数控机床以联动轴的运动合成刀具相对工件的运动，从而达到加工要求。具有3个平动联动轴和2个旋转联动轴的五轴联动数控机床能够控制刀具以任意姿态相对于工件运动，理论上能够满足任意加工要求。

具有3个平动联动轴和3个旋转联动轴的六轴联动数控机床能够实现五轴联动数控机床的功能。由于增加了一个旋转联动轴，该类机床可以用于齿轮加工^[1-2]或者刀具不绕自身轴线旋转的场合，如电火花加工^[3]和焊接加工^[4]等五轴联动数控机床较难实现的场合。此外，通过3个旋转联动轴之间的相互运动约束关系，机床能够实现加工精度或者进给速度优化等^[5-6]。

机床的刀具中心点运动轨迹是刀具相对于工件运动轨迹的一部分，反映并决定了工件的加工精度。目前，针对该轨迹优化的主要措施为根据机床的具体运动学模型，在产生联动轴运动量时，细化刀具中心点理论轨迹，从而减少轨迹误差^[7-9]。

对于给定的刀具中心点运动轨迹，大部分机床只能以一种联动模式实现加工，而六轴联动数控机床则例外，它能以多种联动模式实现加工。本文以用于抛光加工的六轴联动数控机床为具体研究对象，利用冗余旋转联动轴所产生的多联动模式特点，优化刀具中心点运动轨迹误差，提出了采用联动模式切换实现该误差的优化，即根据抛光轮运动轨迹的特点，选择合适的联动模式使得轨迹误差为最小。

1 机床运动学特性 1.1 运动学模型

本文所研究的六轴联动数控机床具有3个平动联动轴X、Y和Z轴和3个旋转联动轴A、B和C轴，刀具为抛光轮。机床具体结构和联动轴分布如图 1所示。

图 1中，为了上下料方便，B轴的初始状态为-90°，使得图 1中的C轴轴线与A轴轴线相平行。机床运动学模型主要用于计算联动轴的运动量。以工件静止时抛光轮中心点坐标p和轴线矢量u为该模型的已知条件：

$ \mathit{\boldsymbol{p}} = ({p_x}, {p_y}, {p_z}), \;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{u}} = ({u_x}, {u_y}, {u_z}). $

(1)

其中：p_x、p_y和p_z为p在X、Y和Z方向上的分量；u_x、u_y和u_z为u在X、Y和Z方向上的分量。

结合图 1，该机床的运动学模型为：

$ \begin{array}{l} {\left[ {\mathit{\boldsymbol{p}}, \;1} \right]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{R}}( - {\theta _C})\mathit{\boldsymbol{R}}( - {\theta _B})\mathit{\boldsymbol{T}}\left( {\mathit{\boldsymbol{s}} + \mathit{\boldsymbol{r}}} \right) \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{R}}({\theta _A})\mathit{\boldsymbol{T}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{r}}} \right){\left[ {0, 0, 0, 1} \right]^{\rm{T}}}. \end{array} $

(2)

$ \begin{array}{l} {\left[ {\mathit{\boldsymbol{u}}, \;0} \right]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{R}}( - {\theta _C})\mathit{\boldsymbol{R}}( - {\theta _B})\mathit{\boldsymbol{T}}\left( {\mathit{\boldsymbol{s}} + \mathit{\boldsymbol{r}}} \right) \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{R}}({\theta _A})\mathit{\boldsymbol{T}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{r}}} \right){\left[ {0, 0, 1, 0} \right]^{\rm{T}}}. \end{array} $

(3)

其中：θ_A、θ_B和θ_C分别为A、B和C轴的运动量；s为由X轴运动量s_x、Y轴运动量s_y和Z轴运动量s_z所组成的齐次坐标；r为抛光轮中心点与A轴摆动中心点之间的偏置向量；R(·)、T(·)分别为关于旋转运动和平动的齐次坐标变换矩阵。

对于给定的抛光轮中心点坐标和轴线矢量，可由式(2)和(3)得到各联动轴的运动量。

此外，为了保证机床能正常加工，联动轴的运动量不能出现超程，即各个联动轴的运动量需处于各自的正负行程之内。各联动轴的具体行程如表 1所示。

1.2 冗余联动特点

由于抛光轮轴线矢量为单位矢量，式(3)有3个未知数，即A、B和C轴的运动量待求解，而独立方程数为2个。式(3)的解理论上有无穷多组，即本文所研究的六轴联动数控机床为冗余联动系统。

