商用车原地转向时转向阻力矩最大，而且随着转向角变大而逐渐变大，因此原地转向阻力矩大小是各种助力转向系统设计的研究重点之一^[1-7]。

原地转向工况下，根据产生原因不同，转向阻力矩可分为重力回正力矩和转向摩擦阻力矩。重力回正力矩与车轮垂直载荷、车轮定位参数、转向角、车轮静力半径等车辆结构参数有关，目前常采用一些经验公式^[8-14]计算。转向摩擦阻力矩与转向轮垂直载荷、轮胎材料、地面附着情况有关，目前同样多采用一些经验公式^[15-16]计算。也有一些学者将LuGre摩擦理论引入轮胎与地面作用力分析中，建立了轮胎回正力矩模型^[17]，根据该模型计算可得到回正力矩与侧偏角的关系，但是不能直接得到回正力矩与转向角或转向盘转角的关系。

本文将在整车与转向系统动力学分析基础上，得出商用车重力回正力矩模型，并借助LuGre摩擦模型建立轮胎与地面间摩擦阻力矩模型，从而构建商用车原地转向阻力矩模型，并进行试验验证。

1 重力回正力矩模型

如图 1—3所示，以后轴质心o为坐标原点，以车辆水平静止时水平纵轴线为x轴，指向车辆前进方向为正方向，y轴与x轴垂直且同处于水平面内，指向车辆左侧为正方向，z轴根据右手定则确定，垂直向上为正方向，建立整车坐标系。

为便于分析，做以下假设：

1) 车辆所处地面平整硬实；

2) 转向系统各部件均为刚性；

3) 悬架纵向无变形；

4) 原地转向时整车及各部件速度忽略不计；

5) 忽略转向系统各部件间摩擦。

首先定义如下函数：

$ \boldsymbol{T}(x, y, z)=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {x} \\ {0} & {1} & {0} & {y} \\ {0} & {0} & {1} & {z} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right], $

(1)

$ \boldsymbol{R}_{\mathrm{x}}(\alpha)=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {\cos \alpha} & {-\sin \alpha} & {0} \\ {0} & {\sin \alpha} & {\cos \alpha} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right], $

(2)

$ \boldsymbol{R}_{\mathrm{y}}(\alpha)=\left[\begin{array}{cccc}{\cos \alpha} & {0} & {\sin \alpha} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {-\sin \alpha} & {0} & {\cos \alpha} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right], $

(3)

$ \boldsymbol{R}_{\rm z}(\alpha)=\left[\begin{array}{cccc}{\cos \alpha} & {-\sin \alpha} & {0} & {0} \\ {\sin \alpha} & {\cos \alpha} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right]. $

(4)

如图 2所示，车辆原地转向时，前轴绕车辆纵轴线及后轴轴线转动，前轴质心坐标由(L, 0, 0)变为(x_fa, y_fa, z_fa)，前轴上各点的坐标变换矩阵为

$ \boldsymbol{R}_{\mathrm{fa}}=\boldsymbol{T}_{\mathrm{fa}}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{fay}}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{fax}}^{-1} \cdot \boldsymbol{T}_{\mathrm{ra2fa}}. $

(5)

其中：T_fa=T(x_fa, y_fa, z_fa)，T_ra2fa=T(L, 0, 0)，R_fay=R_y(φ_fay)，R_fax=R_x(φ_fax)，L为轴距，φ_fax、φ_fay为前轴绕整车坐标系x轴和y轴的转角。

如图 3所示，左右转向轮总成绕各自主销转动的坐标变换矩阵分别为：

$ \boldsymbol{R}_{1}=\boldsymbol{T}_{\mathrm{k} 11}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{x} 1}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{y}}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{z1}} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{y}} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{x} 1} \cdot \boldsymbol{T}_{\mathrm{k11}}, $

(6)

$ \boldsymbol{R}_{2}=\boldsymbol{T}_{\mathrm{k} 21}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{x} 2}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{y}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{z2}} \cdot \boldsymbol{R}_{\text{y}} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{x} 2} \cdot \boldsymbol{T}_{\mathrm{k} 21}. $

(7)

