高水头钢闸门主梁设计已属于深梁范畴，加之以往设计中对主梁和面板的协同变形考虑不足，导致结构整体分析存在偏差。高水头钢闸门设计以闸门面板兼作主梁上翼缘，整合为宽翼缘薄壁工字形深梁结构，如图 1所示。然而，现有主梁静、动力学设计中，仍采用传统细长梁理论(Euler梁理论)^[1]，忽略了腹板剪切变形及面板的剪滞作用对主梁强度、刚度及稳定性的折减。Timoshenko在保留平截面假定的前提下，放弃垂直性假设，通过附加剪切变形转角的方式来分析弯剪耦合问题，并引入截面剪切系数的概念^[2]。由于平截面假定是将剪切变形在横截面上进行平均化处理，这与剪应变沿梁高实际变形规律不符，属于近似算法。计算剪力滞与剪切变形时应考虑截面纵向位移的非线性，即弯剪耦合。但是，现有剪力滞计算理论大多针对带翼板的梁结构，忽略了腹板剪切^[3]，或将应考虑的腹板剪切变形按平均剪切翘曲^[4]及Timoshenko方法处理^[5]。从受力角度分析，忽略腹板剪切变形仅

适用于腹板处不计抗弯作用的波形腹板梁^[6]；平均剪切翘曲计算时假设腹板处剪切变形为常数^[7]；Timoshenko梁简化了剪切分布。以上3种假设均与实际不符。在薄壁截面深梁研究中，文[8]基于变分原理证明了腹板剪切效应研究的必要性，但现有解析方法仅考虑腹板剪切变形的影响，忽略了翼缘剪力滞的影响^[9]。文[10]尽管提出了全截面剪切变形假设，但剪应变计算中忽略了挠度随翼缘的变化。

基于上述研究，本文从剪切变形与梁的竖向挠度、纵向位移的关系入手，构造纵向位移函数和翘曲形函数，采用能量变分原理推导出考虑全截面剪切效应弯剪耦合的工字形梁挠度、弯曲正应力及固有频率解析计算公式；并以简支梁为例，对比分析了不同计算方法下剪切效应对弯曲正应力及固有频率的影响。

1 纵向位移函数表达式

翘曲修正方法大致分为两种，即多参数翘曲函数法^{[3, 5]}和平均翘曲修正法^[7]。相比较而言，平均翘曲修正法的假定参数较少，可以得到简明解析解，且精度满足工程需要^[11]。文[4, 12]结合了上述两种修正方法，但仅能得到有限元数值解；文[12]基于平均翘曲修正法提出了弯翘中性轴的概念，但没有给出修正函数的显示表达；张元海等^[13-14]在长期研究中提出多种改进修正方法，但从计算结果来看，方法间误差不超过5%，增益效果并不明显。由此可知，修正方法的选择并不是弯剪耦合问题的主要矛盾所在。本文从高效、简明解决工程实际问题的角度考虑，采用平均翘曲修正法推导工字形截面解析计算公式。

将纵向位移分解为Euler梁弯曲引起的部分和剪力引起的附加翘曲部分。由工字形梁示意图 2得到任意点处的纵向位移u(x, y, z)可表达为

$ u(x, y, z)=-z w^{\prime}(x)+\varphi(y, z) f(x). $

(1)

式中：w(x)表示梁的挠曲位移，φ(y, z)是翘曲形函数，f(x)是翘曲形函数沿梁轴向的强度函数。

在翘曲形函数的研究方面，自Reissner以来，众多学者分别就纵向翘曲沿周线分布函数给出了高阶抛物线型、三角函数型、指数型和悬链线型翘曲形函数假设。文[15]通过对比二维弹性理论数值分析及实测结果认为，均布荷载作用下翘曲函数呈二次抛物线分布，而跨中集中荷载作用下翘曲函数呈三次抛物线分布。文[16]通过变分推导认为抛物线阶数越高越接近试验值。文[17]通过辛弹性力学对T梁的推导发现，悬臂T梁在均布荷载或在自由端集中荷载作用下纵向位移函数呈二次抛物线变化，在线性荷载作用下位移函数呈四次抛物线变化。文[10, 13]从纵向位移差和剪应变的关系角度论证了翼缘、腹板处翘曲函数呈二、三阶抛物线型分布。从上述研究结果可知，翘曲形函数与截面形式及结构受力有关，但文[18-19]表明，通过翘曲函数的选择难以达到提高求解精度的目的，在不同分析域内不同荷载对弯剪耦合效应的影响各有不同，而三角函数可以通过Taylor公式展开为高阶抛物线形式，更具普适性，且文[20]已证明其具有较好的收敛性和较高的精度。故本文翘曲形函数φ(y, z)为

