面齿轮副是由面齿轮及与之相啮合的圆柱齿轮所构成的齿轮副。目前，高速重载面齿轮副已经逐渐开始在汽车、航空等领域应用^[1-3]。自20世纪90年代初，学术界和工业界对于面齿轮副的设计理论、分析方法、加工方法等开展了系统研究^[4-6]。与此同时，改进的面齿轮副以及新型的面齿轮副也不断被提出和研究。Zhang等^[7]、Litvin等^[8]、付学中等^[9]分别研究了偏置面齿轮的几何设计、仿真分析和加工制造问题。蜗杆面齿轮是一类重要的非标准面齿轮，Litvin及其研究团队^[10]、Napau等^[11]、Boantǎ等^[12]、Bodzás等^[13]、户立杰等^[14]对蜗杆面齿轮开展了比较系统的研究。李永祥等^[15]、周镇宇等^[16]、付学中等^[17]研究了变位面齿轮副的设计和分析方法。Litvin等^[18]研究了非对称齿廓的面齿轮副传动，这类改进型的面齿轮副具有比较优异的动力传动特性。方宗德及其研究团队^[19]提出了弧线齿面齿轮，并对该型面齿轮进行了比较系统的研究。变传动比面齿轮副是一类新颖的面齿轮副，林超及其研究团队^[20]对变传动比面齿轮副(端曲面齿轮副)开展了非常详细的研究，刘大伟等^[21]也研究了变传动比面齿轮的几何设计和啮合情况。

冯光烁等^[22]首次提出了人字形面齿轮和人字形面齿轮副。人字形面齿轮，顾名思义，即原面齿轮的一条轮齿由分成“一撇”和“一捺”的两条轮齿共同构成，从面齿轮正上方看，面齿轮的轮齿形似汉字中的“人”字形。人字形面齿轮与人字形圆柱齿轮配对啮合，与一般的面齿轮副配合形式无异。在人字齿的中间，可以设计退刀槽，方便加工，也可以不留退刀槽，人字齿连接成整体的一条。

从面齿轮副的研究历程可以发现^[1]，美国在ART项目、TRP项目、RDS-21项目中所研究的面齿轮，均为直齿面齿轮；在ERDS项目中才开始研究斜齿面齿轮(螺旋角β=10°)；欧洲FACET项目分别研究了直齿面齿轮(压力角α=20°、螺旋角β=0°)和斜齿面齿轮(法向压力角α_n=25°、螺旋角β=10°)。与直齿面齿轮相比，斜齿面齿轮的承载能力强，重合度大，运转平稳，而且增大螺旋角可以提高承载能力、增大重合度。但是，螺旋角增大会导致圆柱齿轮在其旋转轴线方向出现轴向力，在设计圆柱齿轮的支撑轴承时需要额外增加角接触球轴承(4点接触球轴承)或者圆锥滚子轴承等可以承受轴向力的轴承，而且螺旋角越大，圆柱齿轮承受的轴向力越大。轴向力的出现限制了螺旋角不能取得过大，限制了斜齿面齿轮优势的发挥。

为了充分发挥斜齿面齿轮的优势，并且最大程度消除圆柱齿轮轴向力，基于全齿面精确建模的面齿轮副设计方法^[23]，本文研究了人字形面齿轮副的几何设计以及基本特征。

1 几何设计 1.1 基本原理

假设坐标系S₁、S₂、S_f分别与齿轮1、齿轮2、齿轮箱f刚性固接。齿轮1的齿面表示为Σ₁，齿轮2的齿面表示为Σ₂，并且均为正则曲面。齿轮1的转动角度表示为ϕ₁，齿轮2的转动角度表示为ϕ₂。若在每一瞬时，在给定转动角(ϕ₁, ϕ₂)下，曲面Σ₁和曲面Σ₂均能保持无干涉地连续接触，则曲面Σ₁和Σ₂称为共轭曲面^[24]。

若曲面Σ₂是曲面Σ₁在坐标系S₂中形成的曲面族Σ_ϕ的包络，已知曲面Σ₁和给定转动角(ϕ₁, ϕ₂)，求解曲面Σ₂即为求解第一类共轭曲面问题^[24]。由刀具方程推导齿面方程、由虚拟产形齿轮方程推导齿面方程均属于第一类共轭曲面问题。

曲面Σ₁在坐标系S₂中形成的曲面族Σ_ϕ可以表示为

$ \boldsymbol{r}_{2}(u, \theta, \phi)=\boldsymbol{M}_{21} \boldsymbol{r}_{1}(u, \theta)=\boldsymbol{M}_{2 f} \boldsymbol{M}_{f 1} \boldsymbol{r}_{1}(u, \theta). $

(1)

式中：M为坐标转换矩阵，r为位置向量，参变量u和θ表示Gauss坐标，参变量ϕ表示广义的运动参数。

所求曲面Σ₂存在的必要条件是需满足啮合方程。啮合方程的解法有两种^[4]：1)微分几何中提出的经典解法；2)齿轮啮合理论中提出的比较简便的工程解法。

由微分几何方法确定的啮合方程为

$ f(u, \theta, \phi)=\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{2}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}_{2}}{\partial \theta}\right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{2}}{\partial \phi}=0. $

(2)

