航天器姿态机动的敏捷性是指其姿态进行快速机动的能力^[1]，许多军事任务和商业任务均要求航天器具有优异的敏捷性^[2]。敏捷性高的航天器，可以持续地跟踪地面某一目标或多个目标，可以在较短的时间内进行多次成像、甚至实现大面积成像，进而获取更大的军事或商业利益。基于此，一方面，发达国家通过加大航天器执行机构的输出力矩等手段，竞相研究各自的敏捷卫星，比如法国的Pleiades卫星^[3]、美国的WorldView系列卫星等^[4]。很多敏捷卫星已投入使用，带来了巨大的收益，但发射敏捷卫星的成本和技术难度也是相当高的。另一方面，学者们也不断研究最优姿态控制算法^[5-6]，试图在不改变传统卫星硬件的基础上，通过最优控制来提高传统卫星的敏捷性，这样就可以用较低的成本来实现目的^[7]。研究表明，与传统机动方式相比，最优控制有可能使机动时间缩减高达50%^[8]。2010年8月，美国NASA在一颗名叫TRACE(transition region and coronal explorer)的传统航天器上，采用最优控制算法进行了试验，结果非常成功^[9-10]，使得这一方案极具吸引力。

前人的研究主要集中于最优控制算法^[11-14]，取得了很多重大进展。但有学者提出这些算法在传统航天器上进行实施是具有风险的^[7]，是否可以定量评估最优控制对航天器敏捷性的提高程度，从而在风险与收益之间进行权衡是一个挑战。此外，随着敏捷卫星的发展，也需要有对敏捷性进行量化评估的方法，来对不同航天器的敏捷性能进行比较。

针对敏捷性评估的问题，Ross等^[15]在2012年提出了敏捷包络的概念，即作用力矩与转动惯量比率的三维空间包络图，他们通过该包络图来分析航天器的敏捷性。之后，King等^[8]将敏捷包络的概念引入到对敏捷性提高程度的评估中来，利用敏捷包络与传统机动角加速度包络体积比率的三次方根来评价敏捷性提高的程度。最近，Karpenko等^[16]还对该敏捷包络进行了修正，用于改进JWST(james webb space telescope)姿态控制系统的敏捷性能设计。该评估方法奠定了航天器敏捷性评估的基础，可以对某一类航天器的敏捷性能进行分析。但该方法只考虑了作用力矩和转动惯量的分布，不能适用于受到角速度约束等更为一般的情况。此外，该方法没有将单个航天器的敏捷性作为一种属性进行量化，不便于各种航天器之间的比较，也不能用于评估不同控制策略对航天器敏捷性的影响。

本文在前人研究的基础上，综合考虑了角速度约束等因素的影响，对航天器姿态机动的敏捷性评估进行了研究。首先，对航天器传统姿态机动和时间最优姿态机动进行了分析，探讨了其敏捷性存在差异的原因。其次，基于该原因，以航天器完成姿态机动的时间为中间量，求解等效角加速度。最后，构建近似角加速度包络和等效敏捷包络，引入了敏捷因子和敏捷性曲线的概念，对航天器的敏捷性进行定量评估。为了验证本文方法的可靠性，文中给出了仿真分析算例，与前人的结果进行了对比分析，也对航天器的机动时间进行了预估。

1 航天器传统姿态机动 1.1 航天器模型

给定任意刚体航天器姿态机动模型如图 1。建立以航天器质心为原点的本体坐标系(O-xyz)和惯性坐标系(O-XYZ)。本体坐标系的x、y、z轴为航天器的中心惯性主轴。初始时刻，本体系和惯性系重合。u₁、u₂、u₃为作用在本体系主轴上的力矩分量，ω₁、ω₂、ω₃为航天器旋转的角速度在本体系中的投影分量。为了保证结果的通用性，本文中所有物理量均进行了无量纲化处理^[17]。

航天器姿态机动的Euler旋转方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {I_1}{{\dot \omega }_1} - ({I_2} - {I_3}){\omega _2}{\omega _3} = {u_1}, \\ {I_2}{{\dot \omega }_2} - ({I_3} - {I_1}){\omega _3}{\omega _1} = {u_2}, {\rm{ }}\\ {I_3}{{\dot \omega }_3} - ({I_1} - {I_2}){\omega _1}{\omega _2} = {u_3}. \end{array} \right. $