$ \varphi (y,z) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin \frac{{\pi y}}{{{b_i}}} + d,}&{z \le - {h_1},z \ge {h_2},}\\ {\sin \frac{{\pi z}}{{2\left( {{h_1} + {h_2}} \right)}} + d,}&{ - {h_1} < z < {h_2}.} \end{array}} \right. $

(2)

为了保持截面上翘曲应力引起的轴力自平衡，令$E\int_A \varphi (y, z){f^\prime }(x){\rm{d}}A = 0$，得修正系数d为

$ d = \left( {{h_1} + {h_2}} \right)\frac{{\sum\limits_{i = 1}^2 {{{( - 1)}^{i + 1}}} \cos \frac{{\pi {h_i}}}{{2\left( {{h_1} + {h_2}} \right)}}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {{b_1} + {b_2} + {h_1} + {h_2}} \right)}}. $

(3)

式中：A为梁截面面积，E为弹性模量。

2 静荷载控制微分方程的建立及其解法 2.1 控制微分方程推导

根据弹性力学原理，纵向应变ε_x为

$ {\varepsilon _x} = \frac{{\partial u(x,y,z)}}{{\partial x}} = - z{w^{\prime \prime }}(x) + \varphi (y,z){f^\prime }(x). $

(4)

以往研究中为简化运算过程，忽略了挠度随梁长的变化，在翼缘中剪应变表达为γ_xy=du/dy，在腹板中表达为γ_xz=du/dz。本文按工字形截面剪力流分布模式，推导剪应变为

$ {\gamma _{xs}} = \frac{{\partial u(x,y,z)}}{{\partial s}} + \frac{{\partial w(x)}}{{\partial x}}. $

(5)

式中s代表y或z。

由弹性理论可知，工字形梁的应变能表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{U_e} = \frac{1}{2}\iiint {\left( {E\varepsilon _x^2 + G\gamma _{xs}^2} \right)}{\text{d}}x{\text{d}}y{\text{d}}z = } \\ {\frac{1}{2}\int {\left[ {E\left( {{I_1}{{w''}^2} + {I_2}{{f'}^2} - 2{I_3}w''f'} \right) + } \right.} } \\ {\left. {G\left( {{I_4}{{w'}^2} + {I_5}{f^2} + 2{I_6}w'f} \right)} \right]{\text{d}}x = } \\ {\frac{1}{2}{I_1}\int {\left[ {E\left( {{\alpha _1}{w^{\prime \prime 2}} + {\alpha _2}{f^{\prime 2}} - 2{\alpha _3}{w^{\prime \prime }}{f^\prime }} \right) + } \right.} } \\ {G\left( {{\alpha _4}{w^{\prime 2}} + {\alpha _5}{f^2} + 2{\alpha _6}w'f} \right)]{\text{d}}x.} \end{array} $

(6)

式中：

$ I_{1}=\int_{A} \boldsymbol{z}^{2} \mathrm{d} A, I_{2}=\int_{A} \varphi^{2} \mathrm{d} A, $