由式(2)和(3)可知，为了计算方便，设C轴为冗余旋转联动轴，即其运动量已确定。进一步可以得到其他联动轴的运动量，分别表示为：

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\theta _A} = - \arcsin {u_{yn}}, \\ {\theta _B} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\arctan \left( { - \frac{{{u_{x{\rm{n}}}}}}{{{u_z}}}} \right), }&{{u_z} > 0;}\\ {{\rm{ \mathsf{ π} }} + \arctan \left( { - \frac{{{u_{x{\rm{n}}}}}}{{{u_z}}}} \right), }&{{u_{x{\rm{n}}}} < 0, {u_z} < 0;}\\ {\arctan \left( { - \frac{{{u_{x{\rm{n}}}}}}{{{u_z}}}} \right) - {\rm{ \mathsf{ π} }}, }&{{u_{x{\rm{n}}}} \ge 0, {u_z} < 0;}\\ {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}, }&{{u_{x{\rm{n}}}} < 0, {u_z} = 0;}\\ { - \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}, }&{{u_{x{\rm{n}}}} > 0, {u_z} = 0;}\\ {0, }&{{u_{x{\rm{n}}}} = 0, {u_z} = 0.} \end{array}} \right. \end{array} $

(4)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_x} = {p_{x{\rm{n}}}}\cos {\theta _B} + {p_z}\sin {\theta _B}, }\\ {{s_y} = {p_{y{\rm{n}}}} - {n_y}(1 - \cos {\theta _A}), }\\ {{s_z} = {p_z}\cos {\theta _B} - {p_{x{\rm{n}}}}\sin {\theta _B} + {n_y}\sin {\theta _A}.} \end{array} $

(5)

其中：p_xn、p_yn、u_xn和u_yn分别为抛光轮中心点坐标和轴线矢量经过C轴旋转后所得到的新坐标值：

$ \begin{array}{l} {u_{x{\rm{n}}}} = {u_x}\cos {\theta _C} - {u_y}\sin {\theta _C}, \\ {u_{y{\rm{n}}}} = {u_x}\sin {\theta _C} + {u_y}\cos {\theta _C}, \\ {p_{x{\rm{n}}}} = {p_x}\cos {\theta _C} - {p_y}\sin {\theta _C}, \\ {p_{y{\rm{n}}}} = {p_x}\sin {\theta _C} + {p_y}\cos {\theta _C}. \end{array} $

(6)

2 联动模式

由于本文所研究的六轴联动数控机床具有冗余联动的特点，机床能够组合出多种联动模式，如三轴联动、四轴联动和五轴联动，且每个联动模式有多种联动轴形式。因此，在满足抛光轮中心点坐标和轴线矢量关系的前提下，机床能够以多种联动模式和联动轴形式实现加工。

为了说明和研究方便，定义在某个加工轨迹段中，起始点处抛光轮中心点坐标为p₁，抛光轮轴线矢量为u₁，对应X、Y、Z、A、B和C轴的运动量分别为s_x1、s_y1、s_z1、θ_A1、θ_B1、θ_C1；结束点处抛光轮中心点坐标p₂，抛光轮轴线矢量u₂，对应X、Y、Z、A、B和C轴的运动量为s_x2、s_y2、s_z2、θ_A2、θ_B2、θ_C2。

2.1 轴线矢量相同

在该情况下，抛光轮轴线矢量分为两种情况：

1) 两轴线矢量与Z轴正方向单位矢量相同，即

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{u}}_2} = \left( {0, 0, 1} \right). $

(7)

2) 两轴线矢量不符合1)的情况，即

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{u}}_2} \ne \left( {0, 0, 1} \right). $

(8)

在式(7)和(8)对应的情况下，机床的A、B和C轴可保持静止，因此XYZ三轴联动能够实现加工。

由于C轴的转动不会使式(7)的轴线矢量发生变化，XZC三轴联动能实现式(7)的加工。

对于式(8)，C轴的转动使得轴线矢量出现变化，因此机床能以六轴联动实现加工。

2.2 轴线矢量分量相同

该情况下，抛光轮轴线矢量可分为3种情况：

1) 两轴线矢量的X方向分量相同：

$ {u_{x1}} = {u_{x2}}, {u_{y1}} \ne {u_{y2}}, {u_{z1}} \ne {u_{z2}}. $

(9)

2) 两轴线矢量的Y方向分量相同：

$ {u_{x1}} \ne {u_{x2}}, {u_{y1}} = {u_{y2}}, {u_{z1}} \ne {u_{z2}}. $

(10)