其中：$\boldsymbol{T}_{\mathrm{k1} 1}=T\left(-L-n_{\mathrm{k}}, -\frac{B_{\mathrm{f}}}{2}-L_{\mathrm{k}}+n_{0}, r\right)$, $\boldsymbol{T}_{\mathrm{k} 21}=T\left(-L-n_{\mathrm{k}}, \frac{B_{\mathrm{f}}}{2}+L_{\mathrm{k}}+n_{0}, r\right), \boldsymbol{R}_{\mathrm{x} 1}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{x}}(\sigma)$, $\boldsymbol{R}_{\mathrm{y}}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{y}}\left(\tau^{\prime}\right), \tau^{\prime}=\tan ^{-1}(\cos \sigma \tan \tau), \boldsymbol{R}_{\mathrm{zl}}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{z}}\left(\delta_{1}\right)$, $\boldsymbol{R}_{\mathrm{x} 2}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{x}}(-\sigma), \boldsymbol{R}_{z 2}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{z}}\left(\delta_{2}\right), n_{\mathrm{k}}$为主销后倾拖距，B_f为前轴轴线与左右转向主销轴线交点间距离，L_k为车辆水平静止时车轮旋转轴线与转向主销轴线交点至同侧车轮接地中心的水平横向距离，n₀为主销延长线与地面的交点到车轮轮心的横向距离，r为车轮静力半径，σ、τ分别为主销外倾角和主销后倾角，δ₁、δ₂分别为左右转向轮总成绕各自主销的转角。

转向摇臂上点绕摇臂轴转动的坐标变换矩阵为

$ \boldsymbol{R}_{\mathrm{g} 2}=\boldsymbol{T}_{\mathrm{g} 2}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{g} 2 \mathrm{x}}^{-1} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{g} 2 \mathrm{y}} \cdot \boldsymbol{R}_{\mathrm{g} 2 \mathrm{x}} \cdot \boldsymbol{T}_{\mathrm{g} 2}. $

(8)

其中：$\boldsymbol{T}_{\mathrm{g} 2}=\boldsymbol{T}\left(-L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{x}}-L_{\mathrm{b}}, -L_{\mathrm{gly}}, \quad L_{\mathrm{g} 2_{\mathrm{z}}}-h_{\mathrm{b}}\right), $$\boldsymbol{R}_{\mathrm{g} 2 \mathrm{x}}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{x}}\left(\theta_{0}\right), \boldsymbol{R}_{\mathrm{g2y}}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{y}}\left(\theta_{\mathrm{g1}}\right), \left(L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{x}}, L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{y}}, L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{z}}\right)$为纵拉杆轴线与转向摇臂轴线交点D的坐标，L_b、h_b为车身质心至后轴质心的纵向和垂向距离，θ₀为转向机输入轴与yoz平面的夹角，θ_g1为转向机输入轴绕自身轴线的转角，其与转向盘转角θ_s之间的关系为

$ \theta_{\mathrm{s}}=\theta_{\mathrm{g} 1} \cdot i_{\mathrm{g}}. $

(9)

其中i_g为转向机传动比。

根据上述坐标变换关系，左右转向轮接地印迹中心随左右转向轮总成运动后坐标为：

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 1}=\boldsymbol{R}_{1}\left[\begin{array}{ll}{L} & {\frac{B_{\mathrm{f}}}{2}+L_{\mathrm{k}}} & {-r} & {1}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}, $

(10)

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 2}=\boldsymbol{R}_{2}\left[\begin{array}{cc}{L} & {-L_{\mathrm{k}}-\frac{B_{\mathrm{f}}}{2}} & {-r} & {1}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

(11)

由此可得车辆原地转向过程中，

$ \varphi_{\mathrm{fax}}=-\arctan \frac{\boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 1}(3)-\boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 2}(3)}{\boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 1}(2)-\boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 2}(2)}. $

(12)

如图 4所示，纵拉杆轴线与转向节臂轴线交点B的坐标(L_bx, L_by, L_bz)，D、B两点随前轴、转向轮总成和转向系统运动后坐标分别为：

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{D}}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{g}{2}}\left[L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{x}}+L_{\mathrm{b}} \quad L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{y}} \quad-L_{\mathrm{g} 2_{\mathrm{z}}}+h_{\mathrm{b}}-l_{\mathrm{g} 2} \quad 1\right]^{\mathrm{T}}, $

(13)

