磁悬浮轴承具有零接触、无摩擦磨损等优点,在飞轮、机床等领域具有广阔的应用前景[1]。
由于磁轴承的电磁力与位移、电流间存在着非线性关系,常常利用偏置电流将电磁力进行线性化,并将偏置电流设定为线性区域的中点,以提高磁轴承的刚度与悬浮精度。但是,大偏置电流会带来高功耗问题,引起电主轴发热和热变形。同时为了便于真实反映磁轴承转子的实时位置,位移传感器通常安装在靠近磁轴承处,系统温升也会导致传感器产生温漂现象。在热变形以及传感器温漂的共同作用下,控制精度大大降低。卞斌[2]对主轴温升引起的位移传感器温漂进行了研究;吴华春等[3]分析了磁悬浮主轴的温升来源,指出电动机及前、后和轴向磁力轴承产生的温升是影响磁悬浮主轴温升的主要原因;张亮[4]也对磁轴承定子发热引起的温升问题进行了实验研究。因此,为了解决轴承发热问题,需要降低其功耗。Charara等[5]提出了零偏置电流控制策略来降低功耗;Sivrioglu等[6]和张剀等[7]利用零偏置控制策略来控制磁悬浮飞轮,Jastrzebski等[8]用该策略来控制燃料电池。但是零偏置控制存在扰动抑制能力差等问题,相比有偏电流控制,其悬浮效果往往较差。同时,电流与位移间的非线性关系也增加了位移控制器的设计难度。因此,需要采取合适的控制策略来提高转子的悬浮精度。
由于动不平衡力、传感器测量失真以及电机偏心磁拉力等作用,转子会形成明显的同频和倍频振动[9]。常见不平衡力抑制策略有零电流控制和零位移控制[10-11]。零电流控制是通过消除控制电流中的同频成分,从而抑制动不平衡力,由于降低了对电流环响应带宽的需求,有利于转子在高速下运行[11]。然而,常规单频率抑制策略仅抑制了与转速同频的振动[9]。Cui等[12]和Darbandi等[13]分别采用了多频率陷波器来抑制动不平衡力等引起的同频与倍频振动。以上对动不平衡力抑制策略的研究均是在有偏置电流情况下开展的,而没有考虑基于零偏置电流的动不平衡力抑制策略。
本文利用零偏置电流控制策略的低功耗优点,同时针对零偏置电流控制策略带来的系统非线性问题,将电流到位移的非线性关系转化为电磁力到位移的线性关系,然后利用电磁力到电流的转换公式计算得出所需的控制电流。进而采用线性控制策略来设计位移控制器,简化了控制器的设计难度。此外,在零偏置电流控制策略下,提出了基于多频率陷波器的动不平衡力控制策略来抑制同频和倍频振动,并在不同转速下开展了实验验证,实验结果表明,所提出的控制策略在降低磁轴承功耗的同时,还有效地抑制了转子同频与倍频振动。
1 零偏置电流下磁轴承数学模型磁悬浮电主轴的径向支撑由前后2个径向磁轴承组成,由于转子轴向与径向间的运动可以近似解耦,因此可以忽略轴向运动对径向运动控制的影响。磁悬浮电主轴的径向支撑系统简图如图 1所示,其4自由度数学模型如式(1)所示。
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图 1 径向4自由度磁轴承系统工作原理简图 |
$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{M\ddot q}} + \mathit{\boldsymbol{G\dot q}} = \mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{f}}} + {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}},\\ \mathit{\boldsymbol{y}} = \mathit{\boldsymbol{Cq}}. \end{array} \right. $ | (1) |
其中:
$ \mathit{\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_y}}&0&0&0\\ 0&m&0&0\\ 0&0&{{I_x}}&0\\ 0&0&0&m \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&a&b\\ 0&0&1&1 \end{array}} \right], $ |
$ \mathit{\boldsymbol{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{{I_z}\omega }&0\\ 0&0&0&0\\ { - {I_z}\omega }&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ x\\ { - \alpha }\\ y \end{array}} \right], $ |
$ \mathit{\boldsymbol{y}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{sA}}}\\ {{x_{sB}}}\\ {{y_{sA}}}\\ {{y_{sB}}} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} c&1&0&0\\ d&1&0&0\\ 0&0&c&1\\ 0&0&d&1 \end{array}} \right], $ |
$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{{\rm{d}}\beta }}}\\ {{f_{{\rm{d}}x}}}\\ {{T_{{\rm{d}}\alpha }}}\\ {{f_{{\rm{d}}y}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{I_z} - {I_y}} \right)\tau {\omega ^2}\cos \left( {\mathit{\Omega }t + \gamma } \right)}\\ {m\eta {\omega ^2}\sin \left( {\mathit{\Omega }t + \lambda } \right)}\\ { - \left( {{I_z} - {I_y}} \right)\tau {\omega ^2}\sin \left( {\mathit{\Omega }t + \gamma } \right)}\\ {m\eta {\omega ^2}\cos \left( {\mathit{\Omega }t + \lambda } \right) - mg} \end{array}} \right], $ |