3) 两轴线矢量的Z方向分量相同：

$ {u_{x1}} \ne {u_{x2}}, {u_{y1}} \ne {u_{y2}}, {u_{z1}} = {u_{z2}}. $

(11)

对于式(9)，机床能以XYZA四轴联动实现加工，或者以六轴联动实现加工。

对于式(10)，机床能以XYZB四轴联动实现加工，或者以六轴联动实现加工。

对于式(11)，机床能以XYZC四轴联动实现加工。如果C轴的运动量不同于六轴联动时C轴的运动量，则六轴联动也可实现加工。

由此可知，XYZA四轴联动、XYZB四轴联动、XYZC四轴联动相互之间无法切换，但都能与六轴联动实现切换。

2.3 轴线矢量不相同

当机床3个旋转联动轴中任意一个静止时，为五轴联动模式。因此，五轴联动模式有XYZAB、XYZAC、XYZBC这3种形式。由于这3种形式均能满足同一轴线矢量关系，即三者之间可以相互切换，也可与六轴联动相切换，且能满足任意轴线矢量关系。

2.4 联动模式之间关系

由第2.1—2.3节内容可知，六轴联动模式是本文机床的核心联动模式。由于该模式是冗余联动，由第1节的内容可知，需事先确定冗余旋转联动轴的运动关系。

在实际机床中，由表 1可知，为了保证X轴的运动量不出现正向超程和Y轴的运动量不出现负向超程，只有C轴转动才能同时满足这两个要求，这是以C轴作为冗余旋转联动轴的原因。C轴的运动可表示为

$ {\theta _C} = {\rm{ \mathsf{ π} }} - \arctan \frac{r}{{\sqrt {p_x^2 + p_y^2 - {r^2}} }} - \arctan \frac{{{p_y}}}{{{p_x}}}. $

(12)

其中r为抛光轮半径。XZC三轴联动的C轴运动也采用该条件。

根据第2.1—2.3节的内容，三轴联动模式、四轴联动模式、五轴联动模式以及各模式下联动轴形式之间的关系如图 2所示。

图 2中，双向箭头表示两者之间能够相互切换。可见，对于同一加工任务而言，机床能以多种联动模式实现加工，且在同一联动模式中，能以多种联动轴形式实现加工。

3 联动模式切换 3.1 抛光轮中心点轨迹误差

对于每个加工轨迹段而言，抛光轮中心点轨迹一般以直线段拟合^[10]，则抛光轮中心点理论运动轨迹p_r(t)可表示为

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{p}}_{\rm{r}}}\left( t \right) = [t{p_{x2}} + \left( {1 - t} \right){p_{x1}}, t{p_{y2}} + \left( {1 - t} \right){p_{y1}}, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t{p_{z2}} + \left( {1 - t} \right){p_{z1}}, 1]. \end{array} $

(13)

其中t为自变量，取值范围为[0, 1]。

机床的数控系统采用线性插补控制联动轴的运动^[11]。各联动轴的运动可表示为：

$ \begin{array}{l} {s_x}\left( t \right) = t{s_{x2}} + \left( {1 - t} \right){s_{x1}}, {s_y}\left( t \right) = t{s_{y2}} + \left( {1 - t} \right){s_{y1}}, \\ {s_z}\left( t \right) = t{s_{z2}} + \left( {1 - t} \right){s_{z1}}, {\theta _A}\left( t \right) = t{\theta _{A2}} + \left( {1 - t} \right){\theta _{A1}}, \\ {\theta _B}\left( t \right) = t{\theta _{B2}} + \left( {1 - t} \right){\theta _{B1}}, {\theta _C}\left( t \right) = t{\theta _{C2}} + \left( {1 - t} \right){\theta _{C1}}. \end{array} $

(14)

结合式(2)，抛光轮中心点实际运动轨迹p(t)为

$ \begin{array}{l} {\left[ {\mathit{\boldsymbol{p}}\left( t \right), 1} \right]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{R}}( - {\theta _C}\left( t \right))\mathit{\boldsymbol{R}}( - {\theta _B}\left( t \right))\mathit{\boldsymbol{T}}\left( {\mathit{\boldsymbol{s}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{r}}} \right) \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{R}}({\theta _A}\left( t \right))\mathit{\boldsymbol{T}}\left( { - \mathit{\boldsymbol{r}}} \right){\left[ {0, 0, 0, 1} \right]^{\rm{T}}}. \end{array} $