(1)

其中：I₁、I₂、I₃为航天器绕主轴x、y、z的转动惯量，其满足如下约束

$ \left\{ \begin{array}{l} {I_1} + {I_2} \ge {I_3}, \\ {I_1} + {I_3} \ge {I_2}, {\rm{ }}\\ {I_2} + {I_3} \ge {I_1}. \end{array} \right. $

(2)

对于常见的三轴姿态稳定航天器，其力矩分量满足约束

$ \left| {{u_i}} \right| \le {u_{{\rm{max}}}}, {\rm{ }}i = 1, {\rm{ }}2, {\rm{ }}3. $

(3)

此处无量纲化处理后，u_max为1。因为该约束条件将允许的力矩矢量限制在一个立方体空间内，所以Bai等^[18]将该约束称为立方体约束。

与文[19]一致，采用四元数q=[q₁, q₂, q₃, q₄]来描述航天器的姿态，其中前3项分量表示Euler轴的方向，第4项为标量，表示Euler转角，航天器的运动方程为

$ \begin{array}{l} \dot q = \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{l} \;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;{\omega _3}\;\;\; - {\omega _2}\;{\omega _1}\\ - {\omega _3}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;{\omega _1}\;\;{\omega _2}\\ \;\;{\omega _2}\;\;\;- {\omega _1}\;\;\;\;\;\;0\;\;\;{\omega _3}\\ - {\omega _1}\;\; - {\omega _2}\;\; - {\omega _3}\;\;0 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} {q_1}\\ {q_2}\\ {q_3}\\ {q_4} \end{array} \right] = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\mathit{\pmb{\Omega q}}. \end{array} $

(4)

q的4个分量满足关系式

$ q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 + q_4^2 = 1. $

(5)

航天器的初始和末端的姿态角分别为q₀和q_f，起止角速度均为0。航天器的快速姿态机动，就是将航天器尽可能快地从初始状态机动至末端状态。

1.2 传统姿态机动

航天器为了实现从一个姿态机动到另外一个姿态，最典型的机动方式就是采用Euler旋转，即绕过定点的某个轴进行一次旋转。一方面，根据Euler旋转定理，刚体定点运动的任意位移都可以通过绕过该定点某个轴的一次转动实现，另一方面，Euler旋转是从一个姿态机动到另一个姿态的最短路径^[20]。该方法直观可靠，作为传统姿态机动方式，在航天工程领域得到了广泛应用。

该方法是基于航天器姿态机动的运动学原理而来的，在实际应用中，还需要考虑到Euler旋转的角速度和角加速度的最大值限制。航天器绕定轴旋转的角加速度与作用力矩和绕定轴的转动惯量有关，令绕定轴的作用力矩和转动惯量分别为u和I，则角加速度α为

$ \alpha = \frac{u}{I}. $

(6)

为了确保航天器的任意姿态机动都可以完成，工程上规定最大角加速度时，通常将u取为u_max，将I取为主轴转动惯量中的最大值，即

$ {I_{{\rm{max}}}} = {\rm{max}}\left\{ {{I_1}, {I_2}, {I_3}} \right\}. $

(7)

由此可得，Euler旋转允许的最大角加速度为

$ {\alpha _{{\rm{max}}}} = \frac{{{u_{{\rm{max}}}}}}{{{I_{{\rm{max}}}}}}. $

(8)

可以看出，该规定方式是比较保守的，实际上能达到的最大力矩为$\sqrt 3 {u_{{\rm{max}}}}$，但考虑到某些极端情况下的Euler旋转，这种方式是最为可靠的。

由于航天器反作用轮可达到的最大动量矩是有限的，所以航天器Euler旋转的角速度也会根据反作用轮的最大动量矩进行限制，若角速度分量限制为

$ \left| {{\omega _i}} \right| \le {\omega _{{\rm{max}}}}, {\rm{ }}i = 1, 2, 3. $

(9)

工程上就规定Euler旋转中允许的最大角速度为ω_max。

在不考虑角速度限制的情况下，容易证明，航天器Euler旋转最快的方式就是，在机动的前半段时间采用最大角加速度α_max加速，当达到一半旋转角度后，再采用最大角加速度减速。令总Euler机动角度为θ_f，则完成Euler旋转的时间为

$ {t_f} = \sqrt {\frac{{4{\theta _f}}}{{{\alpha _{{\rm{max}}}}}}} . $

(10)