由齿轮啮合理论提出的工程解法确定的啮合方程为：

$ \begin{array}{c}{f(u, \theta, \phi)=\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{2}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}_{2}}{\partial \theta}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{(12)}=} \\ {\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{2}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}_{2}}{\partial \theta}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{(21)}=0, \quad i=1,2, f}.\end{array} $

(3)

式中：下标i表示啮合方程在坐标系S_i中，v_i⁽¹²⁾=－v_i⁽²¹⁾表示接触点的相对速度。

美国Fellows Gear Shaper公司发明了面齿轮插齿加工方法，现在面齿轮的建模方法主要是模拟面齿轮的插齿过程^[4]，即首先设计虚拟产形齿轮的齿廓形式和齿面方程，在产形运动下，虚拟产形齿轮的齿面生成一族空间曲面，所求得的面齿轮的齿面方程即为上述空间曲面族的包络。由第一类共轭曲面问题的解法即可计算得到面齿轮的齿面方程。

虚拟产形齿轮与面齿轮是线接触，若面齿轮副的圆柱齿轮与虚拟产形齿轮的所有参数完全相同，则圆柱齿轮与面齿轮也是线接触。虽然线接触理论上比点接触承载能力强，但是在实际使用中，齿轮副一般不可避免地会存在加工误差和安装误差，而线接触对误差比较敏感，因此一般将面齿轮副设计成为点接触的齿轮副，即接触痕迹限制在局部。

具体实现的方法有两种：

1) 选择比圆柱齿轮齿数多的虚拟产形齿轮^[4]，一般N_s－N₁= 1、2或3，其中N_s为虚拟产形齿轮齿数，N₁为圆柱齿轮齿数；

2) 通过后期圆柱齿轮的双鼓形修形实现。

1.2 坐标系定义

人字形面齿轮副设计过程的数学描述均基于如图 1所示的各Descartes直角坐标系。

图 1a为固定坐标系S_f与坐标系S_q、坐标系S₂之间的位置关系：固定坐标系S_f绕坐标轴O_fx_f转动角度γ_1-2得到坐标系S_q，坐标系S_q绕坐标轴O_qz_q转动角度ϕ₂得到坐标系S₂，固定坐标系S_f保持位置不动，坐标系S_q为辅助坐标系，坐标系S₂为面齿轮副中面齿轮所处的坐标系。其中：O₂z₂为面齿轮的旋转轴，角度ϕ₂为面齿轮的旋转角位移。

图 1b为固定坐标系S_f与坐标系S₁、坐标系S₂之间的位置关系：坐标系S₁为面齿轮副中圆柱齿轮所处的坐标系，其中O₁z₁为圆柱齿轮的旋转轴，圆柱齿轮绕O₁z₁的旋转角速度为ω₁；坐标系S₂为面齿轮副中面齿轮所处的坐标系，其中O₂z₂为面齿轮的旋转轴，面齿轮绕O₂z₂的旋转角速度为ω₂；圆柱齿轮的旋转轴O₁z₁与面齿轮的旋转轴O₂z₂之间的夹角即为轴交角γ_1-2。

图 1c为固定坐标系S_f与坐标系S_s之间的位置关系：坐标系S_s为虚拟产形齿轮所处的坐标系，固定坐标系S_f绕坐标轴O_fz_f转动角度ϕ_s得到坐标系S_s，角度ϕ_s表示虚拟产形齿轮的旋转角位移，即虚拟产形齿轮的产形运动。

图 1d为坐标系S_s与坐标系S_m之间的位置关系：坐标系S_s与坐标系S_m的坐标轴z的方向相同，虚拟产形齿轮的横截面表示在平面x_mO_mv_m内，坐标系S_m绕坐标轴O_sz_s转动的角度为ψ_m，坐标系S_m坐标原点O_m可以沿坐标轴O_sz_s平动，坐标系S_m相对坐标系S_s的运动即为由虚拟产形齿轮N_s个轮齿的齿廓数学模型形成虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s的过程。

为了进一步说明所定义坐标系的相互关系以及面齿轮副设计过程中涉及到的重要特征量，图 2给出了面齿轮副的示意图。可以看到，圆柱齿轮的旋转轴为O₁z₁，面齿轮的旋转轴为O₂z₂，且圆柱齿轮与面齿轮的旋转轴之间的夹角为γ_1-2。图中O_sz_s为虚拟产形齿轮的旋转轴，虚拟产形齿轮未画出。圆柱齿轮与面齿轮啮合转动，直线I₁₂代表此相对运动中的瞬时回转轴，同理直线I_s2代表虚拟产形齿轮与面齿轮相对运动的瞬时回转轴。圆柱齿轮的节面为半径为r_p1的圆柱面，面齿轮的节面为半锥角为γ_1-2的圆锥面。一般情况下，面齿轮副的轴交角不一定等于90°，但是若γ_1-2=90°，则面齿轮的节面将退化为一平面。节线即为圆柱齿轮的节面与面齿轮的节面的交线，节线与瞬时回转轴I₁₂以及瞬时回转轴I_s2的交点即为节点。定义节点与面齿轮的旋转轴O₂z₂之间的垂直距离为面齿轮名义上的节圆半径r_p2。