$ I_{3}=\int_{A} z \varphi \mathrm{d} A, I_{4}=\sum\limits_{i=1}^{2} b_{i} t_{i}, $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{I_5} = \sum\limits_{i = 1}^2 {{t_i}} \int_{ - \frac{{{b_i}}}{2}}^{\frac{{{b_i}}}{2}} {{{\left[ {\frac{{\partial \varphi (y,z)}}{{\partial y}}} \right]}^2}} {\rm{d}}y + }\\ {{t_{\rm{w}}}\int_{ - {h_1}}^{{h_2}} {{{\left[ {\frac{{\partial \varphi (y,z)}}{{\partial z}}} \right]}^2}} {\rm{d}}z,} \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{I_6} = \sum\limits_{i = 1}^2 {{t_i}} \int_{ - \frac{{{b_i}}}{2}}^{\frac{{{b_i}}}{2}} {\frac{{\partial \varphi (y,z)}}{{\partial y}}} {\rm{d}}y,}\\ {{\alpha _i} = \frac{{{I_i}}}{{{I_1}}}(i = 1,2, \cdots ,6).} \end{array} $

其中G为剪切模量。

梁受弯时的外力势能为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V = - \int_0^l q (x)w(x){\rm{d}}x + Q(x)w\left. {(x)} \right|_0^l + }\\ {M(x){w^\prime }\left. {(x)} \right|_0^l.} \end{array} $

(7)

式中：l为梁长，q(x)为梁所受分布荷载，M(x)和Q(x)分别为梁某一截面处的弯矩和剪力。

体系总势能表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\Pi } = {U_{\rm{e}}} - V = }\\ {\frac{1}{2}{I_1}\int {\left[ {E\left( {{\alpha _1}{w^{\prime \prime 2}} + {\alpha _2}{f^{\prime 2}} - 2{\alpha _3}{w^{\prime \prime }}{f^\prime }} \right) + } \right.} }\\ {G\left( {{\alpha _4}{w^{\prime 2}} + {\alpha _5}{f^2} + 2{\alpha _6}{w^\prime }f} \right)]{\rm{d}}x - \int_0^l q w{\rm{d}}x.} \end{array} $

(8)

由最小势能原理的驻值条件δП=0，对式(8)变分运算后得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\delta \mathit{\Pi } = \delta \frac{1}{2}{I_1}\int {\left[ {E\left( {{\alpha _1}{w^{\prime \prime 2}} + {\alpha _2}{f^{\prime 2}} - 2{\alpha _3}{w^{\prime \prime }}{f^\prime }} \right) + } \right.} }\\ {G\left( {{\alpha _4}{w^{\prime 2}} + {\alpha _5}{f^2} + 2{\alpha _6}{w^\prime }f} \right)]{\rm{d}}x - \delta \int_0^l q w{\rm{d}}x = 0.} \end{array} $

(9)

将式(9)分部积分整理后可得控制微分方程：

$ {\alpha _1}{w^{(4)}} - {\alpha _3}{f^{\prime \prime \prime }} - \frac{G}{E}{\alpha _4}{w^{\prime \prime }} - \frac{G}{E}{\alpha _6}{f^\prime } - \frac{q}{{E{I_1}}} = 0, $

(10)

$ {\alpha _2}{f^{\prime \prime }} - {\alpha _3}{w^{\prime \prime \prime }} - \frac{G}{E}{\alpha _5}f - \frac{G}{E}{\alpha _6}{w^\prime } = 0, $

(11)

$ \left( {{\alpha _1}{w^{\prime \prime \prime }} - {\alpha _3}{f^{\prime \prime }} - \frac{G}{E}{\alpha _4}{w^\prime } - \frac{G}{E}{\alpha _6}f - Q} \right)\delta \left. w \right|_0^l = 0, $

(12)

$ \left( {{\alpha _1}{w^{\prime \prime }} - {\alpha _3}{f^\prime } + M} \right)\delta \left. {{w^\prime }} \right|_0^l = 0, $

(13)

$ \left( {{\alpha _2}{f^\prime } - {\alpha _3}{w^{\prime \prime }}} \right)\delta \left. f \right|_0^l = 0. $

(14)

其中式(12)—(14)为边界条件。

2.2 方程组求解

将微分方程式(10)和(11)整理代换，消去f(x)项后，可得

$ {w^{(6)}} + {A_1}{w^{(4)}} - {A_2}{w^{\prime \prime }} - \frac{{Gq\left( {{\alpha _6} - {\beta _3}} \right)}}{{{E^2}{\alpha _3}{\beta _1}{I_1}}} = 0. $

(15)

