由于在轨卫星数量和空间碎片数量不断攀升，空间碰撞风险在不断增加。截至2016年底，已发生过260余次在轨卫星或火箭解体、爆炸、撞击事件[1]。对空间目标的碰撞风险评估和预警非常重要。对于在轨航天器碰撞风险评估有2种常用方法，一种是计算最小距离，另一种是计算碰撞概率。第一种方法最简单，若最小相对运动距离小于设定的阈值，则判断会发生碰撞，需要采取规避措施。
文[2-3]提出了解析计算星间最大最小相对运动距离的方法，适用于轨道偏心率很小的情况；针对半长轴相等的航天器相对运动，文[4]通过分析轨道参数与最小相对运动距离的关系，针对不同情况给出了两星偏心率差和初始平近点角差形成的坐标平面上非碰撞充分条件边界线的作图方法。
虽然最小距离方法简单，但是由于空间环境复杂且航天器状态测量有不确定性，碰撞概率的计算可以综合考虑航天器运行状态和不确定性，因而更能准确衡量碰撞风险[5]。
只考虑航天器位置不确定性时，通常采用位置误差椭球来描述不确定性，并将航天器及其周围安全范围等效为球体或其他形状物体，将两航天器相遇过程中联合等效物体在误差椭球中扫过体积内的碰撞概率密度函数进行积分，就是两航天器之间的碰撞概率[5]。
根据两星接近过程中描述相对运动状态的模型不同，碰撞概率计算可以分为线性模型和非线性模型2种。线性模型建立在线性相对运动假设之上，当两星接近过程中相对速度大、接近时间短时，可以将相遇时间内相对运动简化为线性模型，认为联合等效物体扫过的体积为无限长的柱体。此时假设包括：相遇时间内相对运动为匀速直线运动；相遇时间内没有速度不确定性，位置误差协方差保持不变[6]。非线性模型没有对相对运动状态进行假设简化，相对速度和位置误差协方差在相遇时间内可变，积分计算十分复杂。
文[5, 7-10]分别采用坐标转换或利用概率密度函数特殊性质的方法，将三维碰撞概率积分问题降维，变成二维或者一维积分问题，简化计算。Chan等[11]分别针对短时相遇和长期交汇问题，用无穷级数来描述碰撞概率模型，通过截取首项获得近似解析表达式，形式简单。白显宗等[12]基于Chan等的计算方法，分析了相遇平面内位置误差椭圆大小、形状、方位对碰撞概率大小的影响规律。Morselli等[13]将相对运动距离最近时刻和相对运动最小距离展开为关于位置速度不确定性的表达式，提高了碰撞概率计算速度。Wen等[14]提出了通过分析相对运动半径极值来确定共面轨道的相对运动可达域的方法；石昊等[15-16]在Wen等工作的基础上，提出了求解三维空间相对运动可达域方法，并进一步提出闭环控制系统中初值不确定性等误差带来的航天器可达域外包络的求解方法；在考虑到导航和控制不确定性后，Wang等[17-18]分析了共面且主星在圆轨道情况下主星周围的等碰撞概率曲线。
与其他计算方法相比，Monte Carlo仿真方法并不做任何假设，计算结果更接近真实值，但是精度与计算量相关。为了达到高精度，需要采集足够多的样本来计算，随着精度要求升高，样本量呈指数增加。高精度要求的Monte Carlo方法计算量巨大，耗时过长，难以达到实时性要求。
本文将在原有线性模型基础上，通过分析线性模型结果和Monte Carlo仿真结果之间的差值与星间最大相对运动距离、最小相对运动距离之间的关系，得到近似的解析修正表达式。在保持线性模型快速简单的基础上，提高了计算精度，扩展了适用范围。
1 碰撞概率线性模型和Monte Carlo仿真计算方法 1.1 线性模型线性相对运动假设中，认为两星位置误差椭球在相遇时间内不变，考虑二者位置误差协方差相互独立的情况，两星联合误差协方差矩阵可以记为二者位置误差协方差矩阵之和EECI，将两星等效半径相加可得联合等效半径rA。将联合等效半径形成的联合碰撞球加在从星上，将联合误差椭球加在主星上，二者碰撞概率就是相对运动过程中联合碰撞球扫过的联合误差椭球体积内的碰撞概率密度函数积分。这里将简单介绍Chan和白显宗的线性模型[6, 11]。
在三维空间中，两星联合误差椭球表面上各点概率密度相同，概率密度函数为[6]
| $ f\left( x \right) = \frac{{\exp \left( { - \frac{1}{2}{{\left( {\mathit{\boldsymbol{x}} - \mathit{\boldsymbol{\mu }}} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}^{ - 1}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}} - \mathit{\boldsymbol{\mu }}} \right)} \right)}}{{{{\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {\det \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}. $ | (1) |