在图 2中，L₁和L₂是两个非常重要的特征量。L₁表示面齿轮的内径，度量方法定义为沿O₁z₁方向，面齿轮轮齿内端面距离O₁y₁的距离；L₂表示面齿轮的外径，度量方法定义为沿O₁z₁方向，面齿轮轮齿外端面距离O₁y₁的距离。b₁表示圆柱齿轮的齿宽，b₂表示面齿轮的齿宽，则b₂=L₂－L₁，并且一般工程设计中b₁>b₂。L_1′和L_2′分别表示人字形面齿轮退刀槽处的内径和外径，b_g表示退刀槽的宽度，则b_g=L_2′－L_1′，若b_g=0则表示无退刀槽；b_inner和b_outer分别表示人字形面齿轮内侧轮齿和外侧轮齿的宽度。

1.3 虚拟产形齿轮建模

面齿轮副中的面齿轮数学模型由虚拟产形齿轮的数学模型推导得到，因此需要首先建立虚拟产形齿轮数学模型。面齿轮的设计工作主要体现在对于虚拟产形齿轮的设计，例如:虚拟产形齿轮可以采用渐开线齿廓，亦可以采用摆线齿廓、圆弧齿廓等；虚拟产形齿轮可以采用对称齿廓，亦可以采用非对称齿廓；虚拟产形齿轮的齿根过渡曲线可以采用圆弧，亦可以采用摆线。本文以一种如图 3所示的渐开线齿廓为例阐述了虚拟产形齿轮及人字形面齿轮的建模过程。

虚拟产形齿轮单个轮齿在横截面x_mO_my_m中由向量函数r_m(u)表示，u为参变量。此分段向量函数r_m(u)连续可微且依次由齿根圆的圆弧P_m⁽¹⁾P_m⁽²⁾、圆弧P_m⁽²⁾P_m⁽³⁾、渐开线P_m⁽³⁾P_m⁽⁴⁾、圆弧P_m⁽⁴⁾P_m⁽⁵⁾、齿顶圆的圆弧P_m⁽⁵⁾P_m⁽⁶⁾、圆弧P_m⁽⁶⁾P_m⁽⁷⁾、渐开线P_m⁽⁷⁾P_m⁽⁸⁾、圆弧P_m⁽⁸⁾P_m⁽⁹⁾、齿根圆的圆弧P_m⁽⁹⁾P_m⁽¹⁰⁾组成，其中曲线端点P_m⁽¹⁾、P_m⁽²⁾、P_m⁽³⁾……的上标括号内的数字表示曲线端点的序号，下标的字母表示该变量所在的坐标系，例如下标m表示该变量在坐标系S_m内。虚拟产形齿轮单个轮齿的数学模型描述为(限于篇幅，仅列出分段向量函数r_m(u)中的渐开线P_m⁽³⁾P_m⁽⁴⁾段的具体表达式，其完整表达式请查阅文[23])

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{r}}_m}(u) = {\mathit{\boldsymbol{r}}_m}\left( {\theta _m^{(l)}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_m}}\\ {{y_m}}\\ {{z_m}}\\ 1 \end{array}} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{bs}}\sin \left( {\theta _m^{(l)} - \eta _m^{(l)}} \right) - {r_{bs}}\theta _m^{(l)}\cos \left( {\theta _m^{(l)} - \eta _m^{(l)}} \right)}\\ {{r_{bs}}\cos \left( {\theta _m^{(l)} - \eta _m^{(l)}} \right) + {r_{bs}}\theta _m^{(l)}\sin \left( {\theta _m^{(l)} - \eta _m^{(l)}} \right)}\\ 0\\ 1 \end{array}} \right].} \end{array} $

(4)

式中：θ_m^(l)为向量函数r_m(u)的参变量；x_m、y_m、z_m为向量函数r_m(u)在坐标系S_m中的分量，x_m, y_m, z_m, 1^T为向量函数r_m(u)在坐标系S_m中的齐次坐标表示方式；r_rs为虚拟产形齿轮齿根圆半径，本文中r_rs采用一种与标准圆柱齿轮不同的、增加了顶隙的新定义, r_rs=r_ps－h_fs+c_s；r_bs为虚拟产形齿轮基圆半径；r_as为虚拟产形齿轮齿顶圆半径，本文中r_as采用一种与标准圆柱齿轮不同的、增加了顶隙的新定义, r_as=r_ps+h_as+c_s。r_ps为虚拟产形齿轮节圆半径，h_as为虚拟产形齿轮标准齿顶高，c_s为虚拟产形齿轮顶隙。

至此，在推导得到向量函数r_m(u)的各参变量取值区间以及各个常量的取值之后，虚拟产形齿轮单个轮齿的齿廓即可最终确定，如图 3所示。

虚拟产形齿轮的一个轮齿在横截面x_mO_my_m中由向量函数r_m(u)唯一表示，虚拟产形齿轮的N_s个轮齿在横截面x_mO_my_m中由向量函数L_m(θ_m)·r_m(u)唯一表示。其中矩阵L(·)是一个算子^[4]，若在坐标系S_m中将相应的向量绕坐标轴O_mz_m逆时针转动角度θ_m，则算子L(·)形如

