近距离航天器间碰撞概率线性模型的解析修正
姜薇, 蒋方华, 李俊峰     
清华大学 航天航空学院, 北京 100084
摘要:该文提出一种针对近距离航天器间碰撞概率线性模型的解析修正法。原有碰撞概率线性模型较简单,使用条件严格,适用范围有限,不适用于轨道差别较小的相对运动情况。通过分析碰撞概率线性模型计算结果与Monte Carlo仿真计算结果之间的误差,寻找其与航天器间最大和最小相对运动距离之间的近似解析关系,对原有线性模型进行修正,使其更接近真实碰撞概率。仿真结果表明:该方法拓展了原有线性模型的适用范围,并提高了精度。
关键词碰撞概率    线性模型    解析修正    
Analytical correction for a linear model of inter-satellite collision probabilities
JIANG Wei, JIANG Fanghua, LI Junfeng     
School of Aerospace Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: An analytical method was developed to correct linear model results for the inter-satellite collision probability. The traditional linear collision probability model is simple, but has many limitations, and is not applicable to calculations of inter-satellite collision probabilities with small orbital differences. An analytical expression is given to relate the differences between the linear model and Monte Carlo simulation results according to the maximum and minimum relative distances between the satellites. This analytical expression can be used to improve the linear model results to be closer to the true collision probability. Simulations show that the method extends the application range of the linear model and further improves the accuracy.
Key words: collision probability     linear model     analytic correction    

由于在轨卫星数量和空间碎片数量不断攀升,空间碰撞风险在不断增加。截至2016年底,已发生过260余次在轨卫星或火箭解体、爆炸、撞击事件[1]。对空间目标的碰撞风险评估和预警非常重要。对于在轨航天器碰撞风险评估有2种常用方法,一种是计算最小距离,另一种是计算碰撞概率。第一种方法最简单,若最小相对运动距离小于设定的阈值,则判断会发生碰撞,需要采取规避措施。

文[2-3]提出了解析计算星间最大最小相对运动距离的方法,适用于轨道偏心率很小的情况;针对半长轴相等的航天器相对运动,文[4]通过分析轨道参数与最小相对运动距离的关系,针对不同情况给出了两星偏心率差和初始平近点角差形成的坐标平面上非碰撞充分条件边界线的作图方法。

虽然最小距离方法简单,但是由于空间环境复杂且航天器状态测量有不确定性,碰撞概率的计算可以综合考虑航天器运行状态和不确定性,因而更能准确衡量碰撞风险[5]

只考虑航天器位置不确定性时,通常采用位置误差椭球来描述不确定性,并将航天器及其周围安全范围等效为球体或其他形状物体,将两航天器相遇过程中联合等效物体在误差椭球中扫过体积内的碰撞概率密度函数进行积分,就是两航天器之间的碰撞概率[5]

根据两星接近过程中描述相对运动状态的模型不同,碰撞概率计算可以分为线性模型和非线性模型2种。线性模型建立在线性相对运动假设之上,当两星接近过程中相对速度大、接近时间短时,可以将相遇时间内相对运动简化为线性模型,认为联合等效物体扫过的体积为无限长的柱体。此时假设包括:相遇时间内相对运动为匀速直线运动;相遇时间内没有速度不确定性,位置误差协方差保持不变[6]。非线性模型没有对相对运动状态进行假设简化,相对速度和位置误差协方差在相遇时间内可变,积分计算十分复杂。

文[5, 7-10]分别采用坐标转换或利用概率密度函数特殊性质的方法,将三维碰撞概率积分问题降维,变成二维或者一维积分问题,简化计算。Chan等[11]分别针对短时相遇和长期交汇问题,用无穷级数来描述碰撞概率模型,通过截取首项获得近似解析表达式,形式简单。白显宗等[12]基于Chan等的计算方法,分析了相遇平面内位置误差椭圆大小、形状、方位对碰撞概率大小的影响规律。Morselli等[13]将相对运动距离最近时刻和相对运动最小距离展开为关于位置速度不确定性的表达式,提高了碰撞概率计算速度。Wen等[14]提出了通过分析相对运动半径极值来确定共面轨道的相对运动可达域的方法;石昊等[15-16]在Wen等工作的基础上,提出了求解三维空间相对运动可达域方法,并进一步提出闭环控制系统中初值不确定性等误差带来的航天器可达域外包络的求解方法;在考虑到导航和控制不确定性后,Wang等[17-18]分析了共面且主星在圆轨道情况下主星周围的等碰撞概率曲线。

与其他计算方法相比,Monte Carlo仿真方法并不做任何假设,计算结果更接近真实值,但是精度与计算量相关。为了达到高精度,需要采集足够多的样本来计算,随着精度要求升高,样本量呈指数增加。高精度要求的Monte Carlo方法计算量巨大,耗时过长,难以达到实时性要求。

本文将在原有线性模型基础上,通过分析线性模型结果和Monte Carlo仿真结果之间的差值与星间最大相对运动距离、最小相对运动距离之间的关系,得到近似的解析修正表达式。在保持线性模型快速简单的基础上,提高了计算精度,扩展了适用范围。

1 碰撞概率线性模型和Monte Carlo仿真计算方法 1.1 线性模型

线性相对运动假设中,认为两星位置误差椭球在相遇时间内不变,考虑二者位置误差协方差相互独立的情况,两星联合误差协方差矩阵可以记为二者位置误差协方差矩阵之和EECI,将两星等效半径相加可得联合等效半径rA。将联合等效半径形成的联合碰撞球加在从星上,将联合误差椭球加在主星上,二者碰撞概率就是相对运动过程中联合碰撞球扫过的联合误差椭球体积内的碰撞概率密度函数积分。这里将简单介绍Chan和白显宗的线性模型[6, 11]

在三维空间中,两星联合误差椭球表面上各点概率密度相同,概率密度函数为[6]