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{B}}=\boldsymbol{R}_{1}\left[\begin{array}{llll}{L_{\mathrm{bx}}} & {L_{\mathrm{by}}} & {L_{\mathrm{bz}}} & {1}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

(14)

其中l_g2为摇臂长度。

横拉杆轴线与左右转向梯形臂交点随转向轮总成运动后坐标分别为

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{TL}}=\boldsymbol{R}_{1}\left[L-L_{3} \sin \alpha \quad \frac{B_{\mathrm{f}}}{2}-L_{3} \cos \alpha \quad L_{\mathrm{tz}} \quad 1\right]^{\mathrm{T}}, $

(15)

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{TR}}=\boldsymbol{R}_{2}\left[L-L_{3} \sin \alpha \quad L_{3} \cos \alpha-\frac{B_{\mathrm{f}}}{2} \quad L_{\mathrm{tz}} \quad 1\right]^{\mathrm{T}}. $

(16)

其中：L₃为转向梯形臂长度，α、L_tz分别为转向盘处于中间位置时转向梯形左臂轴线与前轴轴线夹角和转向梯形臂轴线与横拉杆轴线交点的垂向坐标。

左右转向轮接地印迹中心随转向轮总成和前轴运动后坐标为：

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 11}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{fa}} \boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 1}, $

(17)

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 12}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{fa}} \boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 2}. $

(18)

根据对转向系统各部件刚性假设和左右转向轮接地印迹中心的垂向坐标不变，可得以下约束条件：

$ \left\|\boldsymbol{r}_{\mathrm{D}}-\boldsymbol{r}_{\mathrm{B}}\right\|=\left\|\left[\begin{array}{c}{L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{x}}+L_{\mathrm{b}}} \\ {L_{\mathrm{g} 2 \mathrm{y}}} \\ {-L_{\mathrm{g} 2 z}+h_{\mathrm{b}}-l_{\mathrm{g} 2}} \\ {1}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{L_{\mathrm{bx}}} \\ {L_{\mathrm{by}}} \\ {L_{\mathrm{bz}}} \\ {1}\end{array}\right]\right\|, $

(19)

$ \left\|\boldsymbol{r}_{\mathrm{TL}}-\boldsymbol{r}_{\mathrm{TR}}\right\|=\left|B_{\mathrm{f}}-2 L_{3} \cos \alpha\right|, $

(20)

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 11}(3)=\boldsymbol{r}_{\mathrm{T} 12}(3)=-r. $

(21)

车辆水平静止时质心坐标为(b, 0, h_zb)，车辆原地转向过程中质心坐标为

$ \boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}=\boldsymbol{R}_{\mathrm{fa}}\left[\begin{array}{llll}{b} & {0} & {h_{\mathrm{zb}}} & {1}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

(22)

故整车重力势能为

$ \boldsymbol{U}_{\mathrm{c}}=m \cdot g \cdot\left(\boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}(3)-h_{\mathrm{zb}}\right). $

(23)

为建立重力回正力矩模型，忽略轮胎与地面间摩擦，对于原地转向工况，忽略转向盘转动速度，则整车系统的动能为0，势能为整车重力势能，广义力为驾驶员向转向盘施加的操纵力矩，根据Lagrange方程可得转向盘转向操纵力矩为

$ \boldsymbol{M}_{z}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{U}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d} \theta_{\mathrm{s}}}=\frac{\mathrm{d}\left(m \cdot g \cdot \boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}(3)\right)}{\mathrm{d} \theta_{\mathrm{s}}}. $

(24)

从而可得重力回正力矩为

$ \boldsymbol{M}_{\mathrm{zg}}=-\boldsymbol{M}_{\mathrm{z}}. $

(25)

2 转向摩擦阻力矩模型

根据LuGre摩擦模型，假定轮胎接地面上均匀分布了无数弹性刷毛，在车辆原地转向过程中，如图 5所示，某一个刷毛相对地面转动，刷毛的弹性变形量z_r、轮胎地面间摩擦因数μ_r及胎毛侧向速度v_ry之间的关系为：

$ \dot{z}_{\mathrm{r}}=v_{\mathrm{ry}}-\kappa_{0} \frac{\left|v_{\mathrm{ry}}\right|}{\alpha_{0}+\alpha_{1} \mathrm{e}^{-\left(\frac{v_{\mathrm{ry}}}{v_{0}}\right)^{2}}} z_{\mathrm{r}}, $