(15)

由于旋转联动轴的角度进行线性变化，在三角函数的作用下，抛光轮中心点实际运动为非线性运动，导致实际运动轨迹与理论运动轨迹不重合，存在误差。结合式(13)和(15)，该误差ε(t)为

$ \varepsilon \left( t \right) = |\mathit{\boldsymbol{p}}\left( t \right) - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{\rm{r}}}\left( t \right)|. $

(16)

根据式(13)和(15)，抛光轮中心点的理论运动轨迹p(t)、实际运动轨迹p_r(t)和两者之间的误差ε(t)如图 3所示。

3.2 联动模式切换方法

由第3.1节可知，不同的联动模式和联动轴形式所形成的抛光轮中心点实际运动轨迹是不同的，而理论运动轨迹相同，则各自对应的误差同样也不同，其中存在一种联动模式和联动轴形式对应的误差为最小。

对于给定的抛光轮中心点运动轨迹，首先根据轴线矢量，采用第2.1节方法，确定满足轴线矢量关系的联动模式和联动轴形式。然后，根据这些联动模式和联动轴形式对应的联动轴运动量，得到各自的抛光轮中心点实际运动轨迹，进而得到各自对应的轨迹误差，最后选择误差最小的联动模式和联动轴形式用于加工。因此，整个加工过程中，可以根据不同的抛光轮中心点轨迹和轴线矢量特征，选择不同的联动模式和联动轴形式，即联动模式和联动轴形式根据抛光轮中心点运动轨迹误差进行切换，从而使得整个过程的误差为最小。

考虑到机床实际情况，联动模式选择和切换的约束条件为：

约束条件1  所选定的联动模式和联动轴形式所对应的各个联动轴运动量不能出现超程，即

$ {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\min }} \le {\mathit{\boldsymbol{q}}_M} \le {\mathit{\boldsymbol{q}}_{\max }}. $

(17)

其中：q_M为联动轴运动量组成的向量，q_min为联动轴负向行程所组成的向量，q_max为联动轴正向行程所组成的向量，具体数值由表 1确定。

约束条件2  所选择的联动模式和联动轴形式对应的抛光轮中心点运动轨迹误差最大值，与其他联动模式和联动轴形式对应的最大值相比，为最小，即

$ \max (|{\mathit{\boldsymbol{p}}_{\rm{s}}}\left( t \right) - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{\rm{r}}}\left( t \right)|) < \max ({\rm{|}}{\mathit{\boldsymbol{p}}_{\rm{o}}}\left( t \right) - {\mathit{\boldsymbol{p}}_{\rm{r}}}\left( t \right)|). $

(18)

其中：p_s(t)为所选定的联动模式和联动轴形式对应的抛光轮中心点运动轨迹，p_o(t)为其他联动模式和联动轴形式对应的抛光轮中心点运动轨迹。

以上2个约束条件需同时满足，即所切换的联动模式和联动轴形式不能出现超程，否则重新切换，直至得到同时符合这2个约束条件的联动模式和联动轴形式。联动模式选择和切换流程如图 4所示。

如图 4所示，轨迹特征判断过程为：根据抛光轮轴线矢量得到符合要求的联动模式和联动轴形式；判断当前抛光轮中心点轨迹为直线、圆弧或者其他曲线离散而成；将联动模式切换为所选择的误差最小的联动模式和联动轴形式。

此外，在联动模式和联动轴形式切换时，联动轴的运动量不能出现突变，即计算联动轴运动量时，需同时考虑其他联动轴的状态。例如，当XYZAB联动切换至XYZAC联动时，B轴变为静止，但角度不一定为0°，计算XYZAC轴运动量时，需在运动学模型中考虑B轴的角度。

在整个加工任务中，每个加工轨迹段均按图 4所示的流程进行处理，选取符合约束条件1和2的联动模式和联动轴形式，从而使得整个加工任务中，抛光轮中心点轨迹误差均为最小。

可见，在满足抛光轮轴线矢量关系的基础上，根据机床的实际行程，联动模式切换方法能够选择一种可用于实际加工的联动模式和联动轴形式使得抛光轮中心点运动轨迹误差为最小。

4 仿真与实验

为了验证本文所提出的联动模式切换方法的可行性，在实际机床上进行加工实验，加工对象如图 5所示。该工件的表面由多个曲面融合而成，且具有回转特征，回转轴线在夹具的作用下与机床C轴轴线相重合。抛光轮绕工件进行环绕运动，从而形成其中心点运动轨迹。图 5中红色曲线为抛光轮中心点运动轨迹。