其中：x为该点位置坐标，μ为主星位置坐标，Ψ为联合误差协方差矩阵。通过对任意体积内概率密度函数积分即可以得到该体积内的碰撞概率。线性相对运动假设条件下，两星间相对运动为匀速直线运动，相遇时间内的相对运动轨迹在联合误差椭球中扫过的区域为一个圆柱体，在此基础上可以将三维积分简化为二维面积积分[6]。
Chan[11]和白显宗等[6, 19-20]将二维碰撞概率积分转化为无穷级数形式，Chan给出了无穷级数的表达式，并指出一般情况下只需要截取首项即可满足要求，截断误差应该在第3或第4位有效数字上；白显宗则给出了无穷级数首项和递推公式，并给出截断误差表达式，指出只取首项时，相对截断误差的量级为10-5或更小。
考虑相对运动过程中，星间距离最近时刻tmin，以联合误差椭球球心为原点O，以此时从星相对主星的相对速度方向作为y′轴，x′轴由联合误差椭球球心指向联合碰撞球球心，z′轴垂直于x′轴和y′轴，并x′轴和y′轴一起构成右手坐标系，形成相遇坐标系O-x′y′z′。
计算坐标系为相遇坐标系转换角度θ后使xc轴指向相遇平面内碰撞概率椭圆短轴方向，如图 1所示。
|
| 图 1 相遇坐标系和计算坐标系 |
将位置误差协方差矩阵从ECI坐标系中转换到计算坐标系中，记为Ec，则Ec为对角矩阵
Chan和白显宗给出的碰撞概率线性模型首项表达式相同，在计算坐标系中为[6, 11]：
| $ {P_0} = {{\rm{e}}^{ - v}}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - u}}} \right). $ | (2) |
其中：
当只考虑各向位置误差方差大小相等，且相关系数均为零的情况，碰撞概率首项表达式可以进一步简化，形式依然是式(2)，其中
在文[11]和[21]中，Chan针对共面圆轨道近距离长期交汇问题给出了碰撞概率近似表达式(但是适用范围有限，只有在整个相对运动距离范围非常小的情况下才适用)：
| $ P \approx \frac{{9\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} Ar_A^2}}{{16{\sigma ^3}}}{{\rm{e}}^{ - \left( {{A^2} + 2r_A^2 + 2{C^2}} \right)/4{\sigma ^2}}}. $ | (3) |
其中：A=(rmax-rmin)/2，C为相对轨迹形成的椭圆中心到主星的距离，该公式只在0≤A≤1.5σ时适用。
1.2 Monte Carlo仿真算法由于Monte Carlo仿真算法没有任何假设条件，理论上结果更加接近真实碰撞概率。本文采用Monte Carlo仿真结果作为真实值来分析线性模型的误差。本文采用的Monte Carlo仿真算法流程如图 2所示[22]。
|
| 图 2 Monte Carlo仿真计算流程 |
为了保证分析精度在10-6，本文将在每次计算时随机生成105组误差，并计算10次后取均值。
2 近距离星间碰撞概率线性模型误差分析及解析修正考虑EECI形式为对角线元素相等的对角矩阵时，碰撞概率线性模型计算结果PL只与两星间最小相对运动距离rmin、联合误差方差σ和联合碰撞球半径rA有关。对于确定的rA和σ，且最小相对运动距离rmin相等的情况，用线性模型计算出的碰撞概率应该相等。
如图 3所示，以O代表主星，对于最小相对运动距离rmin确定的情况，以实线表示从星相对主星的近圆运动轨迹，以虚线表示理想的线性相对运动情况下的从星相对主星的运动轨迹。当主星位于相对运动轨迹外侧时，线性模型的理想情况下(相对运动轨迹沿虚线直线)碰撞概率达到最大，P=PL；随着相对运动轨迹远离理想的线性相对运动轨迹，碰撞概率会逐渐减小，P < PL；在从星相对主星悬停在最小相对运动距离处时碰撞概率达到最小值，为P≈0；当主星位于相对运动轨道内侧时，线性模型的极端情况下碰撞概率达到最小，为P=PL；随着相对轨道远离线性相对运动轨迹，碰撞概率逐渐增大，P>PL；并在相对运动距离始终是rmin时达到最大值，为P=Pmax。
|
| 图 3 主星和相对运动轨道相对位置 |
当rmin≤1.5σ时，由式(3)易计算出主星位于相对运动轨迹内侧，两星相对轨道为以主星为中心，半径为rmin的圆形轨道时，最大碰撞概率为
| $ {P_{\max }} \approx \frac{{9\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} {r_{\min }}r_{\rm{A}}^2}}{{16{\sigma ^3}}}{{\rm{e}}^{ - \left( {r_{\min }^2 + 2r_{\rm{A}}^2} \right)/4{\sigma ^2}}}. $ | (4) |