$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{f}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{xA}}}\\ {{f_{xB}}}\\ {{f_{yA}}}\\ {{f_{yB}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{xA}}\left[ {\frac{{{i_{x{A_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bA}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{x{A_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bA}}} \right)}^2}}}} \right]}\\ {{k_{xB}}\left[ {\frac{{{i_{x{B_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bB}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{x{B_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {x_{bB}}} \right)}^2}}}} \right]}\\ {{k_{yA}}\left[ {\frac{{{i_{y{A_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bA}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{y{A_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bA}}} \right)}^2}}}} \right]}\\ {{k_{yB}}\left[ {\frac{{{i_{y{B_1}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bB}}} \right)}^2}}} - \frac{{{i_{y{B_2}}}^2}}{{{{\left( {{g_0} - {y_{bB}}} \right)}^2}}}} \right]} \end{array}} \right]. $ |
式中:M为质量矩阵,G为陀螺矩阵,B为电磁力系数矩阵,C为测量系数矩阵,q为转子质心的4自由度位移矢量,y为传感器测量位移矢量,fd为外界干扰力矢量,uf为电磁力矢量。Ix、Iy、Iz分别为转子绕x、y、z轴的惯性矩,m为转子质量,ω为转子转速,a、b、c、d分别为前后磁轴承、前后传感器与质心间的偏移, η和λ分别为静不平衡力偏移和相位,τ和γ分别为动不平衡力矩偏移和相位,kxA、kxB、kyA、kyB为4自由度电磁力系数,ixA1、ixA2、ixB1、ixB2、iyA1、iyA2、iyB1iyB2为各个方向线圈的电流,g0为平均气隙,μ0为真空磁导率。
由于转子通常工作在刚性频率范围内,且传感器与磁轴承距离较近,可以近似认为磁轴承位移与传感器位移相等。因此,式(1)可写为
$ \mathit{\boldsymbol{M}}{\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\ddot y}} + \mathit{\boldsymbol{G}}{\mathit{\boldsymbol{C}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\dot y}} = {\mathit{\boldsymbol{C}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_{\rm{f}}} + {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{d}}}. $ | (2) |
对于本文研究的长转子,其Iy明显大于Iz,同时考虑到前后磁轴承在设计指标上的差别,因此忽略了陀螺效应和前后轴承之间的耦合,前后磁轴承的控制采用分散控制策略。以前径向磁轴承为研究对象,其垂直方向单自由度数学模型如下所示:
$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2}.\\ {{\dot x}_2} = \left( {\left[ {{k_{{y_1}}}{\alpha _1}\left( {{x_1}} \right) - {k_{{y_1}}}{\alpha _2}\left( {{x_1}} \right)} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}\\ {{I_2}} \end{array}} \right] + {{F'}_{\rm{d}}}} \right)/m,\\ y = {x_1},\\ {\alpha _1}\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {{g_0} - {x_1}} \right)}^2}}},\\ {\alpha _2}\left( {{x_1}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {{g_0} + {x_1}} \right)}^2}}}. \end{array} \right. $ | (3) |
其中:I1=i12和I2=i22是线圈控制电流的平方项;x1和x2分别是转子位移和速度;α1(x1)、α2(x1)为与转子位置相关的函数;F′d是等效外界干扰,包括重力、参数变化以及动不平衡力等。
从设计控制器的角度考虑,零偏置电流策略下的磁悬浮系统数学模型可写为