式中：

$ A_{1}=-\frac{G}{E} \frac{\left(\alpha_{1} \beta_{3}+\alpha_{3} \beta_{2}-\beta_{1} \alpha_{6}\right)}{\alpha_{3} \beta_{1}}, $

$ {A_2} = \frac{{{G^2}}}{{{E^2}}}\frac{{\left( {{\beta _2}{\alpha _6} - {\beta _3}{\alpha _4}} \right)}}{{{\alpha _3}{\beta _1}}},{\beta _1} = {\alpha _1} - \frac{{\alpha _3^2}}{{{\alpha _2}}}, $

$ {\beta _2} = \frac{{{\alpha _3}{\alpha _6}}}{{{\alpha _2}}} + {\alpha _4},{\beta _3} = {\alpha _6} + \frac{{{\alpha _3}{\alpha _5}}}{{{\alpha _2}}},{\beta _4} = {\alpha _4} + \frac{{\alpha _6^2}}{{{\alpha _5}}}. $

对式(15)分析求解，可知其特征方程解为

$ \eta_{1,2}=\sqrt{\frac{-A_{1} \pm \sqrt{A_{1}^{2}+4 A_{2}}}{2}}. $

从而积分得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {w(x) = {C_{{\rm{s}}1}}x + \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( {{C_{{\rm{s}}2i}}{\mathop{\rm ch}\nolimits} {\eta _i}x + } \right.} }\\ {{C_{{\rm{s}}2i + 1}}{\mathop{\rm sh}\nolimits} {\eta _i}x) + {C_{{\rm{s}}6}} - MF,} \end{array} $

(16)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = \sum\limits_{i = 1}^2 {{\eta _i}} \left( {{C_{{\rm{s}}2 + {2^{i - 1}}}}{\mathop{\rm sh}\nolimits} {\eta _i}x + } \right.}\\ {{C_{{\rm{s}}3 + {2^{i - 1}}}}{\mathop{\rm ch}\nolimits} {\eta _i}x){D_i} + QF + \frac{{{C_{{\rm{s}}1}}{\alpha _6}}}{{{\alpha _5}}}.} \end{array} $

(17)

式中：

$ {D_i} = \frac{{\frac{{{E^2}}}{{{G^2}}}{\alpha _2}{\beta _1}\eta _i^4 - {\alpha _6}{\beta _3} - \frac{E}{G}\left( {{\alpha _2}{\beta _2} + {\alpha _3}{\beta _3}} \right)\eta _i^2}}{{{\beta _3}{\alpha _5}}}, $

$ F = \frac{{\left( {{\alpha _6} - {\beta _3}} \right)}}{{G{I_1}\left( {{\beta _3}{\alpha _4} - {\beta _2}{\alpha _6}} \right)}}. $

其中C_si(i=1, 2, …, 6)是积分常数，通过边界条件可以求得。

3 静荷载作用下的方程解析解

本文仅讨论梁在两端简支的情况，其他支撑如悬臂梁、两端固支等，以弯矩零点分隔等效为图 3情况。

3.1 集中荷载作用下的方程积分常数

简支梁在集中荷载作用下的弯矩和剪力可分别表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{M_1}(x) = \frac{{pbx}}{l},{Q_1}(x) = \frac{{pb}}{l},\quad \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le x \le a;}\\ {{M_2}(x) = \frac{{pa(l - x)}}{l},{Q_2}(x) = - \frac{{pa}}{l},\quad a < x \le l.} \end{array}} \right. $

简支梁集中荷载作用下边界条件为：

$ \left.w\right|_{0} ^{l}=0,\left.w^{\prime \prime}\right|_{0} ^{l}=0,\left.f^{\prime}\right|_{0} ^{l}=0, $

$ \left. {\left( {{\alpha _1}{w^{\prime \prime \prime }} - {\alpha _3}{f^{\prime \prime }} - \frac{G}{E}{\alpha _4}{w^\prime } - \frac{G}{E}{\alpha _6}f - Q} \right)} \right|_0^l = 0, $