(26)

$ \mu_{\mathrm{r}}=\kappa_{0} z_{\mathrm{r}}+\kappa_{1} \dot{\mathcal{z}}_{\mathrm{r}}+\kappa_{2} v_{\mathrm{ry}}. $

(27)

其中：α₀、α₁分别为Stribeck效应函数系数，v₀为Stribeck效应特征速度，κ₀为刷毛刚度系数，κ₁为刷毛阻尼系数，κ₂为刷毛黏性摩擦因数，均根据胎面和路面材料不同而取不同值，具体由试验确定。

求解式(26)和(27)可得

$ {\mu _{\rm{r}}} = \left( {{\kappa _0} - \frac{{{\kappa _0}{\kappa _1}\left| {{v_{{\rm{ry}}}}} \right|}}{{{\alpha _0} + {\alpha _1}{{\rm{e}}^{ - {{\left( {\frac{{{v_{{\rm{ry}}}}}}{{{v_0}}}} \right)}^2}}}}}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {{z_{\rm{r}}} + \left( {{\kappa _1} + {\kappa _2}} \right){v_{{\rm{ry}}}}} \end{array}. $

(28)

设轮胎接地印迹内垂直载荷按照下式规律分布：

$ \begin{array}{c}{f(x, y)=\left(78.51+154.98 x y-1.8 \times 10^{3} \times x-\right.} \\ {4.81 \times 10^{3} \times x^{2}-3.38 \times 10^{3} \times y^{2} ) F_{z} .}\end{array} $

(29)

其中F_z为车轮垂直载荷。从而可得车辆原地转向时轮胎与地面间的转向摩擦阻力矩为

$ \boldsymbol{M}_{\mathrm{r}}=\int_{-\frac{L_{\mathrm{f}}}{2}}^{\frac{L_{\mathrm{f}}}{2}} \mu_{\mathrm{r}} \cdot x \cdot f(x, y) \mathrm{d} x. $

(30)

其中L_f为轮胎接地印迹长度。

3 商用车原地转向阻力矩模型仿真与试验

车辆原地转向时驾驶员需克服的转向盘操纵阻力矩为重力回正力矩和转向摩擦阻力矩之和，即

$ \boldsymbol{M}_{\rm z}=\boldsymbol{M}_{\rm z g}+\boldsymbol{M}_{\mathrm{r}}. $

(31)

为验证该理论模型，如图 6所示，在CA1045型轻卡上加装转向盘扭矩转角测量仪，进行了原地转向阻力矩试验。

试验过程中，车辆两前轮停放在平整硬实水泥地面上，驾驶员缓慢转动转向盘由中间位置逆时针直至极限位置，再顺时针直至极限位置，最后回到中间位置。根据其中一组试验数据对轮胎与地面间摩擦阻力矩模型中的参数进行辨识，结果如表 1所示。

按照实车试验时转向盘转角变化规律对式(31)进行仿真计算，与同一试验条件下其他试验数据对比，结果及误差如图 7和8所示，从图中可以看出，仿真结果与试验结果的曲线变化规律一致，除接近左右转向极限位置外，仿真与试验结果偏差较小。

重力回正力矩仿真结果如图 9所示。从图中可以看出，重力回正力矩方向始终与转向盘转角方向相反，其绝对值在转向盘转角较小时与转向盘转角近似为线性关系，随转向盘转角增大而增大，在接近左右转向极限位置时，重力回正力矩与转向盘转角呈明显非线性关系。

转向摩擦阻力矩仿真结果如图 10所示。从图中可以看出，转向摩擦阻力矩方向始终与转向盘转动方向相反。在转向盘开始转动初期，轮胎胎面刷毛处于弹性变形范围内，转向摩擦阻力矩绝对值随转向盘转角增大而增大，超过轮胎胎面刷毛弹性变形极限后略有减小，之后基本保持不变，仅其方向随转向盘转动方向变化。

4 结论

本文建立了商用车原地转向阻力矩模型，实车试验表明，该模型能够反映出实车原地转向阻力矩随转向盘转角的变化规律，可以为各种助力转向系统设计提供理论依据。