$ {\mathit{\boldsymbol{L}}_m}\left( {{\theta _m}} \right) = \mathit{\boldsymbol{I}} + \left( {1 - \cos {\theta _m}} \right){\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}^s}} \right)^2} = {\mathit{\boldsymbol{C}}^s}\sin {\theta _m}. $

(5)

式中：

${\theta _m} = 0, 1 \cdot \frac{{2\pi }}{{{N_s}}}$, $2 \cdot \frac{{2\pi }}{{{N_s}}}, 3 \cdot \frac{{2\pi }}{{{N_s}}}$, …, $\left({{N_s} - 1} \right) \cdot \frac{{2\pi }}{{{N_s}}}$, $\boldsymbol{C}^{s}=\left[\begin{array}{cccc}{0} & {-1} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$，I为4×4单位矩阵。

虚拟产形齿轮的整个齿面Σ_s在坐标系S_s中由如下向量函数表示(参考图 1d中的坐标系位置关系)：

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_s}\left( {u,{\psi _m}} \right) = {\mathit{\boldsymbol{M}}_{sm}}\left( {{\psi _m}} \right){\mathit{\boldsymbol{L}}_m}\left( {{\theta _m}} \right){\mathit{\boldsymbol{r}}_m}\left( \mathit{u} \right). $

(6)

式中：${\mathit{\boldsymbol{M}}_{sn}}\left({{\psi _m}} \right) = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\psi _m}} & { - \sin {\psi _m}} & 0 & 0\\ {\sin {\psi _m}} & {\cos {\psi _m}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & L\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]$；

虚拟产形齿轮右旋，

$ {\psi _m} = \left| {\frac{L}{{{r_{ps}}\cot \beta }}} \right| > 0,L \in \left[ {{L_1},{L_2}} \right]; $

虚拟产形齿轮左旋，

$ {\psi _m} = - \left| {\frac{L}{{{r_{ps}}\cot \beta }}} \right| < 0,L \in \left[ {{L_1},{L_2}} \right]. $

1.4 人字形面齿轮建模

如图 1c所示，坐标系S_s为虚拟产形齿轮所处的坐标系，角度ϕ_s表示虚拟产形齿轮的旋转角位移，即虚拟产形齿轮的产形运动。虚拟产形齿轮的整个齿面Σ_s在坐标系S₂中通过产形运动生成的曲面族由如下向量函数表示：

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_2}\left( {u,{\psi _m},{\phi _s}} \right) = {\mathit{\boldsymbol{M}}_{2s}}\left( {{\phi _s}} \right){\mathit{\boldsymbol{r}}_s}\left( {u,{\psi _m}} \right). $

(7)

式中：

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{2s}}\left( {{\phi _s}} \right) = {\mathit{\boldsymbol{M}}_{2q}}\left( {{\phi _2}} \right){\mathit{\boldsymbol{M}}_{qf}}{\mathit{\boldsymbol{M}}_{fs}}\left( {{\phi _s}} \right), $

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{2q}}\left( {{\phi _2}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _2}}&{\sin {\phi _2}}&0&0\\ { - \sin {\phi _2}}&{\cos {\phi _2}}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{qf}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&{\cos {\gamma _{{\rm{1 - 2}}}}}&{ - \sin {\gamma _{{\rm{1 - 2}}}}}&0\\ 0&{\sin {\gamma _{{\rm{1 - 2}}}}}&{\cos {\gamma _{{\rm{1 - 2}}}}}&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{fs}}\left( {{\phi _s}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\phi _s}}&{ - \sin {\phi _s}}&0&0\\ {\sin {\phi _s}}&{\cos {\phi _s}}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right], $

$ {\phi _2} = - \frac{{{N_s}}}{{{N_2}}}{\phi _s}. $

面齿轮的全齿面Σ₂为虚拟产形齿轮的整个齿面Σ_s在坐标系S₂中由产形运动所生成的曲面族r₂(u, ψ_m, ϕ_s)的包络，即需满足啮合方程

$ f\left( {u,{\psi _m},{\phi _s}} \right) = \left( {\frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_2}}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_2}}}{{\partial {\psi _m}}}} \right) \cdot \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_2}}}{{\partial {\phi _s}}} = 0. $

(8)

方程(7)与(8)构成封闭方程组。理论上通过求解该方程组，即可以解得面齿轮的全齿面Σ₂。该方程组中，参变量u的取值区间在虚拟产形齿轮齿廓建模时已经确定，即向量函数r_m(u)的具体形式；参变量ϕ_s的取值区间由虚拟产形齿轮的产形运动也已确定；参变量ψ_m表示坐标系S_m绕坐标轴O_sz_s转动的角度，为面齿轮半径L的函数，即ψ_m=ψ_m(L)，L∈L₁, L₂。在数值求解上述方程组时，就像沿着面齿轮半径L的方向，随着变量L的离散将轮齿切成一层一层的薄片(slice)，然后逐层计算求解。人字形面齿轮与通常的斜齿面齿轮在设计上的本质区别就主要体现在变量L上。人字形面齿轮内侧轮齿和外侧轮齿具有大小相等、符号相反的螺旋角(正值代表右旋，负值代表左旋)，即