$ w_{1}(a)=w_{2}(a), w_{1}^{\prime}(a)=w_{2}^{\prime}(a), $

$ w_{1}^{\prime \prime}(a)=w_{2}^{\prime \prime}(a), f_{1}(a)=f_{2}(a). $

通过边界条件可得

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{\rm{s1}}}}}\\ {{C_{{\rm{s2}}}}}\\ {{C_{{\rm{s3}}}}}\\ {{C_{{\rm{s4}}}}}\\ {{C_{{\rm{s5}}}}}\\ {{C_{{\rm{s6}}}}}\\ {{C_{{\rm{s7}}}}}\\ {{C_{{\rm{s8}}}}}\\ {{C_{{\rm{s9}}}}}\\ {{C_{{\rm{s10}}}}}\\ {{C_{{\rm{s11}}}}}\\ {{C_{{\rm{s12}}}}} \end{array}} \right] = \\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&l&{{\rm{ch}}{\eta _1}l}&{{\rm{sh}}{\eta _1}l}&{{\rm{ch}}{\eta _2}l}&{{\rm{sh}}{\eta _2}l}&1\\ 0&{\eta _1^2}&0&{\eta _2^2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&{\eta _1^2{\rm{ch}}{\eta _1}l}&{\eta _1^2{\rm{sh}}{\eta _1}l}&{\eta _2^2{\rm{ch}}{\eta _2}l}&{\eta _2^2{\rm{sh}}{\eta _2}l}&0\\ 0&{\eta _1^2{D_1}}&0&{\eta _2^2{D_2}}&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&{\eta _1^2{D_1}{\rm{ch}}{\eta _1}l}&{\eta _1^2{D_1}{\rm{sh}}{\eta _1}l}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{ch}}{\eta _2}l}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{sh}}{\eta _2}l}&0\\ a&{{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{{\rm{ch}}{\eta _2}a}&{{\rm{sh}}{\eta _2}a}&1&a&{{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{{\rm{ch}}{\eta _2}a}&{{\rm{sh}}{\eta _2}a}&1\\ 1&{{\eta _1}{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{{\eta _1}{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{{\eta _2}{\rm{sh}}{\eta _2}a}&{{\eta _2}{\rm{ch}}{\eta _2}a}&0&1&{{\eta _1}{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{{\eta _1}{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{{\eta _2}{\rm{ch}}{\eta _2}a}&{{\eta _2}{\rm{ch}}{\eta _2}a}&0\\ 0&{\eta _1^2{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{\eta _1^2{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{\eta _2^2{\rm{ch}}{\eta _2}a}&{\eta _1^2{\rm{sh}}{\eta _1}a}&0&0&{\eta _1^2{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{\eta _1^2{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{\eta _2^2{\rm{ch}}{\eta _2}a}&{\eta _1^2{\rm{sh}}{\eta _1}a}&0\\ 0&{\eta _1^2{D_1}{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{\eta _1^2{D_1}{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{ch}}{\eta _2}a}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{sh}}{\eta _2}a}&0&0&{\eta _1^2{D_1}{\rm{ch}}{\eta _1}a}&{\eta _1^2{D_1}{\rm{sh}}{\eta _1}a}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{ch}}{\eta _2}a}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{sh}}{\eta _2}a}&0\\ { - \frac{G}{E}{\beta _4}}&0&{{H_{{\rm{s1}}}}}&0&{{H_{{\rm{s2}}}}}&0&{ - \frac{G}{E}{\beta _4}}&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&{ - \frac{G}{E}{\beta _4}}&{{H_{{\rm{s1}}}}{\rm{sh}}{\eta _1}l}&{{H_{{\rm{s2}}}}{\rm{ch}}{\eta _1}l}&{{H_{{\rm{s1}}}}{\rm{sh}}{\eta _2}l}&{{H_{{\rm{s2}}}}{\rm{ch}}{\eta _2}l}&0 \end{array}} \right]^{ - 1}} ~~~(18)\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ { - pF}\\ { - pF}\\ {pF}\\ {pF}\\ {\left( {{M_1} - {M_2}} \right)F}\\ {\left( {{Q_1} - {Q_2}} \right)F}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]. $

式中${H_{si}} = {\alpha _1}\eta _i^3 - {\alpha _3}\eta _i^3{D_1} - \frac{G}{E}\{ {\alpha _4}{\eta _i} + {\alpha _6}{\eta _i}{D_2})$。