根据工件的特征，抛光轮中心点运动轨迹可分为7个特征：圆心处于C轴轴线上的圆弧(特征1、2和3)、圆心不处于C轴轴线上的圆弧(特征5)，直线段(特征4、6)、相贯线(特征7)。这7个特征在工件上的分布如图 6所示。

根据图 4所示的联动模式切换方法，机床针对不同的抛光轮中心点运动轨迹特征采用不同的联动模式和联动轴形式，实现在整个加工过程中抛光轮中心点轨迹误差的最小化。

对于特征1、2和3，机床采用XZC三轴联动，且抛光轮中心点轨迹的圆心均位于C轴轴线上，只需C轴的转动且运动量符合式(12)，即可实现这3个特征。其中一个特征的一段抛光轮中心点运动轨迹可表示为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} = \left( { - 7.492\;{\rm{mm}}, 175.340\;{\rm{mm}}, 150.000\;{\rm{mm}}} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{u}}_2} = \left( {0, 0, 1} \right), }\\ {{p_2} = \left( { - 11.233\;{\rm{mm}}, 175.140\;{\rm{mm}}, 150.000\;{\rm{mm}}} \right).} \end{array} $

对应的XZC轴运动量分别为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_{x1}} = {s_{x2}} = - 93.531\;{\rm{mm}}, }\\ {{s_{z1}} = {s_{z2}} = 150.000\;{\rm{mm}}, }\\ {{\theta _{C1}} = 29.578^\circ , \;\;{\theta _{C2}} = 28.534^\circ .} \end{array} $

Y轴运动量保持148.500 mm不变，A、B轴的运动量保持为0。

对于特征4，联动模式切换方法将加工该部分的联动模式选择为XYZ三轴联动。其中一个抛光轮中心点运动轨迹可表示为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} = \left( {169.918\;{\rm{mm}}, 10.626\;{\rm{mm}}, 90.000\;{\rm{mm}}} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{u}}_2} = \left( {0, 0, 1} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{p}}_2} = \left( {165.676\;{\rm{mm}}, 78.451\;{\rm{mm}}, 90.000\;{\rm{mm}}} \right).} \end{array} $

对应的XYZ轴的运动量分别为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_{x1}} = - 83.264\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{y1}} = 148.500\;{\rm{mm}}, }\\ {{s_{x2}} = - 142.541\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{y2}} = 115.264\;{\rm{mm}}, }\\ {{s_{z1}} = {s_{z2}} = 90.000\;{\rm{mm}}.} \end{array} $

C轴运动量保持115.701°不变。特征2转变为特征3时，XZC三轴联动切换至XYZ三轴联动。

对于特征5，由于XYZ三轴联动导致Y轴出现负向超程，因此由特征4的XYZ三轴联动切换至XZC三轴联动。其中一个抛光轮中心点运动轨迹为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} = \left( {165.676\;{\rm{mm}}, 78.451\;{\rm{mm}}, 90.000\;{\rm{mm}}} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{u}}_2} = \left( {0, 0, 1} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{p}}_2} = \left( {165.409\;{\rm{mm}}, 82.085\;{\rm{mm}}, 90.000\;{\rm{mm}}} \right).} \end{array} $

对应的XZC轴运动量分别为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_{x1}} = - 142.541\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{x2}} = - 144.262\;{\rm{mm}}, }\\ {{\theta _{C1}} = 115.701^\circ , \;\;{\theta _{C2}} = 114.981^\circ , }\\ {{s_{z1}} = {s_{z2}} = 90.000\;{\rm{mm}}.} \end{array} $

Y轴运动量保持115.264 mm不变。

特征6为倾斜的直线段，联动轴的运动除了满足抛光轮中心点位置关系，还需同时满足抛光轮轴线矢量关系。因此，以六轴联动实现起始点的抛光轮中心点位置和轴线矢量关系，以XYZ三轴联动实现该特征的加工。其中一个抛光轮中心点运动轨迹为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} = \left( {102.922\;{\rm{mm}}, 137.523\;{\rm{mm}}, 93.357\;{\rm{mm}}} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_1} = \left( {0, 0.174, 0.985} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{p}}_2} = \left( {165.409\;{\rm{mm}}, 82.085\;{\rm{mm}}, 90.000\;{\rm{mm}}} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_2} = \left( {0, 0.174, 0.985} \right).} \end{array} $