与PL相同，该最大碰撞概率大小只与rmin、rA和σ有关。
对于概率密度函数为正态分布的联合误差椭球，取半径为3σ的椭球来分析概率。随后分析在rmin、rA和σ确定情况下，两星碰撞概率的变化规律。如图 4所示，同样以O代表主星，以主星位于相对运动轨迹外侧为例分析，主星位于相对运动轨迹内侧的情况可用相同方法进行分析。将相对轨迹视作圆形轨道近似分析，则其半径为A=(rmax-rmin)/2。相对运动轨迹在联合误差椭球内的弧长l为A·θ，当A很大θ很小时，弧长l近似为2A·sin(θ/2)。θ与A的关系为
| $ \cos \theta = \frac{{{A^2} + {{\left( {A + {r_{\min }}} \right)}^2} - {{\left( {3\sigma } \right)}^2}}}{{2A\left( {A + {r_{\min }}} \right)}}. $ | (5) |
|
| 图 4 两星碰撞概率随rmax变化 |
A的大小决定了弧长l的计算精度，进而影响后续计算精度。若l计算精度为10-2l，则得到θ≤0.622 451，且A≥Amin，其中2Amin(Amin+rmin)cos(0.622 451)Amin2+(Amin+rmin)2-(3σ)2。于是有
| $ 1 - \frac{{{l^2}}}{{4{A^2}}} = \frac{{{A^2} + {{\left( {A + {r_{\min }}} \right)}^2} - {{\left( {3\sigma } \right)}^2}}}{{2A\left( {A + {r_{\min }}} \right)}}. $ | (6) |
从而得到
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial l}}{{\partial \eta }} = \frac{{\sqrt {2\left[ {{{\left( {3\sigma } \right)}^2} - r_{\min }^2} \right]} }}{2} \cdot \frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}} = }\\ {k\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}.} \end{array} $ | (7) |
其中：η=1/A，
| $ {\rm{d}}P \approx f \cdot s \cdot {\rm{d}}l. $ | (8) |
其中：f为碰撞概率密度函数在最小相对运动距离点到相对轨道与联合碰撞球面交点之间的均值，只与rmin、σ还有主星位于相对轨道内外侧有关；s为联合碰撞球截面积，只与rA有关。于是有
| $ {\rm{d}}P = fsk\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}{\rm{d}}\eta = K\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}{\rm{d}}\eta . $ | (9) |
其中：K=fsk，只与rA、rmin、σ和主星与相对运动轨迹之间位置关系有关。
由上述分析可知，当rA、rmin、σ确定时：
1) 对于主星位于相对轨道内侧情况，在η=1/rmin时取得最大碰撞概率Pmax，若rmin=A≤1.5σ，可以根据式(4)计算；在线性相对运动假设下(η=0)取得碰撞概率最小值Pmin=PL，根据式(2)可以计算出PL；对于0≤A≤1.5σ情况，可以使用式(4)计算碰撞概率；对于A≥1.5σ情况，根据式(9)可得
| $ P = {P_{\rm{L}}} + {K_1}\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}\eta . $ | (10) |
其中K1为主星位于相对轨道外侧时，与rA、rmin、σ有关的系数。
2) 对于主星位于相对轨道外侧情况，可以根据式(2)计算出最大碰撞概率为PL，在η=0时取得；根据式(4)，在η=+∞时取Pmin≈0；对于0≤A≤1.5σ情况，使用式(4)计算碰撞概率；对于A≥1.5σ情况，根据式(9)可得
| $ P = {P_{\rm{L}}} + {K_2}\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}\eta . $ | (11) |
其中K2为主星位于相对轨道内侧时，与rA、rmin和σ有关的系数。