$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = \left[ {{k_{{y_1}}}\alpha \left( {{x_1}} \right)I + {{F'}_{\rm{d}}}} \right]/m. \end{array} \right. $ | (4) |
对于零偏置电流控制策略来说,任何时刻仅有一个线圈有电流,因此有以下切换关系:
$ \left\{ \begin{array}{l} {I_2} = I,{I_1} = 0,\alpha \left( {{x_1}} \right) = - {\alpha _2}\left( {{x_1}} \right),I \ge 0;\\ {I_1} = I,{I_2} = 0,\alpha \left( {{x_1}} \right) = {\alpha _1}\left( {{x_1}} \right),I < 0. \end{array} \right. $ | (5) |
对于式(4)所示的零偏置电流单自由度磁悬浮系统,控制电流为系统的输入,由此可知,该系统是一个非线性系统,这增加了位移控制器的设计难度。为了便于位移控制器的设计,可将电磁力作为控制器的输出。此时位移控制器输出指令不再是励磁线圈电流而直接是电磁力,而以电磁力作为输入的磁悬浮系统可以认为是线性系统。因此,系统式(4)可写为
$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = \left( {{f_{{y_1}}} + {{F'}_{\rm{d}}}} \right)/m. \end{array} \right. $ | (6) |
同时利用电磁力与线圈电流、转子位移间的转换关系,可得线圈的指令电流为
$ \left\{ \begin{array}{l} {i_1} = 0,{i_2} = \sqrt {\frac{{ - {f_{{y_1}}}}}{{{k_{{y_1}}}\alpha \left( {{x_1}} \right)}}} ,{f_{{y_1}}} \ge 0;\\ {i_1} = \sqrt {\frac{{ - {f_{{y_1}}}}}{{{k_{{y_1}}}\alpha \left( {{x_1}} \right)}}} ,{i_2} = 0,{f_{{y_1}}} < 0. \end{array} \right. $ | (7) |
由式(6)可知,当控制器输出为电磁力时,即使在零偏置电流控制策略下,同样可将磁轴承视为线性系统,只是磁轴承的输入量和位移控制器的输出量变成了电磁力,此时可以采用线性控制策略来设计位移控制器。而位移控制量输出的电磁力指令,需要经过电磁力与电流之间的换算式(7)转换为所需的线圈电流。图 2是以电磁力作为位移控制器输出时的控制系统框图。图中的控制器可以为任何线性和非线性控制器。
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图 2 电磁力作为位移控制器输出时的控制系统框图 |
当不考虑外界干扰时,以电磁力为位移控制输出时的零偏置电流磁悬浮系统的传递函数以及以PID为位移控制器时的传递函数分别为:
$ P\left( s \right) = \frac{1}{{{s^2}}}, $ | (8) |
$ C\left( s \right) = {k_{\rm{p}}} + {k_i}\frac{1}{s} + {k_{\rm{d}}}s. $ | (9) |
转子在旋转中会受到动不平衡力的影响,从而产生与转速同频的周期性振动。为了抑制动不平衡力,可以采用与转速同频的自适应陷波器对其进行滤除。自适应陷波器的工作原理如图 3所示。陷波器N(s)的核心是陷波反馈环节Nf,ε决定了陷波器N(s)的收敛速度和中心陷波带宽。
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图 3 采用同频陷波器抑制的控制系统框图 |
设ys(t)为陷波反馈环节的输入,yω(t)为其输出,则有
$ {y_\omega }\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \omega t}&{\cos \omega t} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int {{y_s}\left( t \right)\sin \omega t{\rm{d}}t} }\\ {\int {{y_s}\left( t \right)\cos \omega t{\rm{d}}t} } \end{array}} \right]. $ | (10) |
陷波反馈环节的传递函数可以写为
$ {N_{\rm{f}}}\left( s \right) = \frac{{{y_\omega }\left( t \right)}}{{{y_s}\left( t \right)}} = \frac{{\varepsilon s}}{{{s^2} + {\omega ^2}}}. $ | (11) |
则从系统输入到陷波器N(s)输出的传递函数为
$ N\left( s \right) = \frac{{{y_s}\left( t \right)}}{{y\left( t \right)}} = \frac{{{s^2} + {\omega ^2}}}{{{s^2} + \varepsilon s + {\omega ^2}}}. $ | (12) |
当ε≠0时,令s=jωr,则有
$ \left\{ \begin{array}{l} N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) \approx 1,\;\;\;{\omega _{\rm{r}}} \in \left( {0,\omega - \Delta \omega } \right) \cup \left( {\omega + \Delta \omega ,\infty } \right);\\ N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) = 0,\;\;\;{\omega _{\rm{r}}} \in \left( {\omega - \Delta \omega ,\omega + \Delta \omega } \right). \end{array} \right. $ | (13) |