在考虑角速度约束的情况下，如果机动角度比较大，加速的时间比较长，那么就可能达到角速度的限制值。此时，最优的Euler旋转就是航天器先保持最大角加速度加速，当达到角速度限制ω_max时，角加速度再变为0，航天器以ω_max保持匀角速度机动。最后航天器以最大角加速度减速，直到角速度为0时，航天器完成Euler旋转。航天器加速段的时间为

$ {t_{{\rm{up}}}} = \frac{{{\omega _{{\rm{max}}}}}}{{{\alpha _{{\rm{max}}}}}}. $

(11)

减速段的时间与加速段相同，匀速段的时间为

$ {t_c} = \frac{{{\theta _f} - {\theta _{{\rm{cri}}}}}}{{{\omega _{{\rm{max}}}}}}, $

(12)

其中θ_cri为达到角速度限制的临界角度，

$ {\theta _{{\rm{cri}}}} = \frac{{\omega _{{\rm{max}}}^2}}{{{\alpha _{{\rm{max}}}}}}. $

(13)

当θ_f < θ_cri时，机动过程中角速度总是小于ω_max，Euler旋转的时间由式(10)可求得；而θ_f>θ_cri时，则需考虑最大角速度的限制，Euler旋转的时间为

$ {t_f} = 2{t_{{\rm{up}}}} + {t_{\rm{c}}} = \frac{{{\omega _{{\rm{max}}}}}}{{{\alpha _{{\rm{max}}}}}} + \frac{{{\theta _f}}}{{{\omega _{{\rm{max}}}}}}. $

(14)

2 时间最优姿态机动 2.1 优化问题模型

建立航天器姿态机动问题的模型，求解最优控制，可以提高航天器快速姿态机动的能力。该问题的实质是在满足各种约束的前提下，使得航天器从初始姿态机动到末端姿态的时间最短。航天器时间最优姿态机动问题的模型可表述为

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{min}}J = {t_f}, \\ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}}\\ {}\\ {}\\ {}\\ {}\\ {}\\ {}\\ \begin{array}{l} \\ \end{array} \end{array}\left\{ \begin{array}{l} {I_1}{{\dot \omega }_1} - ({I_2} - {I_3}){\omega _2}{\omega _3} = {u_1}, \\ {I_2}{{\dot \omega }_2} - ({I_3} - {I_1}){\omega _3}{\omega _1} = {u_2}, \\ {I_3}{{\dot \omega }_3} - ({I_1} - {I_2}){\omega _1}{\omega _2} = {u_3}, \\ \dot q = \frac{1}{2}\mathit{\pmb{\Omega q}}, \\ \left| {{u_i}} \right| \le {u_{{\rm{max}}}}, {\rm{ }}i = 1, 2, 3, \\ \left| {{\omega _i}} \right| \le {\omega _{{\rm{max}}}}, {\rm{ }}i = 1, 2, 3, \\ {\mathit{\pmb{q}}_0}, {\rm{ }}{\mathit{\pmb{q}}_f}, \\ {\mathit{\pmb\omega{}} _0} = {\mathit{\pmb\omega{}} _f} = 0. \end{array} \right. \end{array} $

(15)

利用hp自适应伪谱法可以快速准确地求得最优控制解^[21]，并且该方法也经过航天器在轨机动试验得到了证明^[9]。首先，利用伪谱法将该问题离散为一个非线性规划问题；其次，利用序列二次规划方法^[22]，求解该规划问题，并检验求得的结果是否满足约束条件和精度，如果不满足，则进一步细化离散的步长^[23]，重新进行非线性规划；最后，根据极大值原理，检验由KKT条件获得的协态变量是否满足一阶必要条件。这套求解流程已经被Patterson、Rao等学者集成在GPOPS软件包中^[24]，可以采用该开源软件包来求解时间最优姿态机动。

2.2 时间最优姿态机动

传统的Euler旋转，由于受到机动轨迹的约束，最大角加速度和最大角速度的取值均比较保守，每一个瞬时的角加速度和角速度值不能超过α_max和ω_max，相当于加强了对航天器机动的约束，从而限制了航天器的机动性能。而时间最优姿态机动则反映了航天器受到的真实约束，并且没有旋转轨迹的约束，瞬时角加速度和角速度的值是可以超过α_max和ω_max的，从而表现出更优的机动性能。