3.2 均布荷载作用下的方程积分常数

简支梁在均布荷载作用下的弯矩和剪力可分别表示为：

$ M(x)=\frac{q x(l-x)}{2}, Q(x)=\frac{q(l-2 x)}{2}. $

简支梁均布荷载作用下边界条件为：

$ \left.w\right|_{0} ^{l}=0,\left.w^{\prime \prime}\right|_{0} ^{l}=0,\left.f^{\prime}\right|_{0} ^{l}=0. $

通过边界条件可得

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{{\rm{s1}}}}}\\ {{C_{{\rm{s2}}}}}\\ {{C_{{\rm{s3}}}}}\\ {{C_{{\rm{s4}}}}}\\ {{C_{{\rm{s5}}}}}\\ {{C_{{\rm{s6}}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&1&0&1\\ l&{{\rm{ch}}{\eta _1}l}&{{\rm{sh}}{\eta _1}l}&{{\rm{ch}}{\eta _2}l}&{{\rm{sh}}{\eta _2}l}&1\\ 0&{\eta _1^2}&0&{\eta _2^2}&0&0\\ 0&{\eta _1^2{\rm{ch}}{\eta _1}l}&{\eta _1^2{\rm{sh}}{\eta _1}l}&{\eta _2^2{\rm{ch}}{\eta _2}l}&{\eta _2^2{\rm{sh}}{\eta _2}l}&0\\ 0&{\eta _1^2{D_1}}&0&{\eta _2^2{D_2}}&0&0\\ 0&{\eta _1^2{D_1}{\rm{ch}}{\eta _1}l}&{\eta _1^2{D_1}{\rm{sh}}{\eta _1}l}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{ch}}{\eta _2}l}&{\eta _2^2{D_2}{\rm{sh}}{\eta _2}l}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ { - qF}\\ { - qF}\\ {qF}\\ {qF} \end{array}} \right]. $

(19)

3.3 弯曲正应力解

把式(18)、(19)代入式(4)，即可得弯曲正应力，

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _{{\rm{s}}x}} = E{\varepsilon _{{\rm{s}}x}} = E\frac{{\partial u(x,y,z)}}{{\partial x}} = }\\ {E\left[ { - z{w^{\prime \prime }}(x) + \varphi (y,z){f^\prime }(x)} \right] = E\sum\limits_{i = 1}^2 {\eta _i^2} \left( {{D_i}\varphi - z} \right) \cdot }\\ {\left( {{C_{{\rm{s}}2 + {2^{i - 1}}}}{\mathop{\rm ch}\nolimits} {\eta _i}x + {C_{{\rm{s}}3 + {2^{i - 1}}}}{\mathop{\rm sh}\nolimits} {\eta _i}x} \right) - EqF(z - \varphi ).} \end{array} $

(20)

4 工字形梁固有频率方程解析解

与静荷载分析过程相同，仅将符号替换为时间相关项。考虑到工字形梁中竖向振动的主导作用，结构的总动能为

$ T = \frac{1}{2}\rho A\int_0^l {{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x. $

(21)

式中ρ为材料密度。

根据Hamilton原理δ∫(T－Π)dt=0，将式(8)和(21)代入，得控制微分方程为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rho A}}{{E{I_1}}}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} + {\alpha _1}{w^{(4)}} - {\alpha _3}{f^{\prime \prime \prime }} - }\\ {\frac{G}{E}{\alpha _4}{\omega ^{\prime \prime }} - \frac{G}{E}{\alpha _6}{f^\prime } = 0,} \end{array} $

(22)

$ {\alpha _2}{f^{\prime \prime }} - {\alpha _3}{w^{\prime \prime }} - \frac{G}{E}{\alpha _5}f - \frac{G}{E}{\alpha _6}{w^\prime } = 0. $

(23)

所得边界条件与静荷载分析结果一致。

由文[21]可知，w(x, t)和f(x, t)沿工字形梁轴线分布，正弦函数和余弦函数均可对其进行较好的描述，进而考虑到工字形梁的多阶振动，取

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {w(x,t) = {w_0}\sin \left( {\frac{{n{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{l}} \right)\sin (\omega t + \theta ),}\\ {f(x,t) = {f_0}\cos \left( {\frac{{n{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{l}} \right)\sin (\omega t + \theta ).} \end{array}} \right. $