3 仿真验证 3.1 确定线性拟合参数K1和K2对于主星位于赤道圆轨道且从星也在赤道轨道上的特殊情况，通过文[4]作出的非碰撞充分条件边界线就是碰撞与非碰撞区域的划分线，边界线上的点就是星间最小相对运动距离等于碰撞阈值的点。其中，在外边界上参数描述的相对运动中，主星位于从星相对主星相对运动轨迹内侧；而在内边界上参数描述的相对运动中，主星位于从星相对主星相对运动轨迹的外侧。
取
如图 5所示，Δe和ΔM0沿着边界线按照|ΔM0|和|Δe|依次增大的方向选取，这些参数点可以按照位于碰撞边界线外边界还是内边界分成两类，位于外边界的点用“+”表示，主星位于相对运动轨道的内侧；位于内边界的点用“o”表示，主星位于相对运动轨道的外侧。
|
| 图 5 算例参数取值 |
分别用线性模型和Monte Carlo仿真方法计算碰撞概率，得到线性模型结果全部相同，为PL= 1.451×10-3，Monte Carlo仿真结果见表 2。
| ΔM0 | “+” | “o” | ||||||||
| 10-5 rad | Δe/10-5 | A/a | PM | PM-PL | Δe/10-5 | A/a | PM | PM-PL | ||
| 7 | 4 | 1.5×10-3 | 1.981×10-3 | 5.30×10-4 | 3 | 1.3×10-3 | 1.206×10-3 | -2.45×10-4 | ||
| -7 | 1.948×10-3 | 4.97×10-4 | 1.150×10-3 | -3.01×10-4 | ||||||
| 11 | 6 | 2.3×10-3 | 1.792×10-3 | 3.41×10-4 | 5 | 2.1×10-3 | 1.317×10-3 | -1.34×10-4 | ||
| -11 | 1.794×10-3 | 3.43×10-4 | 1.218×10-3 | -2.33×10-4 | ||||||
| 31 | 16 | 6.3×10-3 | 1.545×10-3 | 9.4×10-5 | 15 | 6.1×10-3 | 1.366×10-3 | -8.5×10-5 | ||
| -31 | 1.518×10-3 | 6.7×10-5 | 1.371×10-3 | -8.0×10-5 | ||||||
| 51 | 26 | 1.03×10-2 | 1.547×10-3 | 9.6×10-5 | 25 | 1.01×10-2 | 1.416×10-3 | -3.5×10-5 | ||
| -51 | 1.548×10-3 | 9.8×10-5 | 1.412×10-3 | -3.8×10-5 | ||||||
| 71 | 36 | 1.43×10-2 | 1.553×10-3 | 1.02×10-4 | 35 | 1.41×10-2 | 1.403×10-3 | -4.8×10-5 | ||
| -71 | 1.530×10-3 | 8.0×10-5 | 1.401×10-3 | -4.9×10-5 | ||||||
| 91 | 46 | 1.83×10-2 | 1.523×10-3 | 7.2×10-5 | 45 | 1.81×10-2 | 1.438×10-3 | -1.3×10-5 | ||
| -91 | 1.438×10-3 | -1.1×10-5 | 1.476×10-3 | 2.7×10-5 | ||||||
以
1) 当主星位于相对运动轨道内侧，参数点位于图 5外碰撞边界上，线性拟合结果为
| $ {P_{\rm{M}}} - {P_{\rm{L}}} = 6.387 \times {10^{ - 3}}x. $ | (12) |
拟合度R2=0.9667。对比式(10)可知K1=6.387×10-3。
2) 当主星位于相对运动轨道外侧，参数点位于图 5内碰撞边界上，线性拟合结果为
| $ {P_{\rm{M}}} - {P_{\rm{L}}} = - 2.103 \times {10^{ - 3}}x. $ | (13) |
拟合度R2=0.8668。对比式(11)可知K2=-2.103×10-3。
于是得到在rmin=1.0×10-5 a，σ=602m，rA=10 m情况下，两星碰撞概率线性模型修正后计算结果如下。
1) 主星位于相对轨道内侧情况：
| $ P = \left\{ \begin{array}{l} {P_{\rm{L}}} + 6.387 \times {10^{ - 3}}\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}\eta ,\;\;\;A \ge 1.5\sigma ;\\ \frac{{9\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} Ar_{\rm{A}}^2}}{{16{\sigma ^3}}}{{\rm{e}}^{ - \left( {{A^2} + 2r_{\rm{A}}^2 + 2{C^2}} \right)/4{\sigma ^2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le A \le 1.5\sigma . \end{array} \right. $ | (14) |