以美国NASA的XTE(X-Ray Timing Explorer)航天器为例^[19]，无量纲化处理后，给定ω_max为1，则主要参数如表 1所示。

按照传统Euler旋转方式，则α_max为1，受到角速度约束的临界角度为57.3°。令XTE航天器的姿态绕惯性系Z轴变化45°，根据式(10)可得，Euler旋转的无量纲化时间为1.772 5。而利用时间最优控制算法，旋转所需的时间仅为1.683 1，机动时间缩短了5.04%。这表明利用时间最优控制算法的确可以大大缩短机动时间，提高航天器的敏捷性。

时间最优姿态机动为什么具有更优的敏捷性呢？通过观察机动过程中的瞬时角加速度，可以定性对其进行解释。图 2展示了惯性坐标系下，时间最优姿态机动过程中的瞬时角加速度矢量。初始时的瞬时角加速度用红色表示，终止时的瞬时角加速度用绿色表示，中间过程为从红色到绿色的渐变，星号“*”表示瞬时角加速度矢量的末端。同时用一个半径为1的红色球，表示传统机动方式中的最大角加速度包络。尽管时间最优姿态机动的路径不是最短的，但图中瞬时角加速度的最大值为3.853 0，最小值为1.826 7，最优机动的瞬时角加速度均大于Euler旋转的角加速度约束，充分挖掘了航天器潜在的机动性能。

同理，令XTE航天器的姿态绕惯性系Z轴变化90°，旋转角度超过了临界角度57.3°，在进行传统的Euler旋转时将受到最大角速度约束。根据式(14)可得Euler旋转的时间为2.570 8，而时间最优姿态机动仅需2.291 2，机动时间缩短了10.87%。图 3展示了最优机动过程中的瞬时角加速度，最大值为4.144 7，最小值为1.834 5，均超过了最大角加速度限制。结果表明，在受到角速度约束限制时，最优控制同样可以提高航天器姿态机动的敏捷性。

3 敏捷性评估 3.1 敏捷因子

通过时间最优控制算法的确可以缩短航天器的机动时间，提高航天器的敏捷性。但如何定量评估最优控制算法对敏捷性的提高程度呢？不同航天器的敏捷性如何对比呢？

回归到敏捷性的定义，所谓敏捷性，即快速机动的能力。为了刻画姿态机动的能力，最直观的参数就是角加速度，能提供的角加速度越强，则敏捷性越强。若用Euler旋转的最大角加速度来刻画航天器的敏捷性，一方面过于保守，无法反映航天器的真实机动能力，另一方面则并未考虑角速度的约束。因此，需要构造一个等效角加速度，将角加速度、角速度约束等诸多因素考虑进来，用于刻画航天器的敏捷性。

Mark等^[7]认为提高敏捷性就是缩短航天器完成姿态机动所需的时间，Wie^[25]认为影响敏捷卫星性能的主要因素就是平均再定位时间，在航空领域，为了评估战斗机的横滚敏捷性，也是根据战斗机横滚90°所需要的时间来评价^[26]。这些观点里面都提及到了时间，完成机动所需的时间越短，则航天器的敏捷性越好，这与对敏捷性的直观感受不谋而合。而且时间作为结果，可以将机动过程中的所有约束条件均考虑进来。此外，需要注意的是，航天器完成不同角度的机动时，由于受到限制条件的不同，其敏捷性是不一样的。综上，可以用航天器完成特定姿态机动所需的时间作为中间量，构造等效角加速度，从而评估航天器姿态机动的敏捷性。

首先，求解航天器绕惯性系X、Y、Z轴分别变化θ_f角度所需要的最短时间t_X、t_Y、t_Z。以完成姿态机动的时间为参考，这样便可将机动过程中的所有约束均考虑进来。以航天器XTE采用时间最优控制算法的情况为例，令航天器XTE分别绕X、Y、Z轴变化90°，利用最优控制算法求解，可得机动90°的情况下，t_X、t_Y、t_Z分别为2.193 9、1.949 3和2.291 2。

其次，将航天器绕惯性系X轴在时间t_X内变化θ_f角度的运动，等效为航天器在无角速度约束情况下的单轴Euler旋转。那么，由式(10)可得，绕X轴变化θ_f角度的等效角加速度为