(24)

把式(24)代入式(22)和(23)，整理代换得

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1} - \frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^4}}}{{{l^4}}} - \frac{{\rho A}}{{E{I_1}}}{\omega ^2} + {\alpha _4}\frac{G}{E}\frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{l^2}}}}&{{\alpha _6}\frac{G}{E}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{l} - {\alpha _3}\frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^3}}}{{{l^3}}}}\\ {{\alpha _3}\frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^3}}}{{{l^3}}} - {\alpha _6}\frac{G}{E}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{l}}&{ - {\alpha _2}\frac{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{{l^2}}} - {\alpha _5}\frac{G}{E}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_0}}\\ {{f_0}} \end{array}} \right] = 0. $

(25)

式(25)是关于w₀、f₀的非零解，可知其系数行列式为0，由此固有频率为

$ \omega=\lambda_{\mathrm{n}}\left(\frac{n \pi}{l}\right)^{2} \sqrt{\frac{E I}{\rho A}}. $

(26)

式中λ_n为工字形梁固有频率剪切影响系数，

$ {\lambda _{\rm{n}}} = 1 + {\alpha _4}\frac{G}{E}\frac{{{l^2}}}{{{n^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}} - \frac{{{{\left[ {\left( {{\alpha _3}{n^3}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^3} - \frac{G}{E}{\alpha _6}n{\rm{ \mathsf{ π} }}{l^2}} \right)l} \right]}^2}}}{{{n^4}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^4}\left( {{\alpha _2}{n^2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2} + \frac{G}{E}{\alpha _5}{l^2}} \right)}}. $

当λ_n=1时，式(26)与传统Euler梁理论解一致。

5 分析验证

ANSYS有限元软件中SHELL63单元为4节点6自由度形式，可较真实地反映网格点在三维空间中运动、受力情况，该模拟方法已通过箱梁实验验证^[22]，其误差主要来自于网格密度和有限元系统误差。在超限结构中，针对特殊复杂结构，为防止软件间系统误差的存在，需采用两种有限元软件对比分析互相验证，文[6]即是如此，采用MADIS与ANSYS进行箱梁应力、变形分析，由此明确了SHELL63单元的可行性。故本文采用网格间距为0.01 m的SHELL63壳单元，建立限制侧向扭转变形、两端简支约束的空间板壳有限元工字形截面梁，评价本文及现有解析方法的正确性及适用性。梁材料参数及几何参数为：E=210 GPa，μ=0.30，H=1.0 m，t₁=t₂=0.02 m，t_w=0.03 m；荷载：均布力q(x)=2.1×10³ kN/m；集中力P(l/2)=2.1×10³ kN。

《钢结构设计标准》GB 50017—2017^[23]和文[9]已明确提出，主梁设计时梁长、梁高的比值(跨高比)大小直接影响到未考虑剪切效应的Euler解计算精度，而梁高与腹板厚度的高厚比应由局部稳定条件确定。根据文[24]所述，还应考虑翼缘宽度(跨宽比)，而翼板厚度应根据构造条件设计，为梁高的函数。故为便于参数化分析，引入跨高比ξ=l/h、跨宽比Φ=l/b₂、剪切影响系数λ=σ_x/σ_Euler(σ_x为不同方法弯曲正应力，σ_Euler为Euler弯曲正应力)。

图 4a给出了均布荷载作用下该梁(Φ=2)跨中剪切影响系数λ沿翼缘宽度的分布；图 4b给出了不同跨高比下最大应力处剪切影响系数λ随跨宽比Φ的变化。本文解为考虑全截面剪切变形作用，文[11]仅考虑腹板剪切变形作用，文[3]中当k=0时即为仅考虑翼缘剪滞作用。图 5a给出了集中荷载作用下该梁(Φ=2)跨中剪切影响系数λ沿翼缘宽度的分布；图 5b给出了不同跨高比下最大应力处剪切影响系数λ随跨宽比Φ的变化。文[25]中腹板剪切变形位移假设推广至工字形截面即为考虑腹板剪切变形作用。根据文[26]所述，在实际工程中，一阶频率为主控频率，故本文仅针对其进行分析。图 6给出了不同跨高比下固有频率的剪切影响系数λ_n随跨宽比Φ的变化。

