长变化，如图 5所示。可以发现，第三分支q₃长度变化较小，而第一、第二分支q₁、q₂长度变化较大，且对称分布。

接下来将轨迹代入动力学逆解式中，可得冗余机构和非冗余机构的驱动力对比，如图 6所示。为对比冗余驱动机构与非冗余机构的性能，去除本文研究机构的第三分支，使之成为二自由度二驱动的非冗余机构。两者最大驱动力都达到了80 N，但冗余机构三个分支的平均驱动力分别为30、30、11 N，而非冗余机构两分支的平均驱动力均为36 N，可见冗余机构降低了机构的平均驱动力。

4.2 功率消耗仿真

每个驱动副的机械功率计算如下：

$ {p_i} = {F_i} \cdot {v_i}. $

(34)

机械功率对比如图 7所示，虽然两者峰值功率一致，但平均值更高，整体功耗更大。这是因为冗余杆件增加了机构整体的动能和重力势能，所以在运动过程中，驱动副做功更多。

图 7中存在机械功率为负的情况，表示重力做功将势能转变为动能，驱动副做负功。然而实际工况下电机功率非负，应当考虑电机的热功率。假设电机的力矩常数为K_M，绕子电阻为R，当电机力矩为T时，消耗的功率表示如下：

$ {p_{{\rm{t}}i}} = {\left( {\frac{{{T_i}}}{{{K_{\rm{M}}}}}} \right)^2}R. $

(35)

对于本机构由滚珠丝杠驱动，电机力矩与驱动杆推力存在以下关系，其中d为滚珠丝杠的螺距。

$ {T_i} = {F_i} \cdot d/2{\rm{ \mathsf{ π} }}. $

(36)

将式(36)代入式(35)，可以对比机构的热功率，如图 8所示。两者在清晨和傍晚达到最大功率4.5 W；但在正午前后，冗余机构热功率小于1.4 W，而非冗余机构热功率达到了3.8 W。

综合考虑机械功率和热功率，得到机构总功率如图 9所示。可以发现，正午前后冗余机构的功率变化比较平滑，而非冗余机构会出现功率的峰值。功率曲线对时间积分可以得到总的功率消耗，冗余机构为62.1 kJ，非冗余机构为79.8 kJ。冗余机构在降低平均力矩的同时，也降低了整体的功率消耗。

5 结论

本文提出了一种驱动冗余并联式太阳能聚光器跟踪机构，利用虚功原理建立其动力学模型，比较了该驱动冗余并联跟踪机构与其对应的非冗余跟踪机构在相同运动条件下的驱动力以及能量消耗。仿真结果表明：驱动冗余并联跟踪机构的平均驱动力小于对应的非冗余跟踪机构。能量消耗方面，虽然冗余跟踪机构的机械能消耗比其对应的非冗余跟踪机构略大，但是综合考虑机械能和热能，驱动冗余跟踪机构的能耗更低。因此，本文提出的驱动冗余跟踪机构具有小驱动力、低能耗的特点。下一步将在仿真的基础上进行尺寸优化，根据优化尺寸设计样机，通过实验进一步验证该冗余并联跟踪机构的特点。