$ {\alpha _X} = \frac{{4{\theta _f}}}{{t_X^2}}. $

(16)

同理可得绕Y、Z轴变化θ_f角度的等效角加速度为

$ {\alpha _Y} = \frac{{4{\theta _f}}}{{t_Y^2}}，$

(17)

$ {\alpha _Z} = \frac{{4{\theta _f}}}{{t_Z^2}}. $

(18)

对于航天器XTE机动90°的情况，绕3个轴机动90°的等效角加速度α_X、α_Y、α_Z分别为1.305 4、1.653 6、1.196 9。根据文[8]和[15]，在不考虑角速度限制的情况下，等效角加速度应该主要受到航天器的作用力矩和转动惯量分布的影响。对于某一旋转方向，作用力矩越大、转动惯量越小则其等效角加速度越大，反之则相反。此处，由于力矩分布的对称性，绕航天器XTE三轴作用的力矩环境是相同的，但转动惯量分布则是绕Z轴的最大，绕X轴的其次、绕Y轴的最小。从主因来看，在旋转90°的情况下，尽管有角速度约束的限制，但求得的等效角加速度大小与该定性规律吻合，即α_Z最小，α_X其次，α_Y最大。

最后，以α_X、α_Y、α_Z为半主轴，可以在三维空间中形成一个椭球，用该椭球来近似航天器的等效角加速度包络。然后构造一个球体，使得该球体的体积与椭球包络的体积相等，称该球体为等效敏捷包络，该球体的半径就是航天器机动θ_f角度近似的等效角加速度，定义该半径为航天器机动θ_f角度下的敏捷因子。可得机动θ_f角度下的敏捷因子为

$ {\alpha _e} = 4{\theta _f}{({t_X}{t_Y}{t_Z})^{ - \frac{2}{3}}}. $

(19)

敏捷因子越大，则说明航天器机动θ_f角度的敏捷性越好，反之则反。

值得注意的是，为了得到准确的敏捷因子，应该求出航天器绕所有方位机动的等效角加速度，得到完整的等效角加速度包络。但考虑到工程应用中的实用性与方便性，此处参照航空领域衡量战斗机滚转敏捷性的方案^[26]，只求取了关键的3次机动，对等效角加速度进行了近似。

根据式(19)，航天器XTE在采用最优控制算法的情况下，机动90°时的敏捷因子为1.372 2。如图 4所示，图中的灰色椭球体是以α_X、α_Y、α_Z为半主轴形成的近似角加速度包络。图中蓝色球体为航天器XTE机动90°的等效敏捷包络，其体积与灰色椭球的体积相同，其半径即为敏捷因子，也就是航天器XTE机动90°时的等效角加速度1.372 2。在某些区域，蓝色的等效敏捷包络在灰色椭球里面，表明在这些区域航天器的近似角加速度比敏捷因子要大；而在另一些区域，蓝色的等效敏捷包络在灰色椭球外面，表明在这些区域航天器的近似角加速度达不到敏捷因子这么大。总体而言，敏捷因子评估的是航天器姿态机动的平均性能。

按照上述评估方法，在传统Euler旋转方式下，航天器XTE机动90°的敏捷因子α_e=0.950 7，其近似的角加速度包络与等效敏捷包络完全重合，如图 4中的红色包络所示。此处由于受到了最大角速度约束的限制，所以敏捷因子不是1。显然，采用最优控制算法的蓝色包络要比传统机动方式的红色包络大得多，航天器的机动性能得到了充分挖掘。前者的敏捷因子为1.372 2，相比传统机动的敏捷因子提高了44.34%。从物理意义上来看，相当于将航天器飞轮的输出力矩提高了44.34%，其经济效益是相当可观的。

3.2 敏捷性曲线

敏捷因子仅反应了航天器机动θ_f角度时的敏捷性，而航天器在进行不同角度的机动时，由于所受的限制不同，其敏捷性是有区别的。有可能某些航天器进行小角度机动时敏捷性很好，而大角度机动时敏捷性较差，而另一些航天器则相反。为了评估航天器在某一个机动角度范围内的敏捷性，引入敏捷性曲线的概念。

求解θ_f在某一区间变化时的多个敏捷因子，绘制成以θ_f为横坐标、敏捷因子为纵坐标的曲线，定义该曲线为敏捷性曲线。敏捷性曲线上的点越高，表示对应机动角度下的敏捷性越好。将多条敏捷性曲线进行对比时，给定角度区间内，敏捷性曲线最高的航天器敏捷性最好。