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \beta = \beta ',\\ \beta = - \beta ', \end{array}&\begin{array}{l} L \in \left[ {{L_1},{L_{1'}}} \right];\\ L \in \left[ {{L_{2'}},{L_2}} \right]. \end{array} \end{array}} \right. $

(9)

方程(7)和(8)所构成的方程组以及方程(9)所给出的螺旋角取值方法共同确定了人字形面齿轮副的全齿面Σ₂。虚拟产形齿轮的齿廓采用如图 3所示的齿廓模型。

在实际编程序进行数值求解时，存在一种比较高效的面齿轮数学模型求解算法，其基本思路为：仅建立一个虚拟产形齿轮轮齿数学模型，再由该轮齿经产形运动生成面齿轮的一个齿槽；由于齿轮的轮齿具有周期性，得到面齿轮第一个齿槽后，再通过旋转算子进行复制，即可得到面齿轮的全齿面Σ₂。该算法避免了重复求解比较耗时的啮合方程。

1.5 算例

基于本文所提的人字形面齿轮设计方法，以表 1所示算例为研究对象，对人字形面齿轮副的设计方法和基本特征开展数值研究。该人字形面齿轮副的额定工作状态为：输入转速为4 000 r/min，输入扭矩为600 N·m。该算例的建模结果如图 4所示。

2 基本特征分析

建立人字形面齿轮副的9齿有限元模型，利用Abaqus软件对面齿轮副进行加载接触分析(LTCA)。有限元模型的详细建模过程可以参考文[2]的建模步骤。

2.1 轮齿接触分析

以人字形面齿轮副输入扭矩为600 N·m的额定工况为例，基于有限元加载接触分析，研究所设计的人字形面齿轮副的啮合情况，结果如图 5所示。图 5a和5c分别为所研究的人字形面齿轮副在某一啮合位置时的啮合痕迹计算结果。在这一啮合位置，有2对轮齿同时参与啮合(约定分别表示人字形轮齿“撇”和“捺”的内侧轮齿和外侧轮齿记为1条轮齿，面齿轮的1条轮齿与圆柱齿轮对应的1条轮齿称为1对轮齿)；图 5b和图 5d分别为所研究的人字形面齿轮副在另一啮合位置时的啮合痕迹计算结果，在这一啮合位置，有3对轮齿同时参与啮合。在这一约定前提下，通过对5个啮合周期内的啮合痕迹进行观察可以发现，同时参与啮合的轮齿对数只有两种情况：2对、3对，并不断交替、周而复始，这一现象说明，在该输入扭矩下，此面齿轮副的重合度大小在2与3之间(与第2.3节重合度分析结果相吻合)。

2.2 轴向力分析

在平行轴齿轮传动中，理论上人字形圆柱齿轮副可以完全抵消轴向力，从而使齿轮副的轴承支撑设计大为简化。在人字形面齿轮副传动中，由于面齿轮齿面形状比较复杂，使得人字形面齿轮副中圆柱齿轮的轴向力分析也变得复杂，而且斜齿面齿轮齿廓形状是非对称的，因此人字形面齿轮副圆柱齿轮的旋转方向不但会影响轴向力的方向，而且也会影响轴向力的大小。

本节设计了3个算例对轴向力进行对比研究：算例CASE 00即为1.5节表 1所示算例；算例CASE 00L为左旋斜齿面齿轮副(圆柱齿轮为左旋，面齿轮为右旋)，其他设计参数与算例CASE 00相同；算例CASE 00R为右旋斜齿面齿轮副(圆柱齿轮为右旋，面齿轮为左旋)，其他设计参数与算例CASE 00相同。输入扭矩均为600 N·m，约定圆柱齿轮轴向力的正方向为沿圆柱齿轮旋转轴线且指向面齿轮中心。

分别计算圆柱齿轮顺时针(CW)旋转与圆柱齿轮逆时针(CCW)旋转两种工况，结果见图 6。与斜齿面齿轮副相比，人字形面齿轮副能够大幅度降低圆柱齿轮轴向力的绝对值，但是人字形面齿轮副的轴向力并未完全被抵消。人字形面齿轮副的圆柱齿轮轴向力对于圆柱齿轮的旋向比较敏感，两种工况下轴向力的绝对值具有较大差异，见表 2。当圆柱齿轮顺时针(CW)旋转时，人字形面齿轮副的圆柱齿轮轴向力均值比左旋斜齿面齿轮副、右旋斜齿面齿轮副的圆柱齿轮轴向力均值减少94.0%；当圆柱齿轮逆时针(CCW)旋转时，人字形面齿轮副的圆柱齿轮轴向力均值比左旋斜齿面齿轮副、右旋斜齿面齿轮副的圆柱齿轮轴向力均值减少85.6%。针对本算例中的人字形面齿轮副，圆柱齿轮顺时针(CW)旋转时，其轴向力波动程度较平缓，且轴向力的均值较小。

通过调整人字形面齿轮副的某些设计参数，可以使所设计的人字形面齿轮副圆柱齿轮轴向力基本被抵消。

2.3 重合度分析

重合度(contact ratio, CR)表示的是齿轮副在啮合过程中平均同时参与啮合的轮齿个数，即平均有几个轮齿共同承担载荷。重合度是与齿轮副承载能力和动态特性密切相关的一个重要指标。本文借助有限元加载接触分析的结果，通过数值方法得到面齿轮副的重合度^[4]，