对应的XYZABC轴运动量分别为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_{x1}} = - 52.770\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{x2}} = - 220.733\;{\rm{mm}}, }\\ {{s_{y1}} = 157.593\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{y2}} = 49.103\;{\rm{mm}}, }\\ {{s_{z1}} = 95.551\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{z2}} = 96.880\;{\rm{mm}}, }\\ {{\theta _{A1}} = {\theta _{A2}} = - 4.981^\circ , \;\;{\theta _{B1}} = {\theta _{B2}} = 8.682^\circ , }\\ {{\theta _{C1}} = {\theta _{C2}} = 60.000^\circ .} \end{array} $

特征7为相贯线。抛光轮轴线矢量发生变化，需五轴联动或者六轴联动，由于该特征下XYZAB五轴联动的抛光轮中心点运动轨迹误差为最小，因此切换至XYZAB五轴联动。其中一个抛光轮中心点运动轨迹为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{p}}_1} = \left( { - 74.153\;{\rm{mm}}, 197.359\;{\rm{mm}}, 69.316\;{\rm{mm}}} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_1} = \left( {0, 0.174, 0.985} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{p}}_2} = \left( { - 69.326\;{\rm{mm}}, 227.246\;{\rm{mm}}, 60.000\;{\rm{mm}}} \right), }\\ {{\mathit{\boldsymbol{u}}_2} = \left( {0.444, 0.218, 0.896} \right).} \end{array} $

对应XYZAB轴运动量分别为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_{x1}} = - 195.147\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{x2}} = - 239.001\;{\rm{mm}}, }\\ {{s_{y1}} = 34.159\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{y2}} = 47.068\;{\rm{mm}}, }\\ {{s_{z1}} = 92.973\;{\rm{mm}}, \;\;{s_{z2}} = - 24.284\;{\rm{mm}}, }\\ {{\theta _{A1}} = - 4.981^\circ , \;\;{\theta _{A2}} = - 23.287^\circ , }\\ {{\theta _{B1}} = 8.682^\circ , \;\;{\theta _{B2}} = - 12.772^\circ .} \end{array} $

C轴运动量保持60.000°不变。

由此可见，由于采用联动模式切换，机床在加工中并不是始终执行一种联动模式和联动轴形式。实际加工过程如图 7所示。

为了比较抛光轮中心点运动轨迹误差优化方法的效果，定义两个加工措施，分别进行加工实验，其中措施1为机床采用六轴联动，或者当抛光轮轴线矢量为(0，0，1)时采用XZC三轴联动，对工件进行加工；措施2为联动模式切换。两个措施下的抛光轮中心点轨迹在各个特征处的误差最大值如表 2所示。

由表 2可知，在特征1、2、3和5处两个措施的联动模式相同；由于联动模式发生切换，在特征4、6和7处措施2的抛光轮中心点运动轨迹误差最大值小于措施1对应的值。在特征4和6处，采用措施1进行加工时，出现抛光轮未与工件相接触的现象。

在抛光加工中，抛光轮中心点运动轨迹误差导致抛光力出现波动^[12-13]。该误差直接影响了抛光加工质量，即导致工件抛光后的表面粗糙度和一致性出现变化^[14-15]。通过白光干涉仪分别测量工件同一处(特征7)在两个措施下的表面抛光效果，所得到的结果如图 8所示。

图 8a的表面粗糙度值为1 005.449 nm，图 8b的表面粗糙度值为866.722 nm。措施1加工后，工件的表面粗糙度更大，且出现欠抛(黑色条纹)，一致性不如联动模式切换措施2。因此，优化抛光轮中心点运动轨迹误差的方法能够优化抛光加工质量。

5 结论

本文以一种用于抛光加工的六轴联动数控机床为研究对象，针对机床的刀具(抛光轮)中心点运动轨迹误差，根据机床冗余联动特点所组合出的多种联动模式，提出了利用联动模式和联动轴形式切换实现该误差优化的具体方法。实验结果表明，本文所提出的方法应用于抛光加工中，能够优化抛光轮中心点运动轨迹误差，从而提高抛光加工质量。

对本文的机床运动学模型作适当修改后，可以将它应用到其他不同机械结构的六轴联动数控机床上。此外，由于机床运动学模型具有抽象性，因此本文的研究方法对六轴联动数控铣床等其他设备的刀具中心点运动轨迹误差优化具有借鉴意义。