以航天器XTE为例，以15°为间隔，分别求解航天器从0°到90°之间的敏捷因子，然后通过线性插值，绘制传统机动方式和最优控制方式下的敏捷性曲线，求解间隔越小，所绘制的敏捷性曲线越准确。图 5中红色实线和蓝色实线分别为传统机动方式和最优控制方式下的敏捷性曲线，三角形和正方形标志点为准确求得的敏捷因子。红色敏捷性曲线在1附近，而蓝色敏捷性曲线在1.5左右，远高于红色敏捷性曲线，这表明在0°~90°区间内，最优控制方式下的敏捷性均比传统机动方式好。图中下方的蓝色区域是由蓝色敏捷性曲线减去红色敏捷性曲线所围成的区域，该区域表示不同角度下，最优控制比传统机动敏捷性改善的绝对值，平均看来大约提高了0.5，将近50%。

此外，图中给出了几条垂直通过蓝色方形标志的直线。该直线的上下界表示的是航天器绕X、Y、Z轴变化横坐标所对应的角度时，等效角加速度的最大值和最小值。在比较不同航天器的敏捷性时，该上下界可以作为参考。可以发现，随着机动角度变大，上下界之间的差值越来越小，这是因为随着机动路径变长，最优控制可挖掘的潜能就越大，转动惯量带来的差异也由于姿态的变化显得越来越小。从这个维度来看，机动角度越大，敏捷因子衡量航天器的敏捷性时就越准确。

4 仿真算例

为了验证本评估方法的合理性，一方面，将本方法的评估结果与前人的结果进行对比，看其是否相符；另一方面，应用本方法提出的敏捷因子，对航天器机动某一角度的时间进行估计，看其是否反映了航天器机动性能的平均水平。

4.1 对比分析

算例1 对于航天器XTE，将其飞轮输出力矩提升为原来的2倍，其他条件保持不变，按照传统方式机动，评估其机动45°时的敏捷性变化。

根据King等^[8]的评估方法，以航天器敏捷包络体积^[15]比率的三次方根γ_α来衡量航天器敏捷性的相对变化。可得，当飞轮输出力矩增大为原来的2倍时，γ_α=2，即机动45°时的敏捷性提升为原来的2倍。由于此时未达到临界机动角度，不用考虑角速度的约束，这与直观的感受是吻合的。

按照本文提出的评估方法，飞轮输出力矩放大前：首先，据式(10)可求出航天器XTE分别绕X、Y、Z轴变化45°的时间，t_X、t_Y、t_Z均为1.772 5；其次，据式(16)—(18)可求得绕3个轴机动90°的等效角加速度α_X、α_Y、α_Z均为1；最后，由式(19)可得，放大前的敏捷因子为α_e=1。同理可得，飞轮输出力矩放大为2倍时的敏捷因子α_e=2。因此，机动45°时的敏捷性变为原来的2倍，此结果与King等^[8]的评估结果一致。这表明，在不考虑角速度约束的情况下，本评估方法与前人的方法在本质上是相通的。

算例2  对于航天器XTE，将其角速度约束缩小为原来的一半，其他条件保持不变，按照传统方式机动，评估其机动45°时的敏捷性变化。

根据King等^[8]的评估方法，其对敏捷性的评估只考虑了飞轮力矩和航天器转动惯量，没有考虑角速度约束，因而角速度约束的变化不会对其评价指标造成影响，评价指标γ_α=1，该评价方法认为角速度约束缩小一半后，其敏捷性保持不变。事实上，角速度缩小一半后，航天器XTE受到角速度约束的临界角度由57.3°变为了14.3°，45°已超过该临界角度，由于角速度约束的限制，航天器机动45°的时间由1.772 5延长到了2.070 8，时间增加了16.83%。因此，航天器机动45°时的敏捷性事实上是变差了。King等^[8]的评估方法由于没有考虑角速度这一约束，其评估结论并不符合实际情况，因而其在受到角速度约束限制的情况下不适用。