$ {m_{\rm{c}}} = \frac{{{\theta _{{\rm{end}}}} - {\theta _{{\rm{begin}}}}}}{{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{{N_1}}}}}. $

(10)

式中：θ_end－θ_begin表示一对轮齿在啮合过程中参与啮合的总“时间”，以圆柱齿轮的转动角度计；θ_begin表示该轮齿进入啮合时的起始转角，取该轮齿接触应力曲线上第一个不为零的数据点的角度值；θ_end表示该轮齿完成啮合时的终止转角，取该轮齿接触应力曲线上最后一个不为零的数据点的角度值；由于在有限元计算时，圆柱齿轮的转动角度是离散的，因此θ_begin和θ_end的这种取值方法与真实值相比是存在误差的，但误差的最大值不会大于圆柱齿轮转动角度ϕ₁的步长。式(10)分母2π/N₁表示几何上一对轮齿参与啮合的持续角度。

重合度具有一个重要的性质，即齿轮副的重合度恰好等于正整数时，齿轮副传动误差的波动幅度最小，而且齿轮副的振动和噪声水平最低。因此，从静力学设计角度看，齿轮副的重合度越大越好；从动力学设计角度看，齿轮副的重合度越大、越接近正整数越好，即传动误差的波动幅度越小越好。

本节探讨人字形面齿轮副的两种重合度定义：第1种重合度认为内、外侧轮齿是相互独立的斜齿面齿轮副，分别计算内侧轮齿的重合度值和外侧轮齿的重合度值，以这两个值来代表人字形面齿轮副的重合度；第2种重合度视人字形轮齿“撇”和“捺”的相对应的内侧轮齿和外侧轮齿为一整条轮齿，在此基础之上计算人字形面齿轮副的重合度。

图 7所示为人字形面齿轮副第1种重合度定义的计算结果。当圆柱齿轮顺时针(CW)转动时，计算得到的内侧轮齿和外侧轮齿的重合度在各种载荷之下差异不大，外侧轮齿的重合度略大于内侧轮齿的重合度；当圆柱齿轮逆时针(CCW)转动时，在各种载荷下内侧轮齿的重合度均大于外侧轮齿的重合度。由于单独计算内侧轮齿和外侧轮齿的重合度时，有效齿宽均仅有齿轮副实际齿宽的一半左右，因此第1种重合度定义计算得到的重合度数值比较小，主要分布于1.0~2.5。人字形面齿轮副的这种重合度定义方法，虽然无法反映齿轮副整体的重合度值，但是能够真实地分别反映内侧轮齿、外侧轮齿各自的啮合状况及平顺性。当需要单独分析人字形面齿轮副内侧轮齿或外侧轮齿的承载能力和设计优劣时，采用第1种重合度定义是适宜的。

图 8所示为人字形面齿轮副第2种重合度定义的计算结果。圆柱齿轮逆时针(CCW)转动时比圆柱齿轮顺时针(CW)转动时的重合度大；当圆柱齿轮顺时针(CW)转动、输入扭矩为600 N·m时，人字形面齿轮副的重合度为2.16，与接触分析的结果较为吻合(参见图 5)；当圆柱齿轮顺时针(CW)转动、输入扭矩为300 N·m时，人字形面齿轮副的重合度恰为2.00，但此工况点的传动误差峰峰值并非局部极小值，局部极小值反而出现在输入扭矩200 N·m工况点(参见图 9)，然而该工况点的重合度却为1.79，并非正整数值。人字形面齿轮副传动误差峰峰值的局部极小值工况点并不与重合度达到正整数值的工况点相对应。人字形面齿轮副的这种重合度定义方法旨在反映面齿轮副的整体承载能力和运行平稳性，但是由于人字形面齿轮副齿形的复杂性和不连续性，这种重合度的定义方法仍有较大的改进空间。

2.4 传动误差分析

传动误差(transmission error, TE)是一对齿轮副中被动齿轮在当前主动齿轮转角位置时实际所到达的转角位置，与当前主动齿轮转角位置由传动比所决定的被动齿轮的理论转角位置的差值，即

$ \Delta {\phi _2} = {\phi _2} - {\phi _1}\frac{{{N_1}}}{{{N_2}}}. $

(11)

式中：ϕ₁为主动齿轮角位移，ϕ₂为被动齿轮实际角位移(由有限元加载接触分析获得)，ϕ₁N₁/N₂则为被动齿轮在主动齿轮角位移为ϕ₁时刻的理论角位移。

一般而言，式(11)定义的传动误差为负值，而负值的含义为被动齿轮的运动滞后于主动齿轮的驱动。随着输入扭矩的增加，传动误差的绝对值会增大，这是因为在不考虑加工误差和安装误差的前提下，传动误差主要反映的是在载荷作用下相啮合的轮齿由于弹性变形而导致的运动不同步现象，载荷越大则弹性变形越大，因此传动误差的绝对值亦越大。