因此,当ε≠0时,在陷波器N(s)的输出中,输入信号y中频率为ω的同频分量将趋近于0, 即转速同频振动得到了有效抑制。
2.3 多频率陷波器抑制由于采用与转速同频的单频率陷波器仅能抑制转速同频振动,而由于传感器失真等因素的存在,转速的倍频点处容易引起倍频振动,因此除了抑制转速同频振动外,还需要对倍频振动进行抑制。本文通过引入多频率陷波器,来抑制转速同频振动以及倍频振动。采用多频率陷波器抑制的控制系统框图如图 4所示。
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图 4 采用多频率陷波器抑制的控制系统框图 |
从输入y(t)到陷波器N(s)输出的传递函数可写为
$ \begin{array}{*{20}{c}} {N\left( s \right) = \frac{{{s^2} + {\omega ^2}}}{{{s^2} + {\varepsilon _1}s + {\omega ^2}}} + \frac{{{s^2} + {{\left( {2\omega } \right)}^2}}}{{{s^2} + {\varepsilon _2}s + {{\left( {2\omega } \right)}^2}}} + \cdots + }\\ {\frac{{{s^2} + {{\left( {n\omega } \right)}^2}}}{{{s^2} + {\varepsilon _n}s + {{\left( {n\omega } \right)}^2}}}.} \end{array} $ | (14) |
当εi≠0, i=1, 2, …, n时,令s=jωr,则有
$ \left\{ \begin{array}{l} N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) = 0,\;\;\;{\omega _{\rm{r}}} \in \left( {\omega - \Delta {\omega _1},\omega + \Delta {\omega _1}} \right) \cup \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {2\omega - \Delta {\omega _1},2\omega + \Delta {\omega _1}} \right) \cup \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cup \left( {n\omega - \Delta {\omega _n},n\omega + \Delta {\omega _n}} \right);\\ N\left( {{\rm{j}}{\omega _{\rm{r}}}} \right) \approx 1,\;\;\;其他. \end{array} \right. $ | (15) |
因此,当εi≠0, i=1, 2, …, n时,在陷波器N(s)的输出中,输入信号里转速同频和倍频分量将趋近于0。即同频与倍频振动得到了有效抑制。
3 实验研究 3.1 实验台简介图 5是5自由度磁悬浮电主轴系统。磁悬浮电主轴机械结构由前后2个径向磁轴承、轴向磁轴承和驱动电机等部分组成。磁轴承的悬浮控制采用现场可编程门阵列(FPGA)作为控制器芯片,位移控制器采用上述控制策略输出指令电磁力,再经过电流换算式(7),可将指令电磁力转换为线圈的指令电流,然后由电流闭环控制器输出PWM信号,从而控制磁极线圈的电流。本文主要对前径向磁轴承的零偏置电流悬浮控制开展了实验分析,磁轴承参数如表 1所示。位移检测采用电涡流传感器,其分辨率为0.1 μm,位移测量范围为0.5 mm。电流检测采用Hall传感器,能够测量最大±48 A电流。
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图 5 5自由度磁悬浮电主轴系统 |
3.2 实验测试
首先,在2 400 r/min转速下采用零偏置电流策略进行了实验研究,得到了转子位移曲线,结果如图 6所示。同时,为了进行对比,取偏置电流为4 A,在有偏置电流策略下开展了同样的实验。对比有偏置和零偏置电流控制策略,可以发现2种控制策略的悬浮精度均为±10 μm左右,并且零偏置电流控制策略下磁轴承的功耗大大降低,结果如图 7所示。
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图 6 有偏置和零偏置电流策略下位移曲线 |
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图 7 不同转速下有偏置和零偏置电流策略下功耗曲线 |
然后,为了验证本研究中提出策略的有效性,分别在600和1 200 r/min转速下开展了实验研究,对比了不启动陷波器抑制、启动同频陷波器抑制以及启动多频率陷波器策略下的干扰抑制效果,并得到了转子振幅曲线,如图 8和9所示。实验结果表明,在不同转速下,在启动多频率陷波器后,同频与倍频振动均得到了有效抑制。
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图 8 600 r/min转速下不启动和启动同频、启动多频率陷波器振幅曲线 |
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图 9 1 200 r/min转速下不启动和启动同频、启动多频率陷波器振幅曲线 |
4 结论
针对磁轴承在有偏置电流控制策略下会产生高功耗,继而造成电主轴发热和热变形,影响转子的悬浮精度这一问题,本文采用了零偏置电流控制策略来降低磁轴承的功耗。同时,由于加工制造存在误差,转子在旋转中会受到动不平衡力等因素影响,从而引起转子的周期性振动。本文提出了基于多频率陷波器抑制的零偏置电流控制策略来抑制动不平衡力等造成的转子同频和倍频振动。实验结果表明,相比不进行陷波器抑制以及仅采用转速同频陷波器抑制,本文方法很好地抑制了转子的同频与倍频振动。此外,本文所提出的零偏置电流控制策略还有效地降低了磁轴承的功耗。
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