按照本文提出的评估方法，在角速度约束减小前，航天器XTE机动45°时的敏捷因子为α_e=1；在角速度约束缩小为原来的一半后，45°超过临界角度，需按照式(14)求解航天器XTE分别绕X、Y、Z轴变化45°的时间t_X、t_Y、t_Z，进而求出α_X、α_Y、α_Z，最后可得敏捷因子变小为α_e=0.732 6。结果表明航天器的敏捷性变差了，与事实相符。这证明该评估方法在考虑角速度约束的情况下也是适用的。实际上，由于该方法是以时间为中间量进行转换的，可以将所有影响敏捷性的因素均考虑进来，因此该方法可适用于大多数的敏捷性评估。

4.2 预估机动时间

算例3  对于航天器XTE，主要参数如表 1所示，按照传统方式机动，可得其机动45°时的敏捷因子α_e=1。根据该敏捷因子，预估航天器XTE按传统方式机动45°的时间。

根据定义，敏捷因子是对航天器的敏捷性进行了综合平均，等效于航天器绕单轴Euler旋转的最大角加速度。由式(10)可预估航天器机动45°的大致时间为1.772 5。

由于并未超过角速度约束的临界角度，根据式(10)，航天器绕任意方向按传统方式机动45°的时间均为t_f=1.772 5，预估时间与传统方式机动的时间完全一致。这表明，当航天器在各个方向受到的约束条件相同时，按照敏捷因子预估的机动时间与真实机动时间完全相同，评估方法准确可靠。

算例4  对于航天器XTE，主要参数如表 1所示，按照最优控制方式机动，可得其机动45°时的敏捷因子α_e=1.465 4。根据该敏捷因子，预估航天器XTE按照最优控制方式机动45°的时间。

与算例3同理，由式(10)可预估航天器机动45°的大致时间为1.464 2。

航天器绕某旋转轴姿态变化45°的方向有无数种，旋转轴单位方向矢量的可行空间可以构成一个方位球。为了尽可能地对整个空间进行采样，现以5°为步长，在方位球表面绘制经线和纬线，这些经纬线会形成多达2 522个交点，每一个交点代表着一个旋转轴的方向。利用最优控制算法，分别求解航天器XTE绕着这些方向姿态变化45°所需要的时间。结果如图 6，图中球面上每一个点相对于坐标原点的方位，对应一个指向该方位的旋转轴，每个点与坐标原点的距离大小，代表绕该方向轴姿态变化45°所需要的时间。点的颜色越趋于黄色，表示绕该方向机动45°所需要的时间越长，反之，越趋于蓝色，则时间越短。通过该时间包络球，可以清晰地看到航天器绕不同方向机动的性能差异。Z轴方向的上下端部呈亮黄色，离原点最远，表明绕Z轴方向机动所需的时间最长，这与绕Z轴方向的转动惯量最大有关。靠近Y轴方向端部的周围一圈呈深蓝色，沿这些方向机动所需的时间最短，这是由于这些方向的力矩较大且转动惯量较小的缘故。由于航天器的转动惯量分布是一个椭球，作用力矩分布是一个立方体，所以其时间包络形态接近椭球和立方体的组合。整体上看，其形态接近椭球，局部来看，在接近立方体6条棱的方位作用力矩更大，所以这些方位附近的机动时间有所缩短。整个时间包络的形态，就像用立方体的6条棱将椭球勒住了一样。

根据抽样计算结果，航天器XTE按照最优控制方式机动45°的平均时间为1.421 3，预估时间与真实机动的平均时间仅相差3.02%。此外，真实机动时间的中位数为1.423 7，估计时间与其误差也仅为2.84%。这一结果表明敏捷因子客观地反应了航天器机动性能的平均水平，可以用于定量评估航天器姿态机动的敏捷性。

5 结论

本文对航天器姿态机动的传统Euler旋转和最优控制进行了研究，以完成绕主轴姿态机动的时间为中间量，构建等效敏捷包络，提出了一种定量评估航天器姿态机动敏捷性的方法。研究表明，通过本文提出的敏捷因子，可以定量评估最优控制算法对航天器敏捷性的提高程度。航天器在不同机动角度下的敏捷性并不一定相同，由敏捷因子与机动角度构成的敏捷性曲线可以全面地反映航天器在不同机动角度下的敏捷性。本文对前人评估方法的适用范围进行了拓展，既可用于仅有角加速度约束的情况，也可用于包含角速度等其他约束的情况，还可用于评估不同控制策略对航天器敏捷性的影响。此外，通过敏捷因子可以准确地预估航天器姿态机动的平均时间。