2) 主星位于相对轨道外侧情况：
| $ P = \left\{ \begin{array}{l} {P_{\rm{L}}} - 2.103 \times {10^{ - 3}}\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}\eta ,\;\;\;\;A \ge 1.5\sigma ;\\ \frac{{9\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} Ar_{\rm{A}}^2}}{{16{\sigma ^3}}}{{\rm{e}}^{ - \left( {{A^2} + 2r_{\rm{A}}^2 + 2{C^2}} \right)/4{\sigma ^2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le A \le 1.5\sigma . \end{array} \right. $ | (15) |
另外，在图 5上取外边界线参数点p1(Δe= 1.25×10-4, ΔM0=1.3×10-5)和内边界线参数点p2(Δe=1.5×10-5, ΔM0=1.3×10-5)。计算得到A1=2.298 10σ，A2=0.530 33σ，PL1=PL2=1.451×10-3。Monte Carlo仿真法得到二者真实碰撞概率为PM1=3.625×10-3和PM1= 6.35×10-4。利用式(14)和(15)得到p1和p1的解析修正碰撞概率分别为：
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_1} = {P_{\rm{L}}} + 6.387 \times {{10}^{ - 3}}\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}\eta = 3.540 \times {{10}^{ - 3}},}\\ {{P_2} = \frac{{9\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} Ar_{\rm{A}}^2}}{{16{\sigma ^3}}}{{\rm{e}}^{ - \left( {{A^2} + 2r_{\rm{A}}^2 + 2{C^2}} \right)/4{\sigma ^2}}} = 4.85 \times {{10}^{ - 4}}.} \end{array} $ | (16) |
相比于用原线性模型计算碰撞概率，2种情况碰撞概率相对误差|PM-P|/PM分别从59.97%降到2.34%、从128.50%降到23.62%。可见解析修正法能够显著降低线性模型误差。尝试用解析修正公式来计算p2点概率，得到P′2=6.53×10-3，相对误差为2.83%。
3.2 解析法修正PL另取一组不在图 5上的数据，其中主星轨道根数和从星相对主星轨道根数差见表 3，易得同样有rmin=1.0×10-5 a，且属于主星在相对轨道外侧的情况。
| 参数 | 主星轨道根数 | 从星与主星根数差 |
| a/m | 1.5×107 | 0 |
| e | 0 | 6.5×10-5 |
| i/rad | π/4 | 0 |
| Ω/rad | π/3 | 0 |
| M0/rad | π/4 | 11×10-5 |
| ω/rad | π/4 | 3×10-5 |
同样取
| $ P = {P_{\rm{L}}} - 2.103 \times {10^{ - 3}}\frac{{{r_{\min }}}}{{{{\left( {1 + {r_{\min }}\eta } \right)}^{1.5}}}}\eta = 1.307 \times {10^{ - 3}}. $ | (17) |
使用解析修正前后碰撞概率相对误差分别为9.10%和1.73%，可见，相比于用原线性模型计算碰撞概率，使用解析法修正能够显著降低线性模型的误差。
4 结论针对近距离航天器碰撞概率计算，本文提出对简单线性模型的解析修正，提高了线性模型适用范围和计算精度。对于联合碰撞球半径、联合误差方差和最小相对运动距离相等的情况，具有相同的修正系数K，可以在线性模型结果的基础上，进一步修正不同相对轨道的碰撞概率。仿真结果表明：该方法有效，结合原线性模型和该解析修正，能够在保持线性模型实时性的基础上，提高线性模型的精度和扩大适用范围。
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