基于有限元加载接触分析，按照式(11)计算不同输入扭矩下人字形面齿轮副的传动误差，结果表明圆柱齿轮旋向不同时，传动误差的波形差异不明显。图 9所示为传动误差的峰峰值。当圆柱齿轮顺时针(CW)转动时，传动误差峰峰值具有较好的规律性，在输入扭矩为200 N·m时达到局部极小值；当圆柱齿轮逆时针(CCW)转动时，传动误差峰峰值的规律性不明显。即使圆柱齿轮的旋向不同时，传动误差峰峰值也并未表现出数值上的较大差异。本文在第3节将继续对此差异性进行分析。

2.5 内、外侧轮齿齿宽的影响

在第2.2节关于轴向力的分析中，内侧轮齿与外侧轮齿设计为等宽的算例CASE 00，其圆柱齿轮承受的轴向力在圆柱齿轮顺时针转动和逆时针转动时，不但呈现出有规律的波动，而且其均值亦不为零。为了尽量使圆柱齿轮所承受的轴向力接近于零，最大程度地简化输入齿轮轴的轴承支撑，本节进一步分析内外侧轮齿宽度对轴向力的影响。

人字形面齿轮副基本设计参数仍然取表 1中的参数，内、外侧轮齿宽度的定义参见图 2和图 11a，仅改变内外侧轮齿的宽度，且保持人字形面齿轮总齿宽、人字形圆柱齿轮总齿宽、退刀槽宽度不变，所设计的对比研究算例如表 3所示，即算例CASE 04、CASE 00、CASE 01、CASE 02、CASE 03的内侧轮齿宽度按照顺序依次递减1 mm，外侧轮齿宽度则依次递增1 mm。

在输入扭矩为600 N·m的额定工况下，经过加载接触分析(LTCA)，可以得到表 3各算例的圆柱齿轮轴向力的变化曲线。内外侧轮齿宽度的改变对于轴向力的波动形式基本无影响，但对于轴向力的均值影响较明显。为了节省篇幅，轴向力曲线不再单独列出，仅将各算例在两种工况(CW和CCW)下的轴向力的均值绘于图 10以供分析内外侧轮齿齿宽的影响。当圆柱齿轮顺时针(CW)转动时，算例CASE 04、CASE 00、CASE 01、CASE 02、CASE 03的轴向力依次递减，并于算例CASE 01附近通过轴向力的零点，即当内侧轮齿宽24.6 mm、外侧轮齿宽26.6 mm时，圆柱齿轮承受的轴向力约为零；当圆柱齿轮逆时针(CCW)转动时，算例CASE 04、CASE 00、CASE 01、CASE 02、CASE 03的轴向力依次递增并于算例CASE 02与CASE 03之间的某点通过轴向力的零点，即通过设计内侧轮齿的宽度在23. 6 mm与22.6 mm中间某值时，圆柱齿轮承受的轴向力可以达到零值。

在设计人字形面齿轮副时，为了最大程度发挥其优势，可以根据人字形面齿轮副的具体使用工况(即圆柱齿轮的转动方向)，适当调整内、外侧轮齿的齿宽，使圆柱齿轮承受的轴向力完全抵消，从而简化圆柱齿轮的轴承支撑。在允许圆柱齿轮两个方向转动的工况下，人字形面齿轮副亦可以通过内外侧轮齿齿宽的设计，使得在两个旋向时轴向力均较小，例如图 10中两条曲线的交点附近。

2.6 内、外侧轮齿相位差的影响

按照第1节所提出的人字形面齿轮副建模方法生成的面齿轮副内、外侧轮齿是不存在相位问题的，即当没有内外侧轮齿中间的退刀槽时，内外侧轮齿齿面恰好在齿宽中心位置重合，如图 11a所示。假如在人字形面齿轮副建模之后，再人为转动内侧轮齿齿圈或者外侧轮齿齿圈，就会造成内外侧轮齿产生相位差。相位差的定义如图 11b所示。假设内侧轮齿齿圈保持不动，逆时针旋转外侧轮齿齿圈，则产生的内外侧轮齿相位差定义为正值；反之，顺时针旋转外侧轮齿齿圈，则产生的内外侧轮齿相位差定义为负值。在设计过程中，通过引入相位差，可以调整和改变人字形面齿轮副的啮合特性。

对比研究算例仍然取与表 1相同的基本设计参数，且内、外侧轮齿等宽，分别逆时针、顺时针旋转外侧轮齿齿圈0.4倍啮合周期、0.2倍啮合周期，并且圆柱齿轮的内侧轮齿和外侧轮齿也作相应的调整以确保圆柱齿轮和人字形面齿轮可以啮合，则可以得到如表 4所示的5个算例。这5个算例恰好在空间上均匀分布于一个啮合周期内。