1) 从图 4可以看出，在均布荷载作用下，本文方法与有限元模拟结果最为接近。在ξ=3~8、=2~5区间内误差不超过5%，偏于安全；文[9]没有考虑翼缘剪滞作用，不能反映剪切效应随翼缘的变化。在本文分析区间内，最小误差为8.41%(ξ=4, Φ=3)，最大误差为60.33%(ξ=8, Φ=1)，仅在ξ=3~4、Φ=3~5区间内有一定参考价值；文[3]未考虑腹板剪切变形作用，在ξ=4~8、Φ=4~5区间内误差不超过5%；而Euler解最小误差为9%(ξ=8, Φ=5)，最大误差达到140%(ξ=2, Φ=1)，无法满足工程设计需求。进一步放大误差点处应力计算结果可直观看出，本文解较为安全，仅考虑翼缘剪滞影响时计算结果与本文解相近，但偏于危险。文[9]解应力水平较高，但对危险点判断不足，Euler解甚至低于翼缘最小应力。

2) 进一步分析可知：(1)沿翼缘宽度方向剪切影响系数呈钟形分布，剪滞与弯剪耦合效应较为显著，两者对弯曲正应力有较大影响；(2)跨高比、跨宽比是弯曲正应力的两个最主要的影响因素，且影响趋势一致，当跨高比与跨宽比越小时，剪切影响系数越大；(3)当跨高比ξ=8、跨宽比Φ=5时，各种方法计算结果相对误差均未超过3%，由此可知随着跨高比与跨宽比逐渐增大，剪切影响系数逐渐降低，各种方法解收敛于Euler解。

3) 从图 5可以看出，在集中荷载作用下剪切系数变化趋势与均布荷载作用下一致，但剪切效应影响更为显著，误差也较均布荷载工况下有所增加，此时Euler解在跨高比小于3时不再适用，最小误差达到29%，与文[27]所述相符；相比于相关文献推导解，本文解更为精确，在ξ=2~8、Φ=3~5区间内可用于设计参考。进一步放大误差点处应力计算结果发现，有别于均布荷载作用，本文解和仅考虑翼缘剪滞影响情况的弯曲正应力值仍具有一定误差，但沿翼缘分布总体偏差较小，同时文[11]解应力水平较高但仍小于最大应力，而此时Euler解已无法使用。

4) 从图 6可以看出，考虑截面剪切效应时的固有频率小于未考虑剪切效应的固有频率，固有频率随跨高比和跨宽比变化趋势与前述一致。由此，若以水工钢闸门主梁为例，Euler梁固有频率计算结果偏大，激发频率考虑不足，设计结果偏于危险。当跨高比小于4、跨宽比小于3时不再适用。本文与文[3]解计算结果相近，在ξ=3~8、Φ=3~5区间内可用于设计参考，本文解最大误差为27.87%，文[3]解最大误差为32.40%。同时，根据计算结果反思，本文为得到更为简明的固有频率计算方法，仅假定挠度及强度函数为含一个未知量的三角函数，若要得到精度更高的精确解，可通过扩展三角函数实现。

6 结论

本文基于能量变分法考虑工字形宽翼深梁全截面剪切效应影响，合理选取了纵向位移函数及翘曲形函数，从而推导了均布荷载及集中荷载作用下工字形宽翼深梁的挠度、弯曲正应力及固有频率的计算方法。

通过数值模拟分析评价了本文及现有弯曲正应力解析计算方法的适用性，结果表明：本文解析公式比现有计算方法精度更高，适用范围更广，可用于工程设计。

由剪切影响系数曲线分析可知：跨高比与跨宽比越小，剪切效应越明显；集中荷载作用下，剪切效应较均布荷载作用更为显著；然而，计算得到的固有频率均小于传统Euler梁计算结果，偏于危险。