在输入扭矩为600 N·m的额定工况下，经过加载接触分析(LTCA)，可以得到表 4各算例在圆柱齿轮顺时针转动和逆时针转动两种工况下的齿面接触应力。为了节省篇幅，齿面接触应力的计算结果曲线不再单独列出，仅将由接触应力曲线计算得到的重合度曲线示于图 12。本文在设计算例时相位差是通过转动外侧轮齿齿圈实现的，因此内侧轮齿的接触应力在各算例的计算结果中是相同的；圆柱齿轮顺时针(CW)转动时，外侧轮齿的接触应力幅值和曲线形状基本相同，正的相位差会导致轮齿啮合滞后，负的相位差会导致轮齿啮合超前；圆柱齿轮逆时针(CCW)转动时，外侧轮齿的接触应力的幅值和曲线形状基本相同，但是正的相位差会导致轮齿啮合超前，负的相位差会导致轮齿啮合滞后。这说明通过调整内外侧轮齿的相位差，确实可以达到改变啮合特性的目的，而且与圆柱齿轮的旋转方向有关。啮合的超前或者滞后，直接会影响人字形面齿轮副的重合度。依据人字形面齿轮副第2种重合度定义，计算表 4中各算例在输入扭矩为600 N·m时的重合度，结果如图 12所示。当圆柱齿轮顺时针(CW)转动时，相位差越大，则重合度越小；当圆柱齿轮逆时针(CCW)转动时，相位差越大，则重合度越大。因此，在设计人字形面齿轮副时，若已知圆柱齿轮的转动方向，则可以通过调整内外侧轮齿相位差来显著提高重合度，从而设计出高重合度的人字形面齿轮副。

3 优点与设计准则

人字形面齿轮副继承了斜齿面齿轮副的优点，除此之外，人字形面齿轮副还具有如下优点：

1) 圆柱齿轮无轴向力。即使是内外侧轮齿等宽度的人字形面齿轮副，其圆柱齿轮所承受的轴向力也已经被大幅度抵消，基本不需要单独为圆柱齿轮增加承担轴向力的轴承。而且，通过调整内外侧轮齿的齿宽，可以设计内外侧轮齿不等宽的人字形面齿轮副，理论上可以使圆柱齿轮所承受的轴向力均值为零。人字形圆柱齿轮轴仅需要径向支撑轴承，而不再需要轴向推力轴承，简化了齿轮轴的轴承支撑设计。

2) 承载能力强。由于圆柱齿轮所承受的轴向力基本能够被抵消，因此人字形面齿轮副可以采用更大的螺旋角来获得更大的重合度，提高轮齿的承载能力，降低振动噪声水平。可见，人字形面齿轮副的承载能力强，更适用于重载场合。

3) 旋转方向敏感度低。不管是斜齿面齿轮副还是人字形面齿轮副，均对旋转方向敏感。但是，与斜齿面齿轮副相比，人字形面齿轮副对旋转方向的敏感度是非常低的。因此，斜齿面齿轮副适宜用于单一旋转方向的场合，且该旋转方向应该为斜齿面齿轮副重合度较大、传动误差峰峰值较小的旋转方向(即优选旋转方向)；人字形面齿轮副更适宜用于需要双向转动的场合，例如汽车传动系统中的主减速器齿轮传动或差速器齿轮传动。

经过对人字形面齿轮副的分析，可以得出在设计人字形面齿轮副时需要注意的几项设计准则：

1) 传动比不能过小。回顾面齿轮副齿宽与传动比的关系可以发现，对于大功率齿轮传动，通常推荐传动比≥4.0的应用场合才适宜采用面齿轮副，以确保面齿轮具有足够的齿宽。对于人字形面齿轮副，为了确保内侧轮齿和外侧轮齿都能有足够的齿宽，一般推荐传动比≥8.0的应用场合适宜采用人字形面齿轮副，传动比过小时则不宜采用。

2) 螺旋角尽量大。斜齿面齿轮副若要提高承载能力、降低振动噪声，可以采取增大螺旋角的措施，但是带来的问题就是增大了圆柱齿轮承受的轴向力，因此螺旋角取值受到了限制，不可能设计很大的螺旋角，即斜齿面齿轮副承载能力受到了限制。人字形面齿轮副正是为了解决圆柱齿轮轴向力的问题而被提出的，因此在设计人字形面齿轮副时，在条件允许的前提下，推荐设计较大的螺旋角，这样能够显著提高人字形面齿轮副的承载能力和运行平稳性。

4 结论

本文研究了一种新型面齿轮副——人字形面齿轮副，并基于全齿面精确建模的面齿轮副设计方法，建立了人字形面齿轮副的设计方法，最后结合算例，具体实现了该设计方法，分析了人字形面齿轮副的基本特征，得出在设计人字形面齿轮副时需要注意的设计准则，主要工作如下：

1) 建立了人字形面齿轮副的9齿有限元模型，进行了人字形面齿轮副加载接触分析，进行了人字形面齿轮副的轮齿接触分析；

2) 对比分析了人字形面齿轮副对圆柱齿轮轴向力的抵消效果，人字形面齿轮副能够大幅度降低圆柱齿轮轴向力的绝对值，并且人字形面齿轮副的圆柱齿轮轴向力对于圆柱齿轮的旋向是比较敏感的；

3) 给出了人字形面齿轮副的两种重合度定义，并计算了在圆柱齿轮不同旋转方向、不同输入扭矩时的重合度；

4) 分析了在圆柱齿轮不同旋转方向、不同输入扭矩时的传动误差；

5) 对比分析了内、外侧轮齿齿宽对轴向力的影响，说明了可以适当调整内外侧轮齿的齿宽，使圆柱齿轮承受的轴向力完全抵消，从而简化圆柱齿轮的轴承支撑；

6) 对比分析了内、外侧轮齿相位差的影响，说明了可以通过调整内外侧轮齿相位差显著提高重合度，从而设计出高重合度的人字形面齿轮副。